高考數(shù)學(xué)圓錐曲線的綜合問(wèn)題一輪專練

...wd......wd......wd...2015高考數(shù)學(xué)圓錐曲線的綜合問(wèn)題一輪專練【選題明細(xì)表】知識(shí)點(diǎn)、方法題號(hào)圓錐曲線的綜合問(wèn)題2、4、6、11直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題3、8、9、14圓與圓錐曲線的綜合問(wèn)題7、10、12、13圓錐曲線與其他內(nèi)容的綜合1、5一、選擇題1.橢圓QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A,左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,D是它短軸上的一個(gè)端點(diǎn),假設(shè)3QUOTE=QUOTE+2QUOTE,那么該橢圓的離心率為(D)(A)QUOTE (B)QUOTE (C)QUOTE (D)QUOTE解析:設(shè)D(0,b),那么QUOTE=(-c,-b),QUOTE=(-a,-b),QUOTE=(c,-b),由3QUOTE=QUOTE+2QUOTE得-3c=-a+2c,即a=5c,∴e=QUOTE=QUOTE.應(yīng)選D.2.(2012年高考福建卷)雙曲線QUOTE-QUOTE=1的右焦點(diǎn)與拋物線y2=12x的焦點(diǎn)重合,那么該雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于(A)(A)QUOTE (B)4QUOTE (C)3 (D)5解析:拋物線y2=12x的焦點(diǎn)是(3,0),∴c=3,b2=c2-a2=5.∴雙曲線的漸近線方程為y=±QUOTEx,焦點(diǎn)(3,0)到y(tǒng)=±QUOTEx的距離d=QUOTE=QUOTE.應(yīng)選A.3.橢圓ax2+by2=1與直線y=1-x交于A、B兩點(diǎn),過(guò)原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)直線的斜率為QUOTE,那么QUOTE的值為(A)(A)QUOTE (B)QUOTE (C)QUOTE (D)QUOTE解析:設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2),中點(diǎn)為M(x0,y0),將y=1-x代入ax2+by2=1得(a+b)x2-2bx+b-1=0,故x1+x2=QUOTE,x0=QUOTE,∴y1+y2=2-QUOTE=QUOTE,y0=QUOTE,∴k=QUOTE=QUOTE=QUOTE.應(yīng)選A.4.(2013山東淄博一中高三上期末考試)過(guò)橢圓QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的焦點(diǎn)垂直于x軸的弦長(zhǎng)為QUOTE,那么雙曲線QUOTE-QUOTE=1的離心率e的值是(B)(A)QUOTE (B)QUOTE (C)QUOTE (D)QUOTE解析:設(shè)橢圓的半焦距為c1,在橢圓中當(dāng)x=c1時(shí),QUOTE+QUOTE=1,y2=b21-QUOTE=QUOTE,∴y=±QUOTE.∴QUOTE=QUOTE,即a2=4b2,設(shè)雙曲線的半焦距為c2,∴在雙曲線中QUOTE=a2+b2=5b2,∴e=QUOTE=QUOTE=QUOTE.應(yīng)選B.5.(2013河北省衡水中學(xué)高三模擬)點(diǎn)P在雙曲線QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)上,F1、F2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),∠F1PF2=90°,且△F1PF2的三條邊長(zhǎng)成等差數(shù)列,那么此雙曲線的離心率是(D)(A)QUOTE (B)QUOTE (C)2 (D)5解析:不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上,F1為左焦點(diǎn),設(shè)|PF1|=r1,|PF2|=r2,那么r1-r2=2a,2r1=r2+2c,解得r1=2c-2a,r2=2c-4a,代入QUOTE+QUOTE=4c2可得c2+5a2-6ac=0,兩邊同除以a2得e2-6e+5=0,解得e=1或e=5.又e>1,所以e=5.應(yīng)選D.6.(2013福建泉州質(zhì)檢)如以下列圖,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,且,AB=2AD.設(shè)∠DAB=θ,θ∈0,QUOTE,以A、B為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)D的雙曲線的離心率為e1,以C、D為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)A的橢圓的離心率為e2,那么(B)(A)隨著角度θ的增大,e1增大,e1e2為定值(B)隨著角度θ的增大,e1減小,e1e2為定值(C)隨著角度θ的增大,e1增大,e1e2也增大(D)隨著角度θ的增大,e1減小,e1e2也減小解析:設(shè)AD=1,那么AB=2,DC=2-2cosθ,在△ABD中,由余弦定理得BD=QUOTE,e1=QUOTE=QUOTE,θ∈0,QUOTE,所以隨著角度θ的增大,e1減小;又e2=QUOTE=QUOTE=QUOTE,∴e1e2=QUOTE=1,應(yīng)選B.7.過(guò)雙曲線QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)F引圓x2+y2=a2的切線,切點(diǎn)為T,延長(zhǎng)FT交雙曲線右支于點(diǎn)P,假設(shè)T為線段FP的中點(diǎn),那么該雙曲線的漸近線方程為(B)(A)x±y=0 (B)2x±y=0(C)4x±y=0 (D)x±2y=0解析:如以下列圖,設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為F′,連結(jié)OT、PF′.∵FT為圓的切線,∴FT⊥OT,且|OT|=a,又∵T、O分別為FP、FF′的中點(diǎn),∴OT∥PF′且|OT|=QUOTE|PF′|,∴|PF′|=2a,且PF′⊥PF.又|PF|-|PF′|=2a,∴|PF|=4a.在Rt△PFF′中,|PF|2+|PF′|2=|FF′|2,即16a2+4a2=4c2,∴QUOTE=5.∴QUOTE=QUOTE-1=4,∴QUOTE=2,即漸近線方程為y=±2x,即2x±y=0.應(yīng)選B.二、填空題8.(2012年高考重慶卷)設(shè)P為直線y=QUOTEx與雙曲線QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)左支的交點(diǎn),F1是左焦點(diǎn),PF1垂直于x軸,那么雙曲線的離心率e=.解析:由QUOTE消去y得x=±QUOTEa.又PF1⊥x軸,∴QUOTEa=c,∴e=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE9.(2013東莞模擬)拋物線C的方程為x2=QUOTEy,過(guò)點(diǎn)A(0,-1)和點(diǎn)B(t,3)的直線與拋物線C沒(méi)有公共點(diǎn),那么實(shí)數(shù)t的取值范圍是.解析:當(dāng)t=0時(shí),直線AB與拋物線C有公共點(diǎn),當(dāng)t≠0,那么過(guò)點(diǎn)A(0,-1)和點(diǎn)B(t,3)的直線方程為QUOTE=QUOTE,即4x-ty-t=0,由QUOTE得2tx2-4x+t=0,Δ=16-4×2t2<0,解得t<-QUOTE或t>QUOTE.答案:(-∞,-QUOTE)∪(QUOTE,+∞)10.過(guò)雙曲線C:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)作圓x2+y2=a2的兩條切線,切點(diǎn)分別為A、B.假設(shè)∠AOB=120°(O是坐標(biāo)原點(diǎn)),那么雙曲線C的離心率為.解析:如圖,由題知OA⊥AF,OB⊥BF且∠AOB=120°,∴∠AOF=60°.又OA=a,OF=c,∴QUOTE=QUOTE=cos60°=QUOTE,∴QUOTE=2.答案:211.(2013安徽蚌埠二模)點(diǎn)A是拋物線C1:y2=2px(p>0)與雙曲線C2:QUOTE-QUOTE=1(a>0,b>0)的一條漸近線的交點(diǎn),假設(shè)點(diǎn)A到拋物線C1的準(zhǔn)線的距離為p,那么雙曲線C2的離心率等于.解析:設(shè)A(x0,y0),∵A在拋物線上,∴x0+QUOTE=p,∴x0=QUOTE,由QUOTE=2px0得y0=p或y0=-p.∴雙曲線漸近線的斜率QUOTE=QUOTE=2.∴e=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答題12.橢圓的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為QUOTE,且橢圓經(jīng)過(guò)圓C:x2+y2-4x+2QUOTEy=0的圓心C.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線l過(guò)橢圓的焦點(diǎn)且與圓C相切,求直線l的方程.解:(1)圓C方程可化為(x-2)2+(y+QUOTE)2=6,圓心C(2,-QUOTE),半徑r=QUOTE設(shè)橢圓的方程為QUOTE+QUOTE=1(a>b>0),那么QUOTE∴QUOTE∴所求橢圓的方程是QUOTE+QUOTE=1.(2)由(1)得橢圓的左右焦點(diǎn)分別是F1(-2,0),F2(2,0),|F2C|=QUOTE=QUOTE<r=QUOTE,F2在圓C內(nèi),那么過(guò)F2沒(méi)有圓C的切線,故直線l過(guò)F1(-2,0),設(shè)l的方程為y=k(x+2),即kx-y+2k=0,圓心C(2,-QUOTE)到直線l的距離為d=QUOTE,由d=QUOTE,得QUOTE=QUOTE,化簡(jiǎn)得5k2+4QUOTEk-2=0,解得k=QUOTE或k=-QUOTE,故直線l的方程為QUOTEx-5y+2QUOTE=0或QUOTEx+y+2QUOTE=0.13.(2013河南鄭州)橢圓C:QUOTE+QUOTE=1(a>QUOTE)的右焦點(diǎn)F在圓D:(x-2)2+y2=1上,直線l:x=my+3(m≠0)交橢圓于M、N兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程;(2)假設(shè)QUOTE⊥QUOTE(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求m的值;(3)假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(4,0),試問(wèn)△PMN的面積是否存在最大值?假設(shè)存在,求出這個(gè)最大值;假設(shè)不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)由題意知,圓D:(x-2)2+y2=1的圓心坐標(biāo)是(2,0),半徑是1,故圓D與x軸交于兩點(diǎn)(3,0),(1,0),所以在橢圓中c=3或c=1,又b2=3,所以a2=12或a2=4(不滿足a>QUOTE,舍去),于是,橢圓C的方程為QUOTE+QUOTE=1.(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),直線l與橢圓C方程聯(lián)立QUOTE化簡(jiǎn)并整理得(m2+4)y2+6my-3=0,∴y1+y2=QUOTE,y1y2=QUOTE,∴x1+x2=m(y1+y2)+6=QUOTE,x1x2=m2y1y2+3m(y1+y2)+9=QUOTE+QUOTE+9=QUOTE.∵QUOTE⊥QUOTE,∴QUOTE·QUOTE=0,即x1x2+y1y2=0得QUOTE=0,所以m2=QUOTE,m=±QUOTE.(3)S△PMN=QUOTE|FP|·|y1-y2|=QUOTE·1·QUOTE=QUOTE=2QUOTE=2QUOTE≤2QUOTE=1.當(dāng)且僅當(dāng)m2+1=3,即m=±QUOTE時(shí)等號(hào)成立.故△PMN的面積存在最大值1.14.(2013黃岡一模)中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓Ω的方程為QUOTE+QUOTE=1(a>b>0),它的離心率為QUOTE,一個(gè)焦點(diǎn)是(-1,0),過(guò)直線x=4上一點(diǎn)引橢圓Ω的兩條切線,切點(diǎn)分別是A、B.(1)求橢圓Ω的方程;(2)假設(shè)橢圓Ω:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)在點(diǎn)(x0,y0)處的切線方程是:QUOTE+QUOTE=1.求證:直線AB恒過(guò)定點(diǎn)C,并求出定點(diǎn)C的坐標(biāo);(3)求證:QUOTE+QUOTE為定值(點(diǎn)C為直線AB恒過(guò)的定點(diǎn)).(1)解:橢圓Ω的焦點(diǎn)是(-1,0),故c=1,又QUOTE=QUOTE,所以a=2,b=QUOTE=QUOTE,所以所求的橢圓Ω方程為QUOTE+QUOTE=1.(2)解:設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為A(x1,y1),B(x2,y2),直線l上一點(diǎn)M的坐標(biāo)(4,t),那么切線AM、BM的方程分別為QUOTE+QUOTE=1,QUOTE+QUOTE=1.又兩切線均過(guò)點(diǎn)M,所以x1+QUOTEy1=1,x2+QUOTEy2=1,即點(diǎn)A,B的坐標(biāo)都適合方程x+QUOTEy=1,故直線AB的方程是x+QUOTEy=1,顯然直線x+QUOTEy=1恒過(guò)點(diǎn)(1,0),故直線AB恒過(guò)定點(diǎn)C(1,0).(3)證明:將直線AB的方程x=-QUOTEy+1,代入橢圓方程,得3-QUOTEy+12+4y2-12=0,即QUOTE+4y2-2ty-9=0,∴y1+y2=QUOTE,y1y2=QUOTE,不妨設(shè)y1>0,y2<0,|AC|=QUOTE=QUOTE=QUOTEy1,同理|BC|=-QUOTEy2,∴QUOTE+QUOTE=QUOTE·QUOTE-QUOTE=QUOTE·QUOTE=-QUOTE·QUOTE=-QUOTE·QUOTE=QUOTE·QUOTE=QUOTE,即QUOTE+QUOTE為定值QUOTE.大題沖關(guān)集訓(xùn)(五)1.(2013福師大附中模擬)如圖,拋物線C1:x2=2py的焦點(diǎn)在拋物線C2:y=QUOTEx2+1上.(1)求拋物線C1的方程及其準(zhǔn)線方程;(2)過(guò)拋物線C1上的動(dòng)點(diǎn)P作拋物線C2的兩條切線PM,PN,切點(diǎn)為M,N.假設(shè)PM,PN的斜率乘積為m,且m∈[2,4],求|OP|的取值范圍.解:(1)C1的焦點(diǎn)為F0,QUOTE,所以QUOTE=0+1,p=2.故C1的方程為x2=4y,其準(zhǔn)線方程為y=-1.(2)任取點(diǎn)P(2t,t2),設(shè)過(guò)點(diǎn)P的C2的切線方程為y-t2=k(x-2t).由QUOTE得x2-2kx+4tk-2t2+2=0.由Δ=(-2k)2-4(4tk-2t2+2)=0,化簡(jiǎn)得k2-4tk+2t2-2=0,設(shè)PM,PN斜率分別為k1,k2,那么m=k1k2=2t2-2,因?yàn)閙∈[2,4],所以t2∈[2,3],所以|OP|2=4t2+t4=(t2+2)2-4∈[12,21],所以|OP|∈[2QUOTE,QUOTE].2.(2013河南洛陽(yáng)一模)橢圓C:QUOTE+QUOTE=1(a>b>0)的離心率為QUOTE,直線l:y=x+2與以原點(diǎn)為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓O相切.(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)橢圓C與曲線|y|=kx(k>0)的交點(diǎn)為A、B,求△OAB面積的最大值.解:(1)由題設(shè)可知,圓O的方程為x2+y2=b2,因?yàn)橹本€l:x-y+2=0與圓O相切,故有QUOTE=b,所以b=QUOTE.又e=QUOTE=QUOTE,所以有a2=3c2=3(a2-b2),所以a2=3,所以橢圓C的方程為QUOTE+QUOTE=1.(2)設(shè)點(diǎn)A(x0,y0)(x0>0,y0>0),那么y0=kx0,設(shè)AB交x軸于點(diǎn)D,如圖,由對(duì)稱性知:S△OAB=2S△OAD=2×QUOTEx0y0=kQUOTE.由QUOTE解得QUOTE=QUOTE.所以S△OAB=k·QUOTE=QUOTE≤QUOTE=QUOTE.當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=3k,即k=QUOTE時(shí)取等號(hào).所以△OAB面積的最大值為QUOTE.3.(2013泉州五中模擬)拋物線C:x2=2py(p>0)上一點(diǎn)P(a,QUOTE)到焦點(diǎn)距離為1.(1)求拋物線C的方程;(2)直線y=kx+2交C于M,N兩點(diǎn),Q是線段MN的中點(diǎn),過(guò)Q作x軸的垂線交C于點(diǎn)T.①證明:拋物線C在點(diǎn)T處的切線與MN平行;②是否存在實(shí)數(shù)k使QUOTE·QUOTE=0?假設(shè)存在,求k的值;假設(shè)不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)依據(jù)拋物線的定義知,P到拋物線焦點(diǎn)F的距離為PF=QUOTE+QUOTE=1,所以p=QUOTE,拋物線的方程為x2=QUOTEy.(2)①證明:設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x0,y0),聯(lián)立QUOTE得2x2-kx-2=0,所以x1+x2=QUOTE,x1·x2=-1,所以x0=QUOTE=QUOTE.因?yàn)閥=2x2,所以y′QUOTE=k,所以拋物線y=2x2在T點(diǎn)處的切線與MN平行.②由①可得TQUOTE,QUOTE,那么QUOTE·QUOTE=x1-QUOTEx2-QUOTE+y1-QUOTEy2-QUOTE=(k2+1)x1x2+QUOTEk-QUOTE(x1+x2)+QUOTE+2-QUOTE2=-QUOTE(k2-4)(k2+16)=0,解得k=±2,所以存在k=±2滿足QUOTE·QUOTE=0.4.(2012年高考江西卷)三點(diǎn)O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲線C上任意一點(diǎn)M(x,y)滿足|QUOTE+QUOTE|=QUOTE·(QUOTE+QUOTE)+2.(1)求曲線C的方程;(2)點(diǎn)Q(x0,y0)(-2<x0<2)是曲線C上的動(dòng)點(diǎn),曲線C在點(diǎn)Q處的切線為l,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(0,-1),l與PA,PB分別交于點(diǎn)D,E,求△QAB與△PDE的面積之比.解:(1)由QUOTE=(-2-x,1-y),QUOTE=(2-x,1-y),得|QUOTE+QUOTE|=QUOTE,QUOTE·(QUOTE+QUOTE)=(x,y)·(0,2)=2y,由得QUOTE=2y+2,化簡(jiǎn)得曲線C的方程是x2=4y.(2)直線PA,PB的方程分別是y=-x-1,y=x-1,曲線C在點(diǎn)Q處的切線l的方程是y=QUOTEx-QUOTE,且與y軸的交點(diǎn)為F0,-QUOTE,分別聯(lián)立方程組QUOTE解得D,E的橫坐標(biāo)分別是xD=QUOTE,xE=QUOTE,那么xE-xD=2,|FP|=1-QUOTE,故S△PDE=QUOTE|FP|·|xE-xD|=QUOTE·1-QUOTE·2=QUOTE,而S△QAB=QUOTE×4×1-QUOTE=QUOTE,那么QUOTE=2.即△QAB與△PDE的面積之比為2.5.(2013年高考湖南卷)F1,F2分別是橢圓E:QUOTE+y2=1的左、右焦點(diǎn),F1,F2關(guān)于直線x+y-2=0的對(duì)稱點(diǎn)是圓C的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn).(1)求圓C的方程;(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)F2的直線l被橢圓E和圓C所截得的弦長(zhǎng)分別為a,b.當(dāng)ab最大時(shí),求直線l的方程.解:(1)由題設(shè)知,F1,F2的坐標(biāo)分別為(-2,0),(2,0),圓C的半徑為2,圓心為原點(diǎn)O關(guān)于直線x+y-2=0的對(duì)稱點(diǎn).設(shè)圓心的坐標(biāo)為(x0,y0),由QUOTE解得QUOTE所以圓C的方程為(x-2)2+(y-2)2=4.(2)由題意,可設(shè)直線l的方程為x=my+2,那么圓心到直線l的距離d=QUOTE.所以b=2QUOTE=QUOTE.由QUOTE得(m2+5)y2+4my-1=0.設(shè)l與E的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),那么y1+y2=-QUOTE,y1y2=-QUOTE.于是a=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.從而ab=QUOTE=QUOTE=QUOTE≤QUOTE=2QUOTE.當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE=QUOTE,即m=±QUOTE時(shí)等號(hào)成立.故當(dāng)m=±QUOTE時(shí),ab最大,此時(shí),直線l的方程為x=QUOTEy+2或x=-QUOTEy+2,即x-QUOTEy-2=0或x+QUOTEy-2=0.6.(2013蘭州一模)點(diǎn)P為y軸上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M為x軸上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F(1,0)為定點(diǎn),且滿足QUOTE+QUOTE=0,QUOTE·QUOTE=0.(1)求動(dòng)點(diǎn)N的軌跡E的方程;(2)過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線l與曲線E交于兩點(diǎn)A,B,試判斷在x軸上是否存在點(diǎn)C,使得|CA|2+|CB|2=|AB|2成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.解:(1)設(shè)N(x,y),那么由QUOTE+QUOTE=0,得P為MN的中點(diǎn).∴P0,QUOTE,M(-x,0).∴QUOTE=-x,-QUOTE,QUOTE=1,-QUOTE.∴QUOTE·QUOTE=-x+QUOTE=0,即y2=4x.∴動(dòng)點(diǎn)N的軌跡E的方程為y2=4x.(2)設(shè)直線l的方程為y=k(x-1)(k≠0),由QUOTE消去x得y2-QUOTEy-4=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),那么y1+y2=QUOTE,y1y2=-4.假設(shè)存在點(diǎn)C(m,0)滿足條件,那么QUOTE=(x1-m,y1),QUOTE=(x2-m,y2),∴QUOTE·QUOTE=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2=QUOTE2-mQUOTE+m2-4=-QUOTE[(y1