概率統(tǒng)計(jì)常見題型與方法總結(jié)

..常見大題：全概率公式和貝葉斯公式問(wèn)題B看做"結(jié)果",有多個(gè)"原因或者條件"可以導(dǎo)致B這個(gè)"結(jié)果"發(fā)生,考慮結(jié)果B發(fā)生的概率,或者求在B發(fā)生的條件下,源于某個(gè)原因的概率問(wèn)題全概率公式：貝葉斯公式：一〔12分今有四個(gè)口袋,它們是甲、乙、丙、丁,每個(gè)口袋中都裝有只紅球和只白球。先從甲口袋中任取一只球放入乙口袋,再?gòu)囊铱诖腥稳∫恢磺蚍湃氡诖?然后再?gòu)谋诖腥稳∫恢磺蚍湃攵】诖?最后從丁口袋中任取一球,問(wèn)取到紅球的概率為多少？解表示從第個(gè)口袋放入第個(gè)口袋紅球,表示從第個(gè)口袋中任取一個(gè)球?yàn)榧t球,2分則,2分2分依次類推2分二〔10分袋中裝有只正品硬幣,只次品硬幣〔次品硬幣的兩面均印有國(guó)徽,在袋中任取一只,將它投擲次,已知每次都出現(xiàn)國(guó)徽,問(wèn)這只硬幣是次品的概率為多少？、解記={取到次品},={取到正品},={將硬幣投擲次每次都出現(xiàn)國(guó)徽}則,,―—５分三、〔10分一批產(chǎn)品共100件,其中有4件次品,其余皆為正品?，F(xiàn)在每次從中任取一件產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn),檢驗(yàn)后放回,連續(xù)檢驗(yàn)3次,如果發(fā)現(xiàn)有次品,則認(rèn)為這批產(chǎn)品不合格。在檢驗(yàn)時(shí),一件正品被誤判為次品的概率為0.05,而一件次品被誤判為正品的概率為0.01?！?求任取一件產(chǎn)品被檢驗(yàn)為正品的概率；〔2求這批產(chǎn)品被檢驗(yàn)為合格品的概率。解設(shè)表示"任取一件產(chǎn)品被檢驗(yàn)為正品",表示"任取一件產(chǎn)品是正品",則,,,〔1由全概率公式得〔2這批產(chǎn)品被檢驗(yàn)為合格品的概率為四、在電報(bào)通訊中不斷發(fā)出信號(hào)‘0’和‘1’,統(tǒng)計(jì)資料表明,發(fā)出‘0’和‘1’的概率分別為0.6和0.4,由于存在干擾,發(fā)出‘0’時(shí),分別以概率0.7和0.1接收到‘0’和‘1’,以0.2的概率收為模糊信號(hào)‘’；發(fā)出‘1’時(shí),分別以概率0.85和0.05收到‘1’和‘0’,以概率0.1收到模糊信號(hào)‘’。〔1求收到模糊信號(hào)‘’的概率；〔2當(dāng)收到模糊信號(hào)‘’時(shí),以譯成哪個(gè)信號(hào)為好？為什么？解設(shè)="發(fā)出信號(hào)",="收到信號(hào)"。由題意知,,,?！?由全概率公式得4分。2分〔2由貝葉斯公式得,3分3分隨機(jī)變量函數(shù)的分布及其邊緣密度及其獨(dú)立性的判斷記住如下知識(shí)點(diǎn)：常見分布律和概率密度：一般正態(tài)分布的計(jì)算轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布去做：連續(xù)隨機(jī)變量X:二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)：聯(lián)合密度：掌握如下解決隨機(jī)變量函數(shù)分布的解題方法：對(duì)于二維隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度,注意：除了求隨機(jī)變量Z=X+Y的密度函數(shù)用公式：注意：先寫出聯(lián)合密度:,根據(jù)聯(lián)合密度寫出

或者,在平面x0z或者y0z上畫出被積函數(shù)不為零的區(qū)域,然后穿線通過(guò)區(qū)域確定x的上下限。他的函數(shù)Z=g<X,Y>的概率密度,只能使用分布函數(shù)法其步驟如下：第一步求聯(lián)合密度:,根據(jù)聯(lián)合密度寫出或者第二步求z的分布函數(shù)：難點(diǎn)是畫出二重積分的積分區(qū)域,然后把二重積分化為二次積分定上下限,畫圖：先畫出被積函數(shù)也就是聯(lián)合密度非零的區(qū)域,再確定區(qū)域與密度非零區(qū)域的重合區(qū)域就是二重積分的積分區(qū)域,穿線定積分限：然后左右穿或者上下穿個(gè)積分區(qū)域定內(nèi)限,求出分布函數(shù)第三步求密度函數(shù)：分析：一、設(shè)總體服從上的均勻分布,是來(lái)自總體的一個(gè)樣本,最大順序統(tǒng)計(jì)量,1．求隨機(jī)變量的概率密度；解：,其分布函數(shù)為而的分布函數(shù)為,二、〔10分設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為〔1求常數(shù)的值；〔2求與的協(xié)方差。解〔1由,得〔2三〔16分設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為求邊緣密度函數(shù),；求邊緣分布函數(shù),；判斷與是否相互獨(dú)立；求。<1>,當(dāng)≤0時(shí),=0,于是=0當(dāng)＞0時(shí),=,所以的邊緣概率密度為=的邊緣概率密度當(dāng)≤0時(shí),=0當(dāng)＞0時(shí)=4分〔24分〔3獨(dú)立4分〔34分四〔１０分設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為求隨機(jī)變量的分布函數(shù)。當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),所以的分布函數(shù)為中心極限定理的問(wèn)題：用正態(tài)分布近似計(jì)算共兩類：一類是二項(xiàng)分布的近似計(jì)算問(wèn)題,即,這個(gè)公式給出了n較大時(shí)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算方法。另一類是除二項(xiàng)分布之外的其他分布的獨(dú)立變量連加和的計(jì)算問(wèn)題,設(shè)獨(dú)立同分布,近似有連加和服從正態(tài)分布：一、<14分>設(shè)糧倉(cāng)內(nèi)老鼠的數(shù)目是一個(gè)服從泊松分布的隨機(jī)變量,且倉(cāng)內(nèi)無(wú)鼠的概率為。〔1寫出隨機(jī)變量的分布律；〔2試用中心極限定理計(jì)算,在200個(gè)同類糧倉(cāng)內(nèi)老鼠總數(shù)超過(guò)350只的概率。解〔1；5分〔2表示任意老鼠個(gè)數(shù),由中心極限定理3分3分3分二、〔１０分某保險(xiǎn)公司多年的統(tǒng)計(jì)資料表明,在索賠戶中被盜索賠戶占20%,以表示在隨意抽查的100個(gè)索賠戶中因被盜而向保險(xiǎn)公司索賠的數(shù)?！?寫出的概率分布；〔2求被盜索賠戶不少于14戶且不多于30戶的概率的近似值。[解]〔1,,〔2,根據(jù)棣莫佛—拉普拉斯中心極限定理三〔10分某銀行的柜臺(tái)替每一位顧客的服務(wù)時(shí)間〔單位：分鐘服從參數(shù)的指數(shù)分布,且各位顧客的服務(wù)時(shí)間是相互獨(dú)立的,試用中心極限定理計(jì)算,對(duì)100位顧客的總服務(wù)時(shí)間不超過(guò)240分鐘的概率。解設(shè)分別表示每一位顧客的服務(wù)時(shí)間,則它們相互獨(dú)立相同分布,且-------------------------------5分點(diǎn)估計(jì)的問(wèn)題：矩估計(jì)和似然估計(jì)似然函數(shù)的構(gòu)造：例題分析：一、設(shè)總體的概率密度為是未知參數(shù),是來(lái)自的樣本,1．求的矩估計(jì)量；矩估計(jì)法:,令,=>求的最大似然估計(jì)量；判斷,是否為無(wú)偏估計(jì)解：最大似然估計(jì)法：設(shè)為樣本的觀察值,則似然函數(shù)為,按似然估計(jì)的思想,當(dāng)似然函數(shù)關(guān)于是增函數(shù),故。的最大似然估計(jì)量為。二〔10分設(shè)為樣本,總體的概率密度為求參數(shù)的最大似然估計(jì)量；問(wèn)它是否為的無(wú)偏估計(jì)量解設(shè)是相應(yīng)的樣本值,則似然函數(shù)為=令為無(wú)偏估計(jì)量三、設(shè)是總體的樣本,的概率密度為其中.求和的最大似然估計(jì)量。設(shè)是的樣本值,則似然函數(shù),當(dāng)〔時(shí),,令顯然,第二個(gè)等式是矛盾等式,所以由上述似然方程求不出和.由于,這表明是的嚴(yán)格遞增函數(shù),注意到〔,因此當(dāng)時(shí)最大.于是和的最大似然估計(jì)值,,于是和的最大似然估計(jì)量為,.四、〔10分設(shè)總體X的概率密度為其中是未知參數(shù)。設(shè)為總體的樣本?！?求參數(shù)的最大似然估計(jì)量；〔2判斷是否為的無(wú)偏估計(jì)量。解〔1設(shè)是的觀測(cè)值,則似然函數(shù)為,。令,得,解得的最大似然估計(jì)量為〔2由于,是的無(wú)偏估計(jì)量。五〔10分設(shè)電池的壽命服從指數(shù)分布,其概率密度為其中為未知參數(shù),今隨機(jī)抽取5只,測(cè)得壽命如下：1150,1190,1310,1380,1420求電池的平均壽命的最大似然估計(jì)值。解似然函數(shù),3分3分令得2分2分六、設(shè)總體X的概率密度為其中是未知參數(shù).設(shè)為總體的樣本.求參數(shù)的矩估計(jì)量和最大似然估計(jì)量.解矩估計(jì)且,令,則從而的矩估計(jì)量最大似然估計(jì)設(shè)是的樣本觀測(cè)值,則似然函數(shù)為.取對(duì)數(shù)得,令,得,解得,所以,的最大似然估計(jì)量為.七、．設(shè)總體的分布律為,,其中為未知參數(shù)。現(xiàn)抽得一個(gè)樣本：,,,求參數(shù)的矩估計(jì)值和極大似然估計(jì)值。解,由,即,得參數(shù)的矩估計(jì)值為統(tǒng)計(jì)量的分布判斷問(wèn)題：主要利用性質(zhì)：獨(dú)立正態(tài)分布的線性組合還是正態(tài)分布三大分布的定義：例題分析：一、設(shè)是正態(tài)總體的樣本,1．試問(wèn)服從什么分布〔指明自由度？且獨(dú)立,2．假定,求的分布。,,,又和相互獨(dú)立,故＝二．設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的樣本,分別記為的樣本均值和樣本方差,求的分布。解,,且與相互獨(dú)立,所以,由于,且與相互獨(dú)立,因此由分布的定義得三、,.<1>證明都是的無(wú)偏估計(jì)量；〔2判斷中哪一個(gè)估計(jì)量更有效.利用卡方分布：四設(shè)是來(lái)自正態(tài)總體的樣本,記,,,求統(tǒng)計(jì)量的分布？設(shè)為X的樣本,求統(tǒng)計(jì)量的分布.六、．設(shè)總體,是X的樣本,統(tǒng)計(jì)量,〔服從分布,求參數(shù)的值和的分布的自由度。解由,得且相互獨(dú)立,即,且相互獨(dú)立。于是且相互獨(dú)立。所以當(dāng)時(shí),該分布的自由度為2。假設(shè)檢驗(yàn)和區(qū)間估計(jì)的題目類型：記住正態(tài)總體的抽樣分布定理,弄懂上分位數(shù)的含義,在密度曲線圖上用分位數(shù)給出各個(gè)分布的大概率區(qū)域和小概率區(qū)域能夠從圖上用分位數(shù)標(biāo)出各種分布的雙側(cè)小概率區(qū)域和單側(cè)小概率區(qū)域,,。1〔10分某工廠生產(chǎn)銅線,根據(jù)長(zhǎng)期積累的數(shù)據(jù)知,銅線的折斷力服從正態(tài)分布,方差為。今從某天生產(chǎn)的銅線中隨機(jī)抽取根,測(cè)得折斷力如下：,問(wèn)該天生產(chǎn)的銅線折斷力與以往比較,其波動(dòng)性有無(wú)顯著變化？檢驗(yàn)假設(shè),統(tǒng)計(jì)量,則當(dāng)為真時(shí),,拒絕域?yàn)榛颉，F(xiàn)在,,由于,即該天生產(chǎn)的銅線折斷力與以往比較,其波動(dòng)性無(wú)顯著變化。2〔8分在某磚廠生產(chǎn)的一批磚中,隨機(jī)地抽取6塊,測(cè)量其抗斷強(qiáng)度<單位MPa>分別為3.3663.1063.2643.2873.1223.205設(shè)磚的抗斷強(qiáng)度服從正態(tài)分布,問(wèn)能否認(rèn)為這批磚的平均抗斷強(qiáng)度是3.250MPa？〔顯著性水平、解3分檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,拒絕域3分算得2分接受3〔10分某化工廠一天中生產(chǎn)的化學(xué)制品產(chǎn)量〔單位：噸服從正態(tài)分布,今測(cè)得5天的產(chǎn)量分別為785,805,790,790,802。問(wèn)是否可以認(rèn)為日產(chǎn)量的均值顯著小于800？〔取解假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量-----------------------5分拒絕域,接受--4.是來(lái)自正態(tài)總體的樣本,其中參數(shù)和均未知,對(duì)于參數(shù)的置信度為的置信區(qū)間,試問(wèn)當(dāng)減少時(shí)該置信區(qū)間的長(zhǎng)度如何變化？答：則μ的置信度為1－α的置信區(qū)間置信區(qū)間的長(zhǎng)度,當(dāng)樣本容量給定時(shí),減小的值會(huì)增大的值,相應(yīng)地變長(zhǎng)。5、〔10分某燈泡生產(chǎn)車間為考察燈泡的壽命,從生產(chǎn)的一批燈泡中隨機(jī)抽取25只,測(cè)得平均壽命小時(shí),標(biāo)準(zhǔn)方差小時(shí)。假設(shè)燈泡的壽命服從正態(tài)分布,〔1求總體方差的置信水平為95%的置信區(qū)間；〔2在顯著性水平條件下能否認(rèn)為這批燈泡的平均壽命為2000小時(shí)？解〔1,,,。的置信水平為95%的置信區(qū)間為〔2在檢驗(yàn)水平為5%的條件下檢驗(yàn)假設(shè),選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,當(dāng)原假設(shè)時(shí),；該假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題的拒絕域?yàn)橛蓷l件得由于,因此接受原假設(shè),即在檢驗(yàn)水平為5%的條件下可以認(rèn)為這批燈泡的平均壽命為2000小時(shí)。6.假設(shè)某種產(chǎn)品來(lái)自甲、乙兩個(gè)廠家,為考查產(chǎn)品性能的差異,現(xiàn)從甲乙兩廠產(chǎn)品中分別抽取了8件和9件產(chǎn)品,測(cè)其性能指標(biāo)X得到兩組數(shù)據(jù),經(jīng)對(duì)其作相應(yīng)運(yùn)算得假設(shè)測(cè)定結(jié)果服從正態(tài)分布,1．在顯著性水平下,能否認(rèn)為？2．求的置信度為90%的置信區(qū)間,并從置信區(qū)間和假設(shè)