2023年中考壓軸題專題：與圓有關(guān)的最值問題(附答案)

與圓有關(guān)的最值〔取值范圍〕問題引例1：在坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，0)，點(diǎn)B為y軸正半軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)C是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且AC=2．設(shè)tan∠BOC=m，那么m的取值范圍是_________．引例2：如圖，在邊長為1的等邊△OAB中，以邊AB為直徑作⊙D，以O(shè)為圓心OA長為半徑作⊙O，C為半圓弧上的一個動點(diǎn)〔不與A、B兩點(diǎn)重合〕，射線AC交⊙O于點(diǎn)E，BC=，AC=，求的最大值.引例3：如圖，∠BAC=60°，半徑長為1的圓O與∠BAC的兩邊相切，P為圓O上一動點(diǎn)，以P為圓心，PA長為半徑的圓P交射線AB、AC于D、E兩點(diǎn)，連接DE，那么線段DE長度的最大值為().A．3B．6C．D．一、題目分析：此題是一個圓中的動點(diǎn)問題，也是圓中的最值問題，主要考察了圓內(nèi)的根底知識、根本技能和根本思維方法，注重了初、高中知識的銜接1．引例1：通過隱藏圓〔高中軌跡的定義〕，尋找動點(diǎn)C與兩個定點(diǎn)O、A構(gòu)成夾角的變化規(guī)律，轉(zhuǎn)化為特殊位置〔相切〕進(jìn)行線段、角度有關(guān)計算，同時對三角函數(shù)值的變化〔增減性〕進(jìn)行了延伸考查，其實質(zhì)是高中“直線斜率〞的直接運(yùn)用；2．引例2：通過圓的根本性質(zhì)，尋找動點(diǎn)C與兩個定點(diǎn)A、B構(gòu)成三角形的不變條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，其實質(zhì)是高中“柯西不等式〞的直接運(yùn)用；3．引例3：本例動點(diǎn)的個數(shù)由引例1、引例2中的一個動點(diǎn)，增加為三個動點(diǎn)，從性質(zhì)運(yùn)用、構(gòu)圖形式、動點(diǎn)關(guān)聯(lián)上增加了題目的難度，解答中還是注意動點(diǎn)D、E與一個定點(diǎn)A構(gòu)成三角形的不變條件〔∠DAE=60°〕，構(gòu)造弦DE、直徑所在的直角三角形，從而轉(zhuǎn)化為弦DE與半徑AP之間的數(shù)量關(guān)系，其實質(zhì)是高中“正弦定理〞的直接運(yùn)用；綜合比較、回憶這三個問題，知識本身的難度并不大，但其難點(diǎn)在于學(xué)生不知道轉(zhuǎn)化的套路，只能憑直觀感覺去尋找、猜想關(guān)鍵位置來求解，但對其真正的幾何原理卻無法通透.二、解題策略1．直觀感覺，畫出圖形；2．特殊位置，比較結(jié)果；3．理性分析動點(diǎn)過程中所維系的不變條件，通過幾何構(gòu)建，尋找動量與定量〔常量〕之間的關(guān)系，建立等式，進(jìn)行轉(zhuǎn)化.三、中考展望與題型訓(xùn)練例一、斜率運(yùn)用1.如圖，A點(diǎn)的坐標(biāo)為〔﹣2，1〕，以A為圓心的⊙A切x軸于點(diǎn)B，P〔m，n〕為⊙A上的一個動點(diǎn)，請?zhí)剿鱪+m的最大值．例二、圓外一點(diǎn)與圓的最近點(diǎn)、最遠(yuǎn)點(diǎn)1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，點(diǎn)D是平面內(nèi)的一個動點(diǎn)，且AD=2，M為BD的中點(diǎn)，在D點(diǎn)運(yùn)動過程中，線段CM長度的取值范圍是.2．如圖，⊙O的直徑為4，C為⊙O上一個定點(diǎn)，∠ABC=30°，動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿半圓弧向B點(diǎn)運(yùn)動〔點(diǎn)P與點(diǎn)C在直徑AB的異側(cè))，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時運(yùn)動停止，在運(yùn)動過程中，過點(diǎn)C作CP的垂線CD交PB的延長線于D點(diǎn)．〔1〕在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，線段CD長度的取值范圍為；〔2〕在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，線段AD長度的最大值為.例三、正弦定理1．如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=，D是線段BC上的一個動點(diǎn)，以AD為直徑作⊙O分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接EF，那么線段EF長度的最小值為．2.如圖，定長弦CD在以AB為直徑的⊙O上滑動〔點(diǎn)C、D與點(diǎn)A、B不重合〕，M是CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CP⊥AB于點(diǎn)P，假設(shè)CD=3，AB=8，那么PM長度的最大值是．例四、柯西不等式、配方法1．如圖，半徑為2的⊙O與直線l相切于點(diǎn)A，點(diǎn)P是直徑AB左側(cè)半圓上的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線l的垂線，垂足為C，PC與⊙O交于點(diǎn)D，連接PA、PB，設(shè)PC的長為x〔2＜x＜4〕，那么當(dāng)x=時，PD?CD的值最大，且最大值是為.2．如圖，線段AB=4，C為線段AB上的一個動點(diǎn)，以AC、BC為邊作等邊△ACD和等邊△BCE，⊙O外接于△CDE，那么⊙O半徑的最小值為().A.4B.C.D.23．在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，2為半徑畫⊙O，P是⊙O上一動點(diǎn)，且P在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)P作⊙O的切線與軸相交于點(diǎn)A，與軸相交于點(diǎn)B，線段AB長度的最小值是.例四、相切的應(yīng)用〔有公共點(diǎn)、最大或最小夾角〕1．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D為AB邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作CD的垂線交直線BC于點(diǎn)E，那么線段CE長度的最小值是.2．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，以AC上的一點(diǎn)O為圓心OA為半徑作⊙O，假設(shè)⊙O與邊BC始終有交點(diǎn)〔包括B、C兩點(diǎn)〕，那么線段AO的取值范圍是.3．如圖，⊙O的半徑為2，點(diǎn)O到直線l的距離為3，點(diǎn)P是直線l上的一個動點(diǎn)，PQ切⊙O于點(diǎn)Q，那么PQ的最小值為〔〕A．B．C．3D．2例五、其他知識的綜合運(yùn)用1.〔2023?濟(jì)南〕拋物線y=ax2+bx+4〔a≠0〕過點(diǎn)A〔1，﹣1〕，B〔5，﹣1〕，與y軸交于點(diǎn)C．〔1〕求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；〔2〕如圖1，連接CB，以CB為邊作?CBPQ，假設(shè)點(diǎn)P在直線BC上方的拋物線上，Q為坐標(biāo)平面內(nèi)的一點(diǎn)，且?CBPQ的面積為30，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；〔3〕如圖2，⊙O1過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)，AE為直徑，點(diǎn)M為上的一動點(diǎn)〔不與點(diǎn)A，E重合〕，∠MBN為直角，邊BN與ME的延長線交于N，求線段BN長度的最大值．2.〔2023秋?相城區(qū)校級期末〕如圖，A、B是⊙O與x軸的兩個交點(diǎn)，⊙O的半徑為1，P是該圓上第一象限內(nèi)的一個動點(diǎn)，直線PA、PB分別交直線x=2于C、D兩點(diǎn)，E為線段CD的中點(diǎn)．〔1〕判斷直線PE與⊙O的位置關(guān)系并說明理由；〔2〕求線段CD長的最小值；〔3〕假設(shè)E點(diǎn)的縱坐標(biāo)為m，那么m的范圍為．【題型訓(xùn)練】1．如圖，直線l與⊙O相離，OA⊥l于點(diǎn)A，OA=5，OA與⊙O相交于點(diǎn)P，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，BP的延長線交直線l于點(diǎn)C，假設(shè)在⊙O上存在點(diǎn)Q，使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，那么⊙O的半徑r的取值范圍為.2．：如圖，RtΔABC中，∠B=90o，∠A=30o，BC=6cm，點(diǎn)O從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB以每秒cm的速度向B點(diǎn)方向運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動了t秒(t＞0)時，以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓與邊AC相切于點(diǎn)D，與邊AB相交于E、F兩點(diǎn)，過E作EG⊥DE交射線BC于G.〔1〕假設(shè)點(diǎn)G在線段BC上，那么t的取值范圍是；〔2〕假設(shè)點(diǎn)G在線段BC的延長線上，那么t的取值范圍是.3．如圖，⊙M，⊙N的半徑分別為2cm，4cm，圓心距MN=10cm．P為⊙M上的任意一點(diǎn)，Q為⊙N上的任意一點(diǎn)，直線PQ與連心線所夾的銳角度數(shù)為，當(dāng)P、Q在兩圓上任意運(yùn)動時，的最大值為().(A)；(B)；(C)；(D)4．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O為矩形ABCD的中心，以D為圓心1為半徑作⊙D，P為⊙D上的一個動點(diǎn)，連接AP、OP，那么△AOP面積的最大值為().(A)4(B)(C)(D)5．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，經(jīng)過點(diǎn)C且與邊AB相切的動圓與CA、CB分別相交于點(diǎn)P、Q，那么線段PQ長度的最小值是().A．B．C．5D．6．如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在AB邊上運(yùn)動〔點(diǎn)E不與點(diǎn)A重合〕，過A、D、E三點(diǎn)作⊙O，⊙O交AC于另一點(diǎn)F，在此運(yùn)動變化的過程中，線段EF長度的最小值為．7．如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(2，0)、(0，2)，⊙C的圓心的坐標(biāo)為(-1，0)，半徑為1，假設(shè)D是⊙C上的一個動點(diǎn)，線段DA與y軸交于點(diǎn)E，那么△ABE面積的最小值是().A．2B．1C.D.8．如圖，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-2，0)、(0，1)，⊙C的圓心坐標(biāo)為(0，-1)，半徑為1，D是⊙C上的一個動點(diǎn)，射線AD與y軸交于點(diǎn)E，那么△ABE面積的最大值是().A．3B．C．D．49．如圖，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，⊙C的半徑為1，點(diǎn)P在斜邊AB上，PQ切⊙O于點(diǎn)Q，那么切線長PQ長度的最小值為().A.B.C.3D.410．如圖∠BAC＝60°，半徑長1的⊙O與∠BAC的兩邊相切，P為⊙O上一動點(diǎn)，以P為圓心，PA長為半徑的⊙P交射線AB、AC于D、E兩點(diǎn)，連接DE，那么線段DE長度的范圍為.11．在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔3，0〕，點(diǎn)P〔〕是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且AB=2，那么的范圍為.12．在坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔3，0〕，點(diǎn)P是y軸右側(cè)一點(diǎn)，且AP=2，點(diǎn)B上直線y=x+1上一動點(diǎn)，且PB⊥AP于點(diǎn)P，那么，那么的取值范圍是.13．在平面直角坐標(biāo)系中，M〔3，4〕，P是以M為圓心，2為半徑的⊙M上一動點(diǎn)，A〔-1，0〕、B〔1，0〕，連接PA、PB，那么PA2+PB2最大值是.蔡老師點(diǎn)評：與圓有關(guān)的最值問題，看著無從下手，但只要仔細(xì)觀察，分析圖形，尋找動點(diǎn)與定點(diǎn)之間不變的維系條件，構(gòu)建關(guān)系，將研究的問題轉(zhuǎn)化為變量與常量之間的關(guān)系，就能找到解決問題的突破口！幾何中的定值問題，是指變動的圖形中某些幾何元素的幾何量保持不變，或幾何元素間的某些幾何性質(zhì)或位置關(guān)系不變的一類問題，解幾何定值問題的根本方法是：分清問題的定量及變量，運(yùn)用特殊位置、極端位置，直接計算等方法，先探求出定值，再給出證明．幾何中的最值問題是指在一定的條件下，求平面幾何圖形中某個確定的量(如線段長度、角度大小、圖形面積)等的最大值或最小值，求幾何最值問題的根本方法有：1．特殊位置與極端位置法；2．幾何定理(公理)法；3．?dāng)?shù)形結(jié)合法等．注：幾何中的定值與最值近年廣泛出現(xiàn)于中考試題中，由冷點(diǎn)變?yōu)闊狳c(diǎn)．這是由于這類問題具有很強(qiáng)的探索性(目標(biāo)不明確)，解題時需要運(yùn)用動態(tài)思維、數(shù)形結(jié)合、特殊與一般相結(jié)合、邏輯推理與合情想象相結(jié)合等思想方法．參考答案：引例1.解：C在以A為圓心，以2為半徑作圓周上，只有當(dāng)OC與圓A相切〔即到C點(diǎn)〕時，∠BOC最小，AC=2，OA=3，由勾股定理得：OC=，∵∠BOA=∠ACO=90°，∴∠BOC+∠AOC=90°，∠CAO+∠AOC=90°，∴∠BOC=∠OAC，tan∠BOC=tan∠OAC==，隨著C的移動，∠BOC越來越大，∵C在第一象限，∴C不到x軸點(diǎn)，即∠BOC＜90°，∴tan∠BOC≥，故答案為：m≥．引例1圖引例2圖引例2.；原題：〔2023?武漢模擬〕如圖，在邊長為1的等邊△OAB中，以邊AB為直徑作⊙D，以O(shè)為圓心OA長為半徑作圓O，C為半圓AB上不與A、B重合的一動點(diǎn)，射線AC交⊙O于點(diǎn)E，BC=a，AC=b．〔1〕求證：AE=b+a；〔2〕求a+b的最大值；〔3〕假設(shè)m是關(guān)于x的方程：x2+ax=b2+ab的一個根，求m的取值范圍．【考點(diǎn)】圓的綜合題．【分析】〔1〕首先連接BE，由△OAB為等邊三角形，可得∠AOB=60°，又由圓周角定理，可求得∠E的度數(shù)，又由AB為⊙D的直徑，可求得CE的長，繼而求得AE=b+a；〔2〕首先過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，可得〔a+b〕2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH?AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，即可求得答案；〔3〕由x2+ax=b2+ab，可得〔x﹣b〕〔x+b+a〕=0，那么可求得x的值，繼而可求得m的取值范圍．【解答】解：〔1〕連接BE，∵△OAB為等邊三角形，∴∠AOB=60°，∴∠AEB=30°，∵AB為直徑，∴∠ACB=∠BCE=90°，∵BC=a，∴BE=2a，CE=a，∵AC=b，∴AE=b+a；〔2〕過點(diǎn)C作CH⊥AB于H，在Rt△ABC中，BC=a，AC=b，AB=1，∴a2+b2=1，∵S△ABC=AC?BC=AB?CH，∴AC?BC=AB?CH，∴〔a+b〕2=a2+b2+2ab=1+2ab=1+2CH?AB=1+2CH≤1+2AD=1+AB=2，∴a+b≤，故a+b的最大值為，〔3〕∵x2+ax=b2+ab，∴x2﹣b2+ax﹣ab=0，∴〔x+b〕〔x﹣b〕+a〔x﹣b〕=0，∴〔x﹣b〕〔x+b+a〕=0，∴x=b或x=﹣〔b+a〕，當(dāng)m=b時，m=b=AC＜AB=1，∴0＜m＜1，當(dāng)m=﹣〔b+a〕時，由〔1〕知AE=﹣m，又∵AB＜AE≤2AO=2，∴1＜﹣m≤2，∴﹣2≤m＜﹣1，∴m的取值范圍為0＜m＜1或﹣2≤m＜﹣1．【點(diǎn)評】此題考查了圓周角定理、等邊三角形的性質(zhì)、完全平方公式的應(yīng)用以及一元二次方程的解法．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．引例3.解：連接EP，DP，過P點(diǎn)作PM垂直DE于點(diǎn)M，過O做OF⊥AC與F，連接AO，如圖，∵∠BAC=60°，∴∠DPE=120°．∵PE=PD，PM⊥DE，∴∠EPM=60°，∴ED=2EM=2EP?sin60°=EP=PA．當(dāng)P與A、O共線時，且在O點(diǎn)右側(cè)時，⊙P直徑最大．∵⊙O與∠BAC兩邊均相切，且∠BAC=60°，∴∠OAF=30°，OF=1，∴AO==2，AP=2+1=3，∴DE=PA=3．故答案為：D?！军c(diǎn)評】此題考查了切線的性質(zhì)中的解決極值問題，解題的關(guān)鍵是找出DE與AP之間的關(guān)系，再解決切線的性質(zhì)來解決問題．此題屬于中等難度題，難點(diǎn)在于找到DE與半徑AP之間的關(guān)系，只有找到DE與AP之間的關(guān)系，才能說明當(dāng)A、O、P三點(diǎn)共線時DE最大．引例3圖例一、斜率運(yùn)用【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【專題】探究型．【分析】設(shè)m+n=k，那么點(diǎn)P〔m，n〕在直線x+y=k上，易得直線y=﹣x+k與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為〔0，k〕，于是可判斷當(dāng)直線y=﹣x+k與⊙A在上方相切時，k的值最大；直線y=﹣x+k與x軸交于點(diǎn)C，切⊙A于P，作PD⊥x軸于D，AE⊥PD于E，連接AB，如圖，那么C〔k，0〕，利用直線y=﹣x+k的性質(zhì)易得∠PCD=45°，那么△PCD為等腰直角三角形，接著根據(jù)切線長定理和切線的性質(zhì)得AB⊥OB，AP⊥PC，AP=AB=1，CP=CB=k+2，所以四邊形ABDE為矩形，∠APE=45°，那么DE=AB=1，PE=AP=，所以PD=PE+DE=+1，然后在Rt△PCD中，利用PC=PD得到2+k=〔+1〕，解得k=﹣1，從而得到n+m的最大值為﹣1．【解答】解：設(shè)m+n=k，那么點(diǎn)P〔m，n〕在直線x+y=k上，當(dāng)x=0時，y=k，即直線y=﹣x+k與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為〔0，k〕，所以當(dāng)直線y=﹣x+k與⊙A在上方相切時，k的值最大，直線y=﹣x+k與x軸交于點(diǎn)C，切⊙A于P，作PD⊥x軸于D，AE⊥PD于E，連接AB，如圖，當(dāng)y=0時，﹣x+k=0，解得x=k，那么C〔k，0〕，∵直線y=﹣x+k為直線y=﹣x向上平移k個單位得到，∴∠PCD=45°，∴△PCD為等腰直角三角形，∵CP和OB為⊙A的切線，∴AB⊥OB，AP⊥PC，AP=AB=1，CP=CB=k+2，∴四邊形ABDE為矩形，∠APE=45°，∴DE=AB=1，∵△APE為等腰直角三角形，∴PE=AP=，∴PD=PE+DE=+1，在Rt△PCD中，∵PC=PD，∴2+k=〔+1〕，解得k=﹣1，∴n+m的最大值為﹣1．【點(diǎn)評】此題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．解決此題的關(guān)鍵是確定直線y=﹣x+k與⊙A相切時n+m的最大值．例二、圓外一點(diǎn)與圓的最近點(diǎn)、最遠(yuǎn)點(diǎn)1.解：作AB的中點(diǎn)E，連接EM、CE．在直角△ABC中，AB===5，∵E是直角△ABC斜邊AB上的中點(diǎn)，∴CE=AB=．∵M(jìn)是BD的中點(diǎn)，E是AB的中點(diǎn)，∴ME=AD=1．∴在△CEM中，﹣1≤CM≤+1，即≤CM≤．故答案是：≤CM≤．2.〔1〕；〔2〕；變式題：〔2023?邯鄲一?！橙鐖D是某種圓形裝置的示意圖，圓形裝置中，⊙O的直徑AB=5，AB的不同側(cè)有定點(diǎn)C和動點(diǎn)P，tan∠CAB=．其運(yùn)動過程是：點(diǎn)P在弧AB上滑動，過點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長線交于點(diǎn)Q．〔1〕當(dāng)PC=時，CQ與⊙O相切；此時CQ=．〔2〕當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到與點(diǎn)C關(guān)于AB對稱時，求CQ的長；〔3〕當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到弧AB的中點(diǎn)時，求CQ的長．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理；解直角三角形．【專題】計算題．【分析】〔1〕當(dāng)CQ為圓O的切線時，CQ為圓O的切線，此時CP為圓的直徑，由CQ垂直于直徑CP，得到CQ為切線，即可得到CP的長；由同弧所對的圓周角相等得到一對角相等，由角的正切值，在直角三角形CPQ中，利用銳角三角函數(shù)定義即可求出CQ的長；〔2〕當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到與點(diǎn)C關(guān)于AB對稱時，如圖1所示，此時CP⊥AB于D，由AB為圓O的直徑，得到∠ACB為直角，在直角三角形ACB中，由tan∠CAB與AB的長，利用銳角三角函數(shù)定義求出AC與BC的長，再由三角形ABC的面積由兩直角邊乘積的一半來求，也利用由斜邊乘以斜邊上的高CD的一半來求，求出CD的長，得到CP的長，同弧所對的圓周角相等得到一對角相等，由角的正切值，得到tan∠CPB的值，由CP的長即可求出CQ；〔3〕當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到弧AB的中點(diǎn)時，如圖2所示，過點(diǎn)B作BE⊥PC于點(diǎn)E，由P是弧AB的中點(diǎn)，得到∠PCB=45°，得到三角形EBC為等腰直角三角形，由CB的長，求出CE與BE的長，在直角三角形EBP中，由∠CPB=∠CAB，得到tan∠CPB=tan∠CAB，利用三角函數(shù)定義求出PE的長，由CP+PE求出CP的長，即可求出CQ的長．【解答】解：〔1〕當(dāng)CP過圓心O，即CP為圓O的直徑時，CQ與⊙O相切，理由為：∵PC⊥CQ，PC為圓O的直徑，∴CQ為圓O的切線，此時PC=5；∵∠CAB=∠CPQ，∴tan∠CAB=tan∠CPQ=，∴tan∠CPQ===，那么CQ=；故答案為：5；；〔2〕當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到與點(diǎn)C關(guān)于AB對稱時，如圖1所示，此時CP⊥AB于D，圖1圖2又∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵AB=5，tan∠CAB=，∴BC=4，AC=3，又∵S△ABC=AC?BC=AB?CD，∴AC?BC=AB?CD，即3×4=5CD，∴CD=，∴PC=2CD=，在Rt△PCQ中，∠PCQ=90°，∠CPQ=∠CAB，∴CQ=PCtan∠CPQ=PC，∴CQ=×=；〔3〕當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到弧AB的中點(diǎn)時，如圖2所示，過點(diǎn)B作BE⊥PC于點(diǎn)E，∵P是弧AB的中點(diǎn)，∠PCB=45°，∴CE=BE=2，又∠CPB=∠CAB，∴tan∠CPB=tan∠CAB==，∴PE==BE=，∴PC=CE+PE=2+=，由〔2〕得，CQ=PC=．【點(diǎn)評】此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握切線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．再變式：如圖3時，CQ最長。圖3例三、正弦定理1.解：由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時，直徑AD最短，如圖，連接OE，OF，過O點(diǎn)作OH⊥EF，垂足為H，∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2∴AD=BD=2，即此時圓的半徑為1，由圓周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，∴在Rt△EOH中，EH=OE?sin∠EOH=1×=，由垂徑定理可知EF=2EH=，故答案為：．例三1答圖例三2答圖2.【考點(diǎn)】垂徑定理；三角形中位線定理．【分析】當(dāng)CD∥AB時，PM長最大，連接OM，OC，得出矩形CPOM，推出PM=OC，求出OC長即可．【解答】解：法①：如圖：當(dāng)CD∥AB時，PM長最大，連接OM，OC，∵CD∥AB，CP⊥CD，∴CP⊥AB，∵M(jìn)為CD中點(diǎn)，OM過O，∴OM⊥CD，∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°，∴四邊形CPOM是矩形，∴PM=OC，∵⊙O直徑AB=8，∴半徑OC=4，即PM=4，故答案為：4．法②：連接CO，MO，根據(jù)∠CPO=∠CM0=90°，所以C，M，O，P，四點(diǎn)共圓，且CO為直徑．連接PM，那么PM為⊙E的一條弦，當(dāng)PM為直徑時PM最大，所以PM=CO=4時PM最大．即PMmax=4【點(diǎn)評】此題考查了矩形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出符合條件的CD的位置，題目比較好，但是有一定的難度．例四、柯西不等式、配方法1.過O作OE⊥PD，垂足為E，∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，∴PE=ED，又∵∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°，∴四邊形OACE為矩形，∴CE=OA=2，又PC=x，∴PE=ED=PC﹣CE=x﹣2，∴PD=2〔x﹣2〕，∴CD=PC﹣PD=x﹣2〔x﹣2〕=x﹣2x+4=4﹣x，∴PD?CD=2〔x﹣2〕?〔4﹣x〕=﹣2x2+12x﹣16=﹣2〔x﹣3〕2+2，∵2＜x＜4，∴當(dāng)x=3時，PD?CD的值最大，最大值是2．第1題答圖第2題答圖2.解：如圖，分別作∠A與∠B角平分線，交點(diǎn)為P．∵△ACD和△BCE都是等邊三角形，∴AP與BP為CD、CE垂直平分線．又∵圓心O在CD、CE垂直平分線上，那么交點(diǎn)P與圓心O重合，即圓心O是一個定點(diǎn)．連接OC．假設(shè)半徑OC最短，那么OC⊥AB．又∵∠OAC=∠OBC=30°，AB=4，∴OA=OB，∴AC=BC=2，∴在直角△AOC中，OC=AC?tan∠OAC=2×tan30°=．應(yīng)選：B．3.解：〔1〕線段AB長度的最小值為4，理由如下：連接OP，∵AB切⊙O于P，∴OP⊥AB，取AB的中點(diǎn)C，∴AB=2OC；當(dāng)OC=OP時，OC最短，即AB最短，此時AB=4．故答案為：4．〔3題答圖〕例四、相切的應(yīng)用〔有公共點(diǎn)、最大或最小夾角〕1.求CE最小值，就是求半徑OD的最小值。2.；3.【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)．【專題】壓軸題．【分析】因為PQ為切線，所以△OPQ是Rt△．又OQ為定值，所以當(dāng)OP最小時，PQ最?。鶕?jù)垂線段最短，知OP=3時PQ最?。鶕?jù)勾股定理得出結(jié)論即可．【解答】解：∵PQ切⊙O于點(diǎn)Q，∴∠OQP=90°，∴PQ2=OP2﹣OQ2，而OQ=2，∴PQ2=OP2﹣4，即PQ=，當(dāng)OP最小時，PQ最小，∵點(diǎn)O到直線l的距離為3，∴OP的最小值為3，∴PQ的最小值為=．應(yīng)選B．【點(diǎn)評】此題綜合考查了切線的性質(zhì)及垂線段最短等知識點(diǎn)，如何確定PQ最小時點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵，難度中等偏上．例五、其他幾何知識的運(yùn)用1.解：〔1〕將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：，解得：．∴拋物線得解析式為y=x2﹣6x+4．〔2〕如下列圖：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P〔m，m2﹣6m+4〕，∵平行四邊形的面積為30，∴S△CBP=15，即：S△CBP=S梯形CEDP﹣S△CEB﹣S△PBD．∴m〔5+m2﹣6m+4+1〕﹣×5×5﹣〔m﹣5〕〔m2﹣6m+5〕=15．化簡得：m2﹣5m﹣6=0，解得：m=6，或m=﹣1．∵m＞0，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔6，4〕．〔3〕連接AB、EB．∵AE是圓的直徑，∴∠ABE=90°．∴∠ABE=∠MBN．又∵∠EAB=∠EMB，∴△EAB∽△NMB．∵A〔1，﹣1〕，B〔5，﹣1〕，∴點(diǎn)O1的橫坐標(biāo)為3，將x=0代入拋物線的解析式得：y=4，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔0，4〕．設(shè)點(diǎn)O1的坐標(biāo)為〔3，m〕，∵O1C=O1A，∴，解得：m=2，∴點(diǎn)O1的坐標(biāo)為〔3，2〕，∴O1A=，在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE===6，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為〔5，5〕．∴AB=4，BE=6．∵△EAB∽△NMB，∴．∴．∴NB=．∴當(dāng)MB為直徑時，MB最大，此時NB最大．∴MB=AE=2，∴NB==3．2.【考點(diǎn)】圓的綜合題．【專題】綜合題．【分析】〔1〕連接OP，設(shè)CD與x軸交于點(diǎn)F．要證PE與⊙O相切，只需證∠OPE=90°，只需證∠OPB+∠EPD=90°，由OP=OB可得∠OPB=∠OBP=∠FBD，只需證∠EPD=∠EDP，只需證EP=ED，只需利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半就可解決問題．〔2〕連接OE，由于PE=CD，要求線段CD長的最小值，只需求PE長的最小值，在Rt△OPE中，OP，只需求出OE的最小值就可．〔3〕設(shè)⊙O與y軸的正半軸的交點(diǎn)為Q，由圖可知：點(diǎn)P從點(diǎn)Q向點(diǎn)B運(yùn)動的過程中，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)越來越小，而點(diǎn)P在點(diǎn)Q時，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為1，由此就可得到m的范圍．【解答】解：〔1〕直線PE與⊙O相切．證明：連接OP，設(shè)CD與x軸交于點(diǎn)F．∵AB是⊙O的直徑，∴∠APB=∠CPD=90°．∵E為CD的中點(diǎn)，∴PE=CE=DE=CD，∴∠EPD=∠EDP．∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP=∠DBF．∵∠DBF+∠EDB=90°，∴∠OPB+∠EPD=∠OPE=90°，∴EP⊥OP．∵OP為⊙O的半徑，∴PE是⊙O的切線．〔2〕連接OE，∵∠OPE=90°，OP=1，∴PE2=OE2﹣OP2=OE2﹣1．∵當(dāng)OE⊥CD時，OE=OF=2，此時OE最短，∴PE2最小值為3，即PE最小值為，∵PE=CD，∴線段CD長的最小值為2．〔3〕設(shè)⊙O與y軸的正半軸的交點(diǎn)為Q，由圖可知：點(diǎn)P從點(diǎn)Q向點(diǎn)B運(yùn)動的過程中，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)越來越小，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q時，由PE⊥OP可得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為1．∵點(diǎn)P是圓上第一象限內(nèi)的一個動點(diǎn)，∴m的范圍為m＜1．【點(diǎn)評】此題考查了切線的判定、圓周角定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、勾股定理等知識，利用勾股定理將求PE的最小值轉(zhuǎn)化為求OE的最小值是解決第〔2〕小題的關(guān)鍵．【題型訓(xùn)練】1.解：連接OB．如圖1，∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°，∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB，∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC，∴AB=AC，作出線段AC的垂直平分線MN，作OE⊥MN，如圖2，∴OE=AC=AB=，又∵圓O與直線MN有交點(diǎn)，∴OE=≤r，∴≤2r，即：100﹣r2≤4r2，∴r2≥20，∴r≥2．∵OA=10，直線l與⊙O相離，∴r＜10，∴2≤r＜10．故答案為：2≤r＜10．【點(diǎn)評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)，勾股定理，直線與圓的位置關(guān)系等知識點(diǎn)的應(yīng)用，主要培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計算的能力．此題綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．2.原題：〔2004?無錫〕：如圖，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm．點(diǎn)O從A點(diǎn)出發(fā)，沿AB以每秒cm的速度向B點(diǎn)方向運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動了t秒〔t＞0〕時，以O(shè)點(diǎn)為圓心的圓與邊AC相切于點(diǎn)D，與邊AB相交于E、F兩點(diǎn)．過E作EG⊥DE交射線BC于G．〔1〕假設(shè)E與B不重合，問t為何值時，△BEG與△DEG相似？〔2〕問：當(dāng)t在什么范圍內(nèi)時，點(diǎn)G在線段BC上？當(dāng)t在什么范圍內(nèi)時，點(diǎn)G在線段BC的延長線上？〔3〕當(dāng)點(diǎn)G在線段BC上〔不包括端點(diǎn)B、C〕時，求四邊形CDEG的面積S〔cm2〕關(guān)于時間t〔秒〕的函數(shù)關(guān)系式，并問點(diǎn)O運(yùn)動了幾秒鐘時，S取得最大值最大值為多少？【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；二次函數(shù)綜合題；相似三角形的判定．【專題】綜合題；壓軸題；分類討論．【分析】〔1〕連接OD，DF．那么OD⊥AC，那么∠AOD=60°，∠AED=30°．由于∠DEG=90°，因此∠BEG=60°，因此此題可分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)∠EDG=60°，∠DGE=30°時，∠BGD=∠BGE+∠EGD=60°．這樣∠BGD和∠ACB相等，那么G和C重合．②當(dāng)∠DGE=60°時，可在直角△AOD中，根據(jù)∠A的度數(shù)和AO的長表示出AD的長，也就能表示出CD的長，由于∠A=∠AED=30°，那么AD=DE，可在直角△DEG中，用AD的長表示出DG，進(jìn)而根據(jù)DG∥AB得出的關(guān)于CD，AD，DG，AB的比例關(guān)系式即可求出此時t的值．〔2〕此題可先求出BG的表達(dá)式，然后令BG＞BC，即可得出G在BC延長線上時t的取值范圍．〔3〕由于四邊形CGED不是規(guī)那么的四邊形，因此其面積可用△ABC的面積﹣△ADE的面積﹣△BEG的面積來求得．在前兩問中已經(jīng)求得AD，AE，BE，BG的表達(dá)式，那么就不難得出這三個三角形的面積．據(jù)此可求出S，t的函數(shù)關(guān)系式．根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和自變量的取值范圍即可求出S的最大值及對應(yīng)的t的值．【解答】解：〔1〕連接OD，DF．∵AC切⊙O于點(diǎn)D，∴OD⊥AC．在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=t，∴OD=OF=t，AD=OA?cosA=．又∵∠FOD=90°﹣30°=60°，∴∠AED=30°，∴AD=ED=．∵DE⊥EG，∴∠BEG=60°，△BEG與△DEG相似．∵∠B=∠GED=90°，①當(dāng)∠EGD=30°，CE=2BE=2〔6﹣t〕那么∠BGD=60°=∠ACB，此時G與C重合，DE==AD，CD=12﹣，BE=6﹣t，∵△BEG∽△DEC，∴=，∴=，t=；②當(dāng)∠EGD=60°．∴DG⊥BC，DG∥AB．在Rt△DEG中，∠DEG=90°，DE=，∴DG=t．在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6，∴AC=12，AB=6，∴CD=12﹣．∵DG∥AB，∴解得t=．答：當(dāng)t為或時，△BEG與△EGD相似；〔2〕∵AC切⊙O于點(diǎn)D，∴OD⊥AC．在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=t，∴∠AED=30°，∴DE⊥EG，∴∠BEG=60°．在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6，∴AB=6，BE=6﹣t．Rt△BEG中，∠BEG=60°，∴BG=BE?tan60°=18﹣t．當(dāng)0≤18﹣t≤6，即≤t≤4時，點(diǎn)G在線段BC上；當(dāng)18﹣t＞6，即0＜t＜時，點(diǎn)G在線段BC的延長線上；〔3〕過點(diǎn)D作DM⊥AB于M．在Rt△ADM中，∠A=30°，∴DM=AD=t．∴S=S△ABC﹣S△AED﹣S△BEG=36﹣t2﹣27t=﹣〔t﹣〕2+〔＜t＜4〕．所以當(dāng)t=時，s取得最大值，最大值為．【點(diǎn)評】此題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、相似三角形的判定、圖形面積的求法以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識點(diǎn)．3.D；4.解：當(dāng)P點(diǎn)移動到平行于OA且與⊙D相切時，△AOP面積的最大，如圖，∵P是⊙D的切線，∴DP垂直與切線，延長PD交AC于M，那么DM⊥AC，∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∴AC==5，∴OA=，∵∠AMD=∠ADC=90°，∠DAM=∠CAD，∴△ADM∽△ACD，∴=，∵AD=4，CD=3，AC=5，∴DM=，∴PM=PD+DM=1+=，∴△AOP的最大面積=OA?PM=××=，應(yīng)選D．〔4題答圖〕〔5題答圖〕【點(diǎn)評】此題考查了圓的切線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用以及三角形相似的判定和性質(zhì)，此題的關(guān)鍵是判斷出P處于什么位置時面積最大；5.解：如圖，設(shè)QP的中點(diǎn)為F，圓F與AB的切點(diǎn)為D，連接FD、CF、CD，那么FD⊥AB．∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，F(xiàn)C+FD=PQ，∴FC+FD＞CD，∵當(dāng)點(diǎn)F在直角三角形ABC的斜邊AB的高CD上時，PQ=CD有最小值，∴CD=BC?AC÷AB=4.8．應(yīng)選：B．6.；7.解：假設(shè)△ABE的面積最小，那么AD與⊙C相切，連接CD，那么CD⊥AD；Rt△ACD中，CD=1，AC=OC+OA=3；由勾股定理，得：AD=2；∴S△ACD=AD?CD=；易證得△AOE∽△ADC，∴=〔〕2=〔〕2=，即S△AOE=S△ADC=；∴S△ABE=S△AOB﹣S△AOE=×2×2﹣=2﹣；另解：利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等更簡單！應(yīng)選：C．〔7題答圖〕〔8題答圖〕8.解：當(dāng)射線AD與⊙C相切時，△ABE面積的最大．連接AC，∵∠AOC=∠ADC=90°，AC=AC，OC=CD，∴Rt△AOC≌Rt△ADC，∴AD=AO=2，連接CD，設(shè)EF=x，∴DE2=EF?OE，∵CF=1，∴DE=，∴△CDE∽△AOE，∴=，即=，解得x=，S△ABE===．應(yīng)選：B．【點(diǎn)評】此題是一個動點(diǎn)問題，考查了切線的性質(zhì)和三角形面積的計算，解題的關(guān)鍵是確定當(dāng)射線AD與⊙C相切時，△ABE面積的最大．9.解：當(dāng)PC⊥AB時，PQ的長最短．在直角△ABC中，AB===4，PC=AB=2．∵PQ是⊙C的切線，∴CQ⊥PQ，即∠CQP=90°，∴PQ===．應(yīng)選A．【點(diǎn)評】此題考查了切線的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用；注意掌握輔助線的作法，注意當(dāng)PC⊥AB時，線段PQ最短是關(guān)鍵．〔9題答圖〕〔10題答圖〕10.解：連接AO并延長，與ED交于F點(diǎn)，與圓O交于P點(diǎn)，此時線段ED最大，連接OM，PD，可得F為ED的中點(diǎn)，∵∠BAC=60°，AE=AD，∴△AED為等邊三角形，∴AF為角平分線，即∠FAD=30°，在Rt△AOM中，OM=1，∠OAM=30°，∴OA=2，∴PD=PA=AO+OP=3，在Rt△PDF中，∠FDP=30°，PD=3，∴PF=，根據(jù)勾股定理得：FD==，那么DE=2FD=3．同理可得：DE的最小值為，∴。11.；12.；13.解：設(shè)P〔x，y〕，∵PA2=〔x+1〕2+y2，PB2=〔x﹣1〕2+y2，∴PA2+PB2=2x2+2y2+2=2〔x2+y2〕+2，∵OP2=x2+y2，∴PA2+PB2=2OP2+2，當(dāng)點(diǎn)P處于OM與圓的交點(diǎn)上時，OP取得最值，∴OP的最大值為OM+PM=5+2=7，∴PA2+PB2最大值為100．【點(diǎn)評】此題考查了圓的綜合，解答此題的關(guān)鍵是設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，將所求代數(shù)式的值轉(zhuǎn)化為求解OP的最大值，難度較大．附：1.如圖，直線分別與x、y軸交于點(diǎn)A、B，以O(shè)B為直徑作⊙M，⊙M與直線AB的另一個交點(diǎn)為D．〔1〕求∠BAO的大??；〔2〕求點(diǎn)D的坐標(biāo)；〔3〕過O、D、A三點(diǎn)作拋物線，點(diǎn)Q是拋物線的對稱軸l上的動點(diǎn)，探求：|QO﹣QD|的最大值．【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題．【專題】壓軸題．【分析】〔1〕根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，從而得到OA、OB的長度，再求出∠BAO的正切值，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求解即可；〔2〕連接OD，過D作DE⊥OA于點(diǎn)E，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠BDO=90°，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出OD，直角三角形兩銳角互余求出∠DOE=60°，然后解直角三角形求出OE、DE，再寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)即可；〔3〕根據(jù)二次函數(shù)的對稱性可得拋物線的對稱軸為OA的垂直平分線，再根據(jù)三角形的任意兩邊之差小于第三邊判斷出點(diǎn)Q為OD與對稱軸的交點(diǎn)時|QO﹣QD|=OD的值最大，然后求解即可．【解答】解：〔1〕∵直線y=﹣x+4分別與x、y軸交于點(diǎn)A、B，∴當(dāng)y=0時，﹣x+4=0，解得x=4；當(dāng)x=0時，y=4，∴A〔4，0〕，B〔0，4〕．∴OA=4，OB=4，