湘教版七年級數(shù)學下冊第6章數(shù)據(jù)的分析

第6章數(shù)據(jù)的分析6.1平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)6.1.1

平均數(shù)在小學階段，我們對平均數(shù)有過一些了解，知道平均數(shù)是對數(shù)據(jù)進行分析的一個重要指標.一個小組10名同學的身高(單位：cm)如下表所示：編號身高15115615315815416115515715415712345678910思考（1）計算10名同學身高的平均數(shù).平均數(shù)：=155.6（cm）.=(151+156+153+158+154+161+155+157+154+157)÷10編號身高15115615315815416115515715415712345678910（2）在數(shù)軸上標出表示這些同學的身高及其平均數(shù)的點.編號身高15115615315815416115515715415712345678910（3）考察表示平均數(shù)的點與其他的點的位置關系，你能得出什么結論？這些點都位于

的兩側，不會都在平均數(shù)的一側.

可以作為這組同學的身高的代表值，它反映了這組同學的身高的平均水平.編號身高15115615315815416115515715415712345678910平均數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的一個代表值，它刻畫了這組數(shù)據(jù)的平均水平.【例1】某農(nóng)業(yè)技術員試種了三個品種的棉花各10株.秋收時他清點了這30株棉花的結桃數(shù)如下表：棉花品種結桃數(shù)（個）甲84，79，81，84，85，82，83，86，87，81乙85，84，89，79，81，91，79，76，82，84丙83，85，87，78，80，75，82，83，81，86哪個品種較好？棉花品種結桃數(shù)（個）甲84，79，81，84，85，82，83，86，87，81乙85，84，89，79，81，91，79，76，82，84丙83，85，87，78，80，75，82，83，81，86分析：平均數(shù)可以作為一組數(shù)據(jù)的代表值，它刻畫了這組數(shù)據(jù)的平均水平.當我們要比較棉花的品種時，可以計算出這些棉花結桃數(shù)的平均數(shù)，再通過平均數(shù)來進行比較.則解：設甲、乙、丙三個品種的平均結桃數(shù)分別為，由于甲種棉花的平均結桃數(shù)高于其他兩個品種的平均結桃數(shù)，所以我們可以認為甲種棉花較好．計算器一般有統(tǒng)計功能，我們可以利用該功能求一組數(shù)據(jù)的平均數(shù).不同型號的計算器其操作步驟（按鍵）可能不同，操作時需參閱計算器的說明書.通常先按統(tǒng)計鍵，使計算器進入統(tǒng)計運算模式，然后依次輸入數(shù)據(jù)x1

，，x2，，…，最后按求平均數(shù)的功能鍵，即可得到該組數(shù)據(jù)的平均數(shù).在一次全校歌詠比賽中，7位評委給一個班級的打分分別是：9.00，8.00，9.10，9.10，9.15，9.00，9.58.怎樣評分比較公正？思考我們可以計算該班級歌詠比賽的平均分但實際上評委的評判受主觀因素影響比較大，評分也比較懸殊，為了消除極端數(shù)對平均數(shù)的影響，一般去掉一個最高分和一個最低分，最后得分取這個分數(shù)才比較合理地反映了這個班級的最后得分.1.七年級（1）班舉行1min跳繩比賽，以小組為單位參賽.第1小組有8名同學，他們初賽和復賽時的成績?nèi)缦卤恚▎挝唬捍危壕幪柍踬?08585781011059796復賽100908678981001069812345678練習（1）計算這組同學初賽和復賽的平均成績.答：這組同學初賽的平均成績?yōu)?2.125，復賽的平均成績?yōu)?4.5.（2）你認為這組同學的初賽成績好，還是復賽成績好？答：復賽的成績好.2.某跳水隊計劃招收一批新運動員.請6位評委給選拔賽參加者打分，平均分數(shù)超過8.5分才能被選上.劉明在比賽時的成績?yōu)?.30，8.25，8.45，8.20，8.30，9.60，你認為劉明選得上嗎？答：劉明的平均分數(shù)為8.52，所以劉明能被選上.3.小明班上同學的平均身高是1.4m，小強班上同學的平均身高是1.45m.小明一定比小強矮嗎？答：不一定.學校舉行運動會，入場式中有七年級的一個隊列.已知這個隊列共100人，排成10行，每行10人.其中前兩行同學的身高都是160cm，接著3行同學的身高都是155cm，最后5行同學的身高都是150cm.怎樣求這個隊列的平均身高？思考100名同學的身高有100個數(shù)，把它們加起來再除以100，就得到平均數(shù).這組數(shù)據(jù)中有許多相同的數(shù)，相同的數(shù)求和可用乘法來計算.用表示平均身高，則在上面的算式中，0.2，0.3，0.5分別表示160，155，150這三個數(shù)在數(shù)據(jù)組中所占的比例，分別稱它們?yōu)檫@三個數(shù)的權數(shù)：160的權數(shù)是0.2，三個權數(shù)之和為0.2+0.3+0.5=1.153.5是160，155，150分別以0.2，0.3，0.5為權的加權平均數(shù).155的權數(shù)是0.3，150的權數(shù)是0.5，有一組數(shù)據(jù)如下：（1）計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).1.60，1.60，1.60，1.64，1.64，1.68，1.68，1.68.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為思考（2）這組數(shù)據(jù)中1.60，1.64，1.68的權數(shù)分別是多少？求出這組數(shù)據(jù)的加權平均數(shù).有一組數(shù)據(jù)如下：1.60，1.60，1.60，1.64，1.64，1.68，1.68，1.68.（3）這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和加權平均數(shù)有什么關系？有一組數(shù)據(jù)如下：1.60，1.60，1.60，1.64，1.64，1.68，1.68，1.68.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和加權平均數(shù)相等，都等于1.64，意義也恰好完全相同.

但我們不能把求加權平均數(shù)看成是求平均數(shù)的簡便方法，在許多實際問題中，權數(shù)及相應的加權平均數(shù)都有特殊的含義.平均數(shù)可看做是權數(shù)相同的加權平均數(shù).【例2】某紡織廠訂購一批棉花，棉花纖維長短不一，主要有3cm，5cm，6cm三種長度.隨意地取出10g棉花并測出三種長度的棉花纖維的含量，得到下面的結果：纖維長度（cm）356含量(g)2.543.5問：這批棉花纖維的平均長度是多少？分析：在取出的10g棉花中，長度為3cm，5cm，6cm棉花的纖維各占25％，40％，35％，顯然含量多的棉花纖維的長度對平均長度的影響大，所以要用求加權平均數(shù)的方法來求出這批棉花纖維的平均長度．解：這批棉花纖維的平均長度是答：這批棉花纖維的平均長度是4.85cm．1.某棒球運動員近50場比賽的得分情況如下表：得分01234次數(shù)1426721求該運動員50場比賽得分的平均數(shù)．答：該運動員50場比賽得分的平均數(shù)為(14×0+26×1+7×2+2×3+1×4)÷50=1．2.某出版社給一本書的作者發(fā)稿費，全書20萬字，其中正文占總字數(shù)的，每千字50元；答案部分占總字數(shù)的，每千字30元．問全書平均每千字多少元？答：全書平均每千字為46元．通過本節(jié)課，你有什么收獲？你還存在哪些疑問，和同伴交流。我思我進步6.1.2中位數(shù)張某管理一家餐館，下面是該餐館所有工作人員在2010年10月的工資情況：張某：15000元；會計：1800元；廚師甲：2500元；廚師乙：2000元；雜工甲：1000元；雜工乙：1000元；服務員甲：1500元；服務員乙：1200元；服務員丙：1000元．計算他們的平均工資，這個平均工資能反映該餐館員工在這個月收入的一般水平嗎？思考

解：設餐館全體員工的平均工資為，則（可用計算器計算）（元）實際上，3000元不能代表餐館員工在這個月收入的一般水平，因為員工中除張某外工資最高的廚師甲的月收入2500元都小于這個平均數(shù).若不計張某的工資，設8名員工的平均工資為，則（可用計算器計算）不計張某的工資，餐館員工的月平均工資為1500元，這個數(shù)據(jù)能代表餐館員工在這個月收入的一般水平．還有沒有別的方法呢？我們可以把餐館中人員的月收入按從小到大的順序排列：位于中間的數(shù)據(jù)，即第5個數(shù)據(jù)為1500，1000，1000，1000，1200，1500，1800，2000，2500，15000.它能比較合理地反映該餐館員工的月收入水平.1000，1000，1000，1200，1500，1800，2000，2500，15000中位數(shù)把一組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，那么位于中間的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).中間兩個數(shù)的平均數(shù)1000，1000，1000，1200，1500，1800，2000，2500如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，那么位于中間的兩個數(shù)的平均數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).【例】求下列兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)：（1）14，11，13，10，17，16，28；（2）453，442，450，445，446，457，448，449，

451，450解：

把這組數(shù)據(jù)從小到大排列：10，11，13，14，16，17，28位于中間的數(shù)是14，因此這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是14.中位數(shù)把這組數(shù)據(jù)從小到大排列：442，445，446，448，449，450，450，451，453，457位于中間的兩個數(shù)是449和450，這兩個數(shù)的平均數(shù)是449.5，因此這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是449.5.中間的兩個數(shù)中位數(shù)把一組數(shù)據(jù)分成相同數(shù)目的兩部分，其中一部分都小于或等于中位數(shù)，而另一部分都大于或等于中位數(shù)．因此，中位數(shù)常用來描述“中間位置”或“中等水平”，但中位數(shù)沒有利用數(shù)據(jù)組中所有的信息.1.求下列各組數(shù)據(jù)的中位數(shù)：（1）100，75，80，73，50，60，70；解：把這組數(shù)據(jù)從小到大排列：50，60，70，73，75，80，100位于中間的數(shù)是73，因此這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是73.練習（2）120，100，130，200，80，140，125，180.解：把這組數(shù)據(jù)從小到大排列：80，100，120，125，130，140，180，200位于中間的數(shù)是125和130，所以這兩個數(shù)的平均數(shù)是127.5，因此這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是127.5.2.求下面各組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)：（1）17，12，5，9，5，14；解：把這組數(shù)據(jù)從小到大排列：5，5，9，12，14，17位于中間的數(shù)是9和12，這兩個數(shù)的平均數(shù)是10.5，因此這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是10.5；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是：(17+12+5+9+5+14)÷6=10.3（2）20，2，2，3，9，1，22，11，28，2，0，8，3，29，8，1，5解：把這組數(shù)據(jù)從小到大排列：0，1，1，2，2，2，3，3，5，8，8，9，11，20，22，28，29位于中間的數(shù)是5，因此這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是5；這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是：(20+2+2+3+9+1+22+11+28+2+0+8+3+29+8+1+5)÷17=9.06通過本節(jié)課，你有什么收獲？你還存在哪些疑問，和同伴交流。我思我進步6.1.3

眾數(shù)下面是一家鞋店在一段時間內(nèi)各種尺碼的男鞋的銷售情況統(tǒng)計表：鞋的尺碼(cm)2323.52424.52525.52626.5銷售量(雙)566101710127思考這家店銷售量最多的男鞋是哪種尺碼的？店主最關心的問題是什么？這家店銷售量最多的是25cm的鞋，店主最關心的就是銷售量，所以店主下次進貨時可以多進這個尺碼的鞋.在一組數(shù)據(jù)中，把出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).在上面的問題中，25是鞋的尺碼中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，所以25是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).當一組數(shù)據(jù)中某數(shù)據(jù)多次重復出現(xiàn)時，常可以用眾數(shù)作為這組數(shù)據(jù)的數(shù)值的一個代表值.一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可以不止一個.【例】某公司全體職工的月工資如下：試求出該公司工資數(shù)據(jù)中的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).月工資(元)18000120008000600040002500200015001200人數(shù)1(總經(jīng)理)2(副總經(jīng)理)34102022126解：在上述80個數(shù)據(jù)中，2000出現(xiàn)了22次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，因此這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是2000.

把這80個數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列后，可以發(fā)現(xiàn)位于中間的數(shù)是2000，2500，因此這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是

這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為我們把這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)表示在圖中：在例4中，你認為用平均數(shù)、中位數(shù)或眾數(shù)中的哪一個更能反映該公司的工資水平？工資的平均數(shù)3115偏高，因為大多數(shù)員工的工資都達不到這個平均數(shù)，用它來作為該公司員工工資的代表值并不合適.眾數(shù)是2000，中位數(shù)是2250，它們代表了大多數(shù)人的工資水平，不偏高也不偏低，較能反映工資水平的實際情況.討論平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是一組數(shù)據(jù)的代表，它們從不同側面反映了數(shù)據(jù)的集中趨勢.平均數(shù)的計算要用到所有的數(shù)據(jù)，它能夠充分利用數(shù)據(jù)提供的信息，因此在現(xiàn)實生活中應用較廣，但它容易受極端值的影響；中位數(shù)對極端值不敏感，但沒有利用數(shù)據(jù)中所有的信息；眾數(shù)只能反映一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，也沒有利用數(shù)據(jù)中所有的信息.1.求下列各組數(shù)據(jù)的眾數(shù)：（1）3，4，4，5，3，5，6，5，6；解：根據(jù)題意可知，5出現(xiàn)的次數(shù)最多，因此，5是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).練習（2）1.0，1.1，1.0，0.9，0.8，0.9，1.1，0.9解：根據(jù)題意可知，0.9出現(xiàn)的次數(shù)最多，因此，0.9是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).2.某班30人所穿運動服尺碼的情況為：穿75號碼的有5人，穿80號碼的有6人，穿85號碼的有15人，穿90號碼的有3人，穿95號碼的有1人.穿哪一種尺碼衣服的人最多？這個數(shù)據(jù)稱為什么數(shù)？解：根據(jù)題意可知，穿85號衣服的人最多.因此85號是這組衣服尺碼數(shù)據(jù)的眾數(shù).通過本節(jié)課，你有什么收獲？你還存在哪些疑問，和同伴交流。我思我進步第6章數(shù)據(jù)的分析6.2方差有兩個女聲合唱隊，各由5名隊員組成，她們的身高為（單位：厘米）：甲隊：160，162，159，160，159乙隊：180，160，150，150，160.如果單從隊員的身高考慮，哪隊的演出效果好？不難算出每個隊的平均身高都是160厘米，但甲隊身高波動小，乙隊身高波動大，單從身高考慮，甲隊比較整齊，演出的效果會好一些．思考一組數(shù)據(jù)中的數(shù)與這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的偏離程度是數(shù)據(jù)的一個重要特征，它反映了一組數(shù)據(jù)的分散程度．如何反映一組數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)與其平均數(shù)的偏離程度？給定一組數(shù)據(jù)：3，3，4，6，8，9，9，其平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)與平均數(shù)6的偏差是：將各個數(shù)與平均數(shù)的偏差相加，能否得到總偏差？(-3)+(-3)+(-2)+0+2+3+3相加的結果為0，不能反映總偏差，這是因為偏差有正有負，相加對正負相消，因而不能反映總偏差．你用什么方法可以反映總偏差的大??？可以考慮先取絕對值再相加.但在今后的計算中，絕對值用起來不方便．其實，一個數(shù)的絕對值是非負的，一個數(shù)的平方也是非負的；并且絕對值較大的數(shù)，它的平方也較大，因此這組數(shù)據(jù)的每一個數(shù)與平均數(shù)的差的平方也能反映這個數(shù)與平均數(shù)的偏離程度．不如先將基數(shù)與平均數(shù)之差平方，然后再相加，就不會出現(xiàn)正負相消的情況.思考一組數(shù)據(jù)中的各數(shù)與其平均數(shù)的偏差的平方的平均值，稱為這組數(shù)據(jù)的方差．例如，上面所給的一組數(shù)據(jù)的方差是我們將上面計算方差的過程用下面的表格來表示：數(shù)據(jù)編號1234567數(shù)據(jù)3346899平均數(shù)(3+3+4+6+8+9+9)÷7=6偏差－3－3－20233偏差的平方9940499偏差平方和9+9+4+0+4+9+9＝44方差計算前面的實例中甲、乙兩個女聲合唱隊各隊隊