振動(dòng)理論課后參考答案

1-1一個(gè)物體放在水平臺(tái)面上，當(dāng)臺(tái)面沿鉛垂方向作頻率為5Hz的簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，要使物體不跳離平臺(tái)，對(duì)臺(tái)面的振幅應(yīng)有何限制?解：物體與桌面保持相同的運(yùn)動(dòng)，知桌面的運(yùn)動(dòng)為，x=Asin10πt；由物體的受力分析，N=0（極限狀態(tài)）物體不跳離平臺(tái)的條件為：；既有，,由題意可知Hz，得到，mm。1-2有一作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物體，它通過距離平衡位置為cm及cm時(shí)的速度分別為20cm/s及cm/s，求其振動(dòng)周期、振幅和最大速度。解：設(shè)該簡(jiǎn)諧振動(dòng)的方程為；二式平方和為將數(shù)據(jù)代入上式：；聯(lián)立求解得A=10.69cm；1/s；T=s當(dāng)時(shí)，取最大，即：得：答：振動(dòng)周期為；振幅為10.69cm；最大速度為22.63m/s。1-3一個(gè)機(jī)器內(nèi)某零件的振動(dòng)規(guī)律為，x的單位是cm，1/s。這個(gè)振動(dòng)是否為簡(jiǎn)諧振動(dòng)?試求它的振幅、最大速度及最大加速度，并用旋轉(zhuǎn)矢量表示這三者之間的關(guān)系。解：振幅A=最大速度最大加速度1-4某儀器的振動(dòng)規(guī)律為。此振動(dòng)是否為簡(jiǎn)諧振動(dòng)?試用x-t坐標(biāo)畫出運(yùn)動(dòng)圖。解：因?yàn)棣?=ωω2=3ω,ω1≠ω2.又因?yàn)門1=2π/ωT2=2π/3ω，所以，合成運(yùn)動(dòng)為周期為T=2π/3ω的非簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。兩個(gè)不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，當(dāng)頻率比為有理數(shù)時(shí)，可合稱為周期振動(dòng)，合成振動(dòng)的周期是兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期的最小公倍數(shù)。1-5已知以復(fù)數(shù)表示的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)分別為和，試求它們的合成的復(fù)數(shù)表示式，并寫出其實(shí)部與虛部。解：兩簡(jiǎn)諧振動(dòng)分別為，，則：=3cos5t+3isin5t=5cos(5t+)+3isin(5t+)或；其合成振幅為：=其合成振動(dòng)頻率為5t，初相位為：=arctan則他們的合成振動(dòng)為：實(shí)部：cos(5t+arctan)虛部：sin(5t+arctan)1-6將題1-6圖的三角波展為傅里葉級(jí)數(shù)。解∶三角波一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)x(t)可表示為，由式得n=1，2，3……于是，得x(t)的傅氏級(jí)數(shù)1-7將題1-7圖的鋸齒波展為傅氏級(jí)數(shù)，并畫出頻譜圖。解∶鋸齒波一個(gè)周期內(nèi)函數(shù)P(t)可表示為，由式得n=1，2，3……于是，得x(t)的傅氏級(jí)數(shù),1-8將題1-8圖的三角波展為復(fù)數(shù)傅氏級(jí)數(shù)，并畫出頻譜圖。；P(t)平均值為0++將代入整理得1-9求題1-9圖的矩形脈沖的頻譜函數(shù)及畫頻譜圖形。解：可表示為由于得：即：1-10求題1-10圖的半正弦波的頻譜函數(shù)并畫頻譜圖形。解：頻譜函數(shù)：一彈簧質(zhì)量系統(tǒng)沿光滑斜面作自由振動(dòng)，如圖T2-1所示。已知，，m=1kg，k=49N/cm，開始運(yùn)動(dòng)時(shí)彈簧無伸長，速度為零，求系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。圖T2-1答案圖T2-1解：，cmrad/scm圖所示系統(tǒng)中，已知m，c，，，和。求系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。圖答案圖(a)答案圖(b)解：等價(jià)于分別為故：和的響應(yīng)之和。先考慮，此時(shí)右端固結(jié)，系統(tǒng)等價(jià)為圖（a），受力為圖（b），（1），，（1）的解可參照釋義（），為：（2）其中：，故（2）為：考慮到的影響，則疊加后的為：如圖T2-2所示，重物懸掛在剛度為k的彈簧上并處于靜平衡位置，另一重物從高度為h處自由下落到上而無彈跳。求下降的最大距離和兩物體碰撞后的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。圖T2-2答案圖T2-2解：，動(dòng)量守恒：平衡位置：，，，故：故：在圖所示系統(tǒng)中，已知m，，，和，初始時(shí)物塊靜止且兩彈簧均為原長。求物塊運(yùn)動(dòng)規(guī)律。圖答案圖解：取坐標(biāo)軸即：和，對(duì)連接點(diǎn)A列平衡方程：（1）對(duì)m列運(yùn)動(dòng)微分方程：即：（2）由（1），（2）消去得：（3）故：由（3）得：在圖所示系統(tǒng)中，已知m，c，k，和，且t=0時(shí)，，，求系統(tǒng)響應(yīng)。驗(yàn)證系統(tǒng)響應(yīng)為對(duì)初值的響應(yīng)和零初值下對(duì)激勵(lì)力響應(yīng)的疊加。ckm圖解：，求出C，D后，代入上面第一個(gè)方程即可得。求圖T2-7中系統(tǒng)的固有頻率，懸臂梁端點(diǎn)的剛度分別是及，懸臂梁的質(zhì)量忽略不計(jì)。圖T2-7答案圖T2-7解：和和為串聯(lián)，等效剛度為：。（因?yàn)榭傋冃螢榍蠛停┑淖冃危?，則：為并聯(lián)（因?yàn)榈淖冃蔚扔诤蜑榇?lián)（因?yàn)榭傋冃螢榍蠛停剩汗剩河梢粚?duì)帶偏心質(zhì)量的等速反向旋轉(zhuǎn)齒輪構(gòu)成的振動(dòng)機(jī)械安裝在彈簧和阻尼器構(gòu)成的支承上，如圖所示。當(dāng)齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為時(shí)，偏心質(zhì)量慣性力在垂直方向大小為。已知偏心重W=N，偏，遠(yuǎn)離共振時(shí)心距e=15.0cm，支承彈簧總剛度系數(shù)k=N/cm，測(cè)得垂直方向共振振幅垂直振幅趨近常值幅。。求支承阻尼器的阻尼比及在運(yùn)行時(shí)機(jī)器的垂直振圖解：，s=1時(shí)共振，振幅為：（1）遠(yuǎn)離共振點(diǎn)時(shí)，振幅為：（2）由（2）由（1），，故：如圖T2-9所示，一質(zhì)量m連接在一剛性桿上，桿的質(zhì)量忽略不計(jì)，求下列情況系統(tǒng)作垂直振動(dòng)的固有頻率：（1）振動(dòng)過程中桿被約束保持水平位置；（2）桿可以在鉛錘平面內(nèi)微幅轉(zhuǎn)動(dòng)；（3）比較上述兩種情況中哪種的固有頻率較高，并說明理由。圖T2-9答案圖T2-9解：（1）保持水平位置：（2）微幅轉(zhuǎn)動(dòng)：故：求圖T2-10所示系統(tǒng)的固有頻率，剛性桿的質(zhì)量忽略不計(jì)。圖T2-10答案圖T2-10解：m的位置：，，，，圖T2-11所示是一個(gè)倒置的擺。擺球質(zhì)量為m，剛桿質(zhì)量可忽略，每個(gè)彈簧的剛度為。（1）求倒擺作微幅振動(dòng)時(shí)的固有頻率；（2）擺球質(zhì)量m為0.9kg時(shí)，測(cè)得頻率為Hz，m為1.8kg時(shí)，測(cè)得頻率為Hz，問擺球質(zhì)量為多少千克時(shí)恰使系統(tǒng)處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)？零平衡位置圖T2-1答案圖T2-11(1)答案圖T2-11(2)解：（1）利用，----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------（2）若取下面為平衡位置，求解如下：，圖T2-17所示的系統(tǒng)中，四個(gè)彈簧均未受力，k1=k2=k3=k4=k，試問：（1）若將支承緩慢撤去，質(zhì)量塊將下落多少距離？（2）若將支承突然撤去，質(zhì)量塊又將下落多少距離？圖T2-17解：（1），（2），如圖T2-19所示，質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓盤在水平面上可作無滑動(dòng)的滾動(dòng)，鼓輪繞軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，忽略繩子的彈性、質(zhì)量及各軸承間的摩擦力，求此系統(tǒng)的固有頻率。圖T2-19解：系統(tǒng)動(dòng)能為：系統(tǒng)動(dòng)能為：根據(jù)：，如圖T2-20所示，剛性曲臂繞支點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I0，求系統(tǒng)的固有頻率。圖T2-20解：系統(tǒng)動(dòng)能為：系統(tǒng)動(dòng)能為：根據(jù)：，一長度為l、質(zhì)量為m的均勻剛性桿鉸接于O點(diǎn)并以彈簧和粘性阻尼器支承，如圖T2-24所示。寫出運(yùn)動(dòng)微分方程，并求臨界阻尼系數(shù)和無阻尼固有頻率的表達(dá)式。圖T2-24答案圖T2-24解：利用動(dòng)量矩方程，有：，，圖T2-25所示的系統(tǒng)中，剛桿質(zhì)量不計(jì)，寫出運(yùn)動(dòng)微分方程，并求臨界阻尼系數(shù)及阻尼固有頻率。圖T2-25答案圖T2-25解：，由圖T2-26所示的系統(tǒng)中，m=1kg，k=144N/m，c=48N?s/m，l1=l=0.49m，l2=0.5l，l3=0.25l，不計(jì)剛桿質(zhì)量，求無阻尼固有頻率及阻尼。圖T2-26答案圖T2-25解：受力如答案圖T2-26。對(duì)O點(diǎn)取力矩平衡，有：兩質(zhì)量均為m的質(zhì)點(diǎn)系于具有張力F的弦上，如圖所示。忽略振動(dòng)過程中弦張力的變化寫出柔度矩陣，建立頻率方程。求系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)，并計(jì)算主質(zhì)量、主剛度、簡(jiǎn)正模態(tài)，確定主坐標(biāo)和簡(jiǎn)正坐標(biāo)。圖答案圖(1)解：，，根據(jù)故：和的自由體動(dòng)力平衡關(guān)系，有：當(dāng)=時(shí)，令：，，代入矩陣方程，有：，根據(jù)得：，第一振型第二振型答案圖(2)圖T4-11所示的均勻剛性桿質(zhì)量為m1，求系統(tǒng)的頻率方程。圖T4-11解：先求剛度矩陣。令，，得：令答，，得：則剛度矩陣為：再求質(zhì)量矩陣。令令，，得：，，，，得：則質(zhì)量矩陣為：故頻率方程為：多自由度振動(dòng)系統(tǒng)質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K均為正定。對(duì)于模態(tài)和及自然數(shù)n證明：，解：，等號(hào)兩邊左乘，等號(hào)兩邊左乘，當(dāng)時(shí)重復(fù)兩次：，等號(hào)兩邊再左乘，等號(hào)兩邊左乘，當(dāng)時(shí)重復(fù)n次得到：，等號(hào)兩邊左乘故：，等號(hào)兩邊左乘，當(dāng)時(shí)即，當(dāng)時(shí)重復(fù)運(yùn)算：，當(dāng)時(shí)重復(fù)n次。質(zhì)量m、長l、抗彎剛度EI的均勻懸臂梁基頻為(EI/ml3)1/2，在梁自由端放置集中質(zhì)量m1。用鄧克利法計(jì)算橫向振動(dòng)的基頻。解：，不計(jì)質(zhì)量的梁上有三個(gè)集中質(zhì)量，如圖所示。用鄧克利法計(jì)算橫向振動(dòng)的基頻。圖解：當(dāng)系統(tǒng)中三個(gè)集中質(zhì)量分別單獨(dú)存在時(shí)：，，在圖所示系統(tǒng)中，已知m和k。用瑞利法計(jì)算系統(tǒng)的基頻。圖解：近似選取假設(shè)模態(tài)為：系統(tǒng)的質(zhì)量陣和剛度陣分別為：，由瑞利商公式：在圖所示系統(tǒng)中，已知k和J。用傳遞矩陣法計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)。圖解：兩端邊界條件為：固定端：，自由端：。由自由端邊界條件得頻率方程：，代入各單元狀態(tài)變量的第一元素，即：得到模態(tài)：，在圖所示系統(tǒng)中，已知GIpi(i=1,2)，li(i=1,2)和Ji(i=1,2)。用傳遞矩陣法計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)。圖解：兩自由端的邊界條件為：，。其中：，。由自由端邊界條件得頻率方程：，代入各單元狀態(tài)變量的第一元素，即：得到模態(tài)：，在圖所示系統(tǒng)中懸臂梁質(zhì)量不計(jì)，m、l和EI已知。用傳遞矩陣法計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率。圖解：引入無量綱量：，，，定義無量綱的狀態(tài)變量：邊界條件：左端固結(jié)：，右端自由：根據(jù)傳遞矩陣法，有：其中點(diǎn)傳遞矩陣和場(chǎng)傳遞矩陣分別為：，得：利用此齊次線性代數(shù)方程的非零解條件導(dǎo)出本征方程：在圖所示系統(tǒng)中梁質(zhì)量不計(jì)，m、l和EI已知，支承彈簧剛度系數(shù)k=6EI/l3。用傳遞矩陣法計(jì)算系統(tǒng)的固有頻率。圖解：引入無量綱量：，，，定義無量綱的狀態(tài)變量：邊界條件：左端鉸支：，右端自由：根據(jù)傳遞矩陣法，有：在支承彈簧處：注意到上式中為桿左端的轉(zhuǎn)角，故在支承彈簧處的位移為：因此有：圖所示階梯桿系統(tǒng)中已知m，ρ，S，E和k。求縱向振動(dòng)的頻率方程。圖解：模態(tài)函數(shù)的一般形式為：題設(shè)邊界條件為：，邊界條件可化作：，導(dǎo)出C2=0及頻率方程：，其中長為l、密度為ρ、抗扭剛度為GIp的的等直圓軸一端有轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J的圓盤，另一端連接抗扭剛度為