復(fù)變函數(shù)論鐘第七章

12023/1/277.1解析變換的特性

7.1.1解析變換的保域性7.1.2解析變換的保角性7.1.3單葉解析變換的共形性第七章共形映射22023/1/27定理7.1(保域定理)設(shè)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且不恒為常數(shù),則D的象G=f(D)也是一個區(qū)域.證

首先證明G的每一點都是內(nèi)點.設(shè)w0∈G,則有一點z0∈D,使w0=f(z0).要證w0是G的內(nèi)點,只須證明w*與w0充分接近時,w*亦屬于G.即當w*與w0充分接近時,方程w*=f(z)在D內(nèi)有解.為此,考察

f(z)-w*=(f(z)-w0)+(w0-w*,)由解析函數(shù)零點的孤立性,必有以z0為心的某個圓C:|z-z0|=R,顯然

f(z0)-w0=0,f(z)-w0在C上及C的內(nèi)部(除z0外)C及C的內(nèi)部全含于D,使得均不為零.因而在C上:7.1.1解析變換的保域性內(nèi)的點w*及在C上的點z有對在鄰域32023/1/27因此根據(jù)儒歇定理,在C的內(nèi)部與f(z)-w0有相同零點的個數(shù).于是w*=f(z)在D內(nèi)有解.由于D是區(qū)域,可在D內(nèi)部取一條聯(lián)結(jié)z1,z2的折線C:z=z(t)[t1≤t≤t2,z(t1)=z1,z(t2)=z2].于是：就是聯(lián)結(jié)w1,w2的并且完全含于D的一條曲線.從而,參照柯西積分定理的古莎證明第三步,可以找到

其次,要證明G中任意兩點w1=f(z1),w2=f(z2)均可以用一條完全含于G的折線聯(lián)結(jié)起來.（連通性）一條連接w1,w2,內(nèi)接于

且完全含于G的折線1總結(jié)以上兩點,即知G=f(D)是區(qū)域.42023/1/27證

因f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉,必f(z)在D內(nèi)不恒為常數(shù).定理7.2設(shè)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉解析,則D的象G=f(D)也是一個區(qū)域.注定理7.1可以推廣成這樣的形式:“w=f(z)在擴充z平面的區(qū)域D內(nèi)除可能有極點外處處解析（即為亞純函數(shù)）,且不恒為常數(shù),則D的象G=f(D)為擴充z平面上的區(qū)域.注滿足定理7.2和7.3的條件的解析變換w=f(z)將z0的一個充分小的鄰域內(nèi)變成w0=f(z0)的一個曲邊鄰域.定理7.3設(shè)函數(shù)w=f(z)在點z0解析,且f(z0)≠0,則f(z)在z0的一個鄰域內(nèi)單葉解析.52023/1/277.1.2解析變換的保角性—導(dǎo)數(shù)的幾何意義設(shè)w=f(z)于區(qū)域D內(nèi)解析,z0∈D,在點z0有導(dǎo)數(shù)通過z0任意引一條有向光滑曲線C:z=z(t)(t0≤t≤t1),z0=z(t0).因此C在z0有切線,就是切向量,經(jīng)變換w=f(z)

的參數(shù)方程應(yīng)為

則且必存在它的傾角為Cx0yzw=f(z)uv0wz0w0,C的象曲線由定理7.3及第三章習(xí)題(一)13,在點w0=w(t0)的鄰域內(nèi)是光滑的.又由于故

在w0=f(z0)也有切線，設(shè)其傾角為，則就是切向量,62023/1/27Cx0yzz0z0+?z圖7.1w=f(z)uv0ww0w0+?w且（7.1）（7.2）如果假定x軸與u軸,y軸與v軸的正方向相同,而且將原曲線切線的正方向與變換后象曲線的切線正方向間的夾角,理解為原曲線經(jīng)過變換后的旋轉(zhuǎn)角,則：(7.1)說明:象曲線

在點

的切線正向,可由原曲線C在點

的切線正向旋轉(zhuǎn)一個角度得出。

僅與

有關(guān),而與經(jīng)過的曲線C的選擇無關(guān),稱為變換在點

的旋轉(zhuǎn)角。—導(dǎo)數(shù)輻角的幾何意義.(7.2)說明:象點間無窮小距離與原象點間的無窮小距離之比的極限是,它僅與

有關(guān),而與過的曲線C的72023/1/27方向無關(guān),稱為變換w=f(z)在點的伸縮率.這也就是導(dǎo)數(shù)模的幾何意義.

上面提到的旋轉(zhuǎn)角與C的選擇無關(guān)的這個性質(zhì),稱為旋轉(zhuǎn)角不變性;伸縮率與C的方向無關(guān),這個性質(zhì),稱為伸縮率不變性.

從幾何意義上看:如果忽略高階無窮小,伸縮率不變性就表示w=f(z)將處無窮小的圓變成處的無窮小的圓,其半徑之比為.

上面的討論說明:解析函數(shù)在導(dǎo)數(shù)不為零的地方具有旋轉(zhuǎn)角不變性與伸縮率不變性.上式可視為82023/1/27經(jīng)點z0的兩條有向曲線C1,C2的切線方向所構(gòu)成的角稱為兩曲線在該點的夾角.Ox(z)z0定義7.1

若函數(shù)w=f(z)在點的鄰域內(nèi)有定義,且在點具有:(1)伸縮率不變性;(2)過的任意兩曲線的夾角在變換w=f(z)下,既保持大小,又z0z0z0保持方向;則稱函數(shù)w=f(z)在點是保角的,或稱w=f(z)在點是保角變換.

如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)處處都是保角的，則稱w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)是保角的，或稱w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)是保角變換.z0z092023/1/27轉(zhuǎn)動角的大小與方向跟曲線C的形狀與方向無關(guān).所以這種映射具有轉(zhuǎn)動角的不變性.

通過z0點的可能的曲線有無限多條,其中的每一條都具有這樣的性質(zhì),即映射到w平面的曲線在w0點都轉(zhuǎn)動了一個角度Argf'(z0).OxyOuv(z)(w)z0w0102023/1/27相交于點z0的任何兩條曲線C1與C2之間的夾角,在其大小和方向上都等同于經(jīng)w=f(z)映射后C1與C2對應(yīng)的曲線G1與G2之間的夾角,所以這種映射具有保持兩曲線間夾角與方向不變的性質(zhì).這種性質(zhì)稱為保角性。yaOxOuv(z)(w)z0w0aC1C2G1G2112023/1/27定理7.4如w=f(z)在區(qū)域

D內(nèi)解析,則它在導(dǎo)數(shù)不為零的點處是保角的.推論7.5如w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉解析,則稱w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)是保角的.總結(jié)上述討論，我們有以下結(jié)論：例1求w=f(z)=z3在

z=0,z=i處的導(dǎo)數(shù)值,并說明幾何意義。解

w=f(z)=z3在全平面解析，。在z=i處具有伸縮率不變和保角性。伸縮率為3，旋轉(zhuǎn)角為。122023/1/27定義7.2如果w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)是單葉且保角的,則稱此變換w=f(z)在D內(nèi)是共形的,也稱它為D內(nèi)的共形映射.

7.1.3單葉解析變換的共形性定理7.6設(shè)w=f(z)在區(qū)域D內(nèi)單葉解析.則

(1)w=f(z)將D共形映射成區(qū)域G=f(D).(2)反函數(shù)在區(qū)域G內(nèi)單葉解析,且證

(1)由推論7.2,G是區(qū)域,由推論7.5及定義7.2,w=f(z)將D共形映射成G.(2)由定理6.11,,又因w=f(z)是D到G的單葉滿變換,因而是D到G的一一變換.于是,當時,,即反函數(shù)在區(qū)域G內(nèi)單葉.故132023/1/27由假設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析,即在D內(nèi)滿足C.-R.方程ux=vy,uy=-vx.故

由數(shù)學(xué)分析中隱函數(shù)存在定理,存在兩個函數(shù)x=x(u,v),y=y(u,v)在點及其一個鄰域

內(nèi)為連續(xù)，即在鄰域中,當時,必有故即142023/1/27在D內(nèi)作以z0為其一個頂點的小三角形,在映射下,得到一個以w0為其一個頂點的小曲邊三角形,這兩個三角形對應(yīng)邊長之比近似為|f'(z0)|,有一個角相等,則這兩個三角形近似相似.OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2G1G2定理的幾何意義.152023/1/27OxyOuv(z)(w)z0w0aaC1C2G1G2162023/1/27第二節(jié)分式線性變換

7.2.1分式線性變換及其分解7.2.2分式線性變換的映射性質(zhì)7.2.3分式線性變換的應(yīng)用172023/1/27(7.3)為分式線性變換.簡記為w=L(z).1.定義7.2.1分式線性變換及其分解稱變換注:①條件ad-bc0是必要的。因若ad-bc=0,則②

約定：w=L(z)的定義域為C：(7.4)結(jié)論①w=L(z)將CC②w=L(z)的逆變換為③w=L(z)在擴充z平面上是保域的182023/1/272.分式線性變換

w=L(z)的分解結(jié)論：分式線性變換w=L(z)可以分解為如下簡單變換的復(fù)合整線性變換旋轉(zhuǎn)變換伸縮變換平移變換反演變換關(guān)于單位圓周的對稱變換關(guān)于實軸的對稱變換192023/1/27O(z)(w)zwbi)w=z+b.這是一個平移映射.因為復(fù)數(shù)相加可以化為向量相加,z沿向量b的方向平移一段距離|b|后,就得到w.O(z)=(w)zwaii)w=az,a0.這是一個旋轉(zhuǎn)與伸長(或縮短)的映射.設(shè)將

z先轉(zhuǎn)一個角度a,再將|z|伸長(或縮短)

倍后,就得到

w.202023/1/27zw1w1O圓周的對稱點CPP'rTOP與P'關(guān)于圓周C互為對稱點212023/1/277.2.2分式線性變換的映射性質(zhì)1.保角性（或共形性）而i)與ii)是平移,旋轉(zhuǎn)和伸縮變換,顯然是共形的,所構(gòu)成的復(fù)合映射w=az+b在整個擴充復(fù)平面上是共形的。定理一分式線性變換在擴充復(fù)平面上是一一對應(yīng)的,且具有保角性.而分式線性變換是上述三種映射復(fù)合而構(gòu)成的,因此有222023/1/27映射w=az+b和w=1/z都具有將圓周映射成圓周的特性,（這里將直線看作是無窮大半徑的圓）這種性質(zhì)稱作保圓性。映射w=az+b顯然具有保圓性,下面說明w=1/z具有保圓性.2.保圓性因此,映射w=1/z將方程變?yōu)榉匠坍攁0,d0：圓周映射為圓周;

當a0,d=0：圓周映射成直線;

當a=0,d0：直線映射成圓周；當a=0,d=0：直線映射成直線.這就是說,映射w=1/z把圓周映射成圓周.或者說,映射w=1/z具有保圓性.232023/1/27定理二

分式線性變換將擴充

z平面上的圓周映射成擴充w平面上的圓周,即具有保圓性.根據(jù)保圓性,在分式線性變換下,如果給定的圓周或直線上沒有點映射成無窮遠點,則它就映射成半徑為有限的圓周;如果有一個點映射成無窮遠點,它就映射成直線.242023/1/27定義7.5

關(guān)于圓周對稱是指都在過圓心a的同一條射線上,且滿足此外,還規(guī)定圓心a與點∞關(guān)于為對稱的。3.保對稱點性定理7.11

擴充z平面上兩點

關(guān)于圓周對稱的充要條件是,通過的任意圓周都與正交.定理7.12

設(shè)擴充z平面上兩點關(guān)于圓周對稱,w=L(z)為一線性變換,則兩點關(guān)于圓周對稱.證設(shè)是擴充w平面上經(jīng)過的任意圓周.此時,必然存在一個圓周,它經(jīng)過,并使,因為關(guān)于對稱,故由定理7.11,與亦正交.這樣,再由定理7.11即知關(guān)于對稱.252023/1/27CRz0z1z2z'G262023/1/27當四點中有一點為∞時,應(yīng)將包含此點的項用1代替.例如z1=∞時,即有亦即先視z1為有限,再令取極限而得.定義7.4

擴充平面上順序的四個相異點z1,z2,z3,z4構(gòu)成下面的量,稱為它們的交比,記為(z1,z2,z3,z4):

4.保交比性272023/1/27定理7.8

在線性變換下,四點的交比不變.證設(shè)則因此定理7.9

設(shè)線性變換將擴充z平面上三個相異點z1,z2,z3指定為w1,w2,w3,則此分式線性變換換就被唯一確定,并且可以寫成

(7.10)(即三對對應(yīng)點唯一確定一個線性變換).282023/1/27例1

求將上半平面Im(z)>0映射成單位圓|w|<1的分式線性變換.O1-1xylO1-1uiv(z)(w)5.分式線性變換的應(yīng)用292023/1/27[解法一]在x軸上任意取定三點:z1=-1,z2=0,z3=1使它們對應(yīng)于|w|=1上三點:w1=1,w2=i,w3=-1,則因z1z2z3跟w1w2w3的繞向相同,所求的分式線性映射為化簡后即得注

如果選取其他三對不同點,勢必也能得出滿足要求的,但不同于上式的分式線性變換.此可見,把上半平面映射成單位圓的分式線性變換不是唯一的,而是有無窮多.302023/1/27[解法二]將上半平面看成半徑為無窮大的圓域,實軸就是圓域的邊界圓周.因為分式線性變換具有保圓性,因此它必能將上半平面Im(z)>0映射成單位圓|w|<1.由于上半平面總有一點z=l要映成單位圓周|w|=1的圓心w=0,從而所求的分式線性變換具有下列形式:其中k為常數(shù).312023/1/27反之,形如上式的分式線性變換必將上半平面Im(z)>0映射成單位圓|w|<1.因為當z取實數(shù)時322023/1/27即把實軸映射成|w|=1.又因為上半平面中的z=l映射成w=0,所以(6.3.3)必將Im(z)>0映射成|w|<1.332023/1/27故有從而得所求的映射為解由條件w(2i)=0知,所求的映射要將上半平面中的點z=2i映射成單位圓周的圓心w=0.所以由(6.3.3)得例2

求將上半平面Im(z)>0映射成單位圓|w|<1且滿足的分式線性變換.342023/1/27352023/1/27x1y(z)OOuv(w)1a例4

求將單位圓|z|<1映射成單位圓|w|<1的分式線性變換.362023/1/27[解]設(shè)z平面上單位圓|z|<1內(nèi)部的一點a映射成w平面上的單位圓|w|<1的中心w=0.這時與372023/1/27所以|k'|=1,即k'=eij.這里j是任意實數(shù).由于z平面上單位圓周上的點要映成w平面上單位圓周上的點,所以當|z|=1,|w|=1.將圓周|z|=1上的點z=1代入上式,得因此,將單位圓|z|<1映射成單位圓|w|<1的分式線性映射的一般表示式是382023/1/27反之,形如上式的映射必將單位圓|z|<1映射成單位圓|w|<1.這是因為圓周|z|=1上的點z=eiq(q為實數(shù))映射成圓周|w|=1上的點:同時單位圓|z|<1內(nèi)有一點z=a映射成w=0.所以(6.3.5)必將單位圓|z|<1映射成單位圓|w|<1.392023/1/27例5

求將單位圓映射成單位圓且滿足條件(1/2)=0,w'(1/2)>0的分式線性變換.[解]由條件w(1/2)=0知,所求的映射要將z=1/2

映射成|w|<1的中心.所以由(6.3.5)得402023/1/27[解]容易看出,映射z=(w-2i)/2將|w-2i|<2映射成|z|<1.但將Im(z)>0映射成|z|<1且滿足z(2i)=0的映射易知為例6

求將Im(z)>0映射成|w-2i|<2且滿足條件

的分式線性變換.412023/1/272i(z)O(z)2i(w)w=2(i+z)422023/1/27

第三節(jié)某些初等函數(shù)所構(gòu)成的共形映射7.3.1冪函數(shù)與根式函數(shù)7.3.2指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)7.3.3由圓弧構(gòu)成的兩角形區(qū)域的共形映射432023/1/27(7.15)其中為大于1的自然數(shù)。除了及外，它處處具有不為零的導(dǎo)數(shù)，因而在這些點是保角的。7.3.1冪函數(shù)與根式函數(shù)冪函數(shù)因為(7.15)的單葉性區(qū)域是頂點在原點張度不超過的角形區(qū)域。于是冪函數(shù)(7.15)將角形區(qū)域共形映射成角形區(qū)域.特別地，將角形區(qū)域共形映射成w平面上除去原點及正實軸的區(qū)域。442023/1/27O(z)q0O(w)nq0w=zn(z)(w)OO上岸下岸w=zn452023/1/277.3.1冪函數(shù)與根式函數(shù)(7.16)作為的逆變換將w平面上的角形區(qū)域共形映射成z平面上的角形區(qū)域

.于是和的映射特點是擴大與縮小角形域。例1

求把角形域0<argz<p/4映射成單位圓|w|<1的一個映射.[解]z=z4將所給角形域0<argz<p/4映射成上半平面

Im(z)>0.又從上節(jié)的例2知,映射將上半平面映射成單位圓|w|<1,因此所求映射為462023/1/27(z)OO(z)1(w)z=

z4472023/1/27例2

求一個將映射為單位圓|w|<1的映射。解482023/1/27例3

求把下圖中由圓弧C2與C3所圍成的交角為a的月牙域映射成角形域j0<argw<j0+a的一個映射.aj0(w)O1C1C2a(z)O-iiaO(z)1492023/1/27[解]令C1,C2的交點z=i與z=-i分別映射成z平面中的z=0與z=,將所給月牙域映射成z平面中的角形域的映射是具有以下形式的分式線性函數(shù):其中k為待定的復(fù)常數(shù)。502023/1/27在任意有限點均有，因而它在z平面上是保角的。7.3.2指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)(7.17)因為（7.17）的單葉性區(qū)域是平行于實軸寬不超過的帶形區(qū)域。于是指數(shù)函數(shù)（7.17）將帶形區(qū)域共形映射成角形區(qū)域.特別地，將帶形區(qū)域共形映射成w平面上除去原點及正實軸的區(qū)域。作為的逆變換將w平面上的角形區(qū)域共形映射成z平面上的帶形區(qū)域.512023/1/27aiOxy(z)argw=auOv(w)2piOxy(z)Ouv(w)w=ezz=lnw522023/1/27由指數(shù)函數(shù)w=ez所構(gòu)成的映射的特點是:把水平的帶形域0<Im(z)<a(ap)映射成角形域0<argw<a.

例4

求把帶形域0<Im(z)<p映射成單位圓|w|<1的一個映射.z=ez532023/1/27例5

求映射把如圖所示的半帶狀域映成上半單位圓。1-11-1542023/1/27O(z)ab(w)Opi(z)Ow=ezO(s)b-aO(t)(b-a)i例6

求把帶形域a<Re(z)<b映射成上半平面Im(w)>0的一個映射.552023/1/27xOy(z)C(a+ih)BDaOuv(w)a-haa+hBCD例7

求把具有割痕Re(z)=a,0Im(z)h的上半平面映射成上半平面的一個映射.562023/1/27xOy(z)C(a+ih)BDaOuv(w)a-haa+hBCDO(z1)CBDih-h2COBD(z2)COBh2D(z3)O(z4)CBD-h+hz1=z-az2=z12z3=z2+h2w=z4+a572023/1/27[解]不難看出,解決本題的關(guān)鍵顯然是要設(shè)法將垂直于x軸的割痕的兩側(cè)和x軸之間的夾角展平.由于映射w=z2能將頂點在原點處的角度增大到兩倍,所以利用這個映射可以達到將割痕展平的目的.

首先,把上半z平面向左平移一個距離a:z1=z-a.

第二,由映射z2=z12,得到具有割痕-h2Re(z2)<+,

Im(z2)=0的z2平面.

第三,把z2平面向右作一距離為h2的平移:z3=z2+h2,

便得到去掉了正實軸的z3平面.582023/1/27

由于分式線性變換的保圓性，它把已給兩角形區(qū)域共形映射成同樣形狀的區(qū)域、或弓形區(qū)域、或角形區(qū)域。只要已給圓周（或直線）上有一個點變?yōu)閣=∞，則此圓周（或直線）就變成直線。如果它上面沒有點變成w=∞，則它就變?yōu)橛邢薨霃降膱A周。所以，若二圓弧的一個公共點變?yōu)閣=∞，則此二圓弧所圍成的兩角形區(qū)域就共形映射成角形區(qū)域。

借助于分式線性函數(shù)，以及冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的復(fù)合，可以將二圓弧或直線段所構(gòu)成的兩角形區(qū)域，共形映射成一個標準區(qū)域，比如上半平面。7.3.3由圓弧構(gòu)成的兩角形區(qū)域的共形映射592023/1/27x1-ii-1C1C2y(z)O[解]所設(shè)的兩個圓弧的交點為-i與i,且相互正交.交點-i映射成無窮遠點,i映射成原點.因此所給的區(qū)域經(jīng)映射后映射成以原點為頂點的角形區(qū)域,張角等于.602023/1/27此點在第三象限的分角線C1'上.由保角性知C2映射為第二象限的分角線C2.x1-ii-1C1C2y(z)OC2'C1'Ouv(w)映射的角形區(qū)如圖所示612023/1/27

第四節(jié)關(guān)于共形映射的黎曼存在定理和邊界對應(yīng)定理

7.4.1黎曼存在定理7.4.2邊界對應(yīng)定理622023/1/277.4.1黎曼存在定理注(1)唯一性條件(7.19)的幾何意義是:指定a∈D變成單位圓的圓心,而在點a的旋轉(zhuǎn)角.它依賴于三個實參數(shù).定理7.13(黎曼存在與唯一性定理)

擴充z平面上的單連通區(qū)域D,其邊界點不止一點,則有一個在D內(nèi)的單葉解析函數(shù)w=f(z),它將D保形變換成單位圓|w|<1;且當滿足條件時,這種函數(shù)f