歷年自主招生試題分類匯編立體幾何

歷年自主招生試題分類匯編——立體幾何1.（2014年北約）圓心角為60的扇形面積為6,求它圍成的圓錐的表面積.【解】設(shè)扇形的半徑為r,則由613r2,得r6.2于是扇形的弧長為l62,其即為圓錐的底面周長,于是圓錐的底面半徑為1,3所以底面面積為12,也所以圓錐的表面積為S67.（3）（2012年華約）正四棱錐

S

ABCD

中，側(cè)棱與底面所成角為

，側(cè)面與底面所成二面角為

，側(cè)棱

SB與底面正方形

ABCD的對(duì)角線

AC所成角為

，相鄰兩側(cè)面所成二面角為

，則

,

,,

之間的大小關(guān)系是（

B）(A)

(B)

(C)

(D)解：設(shè)正四棱錐的高是 h,底面邊長為a可求cos=2a,cos=a,cos=0,因?yàn)?aa0,所以，下面求2h2h2h2h2cos，過B作BMSC于M，連接DM，由對(duì)稱性，可知DMSC，所以DMB為二面角BSCD的平面角，可以計(jì)算出2a2(h21a2)cos120，所以為鈍角.選B.2a2(h21a2)4（7）（2012年華約）已知三棱錐SABC的底面ABC為正三角形，點(diǎn)A在側(cè)面SBC上的射影H是ABC的垂心，二面角HABC為30°，且SA2，則此三棱錐的體積為（）1(B)33(D)3(A)2(C)424解：連接BH交SC于M，因此BMSC，又AHSC，因此SC平面ABM，所以SCAB，過M作MNAB，連接CM，因此AB平面SCN，從而ABCN，三角形ABC為等邊三角形，因此N為AB的中點(diǎn)，又SNAB，由三角形SAN和三角形SAN和三角形SBN全等，可以得到SA=SB，類似的做法可以證明SASBSC2，S在地面射影為三角形ABC中心。由MNC是二面角HABC的平面角，因此MNC30，設(shè)三角形ABC邊長為a，在直角三角形MNC中,CN33a,MN3a,CM4a,；因此得到，在直角三角243，從而三角形a形BMC中，cosSCBSBC中，cosSCB2，得到a3.三棱錐42的體積為V1SMABSC1133323.332442、（2011年華約）在正四棱錐P-ABCD中，M、N分別為PA、PB的中點(diǎn)，且側(cè)面與底面所成二面角的正切為

2

。則異面直線

DM

與

AN

所成角的余弦為

(

)1A、

1B、

1C、

1D、3

6

8

12zP zMNDCOyABx[分析]本題有許多條件，可以用“求解法”，即假設(shè)題中的一部分要素為已知，利用這些條件來確定其余的要素。本題中可假設(shè)底面邊長為已知（不妨設(shè)為2），利用側(cè)面與底面所成二面角可確定其他要素，如正四棱錐的高等。然后我們用兩種方法，一種是建立坐標(biāo)系，另一種是平移其中一條線段與另一條在一起。解法一：如圖，設(shè)底面邊長為2，則由側(cè)面與底面所成二面角的正切為2得高為2。如圖建立坐標(biāo)系，則A(1，-1，0)，B(1，1，0)，C(-1，1，0)，D(-1，-1，0)，P(0，0，2)，112112312(132則M(,,),N(,,)，DM(,,),AN,,)。設(shè)所成的角222222222222為θ，則cosDMAN1DMAN。6解法二：如圖，設(shè)底面邊長為2，則由側(cè)面與底面所成二面角的正切為2得高為2。平移DM與AN在一起。即M移到N，D移到CD的中點(diǎn)Q。于是QN=DM=AN。而PA=PBP zM ND COA B=AB=2，所以QN=AN=3，而AQ=5，容易算出等腰AQN的頂角cosANQ1。解法三：也可以平移AN與DM在一起。即A移到M，N移到PN的中點(diǎn)Q。以下略。6，，b都成45°角6、（2011年華約）已知異面直線ab成60°角。A為空間一點(diǎn)則過A與a的平面 ( )A有且只有一個(gè) B有且只有兩個(gè) C有且只有三個(gè) D有且只有四個(gè)[分析]已知平面過 A，再知道它的方向， 就可以確定該平面了。 因?yàn)樯婕暗狡矫娴姆较颍覀兛紤]它的法線，并且假設(shè) a，b為相交直線也沒關(guān)系。于是原題簡化為：已知兩條相交直線a，b成60°角，求空間中過交點(diǎn)與a，b都成45°角的直線。答案是4個(gè)。12、（2011年華約）已知圓柱形水杯質(zhì)量為 a克，其重心在圓柱軸的中點(diǎn)處（杯底厚度及重量忽略不計(jì)，且水杯直立放置）。質(zhì)量為b克的水恰好裝滿水杯，裝滿水后的水杯的重心還有圓柱軸的中點(diǎn)處。I）若b=3a，求裝入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距離與水杯高的比值；II）水杯內(nèi)裝多少克水可以使裝入水后的水杯的重心最低？為什么？解：不妨設(shè)水杯高為1。（I）這時(shí)，水杯質(zhì)量 ：水的質(zhì)量 =2：3。水杯的重心位置（我們用位置指到水杯底面的1，水的重心位置為1，所以裝入半杯水的水杯的重心位置為21317距離）為24242320(II)當(dāng)裝入水后的水杯的重心最低時(shí)，重心恰好位于水面上。設(shè)裝x克水。這時(shí)，水杯質(zhì)量：水的質(zhì)量=a：x。水杯的重心位置為1，水的重心位置為x，水面位置為x，于是a1x22bbxx22b，解得x2abaaxba3．（2010年華約）已知平面α//平面β，直線m,n，點(diǎn)Am,Bn,AB與平面α的夾角為，ABn，AB與m的夾角為，則m與n的夾角為（B）．43（A）n/3（B）n/4（C）n/6（D）n/84．（2010年華約）正四棱錐P-ABCD中，B1為PB的中點(diǎn)，D1為PD的中點(diǎn)，則兩個(gè)棱錐A-B1CD1與P-ABCD的體積之比VAB1CD1（C）．VPABCD（A）1:6（B）1:5（C）1：4（D）1:310．（2010年華約）設(shè)定點(diǎn)A、B、C、D是以O(shè)點(diǎn)為中心的正四面體的頂點(diǎn)，用表示空間以直線OA為軸滿足條件(B)C的旋轉(zhuǎn)，用表示空間關(guān)于OCD所在平面的鏡面反射，設(shè)l為過AB中點(diǎn)與CD中點(diǎn)的直線，用表示空間以l為軸的180°旋轉(zhuǎn)．設(shè)表示變換的復(fù)合，先作，再作。則可以表示為（D）（A）（B）（C）（D）13．（2010年華約）（Ⅰ）正四棱錐的體積V2，求正四棱錐的表面積的最小值；3（Ⅱ）一般地，設(shè)正n棱錐的體積V為定值，試給出不依賴于n的一個(gè)充分必要條件，使得正n棱錐的表面積取得最小值．2a，高為h．則正四棱錐的體積解：（Ⅰ）設(shè)正四棱錐的底面正方形的邊長為V4a2h2.33正四棱錐的表面積 S 4(a2 a a2 h2).從而S32S38(a)2(11(h)2)3.9V2ha令t(h)2,設(shè)f(t)1(11t)3,t0at則f'(t)(11t)2(t221t).2t21t令f'(t)0,解得t8.當(dāng)0t8時(shí)，f'(t)0,當(dāng)t8時(shí)，f'(t)0.f(t)當(dāng)t8時(shí)取得最小值f(8)8正四棱錐的表面積的最小值為4.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，正棱錐的表面積取得最小值。由于正棱錐的表面積與底面機(jī)之比為可知使正棱錐的表面積取得最小值得一個(gè)充分必要條件是正棱錐的表面積是地面積的4倍。3.（2014年卓越聯(lián)盟）三棱錐PABC中,底面ABC是等腰三角形,ACB90,又PA平面ABC,PBCA60,S3ABAPC.求6【解】sinABPACsinBAC22【評(píng)析】目前得到的題目可能有誤,請(qǐng)同學(xué)們及時(shí)反饋正確題目.（2013年卓越聯(lián)盟文）如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，BCAC，BCAC2，AA13，D為棱AC的中點(diǎn)．⑴證明AB1∥平面BDC1；⑵求直線AB1與平面BCC1B1所成角的正切值．B1BB1BEC1CC1CA1DA1DAA答案:⑴（本小問 6分）連接B1C，交BC1于點(diǎn)E，則E為B1C中點(diǎn)．連接DE，由于D為棱AC的中點(diǎn)，所以在△ACB1中，

AB1∥DE

，又因?yàn)?/p>

DE

平面

BDC1，而且

AB1

平面

BDC1，所以

AB1∥平面

BDC1．⑵（本小問

7分）因?yàn)?/p>

AA1

底面

ABC，CC1∥AA1，所以

CC1

底面

ABC，故

CC1

AC．又因

BC

AC，于是

AC

平面

BCC1B1，所以

AB1C是直線

AB1與平面

BCC1B1所成的角．Rt△ACB1中，AC2，B1CBC2BB1213，P于是，tanAB1CAC2213．B1C1313所以，直線 AB1與平面BCC1B1所成角的正切值為 213．13A（9）（2012年卓越聯(lián)盟）如圖，在四棱錐P ABCD中，底面ABCD是直角梯形， AD∥DBC，AB BC，側(cè)面PAB 底面ABCD，PA AD AB 1，BC 2。（Ⅰ）證明：平面 PBC 平面PDC；（Ⅱ）若 PAB 120o，求二面角 B PD C的正切值。解答：（Ⅰ）由于平面 PAB 底面ABCD，且平面PAB 平面ABCD AB，BC AB，BC 平面ABP，BC 平面BCP，所以平面 PBC 平面PDC.

B

C（Ⅱ）由PAB120,APAB1AB3，由（Ⅰ）知BC平面ABPBCPB，且BC2PC7.,PAB平面ABCDAB，ADAB且ADAB，由于平面PAB底面ABCD且平面故AD平面PAB，從而ADAP，P再由ADAP1知PD2，易見CD2,BD2.設(shè)二面角BPDC的平面角的大小為，AD則由空間余弦定理知coscosBDCcosPDBcosPDC:BCsinPDBsinPDC易求得cosBDC0,cosPDB1,cosPDC3,sinPDB15,sinPDC7，4444故cos34646BPDC的正切值46,sin105,tan，即所求的二面角10533（2011年卓越聯(lián)盟）