高中數(shù)學教學論文-數(shù)形結合思想在解題中的應用

PAGE數(shù)形結合思想在解題中的應用知識要點：1．數(shù)形結合是數(shù)學解題中常用的思想方法，數(shù)形結合的思想可以使某些抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學問題的本質；另外，由于使用了數(shù)形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷。2．所謂數(shù)形結合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應關系，通過數(shù)與形的相互轉化來解決數(shù)學問題的思想，實現(xiàn)數(shù)形結合，常與以下內容有關：（1）實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應關系；（2）函數(shù)與圖象的對應關系；（3）曲線與方程的對應關系；（4）以幾何元素和幾何條件為背景建立起來的概念，如三角函數(shù)等；（5）所給的等式或代數(shù)式的結構含有明顯的幾何意義。如等式。3．縱觀多年來的高考試題，巧妙運用數(shù)形結合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學問題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形結合的重點是研究“以形助數(shù)”。4．數(shù)形結合的思想方法應用廣泛，常見的如在解方程和解不等式問題中，在求函數(shù)的值域、最值問題中，在三角函數(shù)解題中，運用數(shù)形結合思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識，要爭取胸中有圖見數(shù)想圖，以開拓自己的思維視野?？键c一：利用數(shù)形結合的方法解決有關方程和不等式問題：【例題分析】例1.若關于的方程的兩根都在區(qū)間(－1，3）內，求的取值范圍。解：由的圖象可知，要使兩根都在區(qū)間（－1，3）內，只需，同時成立，解得，故說明：，其圖象與軸交點的橫坐標就是方程的根，根據(jù)函數(shù)圖象的性質可以得出對應的方程情況。其他函數(shù)和方程也可以類似得出解決的方法。例2.已知，則方程的實根個數(shù)為（）A.1個 B.2個 C.3個 D.1個或2個或3個解：判斷方程的根的個數(shù)就是判斷圖象的交點個數(shù)，畫出兩個函數(shù)圖象，易知兩圖象只有兩個交點，故方程有2個實根，選B。說明：數(shù)形結合法可以解決一些既不是無理方程，也不是二次或三次方程的其他方程或不等式，也就是超越方程或者不等式。例如本例題中的方程?？键c二：利用數(shù)形結合法解決有關最大值最小值的問題例3.如果實數(shù)滿足，則的最大值為（）A. B. C. D. 解：等式有明顯的幾何意義，它表示坐標平面上的一個圓，圓心為，半徑，（如圖），而則表示圓上的點與坐標原點（0，0）的連線的斜率，如此一來，該問題可轉化為如下幾何問題：動點在以（2，0）為圓心，以為半徑的圓上移動，求直線的斜率的最大值，由下圖可見，當點在第一象限，且與圓相切時，的斜率最大，經(jīng)簡單計算，得最大值為。例4.已知滿足的最大值與最小值。解：對于二元函數(shù)在限定條件下求最值問題，常采用構造直線的截距的方法來求之。令，原問題轉化為：在橢圓上求一點，使過該點的直線斜率為3，且在軸上的截距最大或最小，由圖形知，當直線與橢圓相切時，有最大截距與最小截距。由，得，故的最大值為13，最小值為。例5.求函數(shù)的值域。幾何法：的形式類似于斜率公式，表示過兩點的直線的斜率。由于點在單位圓上（見下圖）顯然，設過的圓的切線方程為，則有，解得即函數(shù)值域為考點三：利用數(shù)形結合法解決其它問題：例6.若集合，集合，且，則的取值范圍為___________。解：，顯然，表示以（0，0）為圓心，以3為半徑的圓在軸上方的部分，（如圖），而則表示一條直線，其斜率，縱截距為，由圖形易知，欲使，即是使直線與半圓有公共點，顯然的最小逼近值為，最大值為，即例7.點是橢圓上一點，它到其中一個焦點的距離為2，為的中點，表示原點，則（）A. B. C.4 D.8解：（1）設橢圓另一焦點為，（如下圖），則而又注意到各為的中點是的中位線（2）若聯(lián)想到第二定義，可以確定點的坐標，進而求中點的坐標，最后利用兩點間的距離公式求出，但這樣就增加了計算量，方法較之（1）顯得有些復雜。例8.雙曲線C的兩個焦點是F1、F2，雙曲線上任意一點P，過F2作∠F1PF2的平分線的垂線平分線交于M，則M的軌跡是A.圓 B.直線 C.雙曲線 D.拋物線解：如圖，PM是∠F1PF2的平分線，F(xiàn)2N是PM的垂線，則ΔF2PM和ΔNPM全等，所以F2M=MN，PF2=PN，根據(jù)雙曲線的定義PF1-PF2=2a，所以NF1=2a，而在三角形F1NF2中OM為中位線，所以：|OM|=a，所以M點的軌跡為以原點為圓心a為半徑的圓。說明：數(shù)形結合法解決數(shù)學問題的關鍵是要找到數(shù)學量的幾何意義或者幾何圖形的性質，然后根據(jù)題意構造幾何圖形，實現(xiàn)代數(shù)和幾何的相互聯(lián)系?！灸M試題】一.選擇題：1.方程的實根的個數(shù)為（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個2.函數(shù)的圖象恰有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.3.設命題甲：，命題乙：，則甲是乙成立的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.不充分也不必要條件4.若不等式的解集為，且，則的值為（）A.1 B.2 C.3 D.45.若時，不等式恒成立，則的取值范圍為（）A. B. C. D.6.定義在上的函數(shù)在上為增函數(shù)，且函數(shù)的圖象的對稱軸為，則（）A. B.C. D.二.填空題：7.若對任意實數(shù)，都有，則，由小到大依次為______________。8.若關于的方程有四個不相等的實根，則實數(shù)的取值范圍為___________。9.函數(shù)的最小值為______________。10.若直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是。三.解答題：11.若方程在上有唯一解，求的取值范圍。12.若不等式的解集為，且，求的取值范圍。13.設，試求下述方程有解時的取值范圍：【試題答案】一.選擇題：1.C解：畫出在同一坐標系中的圖象即可。確定lgx=1的解為x=10，y=lgx在(0，+∞)內遞增，，所以和的圖象應該有三個交點。2.D解：畫出的圖象。情形1：情形2：3.A解：命題甲：，命題乙：-3＜ｘ＜５，由甲可以得出乙，反之不成立4.B解：畫出的圖象，依題意，，從而，由5.C解：令，若，兩函數(shù)圖象如下圖（一）所示，顯然當時，要使，只需使，即。綜上可知，當時，不等式對恒成立若，兩函數(shù)圖象如右圖（二）所示，顯然當時，不等式恒不成立。6.A解：的圖象是由的圖象向左平移2個單位而得到的，又知的圖象關于直線（即軸）對稱，故可推知，的圖象關于直線對稱，由在上為增函數(shù)，可知在上為減函數(shù)，依此易比較函數(shù)值的大小。二.填空題：7.解：由知，的圖象關于直線對稱，又為二次函數(shù)，其圖象是開口向上的拋物線，由的圖象，易知的大小。8.解： 設畫出兩函數(shù)圖象示意圖，要使方程有四個不相等實根，只需使9.解：最小值為對，聯(lián)想到兩點的距離公式，它表示點到Ａ（1，0）的距離；表示點到點Ｂ（3，3）的距離，于是表示動點到兩個定點（1，0），（3，3）的距離之和，結合圖形，易得。10.解：表示傾角為，縱截距為的直線族，而則表示以（0，0）為圓心，以1為半徑的圓在軸上方的部分（包括圓與軸的交點）如下圖所示，顯然，欲使直線與半圓有兩個不同交點，只需直線的縱截距，即三.解答題：11.解：原方程等價于則上述不等式組在上只有一個解。令在同一坐標系內，畫出它們的圖象。其中注意，當且僅當兩函數(shù)的圖象在［0，3）上有唯一公共點時，原方程有唯一解，由下圖可見，當或時，原方程有唯一解，因此的取值范圍為說明：一般地，研究方程時，需先將其作等價變形，使之簡化，再利用函數(shù)圖象的直觀性研究方程的解的情況。12.解：令，其中表示以（2，0）為圓心，以2為半徑的圓在軸的上方的部分（包括圓與軸的交點），如