6.1.1向量的概念練習(xí)題- 高中數(shù)學(xué)人教版B版（2019）必修第二冊(cè)

10/10向量的概念一、選擇題1．(多選題)下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．向量eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(CD,\s\up7(→))就是eq\o(AB,\s\up7(→))所在的直線平行于eq\o(CD,\s\up7(→))所在的直線B．長(zhǎng)度相等的向量叫相等向量C．零向量長(zhǎng)度等于0D．共線向量是在一條直線上的向量2．下列結(jié)論正確的是()A．向量必須用有向線段來(lái)表示B．表示一個(gè)向量的有向線段是唯一的C．有向線段eq\o(AB,\s\up7(→))和eq\o(BA,\s\up7(→))是同一向量D．有向線段eq\o(AB,\s\up7(→))和eq\o(BA,\s\up7(→))的大小相等3．如圖，設(shè)O是正方形ABCD的中心，則：①eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))；②eq\o(AO,\s\up7(→))∥eq\o(AC,\s\up7(→))；③eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(CD,\s\up7(→))共線；④eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\o(BO,\s\up7(→)).下列選項(xiàng)正確的是()A．①②④ B．①③④C．①②③ D．②③④4．如圖所示，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，圖中與eq\o(CA,\s\up7(→))共線的向量有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)5．若|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AD,\s\up7(→))|且eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))，則四邊形ABCD的形狀為()A．平行四邊形 B．矩形C．菱形 D．等腰梯形二、填空題6．已知A，B，C是不共線的三點(diǎn)，向量m與向量eq\o(AB,\s\up7(→))是平行向量，與eq\o(BC,\s\up7(→))是共線向量，則m＝________.7．給出以下四個(gè)條件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a與b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的是________．(填序號(hào))8．如圖所示，已知AD＝3，B，C是線段AD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，模長(zhǎng)度大于1的向量有________．三、解答題9．在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個(gè)小方格邊長(zhǎng)為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：(1)eq\o(OA,\s\up7(→))，使|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝4eq\r(2)，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°；(2)eq\o(AB,\s\up7(→))，使|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝4，點(diǎn)B在點(diǎn)A正東；(3)eq\o(BC,\s\up7(→))，使|eq\o(BC,\s\up7(→))|＝6，點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°.10．如圖所示，已知四邊形ABCD中，M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，又eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))且eq\o(CN,\s\up7(→))＝eq\o(MA,\s\up7(→))，求證：eq\o(DN,\s\up7(→))＝eq\o(MB,\s\up7(→)).素養(yǎng)達(dá)標(biāo)11．在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，關(guān)于四邊及對(duì)角線所在的向量，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．與eq\o(AB,\s\up7(→))相等的向量只有一個(gè)(不含eq\o(AB,\s\up7(→)))B．與eq\o(AB,\s\up7(→))的模相等的向量有9個(gè)(不含eq\o(AB,\s\up7(→)))C．eq\o(BD,\s\up7(→))的模恰為eq\o(DA,\s\up7(→))模的eq\r(3)倍D．eq\o(CB,\s\up7(→))與eq\o(DA,\s\up7(→))不共線12．下列結(jié)論中，正確的是()A．2020cm長(zhǎng)的線段不可能表示單位向量B．若O是直線l上的一點(diǎn)，單位長(zhǎng)度選定，則l上有且只有兩點(diǎn)A，B，使得eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))是單位向量C．方向?yàn)楸逼?0°的向量與東偏南40°的向量不可能是平行向量D．一個(gè)人從點(diǎn)A向東走500米到達(dá)B點(diǎn)，則向量eq\o(AB,\s\up7(→))不可能表示這個(gè)人從點(diǎn)A到點(diǎn)B的位移13．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的有________．(填上你認(rèn)為所有符合的序號(hào))(1)兩個(gè)單位向量不可能平行；(2)兩個(gè)非零向量平行，則它們所在直線平行；(3)當(dāng)兩個(gè)向量a，b共線且方向相同時(shí)，若|a|＞|b|，則a＞b.14.如圖所示，E1，E2，F(xiàn)1，F(xiàn)2，G1，G2，H1，H2分別是矩形ABCD所在邊上的三等分點(diǎn)，若|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝6，|eq\o(AD,\s\up7(→))|＝3，則以圖中16個(gè)點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的所有向量中，模等于2且與eq\o(AB,\s\up7(→))平行的向量有________個(gè)，模等于1的向量有________個(gè)，模等于eq\r(5)的向量有________個(gè)．15．如圖所示，已知eq\o(AA′,\s\up7(→))＝eq\o(BB′,\s\up7(→))＝eq\o(CC′,\s\up7(→)).求證：(1)△ABC≌△A′B′C；(2)eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(A′B′,\s\up7(→))，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(A′C′,\s\up7(→)).一、選擇題1．(多選題)下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．向量eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(CD,\s\up7(→))就是eq\o(AB,\s\up7(→))所在的直線平行于eq\o(CD,\s\up7(→))所在的直線B．長(zhǎng)度相等的向量叫相等向量C．零向量長(zhǎng)度等于0D．共線向量是在一條直線上的向量ABD[向量eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(CD,\s\up7(→))包含eq\o(AB,\s\up7(→))所在的直線與eq\o(CD,\s\up7(→))所在的直線平行或重合兩種情況，故A錯(cuò)誤；相等向量不僅要求長(zhǎng)度相等，還要求方向相同，故B錯(cuò)誤；共線向量可以是在一條直線上的向量，也可以是所在直線互相平行的向量，故D錯(cuò)誤．]2．下列結(jié)論正確的是()A．向量必須用有向線段來(lái)表示B．表示一個(gè)向量的有向線段是唯一的C．有向線段eq\o(AB,\s\up7(→))和eq\o(BA,\s\up7(→))是同一向量D．有向線段eq\o(AB,\s\up7(→))和eq\o(BA,\s\up7(→))的大小相等D[向量除了可以用有向線段表示以外，還可用坐標(biāo)或字母表示，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；向量為自由向量，只要大小相等，方向相同就為同一個(gè)向量，而與它的具體位置無(wú)關(guān)，所以表示一個(gè)向量的有向線段不是唯一的，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；有向線段eq\o(AB,\s\up7(→))和eq\o(BA,\s\up7(→))的方向相反，大小相等，不為同一向量，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，D項(xiàng)正確．]3．如圖，設(shè)O是正方形ABCD的中心，則：①eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))；②eq\o(AO,\s\up7(→))∥eq\o(AC,\s\up7(→))；③eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(CD,\s\up7(→))共線；④eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\o(BO,\s\up7(→)).下列選項(xiàng)正確的是()A．①②④ B．①③④C．①②③ D．②③④C[eq\o(AO,\s\up7(→))與eq\o(OC,\s\up7(→))方向相同，大小相等，所以①正確；eq\o(AO,\s\up7(→))與eq\o(AC,\s\up7(→))方向相同，所以eq\o(AO,\s\up7(→))∥eq\o(AC,\s\up7(→))，所以②正確；因?yàn)锳B∥CD，所以eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(CD,\s\up7(→))共線，③正確；因?yàn)閑q\o(AO,\s\up7(→))與eq\o(BO,\s\up7(→))方向不同，所以eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\o(BO,\s\up7(→))錯(cuò)誤．故選C．]4．如圖所示，點(diǎn)O是正六邊形ABCDEF的中心，圖中與eq\o(CA,\s\up7(→))共線的向量有()A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)C[與eq\o(CA,\s\up7(→))共線的有eq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(DF,\s\up7(→))，eq\o(FD,\s\up7(→)).]5．若|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AD,\s\up7(→))|且eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))，則四邊形ABCD的形狀為()A．平行四邊形 B．矩形C．菱形 D．等腰梯形C[由eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))，可知四邊形ABCD為平行四邊形，又因?yàn)閨eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(AD,\s\up7(→))|，所以四邊形ABCD為菱形．]二、填空題6．已知A，B，C是不共線的三點(diǎn)，向量m與向量eq\o(AB,\s\up7(→))是平行向量，與eq\o(BC,\s\up7(→))是共線向量，則m＝________.0[因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)不共線，所以eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(BC,\s\up7(→))不共線，又因?yàn)閙∥eq\o(AB,\s\up7(→))且m∥eq\o(BC,\s\up7(→))，所以m＝0.]7．給出以下四個(gè)條件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a與b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的是________．(填序號(hào))①③④[共線向量指的是方向相同或相反的向量，它只涉及方向，不涉及大?。苊黠@符合要求的只有①③④.]8．如圖所示，已知AD＝3，B，C是線段AD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)，模長(zhǎng)度大于1的向量有________．eq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(CA,\s\up7(→))，eq\o(BD,\s\up7(→))，eq\o(DB,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(DA,\s\up7(→))[滿足條件的向量有以下幾類：模長(zhǎng)為2的向量有：eq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(CA,\s\up7(→))，eq\o(BD,\s\up7(→))，eq\o(DB,\s\up7(→))；模長(zhǎng)為3的向量有：eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(DA,\s\up7(→)).]三、解答題9．在如圖所示的坐標(biāo)紙上(每個(gè)小方格邊長(zhǎng)為1)，用直尺和圓規(guī)畫出下列向量：(1)eq\o(OA,\s\up7(→))，使|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝4eq\r(2)，點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°；(2)eq\o(AB,\s\up7(→))，使|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝4，點(diǎn)B在點(diǎn)A正東；(3)eq\o(BC,\s\up7(→))，使|eq\o(BC,\s\up7(→))|＝6，點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°.[解](1)由于點(diǎn)A在點(diǎn)O北偏東45°處，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)相等．又|eq\o(OA,\s\up7(→))|＝4eq\r(2)，小方格邊長(zhǎng)為1，所以點(diǎn)A距點(diǎn)O的橫向小方格數(shù)與縱向小方格數(shù)都為4，于是點(diǎn)A位置可以確定，畫出向量eq\o(OA,\s\up7(→))如圖所示．(2)由于點(diǎn)B在點(diǎn)A正東方向處，且|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝4，所以在坐標(biāo)紙上點(diǎn)B距點(diǎn)A的橫向小方格數(shù)為4，縱向小方格數(shù)為0，于是點(diǎn)B位置可以確定，畫出向量eq\o(AB,\s\up7(→))如圖所示．(3)由于點(diǎn)C在點(diǎn)B北偏東30°處，且|eq\o(BC,\s\up7(→))|＝6，依據(jù)勾股定理可得：在坐標(biāo)紙上點(diǎn)C距點(diǎn)B的橫向小方格數(shù)為3，縱向小方格數(shù)為3eq\r(3)≈5.2，于是點(diǎn)C位置可以確定，畫出向量eq\o(BC,\s\up7(→))如圖所示．10．如圖所示，已知四邊形ABCD中，M，N分別是BC，AD的中點(diǎn)，又eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))且eq\o(CN,\s\up7(→))＝eq\o(MA,\s\up7(→))，求證：eq\o(DN,\s\up7(→))＝eq\o(MB,\s\up7(→)).[證明]因?yàn)閑q\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(DC,\s\up7(→))，所以|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(DC,\s\up7(→))|且AB∥DC，所以四邊形ABCD是平行四邊形，所以|eq\o(DA,\s\up7(→))|＝|eq\o(CB,\s\up7(→))|且DA∥CB．又因?yàn)閑q\o(DA,\s\up7(→))與eq\o(CB,\s\up7(→))的方向相同，所以eq\o(CB,\s\up7(→))＝eq\o(DA,\s\up7(→)).同理可證，四邊形CNAM是平行四邊形，所以eq\o(CM,\s\up7(→))＝eq\o(NA,\s\up7(→)).因?yàn)閨eq\o(CB,\s\up7(→))|＝|eq\o(DA,\s\up7(→))|，|eq\o(CM,\s\up7(→))|＝|eq\o(NA,\s\up7(→))|，所以|eq\o(MB,\s\up7(→))|＝|eq\o(DN,\s\up7(→))|.又eq\o(DN,\s\up7(→))與eq\o(MB,\s\up7(→))的方向相同，所以eq\o(DN,\s\up7(→))＝eq\o(MB,\s\up7(→)).素養(yǎng)達(dá)標(biāo)11．在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，關(guān)于四邊及對(duì)角線所在的向量，以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．與eq\o(AB,\s\up7(→))相等的向量只有一個(gè)(不含eq\o(AB,\s\up7(→)))B．與eq\o(AB,\s\up7(→))的模相等的向量有9個(gè)(不含eq\o(AB,\s\up7(→)))C．eq\o(BD,\s\up7(→))的模恰為eq\o(DA,\s\up7(→))模的eq\r(3)倍D．eq\o(CB,\s\up7(→))與eq\o(DA,\s\up7(→))不共線D[兩向量相等要求長(zhǎng)度(模)相等，方向相同．兩向量共線只要求方向相同或相反．D中eq\o(CB,\s\up7(→))，eq\o(DA,\s\up7(→))所在直線平行，向量方向相同，故共線．]12．下列結(jié)論中，正確的是()A．2020cm長(zhǎng)的線段不可能表示單位向量B．若O是直線l上的一點(diǎn)，單位長(zhǎng)度選定，則l上有且只有兩點(diǎn)A，B，使得eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))是單位向量C．方向?yàn)楸逼?0°的向量與東偏南40°的向量不可能是平行向量D．一個(gè)人從點(diǎn)A向東走500米到達(dá)B點(diǎn)，則向量eq\o(AB,\s\up7(→))不可能表示這個(gè)人從點(diǎn)A到點(diǎn)B的位移B[一個(gè)單位長(zhǎng)度取2020cm時(shí)，2020cm長(zhǎng)的有向線段剛好表示單位向量，故A錯(cuò)誤；方向?yàn)楸逼?0°的向量與東偏南40°的向量是平行的，故C錯(cuò)誤；位移既有大小又有方向，可以用向量表示，故D錯(cuò)誤．]13．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的有________．(填上你認(rèn)為所有符合的序號(hào))(1)兩個(gè)單位向量不可能平行；(2)兩個(gè)非零向量平行，則它們所在直線平行；(3)當(dāng)兩個(gè)向量a，b共線且方向相同時(shí)，若|a|＞|b|，則a＞b.(1)(2)(3)[(1)錯(cuò)誤，單位向量也可以平行；(2)錯(cuò)誤，兩個(gè)非零向量平行，則它們所在直線還可能重合；(3)錯(cuò)誤，兩個(gè)向量是不能比較大小的，只有?？梢员容^大?。甝14.如圖所示，E1，E2，F(xiàn)1，F(xiàn)2，G1，G2，H1，H2分別是矩形ABCD所在邊上的三等分點(diǎn)，若|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝6，|eq\o(AD,\s\up7(→))|＝3，則以圖中16個(gè)點(diǎn)中的任意兩點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的所有向量中，模等于2且與eq\o(AB,\s\up7(→))平行的向量有________個(gè)，模等于1的向量有________個(gè)，模等于eq\r(5)的向量有________個(gè)．242436[與eq\o(AB,\s\up7(→))平行包括與eq\o(AB,\s\up7(→))同向和反向，因而模等于2且與eq\o(AB,\s\up7(→))平行的向