雙變量回歸模型估計(jì)問(wèn)題

雙變量回歸模型估計(jì)問(wèn)題第一頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜2本章知識(shí)要點(diǎn)：1普通最小二乘估計(jì)（OLS）2最小二乘法（OLS）的10個(gè)基本假定3最小二乘法估計(jì)的精度或標(biāo)準(zhǔn)誤差4最小二乘法估計(jì)量的性質(zhì)5判定系數(shù)和相關(guān)系數(shù)第二頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜3問(wèn)題的提出回歸分析的目的：是運(yùn)用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)SRL，使SRL能最大限度逼近于PRL。由此而提出的問(wèn)題是，在什么假定下，運(yùn)用何種方法形成SRL，使SRL盡可能逼近PRL？注意：總體回歸函數(shù)或直線(xiàn)是：固定的、唯一的且是未知的。而我們每抽取一個(gè)樣本，就可以得出一條樣本回歸直線(xiàn)，所以樣本回歸直線(xiàn)不是固定的，會(huì)隨著樣本的不同而不同，且是已知的，估計(jì)思路就是用已知的或者可以獲得的信息來(lái)估計(jì)未知的總體信息。第三頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜4第四頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日第五頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜6第六頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜7最小二乘估計(jì)的提出第七頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜8最小二乘估計(jì)德國(guó)科學(xué)家KarlGauss(1777—1855)提出用最小化圖中垂直方向的誤差平方和來(lái)估計(jì)參數(shù)使因變量的觀(guān)察值與估計(jì)值之間的離差平方和達(dá)到最小來(lái)求得和的方法。即3.用最小二乘法擬合的直線(xiàn)來(lái)代表x與y之間的關(guān)系與實(shí)際數(shù)據(jù)的誤差比其他任何直線(xiàn)都小第八頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜9KarlGauss的最小化圖xy(xn,yn)(x1,y1)(x2,y2)(xi,yi)ei=yi-yi＾第九頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜10最小二乘估計(jì)第十頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日第十一頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日第十二頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日第十三頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日第十四頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜15第十五頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜16一個(gè)說(shuō)明

分別為樣本的均值，所以為樣本點(diǎn)對(duì)樣本均值的離差，度量第個(gè)觀(guān)測(cè)值和對(duì)其均值的偏離。上述推導(dǎo)中，N為樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)或樣本長(zhǎng)度，為方便，以后以小寫(xiě)的表示。

第十六頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜17樣本回歸直線(xiàn)的估計(jì)第十七頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜18第十八頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜19估計(jì)的樣本回歸線(xiàn)(SRL)具有如下性質(zhì)：（1）

SRL通過(guò)樣本均值點(diǎn)(由,即樣本均值滿(mǎn)足樣本回歸直線(xiàn),所以通過(guò)樣本均值點(diǎn)),如圖.

第十九頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日第二十頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日第二十一頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日第二十二頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日第二十三頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日一個(gè)注釋暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜24第二十四頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日以上我們僅得到了估計(jì)量以及相應(yīng)的樣本回歸直線(xiàn)，盡管從估計(jì)的角度看，運(yùn)用OLS已經(jīng)能求出參數(shù)的估計(jì)。但沒(méi)有對(duì)殘差的分布和變量X作出任何假定，因此我們無(wú)法對(duì)這種估計(jì)或SRL作出評(píng)價(jià)和推斷，而回歸分析的目的不僅要求出參數(shù)的估計(jì)，還需對(duì)總體作出推斷，即對(duì)于PRL通過(guò)上述OLS方法，得到了SRL第二十五頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜26基本假定的提出問(wèn)題：SRL是否為PRL的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)？如何定義無(wú)偏？這一問(wèn)題歸結(jié)為估計(jì)量在期望的意義下是否與總體參數(shù)有偏差？也就是說(shuō)，從SRL能否推斷PRL的真值？解決這一問(wèn)題的途徑是對(duì)總體的殘差作出分布假定，然后討論估計(jì)量的分布性質(zhì)，基于此討論估計(jì)量是否有偏等一系列問(wèn)題。另一方面，從PRL可知，Y依賴(lài)于X和擾動(dòng)，只有對(duì)X和擾動(dòng)作出相應(yīng)的假定，才可能對(duì)Y和參數(shù)作出統(tǒng)計(jì)推斷，亦即對(duì)模型作出評(píng)價(jià)。第二十六頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜273.2.OLS的基本假定

經(jīng)典線(xiàn)性回歸模型（CLRM）或稱(chēng)為高斯或標(biāo)準(zhǔn)直線(xiàn)回歸模型具有10大假設(shè)，構(gòu)成了計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)理論基礎(chǔ)。在這10大假設(shè)下，SRL具有對(duì)總體無(wú)偏等性質(zhì)。這些假定有下述10條。

第二十七頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜281.線(xiàn)性回歸模型即模型對(duì)參數(shù)而言是線(xiàn)性的（參數(shù)只能以1次方出現(xiàn)）。這一假定強(qiáng)調(diào)的是對(duì)參數(shù)，而不是變量。如

Y＝b1+b2X+uY＝b1+b2X1+b3X2+u為線(xiàn)性模型(對(duì)參數(shù)而言)，但

Y＝b1+b2X1+b1b2X2+u對(duì)參數(shù)而言就是非線(xiàn)性模型，如果設(shè)定這樣的非線(xiàn)性模型，則違反了性線(xiàn)回歸模型的假設(shè)。.第二十八頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜29這一假定不難理解，對(duì)于上面所假定的總體，對(duì)于X＝80，隨機(jī)抽取一個(gè)家庭，其Y＝70，直至X=260,隨機(jī)抽取Y=150,在第二次抽樣時(shí)，仍將X固定在X＝80，再次抽取一個(gè)樣本Y＝55，直至X=260，隨機(jī)抽取Y=175。這種重復(fù)抽樣的過(guò)程是將X固定在X＝80直至X=260。在重復(fù)抽樣過(guò)程中，將X固定或不變，從這個(gè)意義上說(shuō)，X是非隨機(jī)的，X固定后，隨機(jī)抽取相應(yīng)的Y。注：條件回歸分析（X固定的條件下討論Y的平均變化）2.

在重復(fù)抽樣中X是固定的，或X是非隨機(jī)的。第二十九頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜303.

干擾項(xiàng)的均值為0這一假定是對(duì)于固定的X，如X＝80，指偏離總體條件均值的和為0，無(wú)論個(gè)別的偏差有多大（?。?，是正還是負(fù)，其和為0?；氐缴侠?，X＝80，總體為5戶(hù)家庭，Y的均值為65，第一個(gè)家庭的Y為55，偏差為－10，第二個(gè)為60，偏差為－5，等等，這些偏差相加應(yīng)為0，也就是說(shuō)，正和負(fù)的偏差相互抵消。由上述性質(zhì)2和3，回歸是建立在條件回歸的基礎(chǔ)上。

第三十頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜31第三十一頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜32補(bǔ)充說(shuō)明當(dāng)考慮隨機(jī)誤差項(xiàng)的所有可能值的全部（即總體）時(shí)，總體均值應(yīng)該為0。對(duì)于小樣本，誤差項(xiàng)的均值不可能正好為0，為了彌補(bǔ)這一缺陷，在方程中加上常數(shù)項(xiàng)可以迫使任何回歸中的擾動(dòng)項(xiàng)的均值為0.本質(zhì)上，常數(shù)項(xiàng)等于Y中不能被解釋變量解釋的固定部分，而誤差項(xiàng)則等于Y中不能被X解釋的隨機(jī)部分。第三十二頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜334.同方差性或擾動(dòng)的方差相同。即

第三十三頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜34與之不同的是異方差，如下圖所示

第三十四頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜35這是因?yàn)橛杉俣?即擾動(dòng)的均值為0

實(shí)際上，隨機(jī)干擾項(xiàng)的同方差假定也就意味著對(duì)應(yīng)于不同的X，Y也有同樣的方差。該假定意味著對(duì)應(yīng)于不同的X值的全部Y值都有同樣的重要性。第三十五頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜365擾動(dòng)之間無(wú)（自）相關(guān)。即給定任意的X的兩個(gè)值，對(duì)應(yīng)的擾動(dòng)沒(méi)有自相關(guān)?；谙嚓P(guān)和協(xié)方差的定義，不相關(guān)與協(xié)方差為0等價(jià)。第三十六頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日如X＝80和X＝100兩個(gè)不同的水平，與總體均值的偏差不相關(guān)。協(xié)方差正是針對(duì)不同水平之間而定義的。這一性質(zhì)所強(qiáng)調(diào)的是，所有的與總體均值的偏差（誤差）之間不相關(guān)，而不僅僅是對(duì)給定某一水平（如X＝80）之下的誤差而言。第三十七頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜386.擾動(dòng)項(xiàng)與X不相關(guān)，或它們之間的協(xié)方差為0。這一假定的表示中，非隨機(jī)是因?yàn)樗呀?jīng)是一個(gè)數(shù)。

第三十八頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日如果一個(gè)解釋變量與誤差項(xiàng)相關(guān)，OLS估計(jì)量很可能把一些實(shí)際由誤差項(xiàng)所引起的的變異歸因于由解釋變量所引起。例如，如果解釋變量與誤差項(xiàng)正相關(guān)，估計(jì)的回歸系數(shù)可能大于（向上偏誤）沒(méi)有正相關(guān)時(shí)的系數(shù)估計(jì)。因?yàn)镺LS估計(jì)程序會(huì)錯(cuò)誤地把由引起的Y的變異歸因于X，因此，確保解釋變量與誤差相不相關(guān)很重要。第三十九頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日為理解為什么，讓我們看一個(gè)例子。在一個(gè)簡(jiǎn)單的凱恩斯宏觀(guān)經(jīng)濟(jì)模型中，消費(fèi)的增加（也許是由于未預(yù)期到的偏好變化所引起）將增加總需求，于是導(dǎo)致總收入的增加。然而，收入的增加也會(huì)引起消費(fèi)的增加，因此，消費(fèi)與收入是相互依賴(lài)的。注意，消費(fèi)函數(shù)中的誤差項(xiàng)（這個(gè)誤差項(xiàng)是由未預(yù)期到的偏好變化所引起的）和消費(fèi)函數(shù)中的解釋變量現(xiàn)在一起變動(dòng)。其結(jié)果是違背了經(jīng)典假定，誤差項(xiàng)不再與所有解釋變量不相關(guān)。第四十頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日7.觀(guān)測(cè)次數(shù)或樣本的長(zhǎng)度大于待估參數(shù)的個(gè)數(shù)。8.X值要有變異性，即對(duì)于一個(gè)給定的樣本，X的值不能全部相同，也就是說(shuō)，X的方差必須是一個(gè)有限的正數(shù)。反之，若X在一個(gè)樣本中取相同的值(無(wú)變異性)，方差就為0,無(wú)法估計(jì)參數(shù)。變量必須在變！??！9.正確設(shè)定回歸模型，或者說(shuō)，所用的模型不存在設(shè)定誤差。所謂設(shè)定問(wèn)題，在本書(shū)中包括：（1）模型應(yīng)包括哪些變量，（2）模型的函數(shù)形式（如線(xiàn)性還是非線(xiàn)性），（3）對(duì)模型的變量和擾動(dòng)應(yīng)有哪些假定等。以后我們還應(yīng)看到，設(shè)定問(wèn)題還有更多的內(nèi)容。第四十一頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜4210.解釋變量之間沒(méi)有完全的線(xiàn)性關(guān)系。

第四十二頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜43一個(gè)說(shuō)明

我們特別說(shuō)明，這些假定并不全部成立，在這些假定之下，所得到的回歸和SRL，為以后的分析建立了一個(gè)框架，或鏡子，違反這些假定的任何一條，將得不到這些假定之下的估計(jì)量的性質(zhì)。因此，計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)正是對(duì)這些假定的逐步取消或在某些假定之下能導(dǎo)出仍然有效的估計(jì)或統(tǒng)計(jì)推斷而不斷將研究的問(wèn)題深入和逼近現(xiàn)實(shí)。第四十三頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜443.3OLS的精度：標(biāo)準(zhǔn)誤差我們?cè)谇懊嬗嘘P(guān)異方差的討論中已說(shuō)明，方差越小，與總體的偏離就越小，對(duì)這一問(wèn)題的正式分析即為標(biāo)準(zhǔn)差。從OLS可知，估計(jì)量均為樣本數(shù)據(jù)的函數(shù)，如何評(píng)價(jià)估計(jì)量的可信度或精度？工具就是所謂標(biāo)準(zhǔn)差。第四十四頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜45第四十五頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜46第四十六頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜47第四十七頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日第四十八頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日以上的參數(shù)估計(jì)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都含總體擾動(dòng)的方差和標(biāo)準(zhǔn)差，而總體擾動(dòng)一般是不可觀(guān)測(cè)的，即總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差是未知的，故需要用樣本予以估計(jì)，我們給出結(jié)果，推導(dǎo)詳見(jiàn)p85。第四十九頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜50第五十頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日第五十一頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日第五十二頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜533.3.OLS估計(jì)量的性質(zhì)：高斯－馬爾可夫定理在給定上述假定條件，由OLS所得到的估計(jì)量所具有的性質(zhì)：

1.估計(jì)量關(guān)于Yi是線(xiàn)性的。即是關(guān)于的線(xiàn)性組合，由于為隨機(jī)變量的一個(gè)樣本，所以估計(jì)量也是一個(gè)隨機(jī)變量。作為例子，第五十三頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜542.估計(jì)量是無(wú)偏的例子第五十四頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜553在所有線(xiàn)性無(wú)偏估計(jì)量中具有最小方差具有最小方差的估計(jì)量稱(chēng)為有效估計(jì)量.注意：有效估計(jì)量強(qiáng)調(diào)最小方差，即對(duì)所有線(xiàn)性和非線(xiàn)性估計(jì)量，只要是最小方差，就稱(chēng)為有效估計(jì)量。一般而言，這一定義對(duì)于大樣本而定義的。第五十五頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜56第五十六頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜57第五十七頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜58第五十八頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日高斯－－馬爾可夫定理暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜59在給定經(jīng)典線(xiàn)性回歸模型的假定下，OLS估計(jì)量，在無(wú)偏線(xiàn)性估計(jì)量中，具有最小方差，即OLS估計(jì)量是最優(yōu)線(xiàn)性無(wú)偏估計(jì)量（BLUE）

第五十九頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜603.5.判定系數(shù)：擬合優(yōu)度的一個(gè)度量

以上所討論的是關(guān)于估計(jì)量的性質(zhì)，即線(xiàn)性無(wú)偏且方差最小，因此，樣本回歸直線(xiàn)是總體的一個(gè)無(wú)偏且具有高精度(方差最小)的估計(jì)，但由于總體一般是未知的，所以以下的分析針對(duì)樣本回歸直線(xiàn)。但對(duì)于所謂盡可能逼近還沒(méi)有正式定義和度量，所謂盡可能逼近，其定義和度量之一是，圍繞樣本回歸直線(xiàn)的偏差（殘差）盡可能小，即樣本數(shù)據(jù)盡可能擬合SRL，度量這種擬合程度即為判定系數(shù)，或擬合優(yōu)度，記為。第六十頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜61擬合優(yōu)度擬合優(yōu)度（goodnessoffit）：回歸直線(xiàn)與各觀(guān)測(cè)點(diǎn)的接近程度稱(chēng)為回歸直線(xiàn)對(duì)樣本數(shù)據(jù)的擬合優(yōu)度，通常用判定系數(shù)(coefficientofdetermination)來(lái)判斷。若各觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)都落在回歸直線(xiàn)上，那么這條回歸直線(xiàn)就是對(duì)數(shù)據(jù)的完全擬合。各觀(guān)測(cè)點(diǎn)越是緊密?chē)@直線(xiàn)，說(shuō)明直線(xiàn)對(duì)觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)的擬合程度越好，反之就越差。第六十一頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜62

變差（離差）因變量

y的取值是不同的，y取值的這種波動(dòng)稱(chēng)為變差。變差來(lái)源于兩個(gè)方面由于自變量x的取值不同造成的除x以外的其他因素(如x對(duì)y的非線(xiàn)性影響、測(cè)量誤差等)的影響對(duì)一個(gè)具體的觀(guān)測(cè)值來(lái)說(shuō)，變差的大小可以通過(guò)該實(shí)際觀(guān)測(cè)值與其均值之差來(lái)表示第六十二頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日我們以下導(dǎo)出擬合優(yōu)度的公式：定義：上式所度量的是所有觀(guān)測(cè)值（樣本點(diǎn)）與其均值（或總體均值，因?yàn)椋┑目傋儺悾ǎ?，故稱(chēng)為總變異或總平方和，記為T(mén)SS。

第六十三頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日解釋平方和ESS定義為：由于在ESS中，表示回歸直線(xiàn)上的點(diǎn)與樣本均值（等于總體均值）的總離差，因此它度量了回歸直線(xiàn)與總體均值的“逼近”程度，故稱(chēng)為解釋平方和，或由回歸解釋的平方和，即在TSS（總變異）中，由回歸所解釋的變異。第六十四頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日而殘差平方和RSS定義為殘差（或剩余）或未被解釋的部分圍繞回歸線(xiàn)的Y值的變異：

TSS＝ESS＋RSS這些分解的意義見(jiàn)下圖。這表明Y的觀(guān)測(cè)值圍繞其均值的總變異可以分解成兩個(gè)部分：一部分來(lái)自回歸直線(xiàn)，用自變量x可以解釋的部分；另一部分來(lái)自隨機(jī)的非系統(tǒng)因素導(dǎo)致的變異，因?yàn)椴⒉皇撬械膶?shí)際觀(guān)測(cè)值都落在所擬合的直線(xiàn)上。這樣TSS就分解為第六十五頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜66第六十六頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜67離差平方和的分解

(三個(gè)平方和的關(guān)系)TSS=ESS+RSS總平方和(TSS){回歸平方和(ESS)殘差平方和(RSS){{第六十七頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜68離差平方和的分解

(三個(gè)平方和的意義)總平方和(SST)反映因變量的n個(gè)觀(guān)察值與其均值的總離差回歸平方和(SSR)反映自變量x的變化對(duì)因變量y取值變化的影響，或者說(shuō)，是由于x與y之間的線(xiàn)性關(guān)系引起的y的取值變化，由回歸直線(xiàn)來(lái)解釋的y變差部分。殘差平方和(SSE)反映除x以外的其他因素對(duì)y取值的影響，是不能由回歸直線(xiàn)來(lái)解釋的y變差部分，也稱(chēng)為殘差平方和或誤差平方和總平方和(SST)=回歸平方和(SSR)+殘差平方和(SSE)第六十八頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜69總離差分解圖第六十九頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日擬合優(yōu)度的定義即是在總變異中，由回歸所產(chǎn)生的變異占的比重。

顯然，有，經(jīng)簡(jiǎn)單推導(dǎo),可表示為

第七十頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜71

判定系數(shù)R2

(coefficientofdetermination)判定系數(shù)：回歸平方和占總離差平方和的比例判定系數(shù)反映回歸直線(xiàn)的擬合程度取值范圍在[0,1]之間

R21，表明回歸平方和占總平方和的比例越大，回歸直線(xiàn)與各觀(guān)測(cè)點(diǎn)越接近，用x的變化解釋y值變差的部分就越多，這說(shuō)明回歸方程擬合的越好；R20，說(shuō)明回歸方程擬合的越差第七十一頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)系陳文靜72第七十二頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月28日第七十三頁(yè)，共八十頁(yè)，2022年，8月2