2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)平面向量2.3.4平面向量共線的坐標(biāo)表示學(xué)案新人教A版

2.3.4 平面向量共線的坐標(biāo)表不課前自主學(xué)習(xí)，基穩(wěn)才能樓高預(yù)習(xí)課本P98?100,思考并完成以下問題如何利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示兩個(gè)向量共線?［新知初探］平面向量共線的坐標(biāo)表示前提條件a=(xi,yi),b=(x2,y2),其中bwo結(jié)論當(dāng)且僅當(dāng)xy—x2yi=0時(shí)，向量a、b(bw0)共線xiyi［點(diǎn)睛］ (1)平面向量共線的坐標(biāo)表示還可以寫成x2=y2(X2W0，y2WS，即兩個(gè)不平行于坐標(biāo)軸的共線向量的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例；(2)當(dāng)aw。，b=。時(shí)，allb,此時(shí)xiy2—X2yi=0也成立，即對(duì)任意向量a,b都有：xiy2-X2yi=0?a//b.［小試身手］.判斷下列命題是否正確.(正確的打，錯(cuò)誤的打“X”)TOC\o"1-5"\h\z⑴已知a=(xi,yi),b=(X2,v*,若a//b,則必有xiy2=X2yi.( )(2)向量(2,3)與向量(—4,—6)反向.( )答案：(i)V(2)V.若向量a=(i,2),b=(2,3),則與a+b共線的向量可以是( )A.(2,i) B.(―i,2)C.(6,i0) D.(―6,i0)答案：C.已知a=(i,2),b=(x,4),若a//b,則x等于( )i iA.-2B.2C.—2D.2答案：D4.已知向量a=(—2,3),b//a,向量b的起點(diǎn)為A(i,2),終點(diǎn)B在x軸上，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為.答案：7,03課堂講陳設(shè)計(jì)，舉…能通類題

課堂講陳設(shè)計(jì)，舉…能通類題題型一向量共線的判定題型一TOC\o"1-5"\h\z［典例］(1)已知向量a=(1,2),b=(入，1),若(a+2b)//(2a—2b),則入的值等于( )A.1 B.1 C.1 D.22 3(2)已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,—3).判斷AB與CD是否共線？如果共線，它們的方向相同還是相反？［解析］(1)法一：a+2b=(1,2)+2(入，1)=(1+2入，4),2a—2b=2(1,2)—2(入，11)=(2—2入，2),由(a+2b)//(2a—2b)可得2(1+2入)―4(2—2入)=0,解得入=2.法二：假設(shè)a,b不共線，則由(a+2b)//(2a—2b)可得a+2b=科(2a—2b),從而=2,5 方程組顯然無解，即a+2b與2a—2b不共線，這與(a+2b)//(2a—2b)矛盾,R=一2-從而假設(shè)不成立，故應(yīng)有a,b共線，所以4=2,即入=1.人1 2［答案］A(2)［解］AB=(0,4)-(2,1)=(—2,3),CD=(5,—3)—(1,3)=(4,—6),.(—2)X(—6)—3X4=0,..AB,CD共線.又CD=—2AB,aB,CD方向相反.綜上，aB與cD共線且方向相反.向量共線的判定方法(1)利用向量共線定理，由a=入b(bw0)推出a//b.(2)利用向量共線的坐標(biāo)表達(dá)式 X1y2—X2y1=0直接求解.［活學(xué)活用］已知a=(1,2),b=(-3,2),當(dāng)k為何值時(shí)，ka+b與a—3b平行，平行時(shí)它們的方向相同還是相反？解：ka+b=k(1,2)+(—3,2)=(k—3,2k+2),a-3b=(1,2)—3(—3,2)=(10,-4),若ka+b與a—3b平行，則一4(k-3)-10(2k+2)=0,1 ,,, 1 1 ,, , 一，解得k=— 此時(shí)ka+b=—-a+b=—以a-3b),故ka+b與a—3b反向.3 3 31?.k=—W時(shí)，ka+b與a—3b平行且方向相反.3

題型二三點(diǎn)共線問題題型二［典例］(1)已知OA=(3,4),OB=(7,12),OC=(9,16),求證：A,B,C三點(diǎn)共線；(2)設(shè)向量oA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),當(dāng)k為何值時(shí)，AB,C三占八、、共線？［解］(1)證明：???AB=OB—OA=(4,8),AC=OC-OA=(6,12),3— ■AC=2AB,即AB與AC共線.又AB與AC有公共點(diǎn)A,，A,B,C三點(diǎn)共線.(2)若A,B,C三點(diǎn)共線，則AB,AC共線，AB=OB-OA=(4-k,-7),AC=OC-OA=(10-k,k-12),(4—k)(k-12)+7(10—k)=0.解得k=—2或k=11.有關(guān)三點(diǎn)共線問題的解題策略(1)要判斷A,B,C三點(diǎn)是否共線，一般是看AB與"BC,或aB與KC,或AC與BC是否共線，若共線，則 A,B,C三點(diǎn)共線；(2)使用A,B,C三點(diǎn)共線這一條件建立方程求參數(shù)時(shí)，利用aC=入bC,或aB=入bC,或aB=入aC都是可以的，但原則上要少用含未知數(shù)的表達(dá)式.［活學(xué)活用］設(shè)點(diǎn)A(x,1),日2x,2),Q1,2x),D(5,3x),當(dāng)x為何值時(shí)，aB與CD共線且方向相同，此時(shí)，A,B,C，D能否在同一條直線上？解：AB=(2x,2)-(x,1)=(x,1),BC=(1,2x)—(2x,2)=(1—2x,2x-2),CD=(5,3x)—(1,2x)=(4,x).由AB與CD共線，所以x2=1X4,所以x=±2.又AB與CD方向相同，所以x=2.此時(shí)，AB=(2,1),BC=(-3,2),

而2X2W—3X1,所以AB與BC不共線,所以AB,C三點(diǎn)不在同一條直線上.所以A,B,C,D不在同一條直線上.不需向量共線在幾何中的應(yīng)用題點(diǎn)一：兩直線平行判斷1.如圖所示，已知直角梯形ABCDADLABAB=2AD=2CD過點(diǎn)C作門「cnAB于E,用向量的方法證明：DE//BCTOC\o"1-5"\h\z證明：如圖，以E為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，EC所在直線為y軸建立4E白直角坐標(biāo)系， .設(shè)|aD|=1,則|DC|=1,|aB|=2. ——k\o"CurrentDocument"???CELAB而AD=DC \\ \???四邊形AEC時(shí)正方形，，可求得各點(diǎn)坐標(biāo)分別為 E(0,0),B(1,0),(W)，D(-1,1)?ED=(-1,1)-(0,0)=(—1,1),BC=(0,1)-(1,0)=(-1,1),ED=BC,ED//BC,即DE//BC題點(diǎn)二：幾何形狀的判斷.已知直角坐標(biāo)平面上四點(diǎn) A(1,0) , B(4,3) , Q2,4) , D(0,2),求證：四邊形ABCD是等腰梯形.證明：由已知得， AB=(4,3)-(1,0)=(3,3),CD=(0,2)-(2,4)=(-2,-2).?,3X(-2)-3X(-2)=0,AB與CD共線.AD=(—1,2),BC=(2,4)-(4,3)=(-2,1),??(—1)X1—2X(—2)W0,AD與bC不共線.??四邊形ABCD1梯形.??bC=(—2,1),AD=(-1,2),|BC|=-\[5=|AD|,即BC=AD故四邊形ABCD1等腰梯形.題點(diǎn)三：求交點(diǎn)坐標(biāo).如圖所示，已知點(diǎn)A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和O皎 . 點(diǎn)

P的坐標(biāo).解：法一：設(shè)OP=tOB=t(4,4)=(4t,4t),則AP=OP—OA=(4t,4t)-(4,0)=(4t-4,4t),AC=OC-OA=(2,6)—(4,0)=(-2,6).由AP,AC共線的條件知(4t—4)X6—4tX(—2)=0,3解得t=4」0P=(3,3)??.P點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3)法二：設(shè)P(x,y),則OP=則OP=(x,y),OB=(4,4)OP,OB共線，.■，4x-4y=0.①又CP=(X—2,y—6),CA=(2,—6),且向量cP,cAOP,OB共線，.■，4x-4y=0.①又CP=(X—2,y—6),CA=(2,—6),且向量cP,cA共線，6(x-2)+2(6—y)=0.②解①②組成的方程組，得 x=3,y=3,???點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,3).應(yīng)用向量共線的坐標(biāo)表示求解幾何問題的步驟首先分析題意，將題目中有關(guān)的點(diǎn)坐標(biāo)化，線段向盟化結(jié)合題目所給的條件，利用平面向量關(guān)系的坐標(biāo)公式列出有關(guān)變量的方程(組)通過解方程(&)求出有關(guān)變量轉(zhuǎn)化到原來的幾何問題中課后層級(jí)訓(xùn)統(tǒng)，步步提升能力層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo).下列向量組中，能作為表示它們所在平面內(nèi)所有向量的基底的是 ( )ei=(0,0),e2=(1,—2)ei=(—1,2),e2=(5,7)ei=(3,5),e2=(6,10)D.eD.e1=(2,—3),e2=g，-4)1解析：選BA中向量e為零向量，，e"/e2；C中e1=5e,e//&；D中e1=4金,ei//e2,故選B.2.已知點(diǎn)A(1,1),B(4,2)和向量a=(2,入)，若a//AB,則實(shí)數(shù)入的值為( )2A—32C.3解析：選Ca//AB,根據(jù)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可得AB=(3,1),???2X1—3入=0,解得入=￡,解析：選Ca//AB,33.已知A(2—1),B(3,1)，則與AB平行且方向相反的向量 2是( )A.(2,1)B-(一6,-3)C.(-1,2)D.(-4,-8)3.已知A(2—1),B(3,1)，則與AB平行且方向相反的向量 2是( )A.(2,1)B-(一6,-3)C.(-1,2)D.(-4,-8)解析：選DAB=(1,2),向量(2,1)、(一6,—3)、(—1,2)與(1,2)不平彳亍;(—4,—8)與(1,2)平行且方向相反.4.已知向量a=(x,2),b=(3,—1),若(a+b)//(a-2b),則實(shí)數(shù)x的值為( )-32C.4D.—6解析：選D因?yàn)?a+b) //(a-2b)a+b=(x+3,1),a—2b=(x—6,4),所以4(x+3)-(x-6)=0,解得x=—6.35.設(shè)a=2131,且a//b,則銳角a為( )30°60°45°75°30°60°45°75°解析：選A解析：選A???a//b,cCOSa=0,cCOSa=0,236.已知向量a=(3x—1,4)與b=(1,2)共線，則實(shí)數(shù)x的值為解析：?.?向量a=(3x—1,4)與b=(1,2)共線,?.2(3x—1)—4X1=0,解得x=1.答案：17.已知A(—1,4),Rx,—2),若C(3,3)在直線AB上，則x=.解析：AB=(x+1,—6),AC=(4,—1),???AB//AC-,. (x+1)+24=0,x=23.答案：23.已知向量a=(1,2),b=(―2,3),若入a+科b與a+b共線，則入與科的關(guān)系是解析：=a=(1,2),b=(—2,3),?-a+b=(1,2)+(-2,3)=(—1,5),入a+科b=入(1,2)十科(—2,3)=(入一2W，2入+3科)，又(Xa+ b)//(a+b),—1X(2X+3^)-5(X-2^)=0,[1.答案：入=.已知AB,C三點(diǎn)的坐標(biāo)為(一1,0),(3,—1),(1,2),并且AE=、AC,BF=3■ ■ —"[BC,求證：EF//AB.3證明：設(shè)E,F的坐標(biāo)分別為(玄，y。、(x2,y2),依題意有AC=(2,2),BC=(-2,3),AB=(4,-1).AE=1AC，.二(x1+1,y1)=1(2,2).

3 3，點(diǎn)E的坐標(biāo)為j3,3.同理點(diǎn)F的坐標(biāo)為l7,0i；EF=l8,-2.333又3X(—1)—4X1—3；=0,EF」AB.10.已知向量a=(2,1),b=(1,1),c=(5,2),m^入b+c(入為常數(shù)).(1)求a+b；(2)若a與m平行，求實(shí)數(shù)入的值.解：(1)因?yàn)閍=(2,1),b=(1,1),所以a+b=(2,1)+(1,1)=(3,2).(2)因?yàn)閎=(1,1),c=(5,2),所以m=入b+c=入(1,1)+(5,2)=(入+5,入+2).又因?yàn)閍=(2,1),且a與m平行，

所以2(入+2)=入+5,解得入=1.層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1.已知平面向量a=(x,1),b=(—x,x2),則向量a+b( )A.平彳T于x軸B.平行于第一、三象限的角平分線C.平彳T于y軸D.平行于第二、四象限的角平分線解析：選C因?yàn)閍+b=(0,1+x2),所以a+b平行于y軸.2.若A(3,—6),B(—5,2),C(6,y)三點(diǎn)共線，則y=(A.13C.9—A.13C.9D.-9解析：選DA,B,C三點(diǎn)共線,AB//AC,AB//AC,而AB=(-8,8),AC=(3,y+6),8(y+6)—8X3=0,即y=-9..已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(keR),d=a—b,如果c//d,那么( )k=1且c與d同向k=1且c與d反向k=—1且c與d同向k=—1且c與d反向解析：選D.2=(1,0),b=(0,1),若k=1,則c=a+b=(1,1),d=a-b=(1,—1),顯然，c與d不平行，排除A、8.若卜=-1,則c=—a+b=(—1,1),d=a—b=—(—1,1),即c//d且c與d反向..已知平行四邊形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 (一1,0),(3,0),(1,—5),則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)是( )(1,5)或(5,5)(1,5)或(—3,-5)(5,—5)或(—3,—5)(1,5)或(5,—5)或(—3,-5)解析：選D設(shè)丹一1,0),B(3,0),C(1,—5),第四個(gè)頂點(diǎn)為D,①若這個(gè)平行四邊形為？ABCD則AB=DC, D[-3,—5);②若這個(gè)平行四邊形為？ACDB則AC=bD, D(5,-5);③若這個(gè)平行四邊形為？ACBD則AC=則AC=DB???中,5)綜上所述，D點(diǎn)坐標(biāo)為(1,5)或(5,—5)或(—3,—5)..已知AB=(6,1),BC=(x,y),CD=(-2,—3),BC//DA,則x+2y的值為.解析：???AD=AB+BC+CD=(6,1)+(x,y)+(-2,-3)=(x+4,y-2),DA=—AD=—(x+4,y—2)=(—x-4,—y+2).BC//DA,1-x(-y+2)-(-x-4)y=0,即x+2y=0.答案：06.已知向量OA=