2022年高考沖刺數(shù)學(xué)（理）試題（福建卷）2

2015年高考數(shù)學(xué)（理）試題（福建卷）一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1、若集合（是虛數(shù)單位），，則等于()A．B．C．D．答案：C解析：由已知得，故，故選C知識(shí)點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念、集合的運(yùn)算．2．下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()A．B．C．D．答案：D解析：函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；和是偶函數(shù)；是奇函數(shù)，故選D．知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性．3．若雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，且，則等于（）A．11B．9C．5D．3答案：B解析：由雙曲線定義得，即，解得，故選B．知識(shí)點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和定義．4．為了解某社區(qū)居民的家庭年收入所年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：收入x（萬(wàn)元）支出y（萬(wàn)元）根據(jù)上表可得回歸直線方程，其中，據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶收入為15萬(wàn)元家庭年支出為()A．萬(wàn)元B．萬(wàn)元C．萬(wàn)元D．萬(wàn)元答案：B解析：由已知得（萬(wàn)元），（萬(wàn)元），故，所以回歸直線方程為，當(dāng)社區(qū)一戶收入為15萬(wàn)元家庭年支出為（萬(wàn)元），故選B知識(shí)點(diǎn)：線性回歸方程．5．若變量x,y滿足約束條件,則z=2x-y的最小值等于()A．B．-2C．D．2答案：A解析：畫出可行域，如圖所示，目標(biāo)函數(shù)變形為，當(dāng)z最小時(shí)，直線的縱截距最大，故將直線經(jīng)過(guò)可行域，盡可能向上移到過(guò)點(diǎn)時(shí)，z取到最小值，最小值為，故選A．知識(shí)點(diǎn)：線性規(guī)劃．6．閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出的結(jié)果為()A．2B．1C．0D．-1答案：C解析：程序在執(zhí)行過(guò)程中S，i的值依次為：；；；；；，程序結(jié)束，輸出S=0，故選C．知識(shí)點(diǎn)：程序框圖．7．若l、m是兩條不同的直線，m垂直于平面α，則“l(fā)⊥m”是“l(fā)∥α”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件答案：B解析：若l⊥m，因?yàn)閙垂直于平面α，則l∥α或；若l∥α，又m垂直于平面α，則l⊥m，所以“l(fā)⊥m”是“l(fā)∥α”的必要不充分條件，故選B．知識(shí)點(diǎn)：空間直線和平面、直線和直線的位置關(guān)系．8．若a、b是函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且a,b,-2這三個(gè)數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列，也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列，則p+q的值等于（）A．6B．7C．8D．9答案：D解析：由韋達(dá)定理得a+b=p，a·b=q，，則a>0，b>0，當(dāng)a,b,-2適當(dāng)排序后成等比數(shù)列時(shí)，-2必為等比中項(xiàng)，故a·b=q=4，．當(dāng)適當(dāng)排序后成等差數(shù)列時(shí)，-2必不是等差中項(xiàng)，當(dāng)a是等差中項(xiàng)時(shí)，，解得a=1,a=4；當(dāng)是等差中項(xiàng)時(shí)，，解得a=4,b=1，綜上所述，a+b=p=5，所以p+q=9，選D．知識(shí)點(diǎn)：等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)．9．已知，若點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則的最大值等于（）A．13B．15C．19D．21答案：A解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，即，所以，，因此，因?yàn)?，所以的最大值等?3，當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．知識(shí)點(diǎn)：平面向量數(shù)量積、基本不等式．10．若定義在R上的函數(shù)滿足，其導(dǎo)函數(shù)滿足，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是（）A．B．C．D．答案：C解析：由已知條件，構(gòu)造函數(shù)，則，故函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且，故，所以，，所以結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是C，選項(xiàng)D無(wú)法判斷；構(gòu)造函數(shù)，則，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，且，所以，即，，選項(xiàng)A,B無(wú)法判斷，故選C．知識(shí)點(diǎn)：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)．二、填空題（本大題共5小題，每小題4分，共20分）11．的展開式中，x2的系數(shù)等于．（用數(shù)字作答）答案：80解析：的展開式中x2項(xiàng)為，所以x2的系數(shù)等于80．知識(shí)點(diǎn)：二項(xiàng)式定理．12．若銳角△ABC的面積為，且AB=5，AC=8，則BC等于________．答案：7解析：由已知得△ABC的面積為，所以，，所以．由余弦定理得，.知識(shí)點(diǎn)：三角形面積公式、余弦定理．13．如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4)，函數(shù)，若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于．答案：解析：由已知得陰影部分面積為．所以此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于．考點(diǎn)：幾何概型．．14．若函數(shù)（且）的值域是，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．答案：解析：當(dāng)，故，要使得函數(shù)的值域?yàn)?，只需的值域包含于，故，所以，所以，解得，所以?shí)數(shù)a的取值范圍是．知識(shí)點(diǎn)：分段函數(shù)求值域．15．一個(gè)二元碼是由0和1組成的數(shù)字串，其中稱為第k位碼元，二元碼是通信中常用的碼，但在通信過(guò)程中有時(shí)會(huì)發(fā)生碼元錯(cuò)誤（即碼元由0變?yōu)?，或者由1變?yōu)?）已知某種二元碼的碼元滿足如下校驗(yàn)方程組：其中運(yùn)算定義為：．現(xiàn)已知一個(gè)這種二元碼在通信過(guò)程中僅在第k位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101，那么利用上述校驗(yàn)方程組可判定k等于．答案：5解析：依題意，二元碼在通信過(guò)程中僅在第k位發(fā)生碼元錯(cuò)誤后變成了1101101，

①若k=1，則x1=0，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，

從而由校驗(yàn)方程組，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=1，故k≠1；

②若k=2，則x1=1，x2=0，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，

從而由校驗(yàn)方程組，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠2；

③若k=3，則x1=1，x2=1，x3=1，x4=1，x5=1，x6=0，x7=1，

從而由校驗(yàn)方程組，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠3；

④若k=4，則x1=1，x2=1，x3=0，x4=0，x5=1，x6=0，x7=1，

從而由校驗(yàn)方程組，得x1⊕x3⊕x5⊕x7=1，故k≠4；

⑤若k=5，則x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=0，x6=0，x7=1，

從而由校驗(yàn)方程組，得x4⊕x5⊕x6⊕x7=0，x2⊕x3⊕x6⊕x7=0，x1⊕x3⊕x5⊕x7=0，故k=5符合題意；

⑥若k=6，則x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=1，x7=1，

從而由校驗(yàn)方程組，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠6；

⑦若k=7，則x1=1，x2=1，x3=0，x4=1，x5=1，x6=0，x7=0，

從而由校驗(yàn)方程組，得x2⊕x3⊕x6⊕x7=1，故k≠7；

綜上，k等于5．

故答案為：5．知識(shí)點(diǎn)：推理證明和新定義．三、解答題16．（本小題滿分13分）某銀行規(guī)定，一張銀行卡若在一天內(nèi)出現(xiàn)3次密碼嘗試錯(cuò)誤，該銀行卡將被鎖定，小王到銀行取錢時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己忘記了銀行卡的密碼，但是可以確定該銀行卡的正確密碼是他常用的6個(gè)密碼之一，小王決定從中不重復(fù)地隨機(jī)選擇1個(gè)進(jìn)行嘗試.若密碼正確，則結(jié)束嘗試；否則繼續(xù)嘗試，直至該銀行卡被鎖定.(Ⅰ)求當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定的概率；(Ⅱ)設(shè)當(dāng)天小王用該銀行卡嘗試密碼次數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)分布列見(jiàn)解析，期望為．解析：（Ⅰ）設(shè)“當(dāng)天小王的該銀行卡被鎖定”的事件為A，則（Ⅱ）依題意得，X所有可能的取值是1，2，3又X123P所以X的分布列為所以．知識(shí)點(diǎn)：古典概型、離散型隨機(jī)變量的分布列和期望．17．（本小題滿分13分）如圖，在幾何體ABCDE中，四邊形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，AB=BE=EC=2，G，F(xiàn)分別是線段BE，DC的中點(diǎn).(Ⅰ)求證：GF∥平面ADE；(Ⅱ)求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值．答案：(Ⅰ)詳見(jiàn)解析；(Ⅱ)．解析：解法一：（Ⅰ）如圖，取AE的中點(diǎn)H，連接HD，HD，又G是BE的中點(diǎn)，，又F是CD中點(diǎn)，，由四邊形ABCD是矩形得，，所以．從而四邊形HGFD是平行四邊形，所以GF∥DH，又，所以．(Ⅱ)如圖，在平面BEC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)B作,因?yàn)椋忠驗(yàn)锳B⊥平面BEC，所以AB⊥BE，AB⊥BQ以B為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(xiàn)(2,2,1)．因?yàn)锳B⊥平面BEC，所以為平面BEC的法向量，設(shè)為平面AEF的法向量.又由取z=2得.從而所以平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值為．解法二：(Ⅰ)如圖，取AB中點(diǎn)M，連接MG、MF，又G是BE的中點(diǎn)，可知，又，所以；在矩形ABCD中，由M、F分別是AB、CD的中點(diǎn)得MF∥AD．又，所以．又因?yàn)椋悦鍳MF∥平面ADE，因?yàn)?，所以GF∥平面ADE（Ⅱ）同解法一．知識(shí)點(diǎn)：直線和平面平行的判斷、面面平行的判斷和性質(zhì)、二面角．18．（本小題滿分13分）已知橢圓E：過(guò)點(diǎn)，且離心率為．(Ⅰ)求橢圓E的方程；(Ⅱ)設(shè)直線x=my-1(m∈R)交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)G與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)G在以AB為直徑的圓外．解析：解法一：(Ⅰ)由已知得，解得，所以橢圓E的方程為．(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)AB中點(diǎn)為．由得：所以從而.所以.,故所以，故G在以AB為直徑的圓外．解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)，則由所以從而所以不共線，所以為銳角.故點(diǎn)G在以AB為直徑的圓外．知識(shí)點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線和橢圓的位置關(guān)系、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系．19．（本小題滿分13分）已知函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像經(jīng)如下變換得到：先將圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變），再將所得到的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度.(Ⅰ)求函數(shù)的解析式，并求其圖像的對(duì)稱軸方程；(Ⅱ)已知關(guān)于x的方程在內(nèi)有兩個(gè)不同的解α，β．（1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（2)證明：答案：(Ⅰ)，；(Ⅱ)（1）；（2）詳見(jiàn)解析．解析：解法一：(Ⅰ)將的圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（橫坐標(biāo)不變）得到的圖像，再將的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖像，故，從而函數(shù)圖像的對(duì)稱軸方程為(Ⅱ)(1)（其中）；依題意，在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的解α，β當(dāng)且僅當(dāng)，故m的取值范圍是.(2)因?yàn)棣?，β是方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的解，所以，.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí),所以解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)(1)同解法一.(2)因?yàn)棣?，β是方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的解，所以，.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí),所以；于是知識(shí)點(diǎn)：三角函數(shù)圖像變換和性質(zhì)、輔助角公式和誘導(dǎo)公式．20、（本小題滿分14分）已知函數(shù)，(Ⅰ)證明：當(dāng)；(Ⅱ)證明：當(dāng)時(shí)，存在,使得對(duì)(Ⅲ)確定k的所以可能取值，使得存在，對(duì)任意的恒有．答案：(Ⅰ)詳見(jiàn)解析；(Ⅱ)詳見(jiàn)解析；(Ⅲ)k=1．解析：(Ⅰ)令則有；當(dāng),所以在上單調(diào)遞減；故當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，．(Ⅱ)令則有；當(dāng),所以在上單調(diào)遞增,，故對(duì)任意正實(shí)數(shù)x0均滿足題意；當(dāng)0<k<1時(shí)，令，得，取,對(duì)任意x∈(0，x0)，恒有，所以在[0，x0)上單調(diào)遞增，即；綜上，當(dāng)k<1時(shí)，總存在x0>0，使得對(duì)任意的x∈(0，x0)，恒有.(Ⅲ)當(dāng)k>1時(shí)，由（Ⅰ）知，對(duì)于故，，令，則有故當(dāng)時(shí)，,在上單調(diào)遞增，故,即,所以滿足題意的t不存在.當(dāng)k<1時(shí)，由（Ⅱ）知存在,使得對(duì)任意的任意的恒有．此時(shí),令，則有故當(dāng)時(shí)，,在上單調(diào)遞增，故,即,記與中較小的為，則當(dāng)，故滿足題意的t不存在.當(dāng)k=1，由（Ⅰ）知，，令，則有當(dāng)時(shí)，,所以在上單調(diào)遞減，故,故當(dāng)時(shí)，恒有,此時(shí)，任意實(shí)數(shù)t滿足題意.綜上，k=1.知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．21．（本小題滿分7分）本小題（1）（2）（3）三個(gè)選做題，選做其中兩個(gè)題.（1）（本小題滿分7分）已知矩陣(Ⅰ)求A的逆矩陣；(Ⅱ)求矩陣C，使得AC=B.答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)．解析：(Ⅰ)因?yàn)樗?Ⅱ)由AC=B得,故考點(diǎn)：矩陣和逆矩陣．（2）（本小題滿分7分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的參數(shù)方程為.在極坐標(biāo)系（與平面直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸）中，直線l的方程為(Ⅰ)求圓C的普通方程及直線l的直角坐標(biāo)方程；(Ⅱ)設(shè)圓心C到直線l的距離等于2，求m的值．答案：(Ⅰ)；(Ⅱ)．解析：(Ⅰ)消去參數(shù)t，得到圓的普通方程為,由，