導(dǎo)數(shù)大題題型分類

導(dǎo)數(shù)大題題型分類答案題型一：直接法分類討論1.已知函數(shù)，.（1）若，求在上的最小值；（2）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增，故.（2）由題意，，①當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故，不合題意；②當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，從而在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，從而在上不能恒成立，不合題意；③當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，所以，從而在上單調(diào)遞減，結(jié)合知恒成立，滿足題意；綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.2．已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)任意恒有，求a．【解析】（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，對(duì)任意都有，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為當(dāng)時(shí)，由，得，時(shí)，，時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）因?yàn)閷?duì)任意恒有，所以設(shè)，根據(jù)題意，對(duì)任意，要求，，①當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，為上單調(diào)增函數(shù)，所以時(shí)，，時(shí)，，為上單調(diào)減函數(shù)，所以時(shí)，，此時(shí)，對(duì)任意恒有；②當(dāng)時(shí)，由得，，時(shí)，，為上單調(diào)增函數(shù)，因?yàn)?，所以，不符題意；③當(dāng)時(shí)，由得，，時(shí)，，為上單調(diào)減函數(shù)，因?yàn)?，所以，不符題意；④當(dāng)時(shí)，對(duì)任意都有，為R上單調(diào)減函數(shù)，所以時(shí)，，不符題意；綜上，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意恒有．題型二.導(dǎo)數(shù)恒成立之參變分離：3.已知函數(shù)，.（1）若的圖像在處的切線經(jīng)過點(diǎn)，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）由題知的定義域?yàn)?又，則.又因?yàn)?，所以切點(diǎn)為.所以，解得.（2）當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，不等式恒成立即不等式，恒成立.設(shè)，，則.因?yàn)?，所?所以在上單調(diào)遞減，從而.要使原不等式恒成立，即恒成立，故.即的取值范圍為.4．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）設(shè)，若在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，所以，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程，即.（2）由題意知：在上有兩個(gè)零點(diǎn)，顯然，由，得，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的最大值為，又，時(shí)，，故當(dāng)在上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.題型三.隱零點(diǎn)問題5．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)，討論在的單調(diào)性；（2）若，對(duì)任意恒成立，求整數(shù)k的最大值．【解析】（1）因?yàn)?，令，則．所以函數(shù)在單調(diào)遞增，從而，所以．由，得；由，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．（2）因?yàn)?，?duì)任意恒成立，所以．令，則，所以在R上單調(diào)遞增，又，，所以存在唯一的，使得，又，由（1）知當(dāng)時(shí)，，所以，所以存在唯一的，使得，即．當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，所以，，，又，所以k的最大值為．6,已知函數(shù)(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若，對(duì)任意的恒成立，求m的最大值.【答案】(1)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，極小值為，沒有極大值;(2)3【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)?，由，令可得，?dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴

函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，函數(shù)在時(shí)取極小值，極小值為，函數(shù)沒有極大值(2)當(dāng)時(shí)，不等式可化為，設(shè)，由已知可得，又，令，則，∴

在上為增函數(shù)，又，，∴存在，使得，即當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴

，∴

，∴m的最大值為3.7．已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）若對(duì)任意，都有恒成立，求整數(shù)a的最大值.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋⒁獾疆?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減。∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，在時(shí)取得極大值且極大值為，無極小值.（2）原不等式恒成立，變形有，∵x>1即在恒成立.設(shè)原問題等價(jià)于，，令，則，在單調(diào)遞增，，由零點(diǎn)存在定理有在存使即，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，利用，，，的最大值為4.題型四：利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值8．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；(2)若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；（2）求導(dǎo)得，按照、及結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以；（2），則，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；又，由（1）得，即，所以，當(dāng)時(shí)，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；此時(shí)，由（1）得當(dāng)時(shí)，，，所以，此時(shí)存在，使得，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，在無零點(diǎn)，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；綜上，a的取值范圍為.9.已知函數(shù).(1)若，求的極值；(2)求在區(qū)間上的最小值.【答案】(1)極大值，極小值；(2)答案見解析.【詳解】（1）由題設(shè)且，則，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，故在、上遞增，在上遞減，所以極大值，極小值.（2）由，當(dāng)時(shí)，在、上，在上，所以在、上遞增，在上遞減，故上最小值為；當(dāng)時(shí)，在上，即在上遞增，故上最小值為；當(dāng)時(shí)，在、上，在上，所以在、上遞增，在上遞減，若，上最小值為；若，上最小值為；若，上最小值為；綜上，時(shí)，最小值為；時(shí)，最小值為；時(shí)，最小值為.題型五零點(diǎn)問題10.已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【分析】（1）先算出切點(diǎn),再求導(dǎo)算出斜率即可（2）求導(dǎo),對(duì)分類討論,對(duì)分兩部分研究【詳解】（1）的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以切點(diǎn)為,所以切線斜率為2所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為（2）設(shè)若,當(dāng),即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點(diǎn),不合題意若,當(dāng),則所以在上單調(diào)遞增所以,即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒有零點(diǎn),不合題意若(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增所以當(dāng),令則所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又，，所以在上有唯一零點(diǎn)又沒有零點(diǎn),即在上有唯一零點(diǎn)(2)當(dāng)設(shè)所以在單調(diào)遞增所以存在,使得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增,又所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)，，又，而,所以當(dāng)所以在上有唯一零點(diǎn),上無零點(diǎn)即在上有唯一零點(diǎn)所以,符合題意所以若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍為【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是對(duì)的范圍進(jìn)行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說明.11.已知且，函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】（1）上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）.【分析】（1）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）方法一：利用指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，可以將曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)研究的單調(diào)性，并結(jié)合的正負(fù)，零點(diǎn)和極限值分析的圖象，進(jìn)而得到，發(fā)現(xiàn)這正好是，然后根據(jù)的圖象和單調(diào)性得到的取值范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，,令得,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù),設(shè)函數(shù),則,令，得,在內(nèi),單調(diào)遞增；在上,單調(diào)遞減；,又，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，所以曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是.[方法二]：構(gòu)造差函數(shù)由與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)知，即在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)解，取對(duì)數(shù)得方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)解．構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)得．當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，在內(nèi)最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，令得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．由于，當(dāng)時(shí)，有，即，由函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)知，所以，即．構(gòu)造函數(shù)，則，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的解為且．所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．[方法三]分離法：一曲一直曲線與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)為在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相同的解．因?yàn)?，所以兩邊取?duì)數(shù)得，即，問題等價(jià)為與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，與只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意．②當(dāng)時(shí)，取上一點(diǎn)在點(diǎn)的切線方程為，即．當(dāng)與為同一直線時(shí)有得直線的斜率滿足：時(shí)，與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)．記，令，有．在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；時(shí)，最大值為，所當(dāng)且時(shí)有．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．[方法四]：直接法．因?yàn)?，由得．?dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．因?yàn)椋?，所以，即，即，兩邊取?duì)數(shù)，得，即．令，則，令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以，則的解為，所以，即．故實(shí)數(shù)a的范圍為．]【整體點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)曲線和直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題，屬較難試題，方法一：將問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想求解.方法二：將問題取對(duì)，構(gòu)造差函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值.方法三：將問題取對(duì)，分成與兩個(gè)函數(shù)，研究對(duì)數(shù)函數(shù)過原點(diǎn)的切線問題，將切線斜率與一次函數(shù)的斜率比較得到結(jié)論．方法四：直接求導(dǎo)研究極值，單調(diào)性，最值，得到結(jié)論.題型六極值點(diǎn)偏移12．已知函數(shù)．(1)討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．(2)若有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：．【分析】（1）先通過求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分類討論即可求解；（2）將問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性后再求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所?不