概率統(tǒng)計常見題型與方法總結(jié)

..常見大題：全概率公式和貝葉斯公式問題B看做"結(jié)果",有多個"原因或者條件"可以導(dǎo)致B這個"結(jié)果"發(fā)生,考慮結(jié)果B發(fā)生的概率,或者求在B發(fā)生的條件下,源于某個原因的概率問題全概率公式：貝葉斯公式：一〔12分今有四個口袋,它們是甲、乙、丙、丁,每個口袋中都裝有只紅球和只白球。先從甲口袋中任取一只球放入乙口袋,再從乙口袋中任取一只球放入丙口袋,然后再從丙口袋中任取一只球放入丁口袋,最后從丁口袋中任取一球,問取到紅球的概率為多少？解表示從第個口袋放入第個口袋紅球,表示從第個口袋中任取一個球為紅球,2分則,2分2分依次類推2分二〔10分袋中裝有只正品硬幣,只次品硬幣〔次品硬幣的兩面均印有國徽,在袋中任取一只,將它投擲次,已知每次都出現(xiàn)國徽,問這只硬幣是次品的概率為多少？、解記={取到次品},={取到正品},={將硬幣投擲次每次都出現(xiàn)國徽}則,,―—５分三、〔10分一批產(chǎn)品共100件,其中有4件次品,其余皆為正品。現(xiàn)在每次從中任取一件產(chǎn)品進行檢驗,檢驗后放回,連續(xù)檢驗3次,如果發(fā)現(xiàn)有次品,則認為這批產(chǎn)品不合格。在檢驗時,一件正品被誤判為次品的概率為0.05,而一件次品被誤判為正品的概率為0.01?！?求任取一件產(chǎn)品被檢驗為正品的概率；〔2求這批產(chǎn)品被檢驗為合格品的概率。解設(shè)表示"任取一件產(chǎn)品被檢驗為正品",表示"任取一件產(chǎn)品是正品",則,,,〔1由全概率公式得〔2這批產(chǎn)品被檢驗為合格品的概率為四、在電報通訊中不斷發(fā)出信號‘0’和‘1’,統(tǒng)計資料表明,發(fā)出‘0’和‘1’的概率分別為0.6和0.4,由于存在干擾,發(fā)出‘0’時,分別以概率0.7和0.1接收到‘0’和‘1’,以0.2的概率收為模糊信號‘’；發(fā)出‘1’時,分別以概率0.85和0.05收到‘1’和‘0’,以概率0.1收到模糊信號‘’?！?求收到模糊信號‘’的概率；〔2當(dāng)收到模糊信號‘’時,以譯成哪個信號為好？為什么？解設(shè)="發(fā)出信號",="收到信號"。由題意知,,,?！?由全概率公式得4分。2分〔2由貝葉斯公式得,3分3分隨機變量函數(shù)的分布及其邊緣密度及其獨立性的判斷記住如下知識點：常見分布律和概率密度：一般正態(tài)分布的計算轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布去做：連續(xù)隨機變量X:二維隨機變量的分布函數(shù)：聯(lián)合密度：掌握如下解決隨機變量函數(shù)分布的解題方法：對于二維隨機變量函數(shù)的概率密度,注意：除了求隨機變量Z=X+Y的密度函數(shù)用公式：注意：先寫出聯(lián)合密度:,根據(jù)聯(lián)合密度寫出

或者,在平面x0z或者y0z上畫出被積函數(shù)不為零的區(qū)域,然后穿線通過區(qū)域確定x的上下限。他的函數(shù)Z=g<X,Y>的概率密度,只能使用分布函數(shù)法其步驟如下：第一步求聯(lián)合密度:,根據(jù)聯(lián)合密度寫出或者第二步求z的分布函數(shù)：難點是畫出二重積分的積分區(qū)域,然后把二重積分化為二次積分定上下限,畫圖：先畫出被積函數(shù)也就是聯(lián)合密度非零的區(qū)域,再確定區(qū)域與密度非零區(qū)域的重合區(qū)域就是二重積分的積分區(qū)域,穿線定積分限：然后左右穿或者上下穿個積分區(qū)域定內(nèi)限,求出分布函數(shù)第三步求密度函數(shù)：分析：一、設(shè)總體服從上的均勻分布,是來自總體的一個樣本,最大順序統(tǒng)計量,1．求隨機變量的概率密度；解：,其分布函數(shù)為而的分布函數(shù)為,二、〔10分設(shè)二維隨機變量的概率密度為〔1求常數(shù)的值；〔2求與的協(xié)方差。解〔1由,得〔2三〔16分設(shè)二維隨機變量的概率密度為求邊緣密度函數(shù),；求邊緣分布函數(shù),；判斷與是否相互獨立；求。<1>,當(dāng)≤0時,=0,于是=0當(dāng)＞0時,=,所以的邊緣概率密度為=的邊緣概率密度當(dāng)≤0時,=0當(dāng)＞0時=4分〔24分〔3獨立4分〔34分四〔１０分設(shè)隨機變量的概率密度為求隨機變量的分布函數(shù)。當(dāng)時,當(dāng)時,所以的分布函數(shù)為中心極限定理的問題：用正態(tài)分布近似計算共兩類：一類是二項分布的近似計算問題,即,這個公式給出了n較大時二項分布的概率計算方法。另一類是除二項分布之外的其他分布的獨立變量連加和的計算問題,設(shè)獨立同分布,近似有連加和服從正態(tài)分布：一、<14分>設(shè)糧倉內(nèi)老鼠的數(shù)目是一個服從泊松分布的隨機變量,且倉內(nèi)無鼠的概率為?！?寫出隨機變量的分布律；〔2試用中心極限定理計算,在200個同類糧倉內(nèi)老鼠總數(shù)超過350只的概率。解〔1；5分〔2表示任意老鼠個數(shù),由中心極限定理3分3分3分二、〔１０分某保險公司多年的統(tǒng)計資料表明,在索賠戶中被盜索賠戶占20%,以表示在隨意抽查的100個索賠戶中因被盜而向保險公司索賠的數(shù)?！?寫出的概率分布；〔2求被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的概率的近似值。[解]〔1,,〔2,根據(jù)棣莫佛—拉普拉斯中心極限定理三〔10分某銀行的柜臺替每一位顧客的服務(wù)時間〔單位：分鐘服從參數(shù)的指數(shù)分布,且各位顧客的服務(wù)時間是相互獨立的,試用中心極限定理計算,對100位顧客的總服務(wù)時間不超過240分鐘的概率。解設(shè)分別表示每一位顧客的服務(wù)時間,則它們相互獨立相同分布,且-------------------------------5分點估計的問題：矩估計和似然估計似然函數(shù)的構(gòu)造：例題分析：一、設(shè)總體的概率密度為是未知參數(shù),是來自的樣本,1．求的矩估計量；矩估計法:,令,=>求的最大似然估計量；判斷,是否為無偏估計解：最大似然估計法：設(shè)為樣本的觀察值,則似然函數(shù)為,按似然估計的思想,當(dāng)似然函數(shù)關(guān)于是增函數(shù),故。的最大似然估計量為。二〔10分設(shè)為樣本,總體的概率密度為求參數(shù)的最大似然估計量；問它是否為的無偏估計量解設(shè)是相應(yīng)的樣本值,則似然函數(shù)為=令為無偏估計量三、設(shè)是總體的樣本,的概率密度為其中.求和的最大似然估計量。設(shè)是的樣本值,則似然函數(shù),當(dāng)〔時,,令顯然,第二個等式是矛盾等式,所以由上述似然方程求不出和.由于,這表明是的嚴格遞增函數(shù),注意到〔,因此當(dāng)時最大.于是和的最大似然估計值,,于是和的最大似然估計量為,.四、〔10分設(shè)總體X的概率密度為其中是未知參數(shù)。設(shè)為總體的樣本。〔1求參數(shù)的最大似然估計量；〔2判斷是否為的無偏估計量。解〔1設(shè)是的觀測值,則似然函數(shù)為,。令,得,解得的最大似然估計量為〔2由于,是的無偏估計量。五〔10分設(shè)電池的壽命服從指數(shù)分布,其概率密度為其中為未知參數(shù),今隨機抽取5只,測得壽命如下：1150,1190,1310,1380,1420求電池的平均壽命的最大似然估計值。解似然函數(shù),3分3分令得2分2分六、設(shè)總體X的概率密度為其中是未知參數(shù).設(shè)為總體的樣本.求參數(shù)的矩估計量和最大似然估計量.解矩估計且,令,則從而的矩估計量最大似然估計設(shè)是的樣本觀測值,則似然函數(shù)為.取對數(shù)得,令,得,解得,所以,的最大似然估計量為.七、．設(shè)總體的分布律為,,其中為未知參數(shù)?，F(xiàn)抽得一個樣本：,,,求參數(shù)的矩估計值和極大似然估計值。解,由,即,得參數(shù)的矩估計值為統(tǒng)計量的分布判斷問題：主要利用性質(zhì)：獨立正態(tài)分布的線性組合還是正態(tài)分布三大分布的定義：例題分析：一、設(shè)是正態(tài)總體的樣本,1．試問服從什么分布〔指明自由度？且獨立,2．假定,求的分布。,,,又和相互獨立,故＝二．設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本,分別記為的樣本均值和樣本方差,求的分布。解,,且與相互獨立,所以,由于,且與相互獨立,因此由分布的定義得三、,.<1>證明都是的無偏估計量；〔2判斷中哪一個估計量更有效.利用卡方分布：四設(shè)是來自正態(tài)總體的樣本,記,,,求統(tǒng)計量的分布？設(shè)為X的樣本,求統(tǒng)計量的分布.六、．設(shè)總體,是X的樣本,統(tǒng)計量,〔服從分布,求參數(shù)的值和的分布的自由度。解由,得且相互獨立,即,且相互獨立。于是且相互獨立。所以當(dāng)時,該分布的自由度為2。假設(shè)檢驗和區(qū)間估計的題目類型：記住正態(tài)總體的抽樣分布定理,弄懂上分位數(shù)的含義,在密度曲線圖上用分位數(shù)給出各個分布的大概率區(qū)域和小概率區(qū)域能夠從圖上用分位數(shù)標出各種分布的雙側(cè)小概率區(qū)域和單側(cè)小概率區(qū)域,,。1〔10分某工廠生產(chǎn)銅線,根據(jù)長期積累的數(shù)據(jù)知,銅線的折斷力服從正態(tài)分布,方差為。今從某天生產(chǎn)的銅線中隨機抽取根,測得折斷力如下：,問該天生產(chǎn)的銅線折斷力與以往比較,其波動性有無顯著變化？檢驗假設(shè),統(tǒng)計量,則當(dāng)為真時,,拒絕域為或?，F(xiàn)在,,由于,即該天生產(chǎn)的銅線折斷力與以往比較,其波動性無顯著變化。2〔8分在某磚廠生產(chǎn)的一批磚中,隨機地抽取6塊,測量其抗斷強度<單位MPa>分別為3.3663.1063.2643.2873.1223.205設(shè)磚的抗斷強度服從正態(tài)分布,問能否認為這批磚的平均抗斷強度是3.250MPa？〔顯著性水平、解3分檢驗統(tǒng)計量,拒絕域3分算得2分接受3〔10分某化工廠一天中生產(chǎn)的化學(xué)制品產(chǎn)量〔單位：噸服從正態(tài)分布,今測得5天的產(chǎn)量分別為785,805,790,790,802。問是否可以認為日產(chǎn)量的均值顯著小于800？〔取解假設(shè)檢驗統(tǒng)計量-----------------------5分拒絕域,接受--4.是來自正態(tài)總體的樣本,其中參數(shù)和均未知,對于參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間,試問當(dāng)減少時該置信區(qū)間的長度如何變化？答：則μ的置信度為1－α的置信區(qū)間置信區(qū)間的長度,當(dāng)樣本容量給定時,減小的值會增大的值,相應(yīng)地變長。5、〔10分某燈泡生產(chǎn)車間為考察燈泡的壽命,從生產(chǎn)的一批燈泡中隨機抽取25只,測得平均壽命小時,標準方差小時。假設(shè)燈泡的壽命服從正態(tài)分布,〔1求總體方差的置信水平為95%的置信區(qū)間；〔2在顯著性水平條件下能否認為這批燈泡的平均壽命為2000小時？解〔1,,,。的置信水平為95%的置信區(qū)間為〔2在檢驗水平為5%的條件下檢驗假設(shè),選取檢驗統(tǒng)計量,當(dāng)原假設(shè)時,；該假設(shè)檢驗問題的拒絕域為由條件得由于,因此接受原假設(shè),即在檢驗水平為5%的條件下可以認為這批燈泡的平均壽命為2000小時。6.假設(shè)某種產(chǎn)品來自甲、乙兩個廠家,為考查產(chǎn)品性能的差異,現(xiàn)從甲乙兩廠產(chǎn)品中分別抽取了8件和9件產(chǎn)品,測其性能指標X得到兩組數(shù)據(jù),經(jīng)對其作相應(yīng)運算得假設(shè)測定結(jié)果服從正態(tài)分布,1．在顯著性水平下,能否認為？2．求的置信度為90%的置信區(qū)間,并從置信區(qū)間和假設(shè)