圓周角 市賽獲獎(jiǎng)

24.1圓的有關(guān)性質(zhì)

24.1.4圓周角

——圓周角定理及其推論

R·九年級(jí)上冊(cè)新課導(dǎo)入如圖,把圓心角∠AOB的頂點(diǎn)O拉到圓上,得到∠ACB.問題1：∠ACB有什么特點(diǎn)？它與∠AOB有何異同？問題2：你能仿照?qǐng)A心角的定義給∠ACB取一個(gè)名字并下個(gè)定義嗎？ABOC(1)知道什么是圓周角，并能從圖形中準(zhǔn)確識(shí)別它.(2)探究并掌握?qǐng)A周角定理及其推論.(3)體會(huì)“由特殊到一般”“分類”“化歸”等數(shù)學(xué)思想.重點(diǎn)：圓周角定理及其推論.難點(diǎn)：圓周角定理的證明與運(yùn)用.推進(jìn)新課知識(shí)點(diǎn)1圓周角的定義及圓周角定理1.圓心角的定義?頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角.ABOC2.圖中∠ACB的頂點(diǎn)和邊有哪些特點(diǎn)？

頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角．【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】（廣西柳州中考）下列四個(gè)圖中，∠x是圓周角的是()C圖中圓周角∠ACB和圓心角∠AOB有怎樣的關(guān)系？ABOC探究用量角器量一量，猜一猜.（1）在圓上任取BC，畫出圓心角∠BOC和圓周角∠BAC，圓心角與圓周角有幾種位置關(guān)系？BCOABCOABCOA⌒（2）如何證明一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半？第一種情況：BCOA∵

OA=OC，∴∠A=∠C．

又∵∠BOC=∠A+∠C，∴證明：證明：如圖，連接AO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D．∵OA=OB，∴∠BAD=∠B．又∵∠BOD=∠BAD+∠B，第二種情況：BCOA同理，∴∴D請(qǐng)同學(xué)們自己完成證明.BCOA第三種情況：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．圓周角定理：如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠OCB＝50°，則∠A等于()A.40°B.50°C.60°D.70°【對(duì)應(yīng)訓(xùn)練】解析：⊙O是△ABC的外接圓,OB=OC所以∠OBC=∠OCB=50°,∠BOC=80°,∠A=∠BOC=×80°=40°.A在同圓（或等圓）中，如果圓心角、弧、弦有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余兩個(gè)量都分別相等。

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了一個(gè)反映圓心角、弧、弦三個(gè)量之間關(guān)系的一個(gè)結(jié)論，這個(gè)結(jié)論是什么？ABOC那么，圓周角呢？與弧、弦有什么關(guān)系嗎？一條弧與其所對(duì)的圓周角之間有什么關(guān)系？同弧或等弧所對(duì)的圓周角之間有什么關(guān)系？知識(shí)點(diǎn)2圓周角定理的推論思考根據(jù)圓周角定理可知，同弧所對(duì)的圓周角相等．ADBCO∴同弧：∠BAC與∠BDC同BC，⌒∠BAC與∠BDC有什么關(guān)系？證明：.如圖，做出兩弧所對(duì)應(yīng)的圓心角.根據(jù)圓周角定理可知，等弧所對(duì)的圓周角相等．∴等弧：ADBCOEBC=CE,∠BDC與∠CAE有什么關(guān)系？⌒⌒又由BC=CE可知，∠BOC=∠COE.⌒⌒∠BDC=∠CAE同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等．推論1：

顯然，在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)應(yīng)的弧相等，所對(duì)應(yīng)的弦也相等.下列說法是否正確，為什么？“在同圓或等圓中，同弦或等弦所對(duì)的圓周角相等”.DBCOE.一條弦所對(duì)應(yīng)的圓周角有兩個(gè).你能發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)角有什么關(guān)系嗎？如圖所示，連接BO、EO.顯然,∠C與∠D所對(duì)應(yīng)的圓心角和為

，所以根據(jù)圓周角定理可知∠C+∠D=

.360°180°在同圓或等圓中，同弦或等弦所對(duì)的圓周角可能相等，也可能互補(bǔ).半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角有什么特殊性？C1AOBC2C3思考所對(duì)應(yīng)的圓心角為

，則對(duì)應(yīng)的圓周角為

.180°90°半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.推論2：如圖，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，

ACB的平分線交⊙O于點(diǎn)

D，求BC，AD，BD的長(zhǎng)．例4解：連接OD.

ACBDO∵AB是⊙O的直徑，∴ACB=ADB=90°．在Rt△ABC中，

106ACBDO106∵

CD

平分ACB，∴ACD=BCD，∴AOD=BOD．∴

AD=BD．在Rt△ABD中，

AD2+BD2=AB2，∴

AD=BD=

=（cm）．8如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓.知識(shí)點(diǎn)3圓內(nèi)接多邊形ABCDO如圖所示，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，⊙O是四邊形ABCD的外接圓.圓內(nèi)接四邊形的四個(gè)角之間有什么關(guān)系？思考ABCDO∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360°圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角

.

互補(bǔ)隨堂演練基礎(chǔ)鞏固1.下列四個(gè)圖中，∠x是圓周角的是()C2.如圖,⊙O中，弦AB、CD相交于E點(diǎn)，且∠A=40°，∠AED=75°，則∠B=()A.15°B.40°C.5°D.35°D3.如圖，⊙O的直徑AB與弦CD垂直，且∠BAC=40°，則∠BOD=

.4.如圖，點(diǎn)B、A、C都在⊙O上，∠BOA＝110°，則∠BCA＝

.80°125°5.如圖，⊙O中，弦AD平行于弦BC，∠AOC=78°，求∠DAB的度數(shù)．解：∵AD∥BC，∴∠DAB=∠B.又∵∠B=∠AOC=39°.∴∠DAB=39°.6.如圖，⊙O的半徑為1，A,B,C是⊙O上的三個(gè)點(diǎn)，且∠ACB=45°，求弦AB的長(zhǎng).解：連接OA、OB.∵∠BCA=45°,∴∠BOA=2∠BCA=90°.又OA=OB,∴△AOB是等腰直角三角形.7.如圖，A,P,B,C是⊙O上的四點(diǎn)，∠APC=∠CPB=60°，判斷△ABC的形狀并證明你的結(jié)論.解：△ABC是等邊三角形.

證明如下：∵∠APC=∠ABC=60°，∠CPB=∠BAC=60°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=60°，∴△ABC是等邊三角形.8.如圖，已知A，B，C，D是⊙O上的四點(diǎn)，延長(zhǎng)DC，AB相交于點(diǎn)E，若BC=BE．求證：△ADE是等腰三角形．證明：∵∠A+∠BCD=180°,∠BCE+∠BCD=180°.∴∠A=∠BCE.∵BC=BE,∴∠E=∠BCE,∴∠A=∠E,∴AD=DE,∴△ADE是等腰三角形.9.如圖,已知EF是⊙O的直徑,把∠A為60°的直角三角板ABC的一條直角邊BC放在直線EF上,斜邊AB與⊙O交于點(diǎn)P,點(diǎn)B與點(diǎn)O重合;將三角形ABC沿OE方向平移,使得點(diǎn)B與點(diǎn)E重合為止．設(shè)∠POF=x°,則x的取值范圍是

．綜合應(yīng)用30≤x≤6010.如圖，BC為半圓O的直徑，點(diǎn)F是BC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)F不與B、C重合)，A是BF上的中點(diǎn)，設(shè)∠FBC=α，∠ACB=β．(1)當(dāng)α=50°時(shí)，求β的度數(shù);(2)猜想α與β之間的關(guān)系，并給予證明.拓展延伸⌒解：(1)連接OA，交BF于點(diǎn)M.∵A是BF上的中點(diǎn)，∴OA垂直平分BF.∴∠BOM=90°-∠B=90°-α=40°.∴∠C=∠AOB=×40°=20°,即β=20°.(2)β=45°-α.證明：由(1)知∠BOM＝90°-α.又∠C＝β＝

∠AOB,∴β＝12(90°-α)＝45°-α.⌒課堂小結(jié)圓周角圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角.圓周角定理及其推論：定理:推論一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．①同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等．②半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.圓內(nèi)接四邊形：圓內(nèi)接四邊形的內(nèi)角和為360°,并且四邊形的