中考教育數(shù)學(xué)-數(shù)形結(jié)合專題

中考教育數(shù)學(xué)——數(shù)形結(jié)合專題中考教育數(shù)學(xué)——數(shù)形結(jié)合專題中考教育數(shù)學(xué)——數(shù)形結(jié)合專題適用文案

第九講數(shù)形結(jié)合思想

【中考熱門分析】

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中重要的思想方法，它依據(jù)數(shù)學(xué)識題中的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其數(shù)目關(guān)系，又揭示其幾何意義，使數(shù)目關(guān)系和幾何圖形奇妙的結(jié)合起來，并充分利用這類結(jié)合，研究解決問題的思路，使問題得以解決的思慮方法。幾何圖形的形象直觀，便于理解；代數(shù)方法的一般性，解題過程的操作性強(qiáng)，便于掌握?！窘?jīng)典考題講練】例1.（2015衢州）如圖，已知直線y3x3分別交x軸、y軸于點A、B，P是拋物線14yx22x5的一個動點，其橫坐標(biāo)為a，過點P且平行于y軸的直線交直線2y3x3于點Q，則當(dāng)PQ=BQ時，a的值是．4

例2.（2014?廣州）已知平面直角坐標(biāo)系中兩定點A（-1，0），B（4，0），拋物線

（）過點A、B，極點為C．點P（m，n）（n<0）為拋物線上一點．

1）求拋物線的分析式與極點C的坐標(biāo)．

2）當(dāng)∠APB為鈍角時，求m的取值范圍．

（3）若，當(dāng)∠為直角時，將該拋物線向左或向右平移t（）個單位，點APB、挪動后對應(yīng)的點分別記為、，能否存在t，使得首尾挨次連結(jié)、、、所PCAB組成的多邊形的周長最短？若存在，求t值并說明拋物線平移的方向；若不存在，請說明理由．

分析：（1）待定系數(shù)法求分析式即可，求得分析式后變換成極點式即可．

2）由于AB為直徑，因此當(dāng)拋物線上的點P在⊙C的內(nèi)部時，知足∠APB為鈍角，因此-1＜m＜0，或3＜m＜4．

（3）左右平移時，使A′D+DB″最短即可，那么作出點C′對于x軸對稱點的坐標(biāo)為C″，獲得直線P″C″的分析式，此后把A點的坐標(biāo)代入即可．

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答案：(1)解:依題意把的坐標(biāo)代入得:;解得:

拋物線分析式為

極點橫坐標(biāo),將代入拋物線得

(2)如圖,當(dāng)時,設(shè),

則

過作直線軸,

(注意用整體代入法)

解得

,

當(dāng)在之間時，

或時，為鈍角.

(3)依題意，且

設(shè)挪動（向右，向左）

連結(jié)

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則

又的長度不變

四邊形周長最小，只要最小即可

將沿軸向右平移5各單位各處

沿軸對稱為

∴當(dāng)且僅當(dāng)、B、三點共線時，最小，且最小為，此時

，設(shè)過的直線為，代入

∴即

將代入，得：，解得：

∴當(dāng)，P、C向左挪動單位時，此時四邊形ABP’C’周長最小。

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例3.（2012杭州）如圖，AE切⊙O于點E，AT交⊙O于點M，N，線段OE

交AT于點C，OB⊥AT于點B，已知∠EAT＝30°，，．（1）

求∠COB的度數(shù)；（2）求⊙O的半徑R；（3）點F在⊙O上（是劣

?。褽F＝5，把△OBC經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相像變換后，使它的兩個極點分別與點E，F(xiàn)重合．在EF的同一側(cè)，這樣的三角形共有多少個？你能在此中找出另一個極點在⊙O上的三角形嗎？請在圖中畫出這個三角形，并求出這個三角形與△OBC的周長之比．

解：(1)∵AE切⊙O于點E，∴OE⊥AE，

∵OB⊥AT，∴在△CAE和△COB中，∠AEC＝∠CBO＝90°，

而∠BCO＝∠ACE，∴∠COB＝∠A＝30°.(3分)

圖(1)

(2)在Rt△ACE中，AE＝3，∠A＝30°，

∴EC＝AE·tan30°＝3.

如圖(1)，連結(jié)OM，

在Rt△MOB中，OM＝R，MB＝＝，

∴OB＝＝.

在Rt△COB中，∠COB＝30°，

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∴OC＝.

∵OC＋EC＝R，∴·＋3＝R

整理得R2＋18R－115＝0，即(R＋23)(R－5)＝0，

∴R＝－23(不符合題意，舍去)，或R＝5，∴R＝5.(8分)(3)在EF的同一側(cè)，知足題意的三角形共有6個，如圖(2)(3)(4)，每個圖有2個知足題意的三角形．能找出另一個極點也在⊙O上的三角形，如圖(1)，延伸交⊙O于，連結(jié)，則△DFEEODDF為符合條件的三角形．

圖(2)圖(3)圖(4)

由題意得，△DFE∽△OBC.

由(2)得，＝2＝10，＝＝2，∴＝＝＝5.(14分)DEROC【解答策略提煉】

解題策略，數(shù)形結(jié)合思想包含“以形助教”和“以數(shù)助形”兩個方面，即用數(shù)形結(jié)合思想解題可分兩類：一是依形判教，用形解決數(shù)的問題，常有于借助數(shù)軸、函數(shù)圖像、幾何圖形來

求解代數(shù)問題；二十就數(shù)論形，用數(shù)解決形的問題，常有于運用恒等變形、成立方程（組）、面積變換等求解幾何問題。

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【專項達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】

一、填空題

1.以以下圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD=AB=6，BC=14，點M是線段BC上一

定點，且MC=8，動點P從C點出發(fā)沿C→D→A→B的路線運動，運動到點B停止，在點P的

運動過程中，使△PMC為等腰三角形的點P有（）個。

2.已知拋物線y=ax2-2ax-1+a(a>0)與直線x=2,x=3,y=1圍成的正方形有公共點，則a的取值

范圍是。3.如圖，拋物線y=1x2+bx-2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，且A（-1,0），點M2

（m,0）是x軸上的一個動點，當(dāng)MC+MD的值最小時，m的值是24/41。

4.拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，若△ABC

是直角三角形，則ac=.

如圖，半徑為r1的圓內(nèi)切于半徑為r2的圓，切點為P，過圓心O1的直線與⊙O2交于A、B，與⊙O1交于C、D，已知AC：CD：DB=3：4：2，則r1=．r2

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二、解答題

（1）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC、CD上分別找一點M、N,使△AMN周長最小時，求∠AMN+∠ANM的度數(shù)。

2）如圖，直線y=k1x+b與雙曲線y=k2交于A、B兩點，其橫坐標(biāo)分別為1和x5，求不等式k1x<k2+b的解集。x

如圖，AC為⊙O的直徑，B是⊙O外一點，AB交⊙O于E點，過E點作⊙O的切線，交BC于D點，DE=DC,作EF⊥AC于F點，交AD于M點。（1）求證：BC是⊙O的

切線。（2）EM=FM.

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（2015?鄂州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=x+2與x軸交于點A，與y軸

交于點C．拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=﹣且經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為點

B．

（1）①直接寫出點B的坐標(biāo)；②求拋物線分析式．

（2）若點P為直線AC上方的拋物線上的一點，連結(jié)PA，PC．求△PAC的面積的最大值，并

求出此時點P的坐標(biāo)．

3）拋物線上能否存在點M，過點M作MN垂直x軸于點N，使得以點A、M、N為極點的三角形與△ABC相像？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明原因．

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【基礎(chǔ)要點輪動】選擇題1.（-1）-1+（π-3）0+√（-2）2的值為（）2A.-1B.-3C.1D.02.要使分式5存心義，則x的取值范圍是（）x1A.x1B.x<1C.x>1D.x≠-13.對于函數(shù)，以下說法錯誤的選項是（）

它的圖象散布在一、三象限

B.它的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形C.當(dāng)x＞0時，y的值隨x的增大而增大

當(dāng)x＜0時，y的值隨x的增大而減小

如圖，PA、PB是⊙O的切線，切點是A、B，已知∠P=60°，OA=3，那么∠AOB所對弧的長

度為（）。

A.6πB.5πC.3πD.2π

拋物線y=x2+bx+c（a≠0）圖像向右平移2個單位再向下平移3個單位，所得的圖像分析

式為=x2-2x-3，則b，c的值為（）。

A.b=2，c=2B.b=2，c=0C.b=-2，c=-1D.b=-3，c=2

6.如圖，△ABC中，CD⊥AB，垂足為D。以下條件中，不可以夠證明△ABC是直角三角形的是（）

A.∠A+∠B=90°

222B.AB=AC+BC

C.

D.CD2=AD?BD

7.以下命題是真命題的是（）

對角線相互垂直且相等的四邊形是正方形

B．有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等

C．兩條對角線相等的平行四邊形是矩形

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D．兩邊相等的平行四邊形是菱形8.以以下圖，正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點稱為格點。已知A、B是兩格點，假如C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則C點的個數(shù)是（C）

A．6B．7C．8D．9

填空題

如圖，直線l1∥l2∥l3,點A、B、C分別在在直線l1、l2、l3上，若∠1=70°,

∠2=50°，則∠ABC=度。

第9題圖第10題圖10.如圖某水庫堤壩橫斷面迎水坡AB的坡比是1：3，堤壩高BC=50m，則迎水坡面AB的長度是。11.某課外小組的同學(xué)們在社會實踐活動中檢查了20戶家庭某月的用電量，以下表所示：用電量（度）120140160180200戶數(shù)23672則這20戶家庭該月用電量的眾數(shù)和中位數(shù)分別是。

已知菱形ABCD的邊長是8，點E在直線AD上，若DE=3，連結(jié)BE與對角線AC訂交于

點M，則S△ABM：S△CBM的值為。

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第10講綜合性解答問題

【中考熱門分析】

代數(shù)型綜合題是指以代數(shù)知識為主的或以代數(shù)變形技巧為主的一類綜合題，波及知識：主要包含方程、函數(shù)、不等式等內(nèi)容。解題策略：用到的數(shù)學(xué)思想方法有化歸思想、分類思想、數(shù)形結(jié)合思想以及代入法、待定系數(shù)法、配方法等。

幾何型綜合題是指以幾何知識為主或許以幾何變換為主的一類綜合題。波及知識：主要包含幾何的定義、公義、定理、幾何變換等內(nèi)容。解題策略：解決幾何型綜合題的要點是把代數(shù)知識與幾何圖形的性質(zhì)以及計算與證明有機(jī)交融起來，進(jìn)行分析、推理，從而達(dá)到解決問題的目的。

代數(shù)和幾何型綜合題是指以代數(shù)知識與幾何知識綜合運用的一類綜合題。波及知識：代數(shù)與幾何的重要知識點和多種數(shù)學(xué)思想方法。

【經(jīng)典考題講練】

例1.如圖，已知矩形OABC中，OA＝2，AB＝4，雙曲線yk（k＞0）與矩形兩x

邊AB、BC分別交于E、F。

1）若E是AB的中點，求F點的坐標(biāo)；

2）若將△BEF沿直線EF對折，B點落在x軸上的D點，作EG⊥OC，垂足為G，證明△EGD

∽△DCF，并求k的值。

y

EAB

F

xOGDC

例1題圖

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例2.（2014?十堰）已知拋物線C1：y=a（x+1）2﹣2的極點為A，且經(jīng)過點B（﹣2，﹣1）．（1）求A點的坐標(biāo)和拋物線C1的分析式.

（2）如圖1，將拋物線C1向下平移2個單位后獲得拋物線C2，且拋物線C2與直線AB訂交

于C，D兩點，求S△OAC：S△OAD的值.

（3）如圖2，若過P（﹣4，0），Q（0，2）的直線為l，點E在（2）中拋物線C2對稱軸右

側(cè)部分（含極點）運動，直線m過點C和點E．問：能否存在直線m，使直線l，m與x軸圍

成的三角形和直線l，m與y軸圍成的三角形相像？若存在，求出直線m的分析式；若不存

在，說明原因．

分析：（1）由拋物線的極點式易得極點A坐標(biāo)，把點B的坐標(biāo)代入拋物線的分析式即可解決問題．（2）依據(jù)平移法例求出拋物線C2的分析式，用待定系數(shù)法求出直線AB的分析式，再經(jīng)過解方程組求出拋物線C2與直線AB的交點C、D的坐標(biāo)，就能夠求出S△OAC：S△OAD的值．（3）設(shè)直線m與y軸交于點G，直線l，m與x軸圍成的三角形和直線l，m與y軸圍成的三角形形狀、地點跟著點G的變化而變化，故需對點G的地點進(jìn)行討論，借助于相像三角形的判斷與性質(zhì)、三角函數(shù)的增減性等知識求出符合條件的點G的坐標(biāo)，從而求出相應(yīng)的直線m的分析式．

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例3.（10分）（2015?桂林）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，AB=4，PC、PD是⊙

O的兩條切線，C、D為切點．

（1）如圖1，求⊙O的半徑；

（2）如圖1，若點E是BC的中點，連結(jié)PE，求PE的長度；

（3）如圖2，若點M是BC邊上隨意一點（不含B、C），以點M為直角極點，在BC的上方作∠AMN=90°，交直線CP于點N，求證：AM=MN．

分析：（1）利用切線的性質(zhì)以及正方形的判斷與性質(zhì)得出⊙O的半徑即可；

2）利用垂徑定理得出OE⊥BC，∠OCE=45°，從而利用勾股定理得出即可；

3）在AB上截取BF=BM，利用（1）中所求，得出∠ECP=135°，再利用全等三角形的判斷與性質(zhì)得出即可．

【解答策略提煉】

1、代數(shù)綜合題是以代數(shù)知識及代數(shù)變形為主的綜合題。主要包含方程、函數(shù)、不等式等內(nèi)容。解題策略：用到的數(shù)學(xué)思想方法有化歸思想、分類思想、數(shù)形結(jié)合思想以及代入法、待定系數(shù)法、配方法等。解代數(shù)綜合題要注意方程、不等式和函數(shù)、統(tǒng)計等知識點之間的橫向聯(lián)系和數(shù)學(xué)思想方法、解題技巧的靈巧運用，要抓住題意，化整為零，層層深入，各個擊破，從而解決問題。

2、幾何綜合題察看的圖形種類多、條件隱晦，在察看方法上要注意從三角形、四邊形、圓的定義、性質(zhì)、判斷來察看分析圖形，經(jīng)過找尋、分解、結(jié)構(gòu)基本圖形以發(fā)現(xiàn)圖形特點；在思慮方法上分析發(fā)掘題目的隱含條件，注意結(jié)合代數(shù)知識與幾何圖形的性質(zhì)思慮，不停的由已知想未知，為解決問題創(chuàng)辦條件。

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【專項達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】

一、填空題

1.如圖，在四邊形ABCD中，AB=4,BC=7，CD=2，AD=x,則x的取值范圍是。2.如圖，在△ABC中，AB=AC，D在AB上，BD=AB，則∠A的取值范圍是。AAxD4D2B7CBC第1題圖第2題圖3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4.若以C點為圓心，r為半徑所作的圓與斜邊AB只有一個公共點，則r的取值范圍是。如圖，矩形ABCD中，E為DC的中點，AD：AB=：2，CP：BP=1：2，連結(jié)EP并延伸，交AB的延伸線于點F，AP、BE訂交于點O．以下結(jié)論：①EP均分∠CEB；②△EBP∽△EFB；③

△ABP∽△ECP；④AO?AP=OB2．此中正確的序號是．（把你以為正確的序

號都填上）

5.（2015南通）對于X的一元二次方程ax2-3x-1=0的兩個不相等的實數(shù)根都在-1和0之間

（不包含-1和0），則a的取值范圍是。

二、解答題

6.（2014牡丹江）(2014年黑龍江牡丹江)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于點D．點P從點D出發(fā)，沿線段DC向點C運動，點Q從點C出發(fā)，沿線段CA向點

A運動，兩點同時出發(fā)，速度都為每秒1個單位長度，當(dāng)點P運動到C時，兩點都停止．設(shè)運動時間為t秒．

1）求線段CD的長；

2）設(shè)△CPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并確立在運動過程中能否存在某一

時刻t，使得S△：S△=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，說明原因．CPQABC

（3）當(dāng)t為什么值時，△CPQ為等腰三角形？

備用圖1備用圖2

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7.（2013?連云港）如圖，已知一次函數(shù)y=2x+2的圖像與y軸交于點B，與反比率函數(shù)y=k1/x的圖像的一個交點為A（1，m），過點B作AB的垂線BD，與反比率函數(shù)y=k2/x交于點D（n,-2）.

1）求k1和k2的值；

2）若直線AB、BD分別交x軸于點C、E，試問在y軸上能否存在一個點F，使得△BDF∽△ACE？若存在，求出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明原因．

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8.(2015溫州)如圖，AB是半圓O的直徑，CD⊥AB于點C，交半圓于點E，DF切半圓于點F.已知∠AEF=135°.

1）求證：DF∥AB；

2）若OC=CE，BF=22，求DE的長.

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（2015?海南）如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖象與x軸訂交于點A（﹣3，0）、B（1，

0），與y軸訂交于點C，點G是二次函數(shù)圖象的極點，直線GC交x軸于點H（3，0），AD

平行GC交y軸于點D．

（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）求證：四邊形ACHD是正方形；

（3）如圖2，點M（t，p）是該二次函數(shù)圖象上的動點，而且點M在第二象限內(nèi)，過點M

的直線y=kx交二次函數(shù)的圖象于另一點N．

①若四邊形ADCM的面積為S，懇求出S對于t的函數(shù)表達(dá)式，并寫出t的取值范圍；

②若△CMN的面積等于，懇求出此時①中S的值．

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【基礎(chǔ)要點輪動】

一．選擇題

（2013.山西）解分式方程

2+x+2=3時，去分母后變形為（）x-11-x

A．2+（x+2）=3（x-1）B．2-x+2=3（x-1）C．2-（x+2）=3（1-x）D．2-（x+2）=3（x-1）

2.

A.2B.C.D.

3.以下交