2022年廣東省廣州、深圳、佛山、惠州、珠海五市中考數(shù)學(xué)一模二模試題分類匯編最值問題

2022年廣東省廣州、深圳、佛山、惠州、珠海五市中考數(shù)學(xué)一模二模試題分類匯編10．（2022廣州天河區(qū)二模）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，線段PQ在斜邊AC上運(yùn)動(dòng)，且PQ＝2．連接BP，BQ．則△BPQ周長的最小值是（B）A．6+2 B．2+2 C．8 D．4+2【分析】如圖，過點(diǎn)D作DE∥AC，且點(diǎn)E在AD上方，DE＝2，連接BE交AC于點(diǎn)P，取PQ＝1，連接BE，DQ，BD．B，P，E三點(diǎn)共線，此時(shí)△BPQ的周長＝BP+BQ+PQ＝BE+1最小．【解答】解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)D，連接AD、CD，過點(diǎn)D作DE∥AC，且點(diǎn)E在AD上方，DE＝1，連接BE交AC于點(diǎn)P，取PQ＝2，連接BE，DQ，BD.∵AB＝6，∴BD＝6，∵DE∥PQ，DE＝PQ，∵四邊形PQDE為平行四邊形，∴PE＝DQ＝BQ，∵B，P，E三點(diǎn)共線，∴此時(shí)△BPQ的周長＝BP+BQ+PQ＝BE+2最?。連D⊥AC，∴BD⊥DE，即∠BDE＝90°，∴BE＝＝2，∴△BPQ周長的最小值為：2+2，15．（2022·深圳福田區(qū)二模）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)M是⊙O內(nèi)的一定點(diǎn)，PQ是⊙O內(nèi)過點(diǎn)M的一條弦，連接AM，AP，AQ，若⊙O的半徑為4，AM＝，則AP?AQ的最大值為．【分析】如圖，連接BP，過點(diǎn)A作AH⊥PQ交于點(diǎn)H，根據(jù)圓周角定理得到∠APB＝90°，∠B＝∠Q，則可判斷△APB∽△AHQ，利用相似比得到AP?AQ＝8AH，然后利用AH的最大值為，確定AP?AQ的最大值．【解答】解：如圖，連接BP，過點(diǎn)A作AH⊥PQ交于點(diǎn)H．∵AB是⊙O的直徑，∴∠APB＝90°，∴∠APB＝∠AHQ＝90°，∵∠B＝∠Q，∴△APB∽△AHQ，∴，∴AP?AQ＝AB?AH，∵⊙O的半徑為4，∴AB＝8，∴AP?AQ＝8AH，∴當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)M重合時(shí)，AH有最大值，即AH＝AM＝時(shí)，AP?AQ有最大值，最大值為8．15．（2022·深圳龍華區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，點(diǎn)O是△ABC的重心，將線段AO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至O'，點(diǎn)D為線段CO′的中點(diǎn)，連接BD，則BD的最大值為3+2．【解答】解：如圖，延長AO交BC于點(diǎn)E，延長CB到F使BF＝BC，∵BF＝BC，點(diǎn)D為線段CO′的中點(diǎn)，∴BD是△CFO′的中位線，∴BD＝FO′，∵將線段AO繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至O'，∴點(diǎn)O′在以A為圓心、AO為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)F、A、O′在同一條直線上時(shí)，F(xiàn)O′最長，此時(shí)BD的值最大，∵AB＝AC＝10，BC＝16，點(diǎn)O是△ABC的重心，∴BE＝EC＝BC＝8，AE⊥BC，∴AE＝＝＝6，∴AO＝AO′＝AE＝4，∵BF＝BC＝16，∴