三角函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

..三角函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用目錄TOC\o"1-3"\h\u15500摘要：111066關(guān)鍵詞：138841引言1112191.1三角函數(shù)起源2130772三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)286062.1下列是關(guān)于三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式3136412.2兩角和、差的正弦、余弦、正切公式4224952.3二倍角的正弦、余弦、正切公式594793.三角函數(shù)與生活5301493.1火箭飛升問題556593.2電纜鋪設(shè)問題630313.3救生員營(yíng)救問題6151313.4足球射門問題7322163.5食品包裝問題8323113.6營(yíng)救區(qū)域規(guī)劃問題8135113.7住宅問題9301393.8最值問題1086794總結(jié)11AbstractTrigonometricfunctioninthecourseofhistoricaldevelopmentofcontinuousimprovement,hasformula,richthoughts,flexible,permeabilityisstrongandsoon。Thecharacteristicisnotonlyanimportantpartofscientificresearch,orinmathematicslearningtokeyanddifficult.Inaworditinteachingandotherfieldshasimportantrole.Inthispaper,wewillmakeabriefdiscussionabouttheapplicationoftrigonometricfunctionsinsolvingpracticalproblems.Keywords：mathematicstrigonometricfunctionApplicationoftrigonometricfunction摘要：三角函數(shù)在歷史的發(fā)展過程中不斷完善,具有公式多、思想豐富、變化靈活、滲透性強(qiáng)等特點(diǎn),不僅是科學(xué)研究的重要組成部分,還是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中得重點(diǎn)難點(diǎn),總之它在教學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用。本文將對(duì)一些關(guān)于三角函數(shù)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用做簡(jiǎn)單的討論。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)三角函數(shù)三角函數(shù)的應(yīng)用1引言三角函數(shù)是高中學(xué)習(xí)的一類基本的、重要的函數(shù),他是描述客觀世界中周期性變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型。三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)重要的基礎(chǔ)知識(shí)之一,有著廣泛的實(shí)際背景和應(yīng)用空間．三角函數(shù)包括三角函數(shù)的概念及關(guān)系、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)、正弦型函數(shù)的圖象及應(yīng)用、三角恒等變換、解三角形．它不但在生活中的很多方面都有很廣的應(yīng)用,如：潮汐和港口水深、氣象方面有氣溫的變化,天文學(xué)方面有白晝時(shí)間的變化,地理學(xué)方面有潮汐變化,物理方面有各種振動(dòng)波,生理方面有人的情緒、智力、體力等．測(cè)量山高測(cè)量樹高,確定航海行程問題,確定光照及房屋建造合理性等。在數(shù)學(xué)的很多問題研究方面都有著廣泛的應(yīng)用。三角函數(shù)是對(duì)函數(shù)概念的深化,也是溝通代數(shù),幾何,與平面向量等的一種工具。其中三角函數(shù)在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用也頗為廣泛。1.1三角函數(shù)起源"三角學(xué)",來自拉丁文。現(xiàn)代三角學(xué)一詞最初見於希臘文。最先使用這個(gè)詞的是皮蒂斯楚斯,他在1595年出版一本著作《三角學(xué):解三角學(xué)的簡(jiǎn)明處理》,創(chuàng)造了這個(gè)新詞。它是由<三角學(xué)>及<測(cè)量>兩字構(gòu)成的,原意為三角形的測(cè)量,或者說解三角形。當(dāng)時(shí)三角學(xué)還沒有形成一門獨(dú)立的科學(xué),而是依附于天文學(xué)。因此解三角形構(gòu)成了古代三角學(xué)的實(shí)用基礎(chǔ)。后來阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家專門的整理和研究三角學(xué),但是他們并沒有創(chuàng)立起一門獨(dú)立的三角學(xué)。最后是德國(guó)數(shù)學(xué)家雷基奧蒙坦納斯,真正把三角學(xué)作為數(shù)學(xué)的一個(gè)獨(dú)立學(xué)科進(jìn)行闡釋。"正三角函數(shù)包含于最早被稱為三角學(xué),"三角學(xué)"一詞來自拉丁文Trigonometry,原意是三角形。與其他科學(xué)一樣,三角學(xué)也是解決實(shí)際問題中發(fā)展起來的。近代三角學(xué)是從歐拉的《無窮分析引論》開始的。歐拉用小寫的拉丁字母a、b、c表示三角形的三邊,進(jìn)一步簡(jiǎn)化了三角公式。歐拉還引用sinz、cosz、tanz等表示z角的三角函數(shù)的簡(jiǎn)寫符號(hào),這是三角函數(shù)的現(xiàn)代形式。由于上述數(shù)學(xué)家及19世紀(jì)許多數(shù)學(xué)家的努力,形成了現(xiàn)代的三角函數(shù)符號(hào)與手拿教學(xué)的完整理論。2三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)在直角三角形ABC中,a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊,∠C為直角。則定義以下運(yùn)算方式：sinA=∠A的對(duì)邊長(zhǎng)/斜邊長(zhǎng),sinA記為∠A的正弦；sinA＝a/ccosA=∠A的鄰邊長(zhǎng)/斜邊長(zhǎng),cosA記為∠A的余弦；cosA＝b/ctanA=∠A的對(duì)邊長(zhǎng)/∠A的鄰邊長(zhǎng),tanA＝sinA/cosA＝a/btanA記為∠A的正切；當(dāng)∠A為銳角時(shí)sinA、cosA、tanA統(tǒng)稱為"銳角三角函數(shù)"。SinA＝cosBsinB＝cosA在平面直角坐標(biāo)系xOy中,從點(diǎn)O引出一條射線OP,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為θ,設(shè)OP=r,P點(diǎn)的坐標(biāo)為<x,y>。該直角三角形中,θ對(duì)邊為y臨邊為x斜邊為r,運(yùn)算方法見表一表1基本函數(shù)英文表達(dá)式語言描述正弦函數(shù)Sinesinθ=y/r角θ的對(duì)邊比斜邊余弦函數(shù)Cosinecosθ=x/r角θ的鄰邊比斜邊正切函數(shù)Tangenttanθ=y/x角θ的對(duì)邊比鄰邊余切函數(shù)Cotangentcotθ=x/y角θ的鄰邊比對(duì)邊正割函數(shù)Secantsecθ=r/x角θ的斜邊比鄰邊余割函數(shù)Cosecantcscθ=r/y角θ的斜邊比對(duì)邊2.1下列是關(guān)于三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式公式一：②P〔x,y,直線OP的反向延長(zhǎng)線OE交圓O于F點(diǎn),則F點(diǎn)的坐標(biāo)為F<－x,－y>由此可得到下列公式：公式二：公式三：公式四：公式五：由于,由公式四及公式五可得：公式六：公式五、公式六可以概括如下：的正弦〔余弦函數(shù)值,分別等于的余弦〔正弦函數(shù)值,前面加上一個(gè)把看成銳角的符號(hào)。2.2兩角和、差的正弦、余弦、正切公式2.3二倍角的正弦、余弦、正切公式3.三角函數(shù)與生活實(shí)際生活中,三角函數(shù)可以用來模擬很多周期現(xiàn)象,如物理中簡(jiǎn)諧振動(dòng)、生活中的潮汐現(xiàn)象,都可以建立三角函數(shù)的模型利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問題；很多最值問題也可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)來解決,房地產(chǎn)、航海、測(cè)量、國(guó)防中都能找到三角函數(shù)的影子。因而三角函數(shù)解決實(shí)際問題應(yīng)用極廣,解決實(shí)際問題有一定的優(yōu)越地位。3.1火箭飛升問題一枚運(yùn)載火箭從地面處發(fā)射,當(dāng)火箭到達(dá)點(diǎn)時(shí),從地面處的雷達(dá)站測(cè)得的距離是,仰角是．后,火箭到達(dá)點(diǎn),此時(shí)測(cè)得的距離是,仰角為?；鸺竭_(dá)點(diǎn)時(shí)距離發(fā)射點(diǎn)有多遠(yuǎn)？〔2火箭從點(diǎn)到點(diǎn)的平均速度是多少？解：〔1在中,〔km 火箭到達(dá)點(diǎn)時(shí)距發(fā)射點(diǎn)約在中,答：火箭從點(diǎn)到點(diǎn)的平均速度約為3.2電纜鋪設(shè)問題ACDBθ如圖,一條河寬a千米,兩岸各有一座城市的直線距離是b千米,今需鋪設(shè)一條電纜連與ACDBθ分析：設(shè)電纜為時(shí)費(fèi)用最少,因?yàn)楹訉挒槎ㄖ?為了表示的長(zhǎng),不妨設(shè)解：設(shè),∴總費(fèi)用為=問題轉(zhuǎn)化為求的最小值及相應(yīng)的θ值,而表示點(diǎn)與點(diǎn)斜率-ac倍,有圖可得在單位圓周上運(yùn)動(dòng),當(dāng)直線與圓弧切于點(diǎn)時(shí),u取到最小值。然后通過三角函數(shù)的邊角關(guān)系求出直線的斜率,再求出此時(shí)的最小值u即可,可以根據(jù)實(shí)際問題帶入求值。3.3救生員營(yíng)救問題ABCD如圖,某邊防巡邏隊(duì)在一個(gè)海濱浴場(chǎng)岸邊的點(diǎn)處發(fā)現(xiàn)海中的點(diǎn)有人求救,便立即派三名救生員前去營(yíng)救．1號(hào)救生員從點(diǎn)直接跳入海中；2號(hào)救生員沿岸邊〔岸邊看成是直線向前跑到點(diǎn),再跳入海中；3號(hào)救生員沿岸邊向前跑300米到離點(diǎn)最近的點(diǎn),再跳入海中．救生員在岸上跑的速度都是6米/秒,在水中游泳的速度都是2米/秒．若,,三名救生員同時(shí)從點(diǎn)出發(fā),請(qǐng)說明誰先到達(dá)營(yíng)救地點(diǎn)．ABCD解：〔1在中,．． ． 在中,,． 1號(hào)救生員到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間為〔秒,2號(hào)救生員到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間為〔秒,3號(hào)救生員到達(dá)B點(diǎn)所用的時(shí)間為〔秒 ,號(hào)救生員先到達(dá)營(yíng)救地點(diǎn)．3.4足球射門問題GEPCFBAD在訓(xùn)練課上,教練問左前鋒,若你得球后,沿平行于邊線的直線助攻到前場(chǎng)〔如圖,設(shè)球門寬米,球門柱到的距離米,那么你推進(jìn)到距底線多少米時(shí),為射門的最佳位置？〔即射門角最大時(shí)為射門的最佳位置？請(qǐng)你幫助左前鋒回答上述問題。GEPCFBAD分析：此題關(guān)鍵在于求解射門時(shí)最大射門角,此時(shí)就是最佳位置。若直接在非特殊中利用邊來求的最值,顯得比較繁瑣,注意到,而后兩者都在中,故可應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)求解。解：如圖,設(shè),,,=。若令,則=,當(dāng),即時(shí),取到最小值,從而可知時(shí),取得最大值,即時(shí),有最大值。故當(dāng)點(diǎn)距底線為米時(shí),為射門的最佳位置。依圖像知,在白天的9—15時(shí)這個(gè)時(shí)間段可供沖浪愛好者進(jìn)行沖浪運(yùn)動(dòng)。3.5食品包裝問題某糖果廠為了拓寬其產(chǎn)品的銷售市場(chǎng),決定對(duì)一種半徑為的糖果的外層包裝進(jìn)行設(shè)計(jì)。問能否設(shè)計(jì)出一個(gè)封閉的圓錐形狀的外包裝,其體積最小和所用材料達(dá)到最省？如果能,如何設(shè)計(jì)這個(gè)圓錐的底面半徑和高？此時(shí)所用的外包裝體積是多少？用料是多少？分析：要求該圓錐的全面積和體積,需要知道它的下底面半徑、母線及高,這些變量之間的關(guān)系可以通過一個(gè)"角"把它們聯(lián)系起來。PABCO解：如圖,設(shè)∠OAC=θ,則OC=1,下底面半徑AC=R=cotθ,母線長(zhǎng)l=,高h(yuǎn)=Rtan2θ,θ∈〔0,。則=πRl+πR2=πR<+R>=πR2<+1>=πcot2θ<+1>=;PABCOV=πR2h=πR2·Rtg2θ=πR3tg2θ=πctg3θ=π∴當(dāng)且僅當(dāng)tg2θ=1－tg2θ,即tgθ=時(shí),能使和V同時(shí)取到最小值,此時(shí)R=,h=2,即當(dāng)圓錐的下底面半徑和高分別為、2時(shí)能同時(shí)滿足條件,外包裝用料是8π,體積是。3.6營(yíng)救區(qū)域規(guī)劃問題如圖,在南北方向直線延伸的湖岸上有一港口,一機(jī)艇以千米/小時(shí)的速度從出發(fā),分鐘后因故障而停在湖里,已知機(jī)艇出發(fā)后先按直線前進(jìn),以后又改成正東,但不知最初的方向和何時(shí)改變方向。如何去營(yíng)救,用圖示表示營(yíng)救的區(qū)域。分析：要表示出一個(gè)區(qū)域,一般可在直角坐標(biāo)系中表示,所以應(yīng)首先建立直角坐標(biāo)系；題中涉及到方向問題,所以不妨用方向角作為變量來求解。解：以A為原點(diǎn),過A的南北方向直線為y軸建立直角坐標(biāo)系,如圖：設(shè)機(jī)艇的最初航向的方位角為θ,設(shè)OP方向前進(jìn)m到達(dá)點(diǎn)P,然后向東前進(jìn)到達(dá)點(diǎn)Q發(fā)生故障而拋錨。則,令點(diǎn)Q的坐標(biāo)為〔x,y,則θ∈[0,]。∴∵機(jī)艇中途東拐,。…………①又∵x+y=m<sinθ+cosθ>+n=msin<θ+>+n≥m+n=30,∴x+y≥30…………②滿足不等式組①和②的點(diǎn)Q〔x,y所在的區(qū)域,按對(duì)稱性知上圖陰影區(qū)域所示。3.7住宅問題在某小區(qū)內(nèi),有一塊地,這塊地有這樣三種情況：〔1是半徑為10米的半圓；〔2是半徑為10米,圓心角為的扇形；〔3是半徑為10米,圓心角為的扇形；在這塊地里種塊矩形的草皮,具體見下圖,應(yīng)如何設(shè)計(jì),使得此面積最大？面積的最大值是多少。分析：第一種情況,如圖所示：連結(jié),設(shè),則,,AθAθDBFECO這時(shí)此時(shí),點(diǎn)A、D分別位于點(diǎn)O的左右方處時(shí)S取得最大值100。θADBθADBFECO設(shè),則,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí),AθAθDBECO設(shè),則,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí),3.8最值問題如圖,是一塊邊長(zhǎng)為的正方形地皮,其中是一半徑為的扇形小山,其余部分都是平