第61講用初等變換化二次型為形

線性代數(shù)59主講 大 教 July July高等數(shù)學(xué)138講（優(yōu)酷網(wǎng)線性代數(shù)59講（優(yōu)酷網(wǎng)概率論與數(shù)理統(tǒng)計70講 傳課 考研題評講 傳課：:@:

July我在及線我在及線性代數(shù)59講受。課程高等數(shù)學(xué)138 各地大學(xué)生的課程的望對你的學(xué)習(xí)有所幫助希望此課件僅用望對你的學(xué)習(xí)有所幫助希望此課件僅用于你的學(xué)習(xí)。請尊大(聯(lián) 的著作權(quán)，切勿在大(聯(lián) July5.6第61講用初等變換化二次型為標準形大觀 July在第58~60這一講我們講用初等變換將二次型化為準形的方?jīng)]有這個內(nèi) July由上一講知，任何實對稱矩陣A，都存在可矩陣C，使 大CTAC 對角矩而可逆矩陣都大 C 其中Qi都是初等矩則(QQ...Q)TAQQ...Q則 QT...QTQTAQQ...Q July復(fù)習(xí)初等矩陣（27講由單復(fù)習(xí)初等矩陣（27講由單位陣E經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣初等矩陣有三種，分別對應(yīng)三種初等變E的第ij兩行(列)E(ij)非零數(shù)k乘以E的第i行(列)E(i(k))Ejki行，得初等矩陣E(ij(k))川 orE的i列k倍加到j(luò)列川 July復(fù)習(xí)：初等矩

大 July 交換E的第ij兩行(列)，得初等矩陣E(ij) 0

0 E

0r2

0 E(2,3)0

0c2

0 1

1 大 這種初等矩陣是對稱的正交陣：E(i, E(i,E(ij右乘AAi,jE(ij)TAAi,j July非零數(shù)k乘以E的第i行(列)，得初等矩陣E(i(k))0 00

0 E

r2

0 E(2(k))0 0 1 大

c2

0 1 四這種初等矩陣是對稱陣：E(i(k))T四

E(i(kE(i(kAAiE(i(k))TAAik JulyE的第j行的k倍加到第i行，得初等矩陣E(ij(k))。E的第i列的k倍加到第j列 0 0

0E

E(2,3(k)) 0

0 1

：這種初等矩陣不是對稱 E(i,j(k)TE(j,i(k： 0 大E(2,3(k

0E(3,2(k 0學(xué) 1學(xué)

July(3Ejki行，得初等矩陣E(ij(k))E的i列k倍加到j(luò) 0

E(2,3(k))

0 E(2,3(k))T0

E(3,2(k)) 0

0 01 1 01

這種初等矩陣不是川川

E(i,j(k))TE(j,i(k))E(ij(k右乘AAi列的kjE(ij(k))TAAikj JulyE(i,

這種初等矩陣是對稱E(ij)TE(iE(ijAAijE(ij)TAAijE(i,j)TAE(i,j)E(i,j)AE(i,先交換A的兩i,j列，得B， 再交換B的i,j兩行，得C。 JulyE(i(k))

這種初等矩陣E(i(k))TE(i(kE(i(k右乘AAiE(i(k))TAAik大E(i(k))TAE(i(k)) ))AE(i大先先將Ai列乘以非零k再將Bi行乘以非零k，C JulyE(i,j(k

這種初等矩陣不是對稱 E(i,j(k))TE(j,i(k))E(ij(k右乘AAi列的kjE(ij(k))TAAikj大E(i,j(k))TAE(i,j(k))E(j,i(k))AE(i,j(k))先將先將Aik倍加到j(luò)列再將Bik倍加到j(luò)行C July由上一講知，任何實對稱矩陣A，都存在可矩陣C，使CTAC對角矩 大而可逆矩陣都 C 其中Qi都是初等矩設(shè)(QQ...Q)TAQQ...Q設(shè) 大QT...QTQTAQQ...Q 大 July C 其中Qi都是初等矩得(QQ...Q)TAQQ...Q 大得 即QT...QTQTAQQ...Q對角即 2..Q大 QT...QTQTAQQ...Q E C

July用初等變換化m 2 1 E 1 2 m QT...QTm 2 1 E 1 2 m 行變換把對稱矩陣A化為對角陣Λ時，CTAC July用初等變換化用初等變換化A列變換行變換E C行變換把對稱矩陣A化為對角陣Λ時，CTAC同濟《線性代數(shù)》(五版)137頁31(3)題改 QT...QTQTAQQ...Q 大 E C大

列變換+行

E 210A101并求矩陣CCTAC

列變

C

July210

A 1 01

第二列減第一列的 第二行減第一行的 0 0大學(xué)210

11

014 0

0 4E

0

0

0

0

0

1

1 第二列的2倍加到第三第二第二列的2倍加到第三2 0 0

0

0

0

0 4 0 2

2

E

10

1

0 2

2 1 1

1

July2 0 0

0210

0

11

014

2 大

C1E 1

11 1 2

C 2大 大

1 1 210

2

A

1

0

01

A:=array([[2,1,0],[1,1,-1],[0,-C:=array([[1,-1/2,- 1 122

1

C

2 1 川大滿 CTAC 大

July角線元素全是1

第一列除以sqrt(2)第一列除以sqrt(2)第三列除以

0 0第一行除以sqrt(2)第二行乘以sqrt(2)第三行除以大第一行除以sqrt(2)第二行乘以sqrt(2)第三行除以 0

0

0

1

1 21

1

11

2

2

2 2 1 1

2 1 2

July 00210 0

0

11014

1 11 大

E

2 2

1 22

July 同濟《線性代數(shù)》(五版)137頁31(1) 112 大解

A1 0 5 5下面求可逆矩陣C，使 CTAC

ffx23x25x22xx4x123 則在變x=Cy下，f變成規(guī)范形 July11

對角

A1 0 第二列減第一 第二行減第一 5

第一列的2倍加到第三 第一行的2倍加到第三 11111211002022111210011 0 A2 5E10 E10 大 0大 1 July已對角 大 0 2

第三列減第二 0 0

第三行減第二 0 0

A 1 1 1E 1121

31 3 0

011

011 1

1

0 1

July 0

第二列除以 0

第二行除以 0 0大

0 0001

1

1

3 3E

1 3 011

1 四 四

1

0 1

1

1 July 0

11

100

0 A1 0

010

1

5 5

00

大 3 E C 1

CTAC2 12

xCy

xTAx(Cy)TA(CyT(CTAC)yyT

July11

100

A1 0

010

5 5

00

2C 12

11 1

x1

y1 1

x2