中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破-相似三角形的應(yīng)用

中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——相似三角形的應(yīng)用如圖，一塊材料的形狀是銳角三角形ABC，邊BC=12?cm，高AD=8?cm．把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，一天晚上，李明和張龍利用燈光下的影子長(zhǎng)來(lái)測(cè)量一路燈D的高度．如圖，當(dāng)李明走到點(diǎn)A處時(shí)，張龍測(cè)得李明直立時(shí)身高AM與影子長(zhǎng)AE正好相等；接著李明沿AC方向繼續(xù)向前走，走到點(diǎn)B處時(shí)，李明直立時(shí)身高BN的影子恰好是線段AB，并測(cè)得AB=1.25?m，已知李明直立時(shí)的身高為1.75?m，求路燈的高CD的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到據(jù)《九章算術(shù)》記載：“今有山居木西，不知其高，山去五十三里，木高九丈五尺．人立木東三里，望木末適與山峰斜平，人目高七尺．何山高幾何？大量如下：如圖，今有山AB位于樹(shù)CD的西面．山高AB為未知數(shù)，山與樹(shù)相距53里，樹(shù)高9丈5尺，人站在離樹(shù)3里的F處，觀察到樹(shù)梢C恰好與山峰A處在同一斜線上，人眼離地7尺．問(wèn)山AB的高約為多少丈？（1丈=10尺，結(jié)果精確到個(gè)位）現(xiàn)有一塊直角三角形木板，它的兩條直角邊分別為3米和4米，要把它加工成面積最大的正方形桌面，甲，乙二人加工方法分別如圖1和圖2所示，請(qǐng)運(yùn)用所學(xué)知識(shí)說(shuō)明誰(shuí)的加工方法符合要求．如圖，某校宣傳欄BC后面12米處種有一排與宣傳欄平行的若干棵樹(shù)，即BC∥ED，且相鄰兩棵樹(shù)的間隔為2米，一人站在距宣傳欄前面的A處正好看到兩端的樹(shù)干，其余的樹(shù)均被宣傳欄擋?。阎狝F⊥BC，AF=3米，BC=10米，求該宣傳欄后大雁塔是現(xiàn)存最早規(guī)模最大的唐代四方樓閣式磚塔，被國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)列人第一批全國(guó)重點(diǎn)文物保護(hù)單位，某校社會(huì)實(shí)踐小組為了測(cè)量大雁塔的高度，在地面上C處垂直于地面豎立了高度為2米的標(biāo)桿CD，這時(shí)地面上的點(diǎn)E，標(biāo)桿的頂端點(diǎn)D，古塔的塔尖點(diǎn)B正好在同一直線上，測(cè)得EC=1.28米，將標(biāo)桿向后平移到點(diǎn)G處，這時(shí)地面上的點(diǎn)F，標(biāo)桿的頂端點(diǎn)H，古塔的塔尖點(diǎn)B正好在同一直線上（點(diǎn)F，點(diǎn)G，點(diǎn)E，點(diǎn)C與古塔底處的點(diǎn)A在同一直線上），這時(shí)測(cè)得FG=1.92米，GC=20米，請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，計(jì)算古塔的高度AB．如圖，小明為了測(cè)量某古城墻MN的高，在離N點(diǎn)11.2m的A處放了一個(gè)平面鏡，小明沿NA后退到C點(diǎn)，正好從鏡中看到古城墻MN的頂端M處，若AC=1.4m，小明的眼睛離地面的高度BC為1.5m，BC⊥CN，MN⊥CN小紅想利用陽(yáng)光下的影長(zhǎng)測(cè)量學(xué)校旗桿AB的高度．如圖，她在地面上豎直立一根2米長(zhǎng)的標(biāo)桿CD，某一時(shí)刻測(cè)得其影長(zhǎng)DE=1.2米，此時(shí)旗桿AB在陽(yáng)光下的投影BF=4.8米，AB⊥BD，CD⊥BD．請(qǐng)你根據(jù)相關(guān)信息，求旗桿AB的高．如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用自制的直角三角形硬紙板DEF來(lái)測(cè)量操場(chǎng)旗桿AB的高度，他們通過(guò)調(diào)整測(cè)量位置，使斜邊DF與地面保持平行，并使邊DE與旗桿頂點(diǎn)A在同一直線上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目測(cè)點(diǎn)D到地面的距離DG=1.5米，到旗桿的水平距離DC=20米，求旗桿的高度．如圖，小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測(cè)量樹(shù)的高度AB他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上．已知紙板的兩條直角邊DE=40?cm，EF=20?cm，測(cè)得邊DF離地面的高度AC=1.5?m，CD=10?如圖，小明晚上由路燈A下的點(diǎn)B處走到點(diǎn)C處時(shí)，測(cè)得自身影子CD的長(zhǎng)為1米，他繼續(xù)往前走3米到達(dá)點(diǎn)E處（即CE=3米），測(cè)得自己影子EF的長(zhǎng)為2米，已知小明的身高是1.5米，求路燈AB的高度．如圖，路燈（P點(diǎn)）距地面8米，身高1.6米的小紅從距離路燈底部（O點(diǎn)）20米的A點(diǎn)沿OA所在的直線行走14米到B點(diǎn)時(shí)，身影的長(zhǎng)度是變長(zhǎng)了還是變短了？變長(zhǎng)或變短了多少米？如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=20cm，AC=15cm，在這個(gè)直角三角形內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方形，正方形的一邊FG在BC上，另兩個(gè)頂點(diǎn)E，H分別在邊(1)求BC邊上的高．(2)求正方形EFGH的邊長(zhǎng)．如圖，晚上，小亮在廣場(chǎng)上乘涼．圖中線段AB表示站立在廣場(chǎng)上的小亮，線段PO表示直立在廣場(chǎng)上的燈桿，點(diǎn)P表示照明燈．(1)請(qǐng)你在圖中畫(huà)出小亮在照明燈（P）照射下的影子；(2)如果燈桿高PO=12?m，小亮的身高AB=1.6?m，小亮與燈桿的距離如圖，路燈SO的高度為9米，把一根長(zhǎng)為1.5米的竹竿AB豎立在水平地面上，測(cè)得竹竿的影子BC長(zhǎng)為1米，然后將竹竿向遠(yuǎn)離路燈的方向平移4米至A?B?位置（點(diǎn)O，B，C，B?在一條直線上）．(1)畫(huà)出竹竿平移至AB?位置時(shí)的影子B?C?；(2)求B?C?的長(zhǎng)．一天晚上，哥哥和弟弟拿兩根等長(zhǎng)的標(biāo)桿AB，CD直立在一盞亮著的路燈下，然后調(diào)整標(biāo)桿位置，使它們?cè)谠撀窡粝碌挠白覤E，DF恰好在一條直線上（如圖所示）．(1)請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出路燈燈泡P的位置．(2)哥哥和弟弟測(cè)得如下數(shù)據(jù)：AB=CD=1.6米，BE=1米，DF=2米，兩根標(biāo)桿的距離AC=BD=3.6米，且AC∥BD．請(qǐng)你根據(jù)以上信息計(jì)算燈泡如圖，王華同學(xué)在晚上由路燈AC走向路燈BD，當(dāng)他走到點(diǎn)P時(shí)，發(fā)現(xiàn)身后他影子的頂部剛好接觸到路燈AC的底部，當(dāng)他向前再步行12?m到達(dá)Q點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)身前他影子的頂部剛好接觸到路燈BD的底部．已知王華同學(xué)的身高是1.6?m，兩個(gè)路燈的高度都是(1)求兩個(gè)路燈之間的距離；(2)當(dāng)王華同學(xué)走到路燈BD處時(shí)，他在路燈AC下的影子長(zhǎng)是多少？在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師帶領(lǐng)學(xué)生去測(cè)教學(xué)樓的高度在陽(yáng)光下，測(cè)得身高1.65米的黃麗同學(xué)BC的影長(zhǎng)BA為1.1米，與此同時(shí)，測(cè)得教學(xué)樓DE的影長(zhǎng)DF為12.1米．(1)請(qǐng)你在圖中畫(huà)出此時(shí)教學(xué)樓DE在陽(yáng)光下的投影DF．(2)請(qǐng)你根據(jù)已測(cè)得的數(shù)據(jù)，求岀教學(xué)樓DE的高度（精確到0.1米）．已知：CD為一幢3米高的溫室，其南面窗戶(hù)的底框G距地面1米，CD在地面上留下的最大影長(zhǎng)CF為2米，現(xiàn)欲在距C點(diǎn)7米的正南方A點(diǎn)處建一幢12米高的樓房AB（設(shè)A，C，F(xiàn)在同一水平線上）．(1)按比例較精確地作出高樓AB及它的最大影長(zhǎng)AE；(2)問(wèn)若大樓AB建成后是否影響溫室CD的采光，試說(shuō)明理由．如圖，晚上小亮在廣場(chǎng)上乘涼．圖中線段AB表示站立在廣場(chǎng)上的小亮，線段PO表示直立在廣場(chǎng)上的燈桿，點(diǎn)P表示照明燈．(1)請(qǐng)你在圖中畫(huà)出小亮在照明燈P照射下的影子；(2)如果燈桿高PO=12?m，小亮的身高AB=1.6?m，小亮與燈桿的距離

答案1.【答案】∵EFCG是正方形，∴EF∥∴△AEF∽∴EF又AD⊥BC，EF=EG=KD，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為x，則AK=8?x，∴x12=答：這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)為4.8?cm2.【答案】設(shè)CD長(zhǎng)為x米，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA，∴MA∥∴EC=CD=x米，∴△ABN～△ACD，∴BNCD=解得：x=6.125≈6.1．經(jīng)檢驗(yàn)，x=6.125是原方程的解，∴路燈高CD約為6.1米．3.【答案】由題意得BD=53里，CD=95尺，EF=7尺，DF=3里．如圖，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H．則BG=DH=EF=7尺，GH=BD=53里，HE=DF=3里，∵CD∥∴△ECH∽∴CH∴95?7∴AG≈164.3丈，AB=AG+0.7=165丈．答：由AB得高約為165丈．4.【答案】圖1加工的方法合理，設(shè)圖1加工的桌面長(zhǎng)x米，∵FD∥∴Rt△AFD∴AFAC=解得：x=12設(shè)圖2加工的桌面長(zhǎng)y米，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥AB垂足為M，與GF相交于點(diǎn)N，∵GF∥∴△CGF∽∴CN:CM=GF:AB，∴CM?y∴AB=y?CM由面積相等可求得：CM=2.4，很明顯x>y，故x2∴圖1加工的方法合理．5.【答案】如圖由圖可知，∵BC∥∴△ABC∽∴AF又BC=10米，AF=3米，F(xiàn)G=12米，∴AG=AF+FG=15米，即315∴DE=50，50÷2=25，25+1=26，答：DE處共有26棵樹(shù)．6.【答案】根據(jù)題意得，△EDC∽∴DCBA=∵DC=HG，∴FG∴1.92∴CA=40（米），∵FG∴2∴AB≈64.5米，故：古塔的高度AB為64.5米．7.【答案】∵BC⊥CN，MN⊥CN，∴∠C=∠N=90∵∠BAC=∠MAN，∴△BCA∽∴BCMN=∴MN=12m答：古城墻MN的高度為12m8.【答案】∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠AFB=∠CED，而∠ABF=∠CDE=90∴△ABF∽∴ABCD=∴AB=8m答：旗桿AB的高為8m9.【答案】由題意可得：△DEF∽則DEDC∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5?m，DC=20?∴0.5解得：AC=10，故AB=AC+BC=10+1.5=11.5m答：旗桿的高度為11.5?m10.【答案】∵∠DEF=∠BCD=90°，∴△DEF∽∴BC∵DE=40?cm=0.4?m，EF=20?cm=0.2?∴BC∴BC=5米，∴AB=AC+BC=1.5+5=6.5米，∴樹(shù)高為6.5米．11.【答案】∵M(jìn)C∥∴△DCM∽∴DCDB=∵NE∥∴△FNE∽∴NEAB=聯(lián)立①②得：∴1解得BC=3，∴1.5解得AB=6，答：路燈A的高度AB為6?m12.【答案】如圖，連接PC并延長(zhǎng)交直線OA于M，連接PD并延長(zhǎng)交直線OA于N，則AM，BN為相應(yīng)身影．∵∠MAC=∠MOP=90°，∴△MAC∽∴MA即MA20+MA=1.6同理，由△NBD∽△NOP可求得∵5?1.5=3.5（米），∴小紅從A點(diǎn)走到B點(diǎn)，身影的長(zhǎng)度變短了，變短了3.5米．13.【答案】(1)作AD⊥BC于D，交EH于O，如圖所示：∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=20cm∴BC=20∵1∴AD=AB×AC即BC邊上的高為12cm(2)設(shè)正方形EFGH的邊長(zhǎng)為xcm∵四邊形EFGH是正方形，∴EH∥∴∠AEH=∠B，∠AHE=∠C，∴△AEH∽∴AOAD=解得：x=300即正方形EFGH的邊長(zhǎng)為3003714.【答案】(1)如圖，線段BC就是小亮在照明燈（P）照射下的影子．(2)在△CAB和△CPO中，因?yàn)椤螩=∠C，∠ABC=∠POC=∠90所以△CAB∽則ABPO即1.612解得BC=2，即小亮影子的長(zhǎng)度為2?m15.【答案】(1)如圖所示：延長(zhǎng)SA?交OB于C?，B?C?即為所求．(2)∵AB∥∴△ABC∽∴AB∴CO=6?m，則BO=5?∵將竹竿向遠(yuǎn)離路燈的方向平移4米至A?B?位置，∴OB?=9?m∵A?B?∥∴△A?B?C?∽∴B?C?∴B?C?∴B?C?長(zhǎng)度為1.8?m16.【答案】(1)如圖，點(diǎn)P即為所求．(2)如圖，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥EF于點(diǎn)Q，交AC于點(diǎn)M，則∠PQF=90∵AC∥∴∠PMC=∠PQF=∠AMQ=90°，∴PM⊥AC，∵AB⊥EF，∴∠ABQ=∠BQM=∠AMQ=90∴四邊形ABQM為矩形，∴AB=MQ=CD=1.6米，∴PM=PQ?1.6，∵∠APC=∠EPF，∴△PAC∽∴PM∵BE=1米，DF=2米，AC=BD=3.6米，∴EF=BE+BD+DF=6.6米，∴PQ?1.6∴PQ=3.52米．答：燈泡P距離地面的高度為3.52米．17.【答案】(1)由對(duì)稱(chēng)性可知AP=BQ，設(shè)AP=BQ=x?m∵M(jìn)P∥∴△APM∽∴MP∴1.6∴x=3．經(jīng)檢驗(yàn)x=3是原方程的根，并且符合題意．∴AB=2x+12=2×3+12=18m答：兩個(gè)路燈之間的距離為18米．(2)設(shè)王華走到路燈BD處頭的頂部為E，連接CE并延長(zhǎng)交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，則BF即為此時(shí)他在路燈AC的影子長(zhǎng)．設(shè)BF=y?m∵BE∥∴△EBF∽∴BEAC=BFFA經(jīng)檢驗(yàn)y=3.6是分式方程的解．答：當(dāng)王華同學(xué)走到路燈BD處時(shí)，他在路燈AC下的影子長(zhǎng)是3.6米．18.【答案】(1)如圖：連接AC，過(guò)E點(diǎn)作EF∥AC交AD于F，則(2)