數(shù)字信號處理-

第4章.數(shù)字濾波器

4.1概述

●數(shù)字信號處理中的兩類重要系統(tǒng)：*頻譜分析器:提供頻域內(nèi)信號表示(DFS、DTFT、DFT)；*數(shù)字濾波器:完成時域內(nèi)信號濾波，讓信號能量集中的頻帶內(nèi)頻率成分通過，而阻止其他成分（主要是噪聲）；

●數(shù)字濾波器的分類：*經(jīng)典濾波器：一般濾波器，基于信號的頻域分析，如信號與噪聲可在FT域分離；*現(xiàn)代濾波器：基于隨機分析，應用于信號與噪聲不可在FT域分離的情況，如從眾人的說話聲音中分離出一個人的聲音。維納濾波器、卡爾曼濾波器和自適應濾波器等；*按實現(xiàn)的網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)或單位沖激響應，經(jīng)典數(shù)字濾波器分類如下：數(shù)字濾波器的類型即IIR

或FIR

；●FIR

數(shù)字濾波器用有限長沖激響應表征。沖激響應h(n)的非零值持續(xù)有限長?！馡IR數(shù)字濾波器用無限長沖激響應表征。沖激響應h(n)的非零值持續(xù)無限長，容易與模擬濾波器匹配。●經(jīng)典數(shù)字濾波器按選頻功能分類：低通、高通、帶通、帶阻、全通例如：一因果IIR濾波器沖激響應

例如：一因果FIR濾波器沖激響應低通高通帶通帶阻0-2-20-2-20-2-20-2-2例：低通濾波有用信號頻譜干擾或噪聲的頻譜有用信號的頻譜與噪聲或干擾的頻譜明顯分離低通濾波器H(z)H(ejω)h(n)系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)頻率響應函數(shù)系統(tǒng)沖激響應系統(tǒng)差分方程逆Z變換Z變換兩邊Z變換,求Y(z)/X(z)兩邊DTFT,求Y(ejω)/X(ejω)z=ejωDTFT逆DTFT注:只有在系統(tǒng)穩(wěn)定時紅箭頭才成立逆Z變換●關于離散系統(tǒng)（濾波器）各種表示之間的關系:

4.2理想濾波器和非理想濾波器1.理想濾波器在沒有干擾的情況下，信號通過理想濾波器后不會產(chǎn)生失真，即輸入信號x(t)=s(t)，則輸出信號y(t)

y(t)=As(t-T)其中，A是非零常數(shù)，T是時延。理想濾波器

根據(jù)上式，兩邊求FT,可得理想濾波器的頻率響應為

其中，通帶指信號占據(jù)的頻率范圍。在通帶內(nèi)，信號通過，有時延T；在通帶外，濾波器的頻率響應為零，它將抑制干擾。因此，理想濾波器的幅度和相位頻率響應如下圖：相位呈線性性線性相位

離散理想濾波器的定義與上面類似。能否設計一個因果沖激響應如下圖的理想濾波器？不能！佩利—維納定理（Paley-Wiener）:如果h(n)是因果序列，在n<0時h(n)=0，如上圖，其能量是有限的，則其中，根據(jù)佩利—維納定理，理想濾波器不可能是因果的，因為理想濾波器的頻率響應在頻率ω1和ω2范圍內(nèi)為0，如下圖。那么，上式的積分結(jié)果將會是無限的，不滿足上述定理。實際應用中，用因果濾波器來逼近理想濾波器的特性。例：帶寬為ωc的理想低通濾波器，如下圖。其沖激響應為-∞<n<∞,無限長！

因此，理想濾波器的沖激響應是非因果的，在時間軸上是無限長的。2.非理想濾波器的特征一個典型的非理想低通濾波器的幅度響應分成三個區(qū)域，如下圖。通帶阻帶過渡帶片段頻率特性△通帶，0→ωp:理想低通濾波器的在通帶內(nèi)幅度響應為常數(shù)，如1。而非理想低通濾波器在通帶內(nèi)會有一定的波動，起范圍為1±δ，其中，δ為常數(shù)。用δp=1/(1-δ)來定義通帶波紋，一般用dB表示。△阻帶，ωs→π:理想低通濾波器的在阻帶內(nèi)幅度響應為0。而非理想低通濾波器在阻帶內(nèi)會限制在一個很小的范圍。該范圍為阻帶波紋或衰減δs,一般用dB表示?！鬟^渡帶，ωp→ωs

:理想低通濾波器會由通帶銳變到阻帶。而非理想低通濾波器在通帶和阻帶之間會有一個明顯的過渡帶。其中ωc定義為截止頻率或半功率頻率（或3db頻率），滿足由于是以2π為周期的,只需要給出[-π,π]區(qū)間上的設計指標描述,滿足要求：通帶、過濾帶、阻帶均滿足要求。

例：模擬低通濾波器的指標如下：通帶頻率：4kHz，波紋為1dB;

阻帶頻率：4.5KHz，衰減50dB;

采樣頻率：22KHz。將它們轉(zhuǎn)換為數(shù)字頻率：通帶頻率：ωp=2π(4/22)=1.14rad;

阻帶頻率：ωs=2π(4.5/22)=1.28rad;

通帶波紋：20log10[1/(1-δ)]=1dB，則δ=0.11。阻帶衰減：20log10δs=-50dB，則δs=3.2X10-3。

4.3有限長沖激響應濾波器設計（FIR）1.基于窗口的濾波器設計

先根據(jù)設計指標給出理想數(shù)字濾波器頻率響應為Hd(ejω)，然后再設計一FIR濾波器，用其頻率響應來逼近Hd(ejω)

逼近方法:

Hd(ejω)是矩形頻率特性無限長的而

h(n)有限長的.不同的w(n)及N，H(ejω)對Hd(ejω)的逼近精度不同，效果也不同。例：Hd(ejω)為截止頻率為ωc

的線性相位理想數(shù)字低通濾波器：最簡單有效的方法是:

用窗口w(n)(有限長)截短hd(n)(無限長)為h(n)(有限長)：線性相位上式的hd(n)(無限長),以中心對稱。若以中心=(N-1)/2的對稱窗口截取hd(n)

從而獲得h(n),則h(n)也是對稱的、有限的、因果的(0nN-1)（線性相位FIR濾波器的條件，以后將證明）

。IDTFTSinc函數(shù)無限長窗口有限長要獲得有限長N的因果線性相位FIR濾波器，可用中心在=（N-1）/2，寬度為N的矩形窗wR（n）截取hd（n）窗口函數(shù)的離散時間傅立葉變換DTFT：類似于Sinc函數(shù)因此，F(xiàn)IR濾波器的幅度函數(shù)H（ω）連續(xù)卷積矩形窗對Hd（ejω）的影響

Hd（ejω）在截止頻率ωc

處間斷點變成連續(xù)曲線，從而H(ejω

)表現(xiàn)了過渡帶，其寬度等于矩形窗主辨寬度；由于旁辨的作用，通帶和阻帶出現(xiàn)波動，旁辨的面積（能量）越大，通帶波動大，阻帶衰減小。應選能量集中在主辨內(nèi)的窗函數(shù)。肩峰主峰0.0895

10.0468當N很大，（主辨寬度）很小，此時改變(當N已很大)N

相對形狀幾乎不發(fā)生變化，只能改變主辨寬度。（矩形窗只改變過度帶，不能改變波動）主峰1，肩峰0.0895

8.95%

截短窗口的選擇原則：主辨帶寬要盡可能小，以獲得較陡的過渡帶與主辨的幅度相比，旁辨應盡可能地小，以減少通帶內(nèi)、阻帶內(nèi)波動的最大振幅。Sinc函數(shù)?幾種常用窗口函數(shù)

矩形窗(Rectangle)：

主辨寬度：對稱三角形窗或巴特利特(Bartlett)窗：主辨寬度：

升余弦窗或漢寧窗（Hanning)：三部分之和使旁辨相互抵消，較前面的窗口來說能量更集中在主辨，使主辨寬度增加到。旁瓣抵消過程

改進升余弦窗或哈明(Hamming)窗：與漢寧窗相比，主辨寬度一樣，但主辨能量相對較高，旁辨峰值不到主辨峰值的1%，低于主瓣超過43dB。

二階升余弦窗或布萊克曼(Blackman)窗：主辨寬度：五部分之和使旁辨相互抵消，能量更集中在主辨，旁辨峰值更低，使主辨寬度增加到。?幾種時域窗的比較常用窗函數(shù)的幅度特性(a).矩形窗(b).三角形窗(c).漢寧窗(d).哈明窗(e).布萊克曼窗濾波器頻率響應與階數(shù)(長度)N

的關系理想濾波器加窗后的沖激響應理想濾波器加窗后的頻率響應利用窗口函數(shù)設計FIR濾波器的步驟（1）根據(jù)性能要求確定理想濾波器的沖激響應hd(n)。

如果根據(jù)通帶阻帶衰減和邊界頻率要求，可選用理想濾波器作為逼近函數(shù)，以理想低通濾波器為例：

從而用理想濾波器的頻率響應Hd(ejω)的IDTFT求出hd(n)。其中，截止頻率根據(jù)邊界頻率確定，一般取（2）根據(jù)對過渡帶及阻帶衰減的要求，選擇窗口函數(shù)的形式，并估計窗口長度N。設待求濾波器的過渡帶用表示，它近似于窗口函數(shù)頻譜的主瓣寬度。因此，過渡帶近似與窗口函數(shù)長度N成反比，NC/，C取決于窗口函數(shù)的形式。如矩形窗C=4；哈明窗C=8等。按過渡帶及阻帶衰減情況選擇窗口函數(shù)的形式。原則是滿足阻帶衰減的前提下盡量選擇主瓣窄的窗口函數(shù)。（3）計算濾波器的沖激響應h

(n)。（4）驗證技術(shù)指標是否滿足要求。設計出的濾波器頻率響應用下式表示：計算上式時可用FFT算法。如果不滿足要求，重復（2）——（4）。

例：設計一個低通數(shù)字濾波器，其技術(shù)指標為：通帶：4kHz;

阻帶：5kHz,至少需要40dB的衰減；采樣頻率：20kHz。那么，數(shù)字通帶頻率ωp和阻帶頻率ωs分別為：

因此，過渡帶：

根據(jù)阻帶衰減指標，可選擇漢明窗來獲得至少40dB的衰減。過渡帶的寬度決定了濾波器的長度N:如果選擇N=81，需要的時移L=40，則濾波器的沖激響應為其中ωc=(ωp+ωs)/2=9π/20。過渡帶中心頻率作為截止頻率。將理想濾波器的沖激響應hd(n)與漢明窗相乘的濾波器的沖激響應和頻率響應如下圖。過渡帶的寬度近似為主瓣寬度○為何IIR數(shù)字濾波器不適合設計成線性相位的?濾波器的傳輸函數(shù):２.對稱性和線性相位的特點濾波器的線性相位特性:只有當：是線性相位的。但當時,例：一IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為意味著極點存在于單位圓上，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，所以這是不可能采用的。結(jié)論:用IIR數(shù)字濾波器很難實現(xiàn)線性相位特性。

令h(n),n=0,1,…,N-1

為長度為

N的濾波器沖激響應。

系統(tǒng)函數(shù)為第一類線性相位FIR

濾波器（對稱）為z-1的（N-1）階多項式，在原點有(N-1)個極點，在有限Z平面的其他地方有N-1

個零點。頻率響應函數(shù)為〇線性相位FIR

濾波器線性相位FIRFIR

線性相位約束條件：若

FIR

濾波器的相位函數(shù)為這里為固定相位延遲系數(shù)。需要：即h(n)

是關于n=

（中心點）對稱(或偶對稱)的。證明過程如下：后一個等式兩邊實部相等、虛部也相等，同樣的實部虛部相比值也應相：利用三角函數(shù)的恒等關系，有滿足上式的條件是：對稱對稱NN(N-1)/2N-1N-1N/2+1N/2?第二類線性相位FIR

濾波器（反對稱）

相位響應滿足條件：為不過原點的直線.此時相位不是固定延遲，但為常數(shù)，群延遲。因此為一個固定群延遲。

對于這樣的濾波器，類似于對稱情況可以證明：即h(n)

是關于=(N-1)/2(中心)反對稱(或奇對稱)的。反對稱反對稱NN(N-1)/2N-1N-1N/2+1N/2?濾波器是線性相位的充分條件：設h(n)

是FIR濾波器的單位函數(shù)響應，則如果h(n)為實數(shù)時，且滿足下列任一條件偶對稱h（n）=h（N-1-n）h（n）=-h（N-1-n）奇對稱對稱中心：=（N-1）/2則該濾波器為線性相位濾波器。?線性相位的優(yōu)點：設計問題只用到實代數(shù)。對N

階線性相位FIR濾波器，其運算為N/2階。線性相位濾波器相位只有固定量延遲，而不會產(chǎn)生相位延遲畸變；如果要求信號通過數(shù)字濾波器之后不產(chǎn)生畸變，即要求H(z)具有線性相位。

x(n)=[Asin(n)]u(n)y(n)=AH()sin[(n

-)]線性相位數(shù)字濾波器H（z）得:這時濾波器的輸出除了幅度波形被整形外，輸出信號相對于輸入信號延遲了

個采樣點。當一個具有任意形式的信號通過線性相位濾波器時，由于其各次諧波的延遲均為個采樣點，使整個波形產(chǎn)生了一個固定的個采樣點的延遲，保持了波形的相對不變。信號中各頻率成分幅度保持不變,通過線性相位與非線性相位系統(tǒng)的情況。Signal通過線性相位濾波器(全通)通過非線性相位濾波器(全通)●類型-1線性相位FIR濾波器：對稱、N為奇數(shù)此時，=0,=(N-1)/2

為整數(shù),且h(n)=h(N-1-n),n=0,1,…,N-1DTFT因此這類濾波器用作低通器、高通、帶通、帶阻濾波器。整數(shù)22-(N-1)()濾波器用作低通器的情況。N為奇數(shù)，對稱低通高通帶通帶阻0-2-20-2-20-2-20-2-2●類型-2線性相位FIR濾波器：對稱、N為偶數(shù)此時，=0,h(n)=h(N-1-n),0<=n<=N-1,=(N-1)/2

不為整數(shù),

非整數(shù)低通0-2-2低通0-2-2帶通0-2-2帶通0-2-22N為偶數(shù)，對稱22-(N-1)()Hg()=0,不能將這類濾波器用作高通器的情況?！耦愋?3線性相位FIR濾波器：反對稱、N為奇數(shù)此時，=-π/2,=(N-1)/2

為整數(shù),且h(n)=-h(N-1-n),n=0,1,…,N-1.N為奇數(shù)，反對稱22-/2

-(N-1/)2()-/2適合將這類濾波器用作帶通濾波器的情況。帶通0-2-2帶通0-2-2●類型-4線性相位FIR

濾波器：反對稱、N為偶數(shù)此時，=-π/2,=N/2

為整數(shù),且h(n)=-h(N-1-n),n=0,1,…,N-1.N為偶數(shù)，反對稱2

帶通或高通的情況。2-/2

-(N-1/2)()-/2帶通0-2-2帶通0-2-2高通0-2-2高通0-2-2固定相位延遲相位群延遲練習題：設有一FIR數(shù)字濾波器，其單位沖激響應h(n)，如下圖所示：求該系統(tǒng)的頻率響應H(ejω),練習題：已知一線性相位FIR濾波器的頻率響應為判斷該線性相位系統(tǒng)是何種類型的數(shù)字濾波器（低通、高通、帶通、帶阻）？說明你的判斷依據(jù)。解：線性相位FIR濾波器的幅頻率響應為●線性相位FIR

濾波器零點分布:+:對稱;-:反對稱.所有極點在原點，特性依賴于零點位置對于對稱或反對稱h(n),

零點呈鏡像：若z=zi是零點，則z=1/zi也是零點；如果zk

是零點，則滿足多項式：h0+h1zk-1+h2zk-2+..+hN-2zk-N+2+hN-1zk-N+1=0

由對稱關系，有hN-1=h0,

hN-2=h1,…那么rk=zk

–1

滿足同樣的方程

h0+h1rk+h2rk2+…+h1rkN-2+h0rkN-1=h0zkN-1+h1zkN-2+…+h2zk2+h1zk+h0==zkN-1(h0+h1zk-1+…+h1zk-N+2+h0zk–N+1)=0鏡像零點驗證對于實h(n),

零點呈共軛，所以z=zi*

，z=1/zi*也必是零點。確定了一個，其余三個就確定了。-2-1.5-1-0.500.511.52-1.5-1-0.500.511.5RealPartImaginaryPartzizi*1/zi1/zi*四種不同的零點結(jié)構(gòu)一般情況(四階子網(wǎng)絡)單位圓上(二階子網(wǎng)絡)實數(shù)(一階子網(wǎng)絡)單位圓上實數(shù)(一階子網(wǎng)絡)Z平面線性相位FIR濾波器可由一系列的一階子網(wǎng)絡、二階子網(wǎng)絡、四階子網(wǎng)絡級聯(lián)構(gòu)成N=11零極分布N-1個零點例：x(n)和y(n)分別是下面濾波器的輸入和輸出

（1）為使這個濾波器對通帶內(nèi)輸入信號只產(chǎn)生延遲而不產(chǎn)生信號畸變，a

的取值應為多少？并寫出系統(tǒng)沖激響應h(n)

的表達式；（2）寫出系統(tǒng)的相頻函數(shù)，并畫出該濾波器節(jié)省乘法運算的結(jié)構(gòu)流圖。３.使用凱塞

(Kaiser)窗設計:

凱塞

(Kaiser)窗其阻帶衰減和過渡帶寬度的變化范圍很大，通過調(diào)整參數(shù)可以達到希望的指標。假設低通濾波器的通帶和阻帶波紋相同，都為δ，即

凱塞窗定義為:兩個參數(shù)I0(x)為零階第一類修正貝塞爾函數(shù)，可用下面的級數(shù)表示：一般I0(x)取15~20

項便可滿足精度要求。參數(shù)

和窗口長度N可控制窗口形狀，加大

主瓣加寬，旁瓣幅度減小。典型數(shù)據(jù)凱塞窗的幅度函數(shù)為：凱塞窗設計經(jīng)驗公式：N=128

例：用凱塞窗設計一個低通數(shù)字濾波器，其技術(shù)指標為：通帶邊界頻率：4kHz;

阻帶邊界頻率：5kHz,至少需要40dB的衰減；采樣頻率：20kHz。那么，數(shù)字通帶頻率ωp

和阻帶頻率ωs分別為：

因此，過渡帶△ω和衰減A凱塞窗的長度N及參數(shù)β將理想低通濾波器的沖激響應hd(n)與凱塞窗相乘，得到濾波器設計。濾波器的沖激響應和頻率響應如下圖。

4.頻率采樣法設計

?窗口法：從時域的觀點h(n)=hd(n)·w(n)?頻域法的基本思想：利用單位園上（

ω：0~2

）的N

個等間隙采樣點可恢復原有序列(IDFT)，即對理想的或結(jié)構(gòu)復雜的數(shù)字濾波器等間隙采樣：然后令待設計的有限長濾波器h（n）的頻域特性N

個采樣值H（k）：待設計濾波器理想濾波器那么，hd(n)與h(n)是否相等？Hd(ej)

與H

(ej)是否相等？

結(jié)論：不一定！

●頻率域采樣〇時域采樣定理揭示:在一定條件(滿足耐奎斯特采樣定理)下，可以由時域離散采樣信號恢復出原來的連續(xù)時間信號。

〇DTFT能全面反映頻率特性，但本身不可計算。為了便于計算機計算，可采取在頻率域采樣的方法來逼近，計算有限長序列的傅立葉變換DFT。那么，是否任何一個頻率特性都能用頻率抽樣的方法去逼近呢？其限制條件是什么？DTFT

0

設任意（有限或無限長）序列x(n)

存在Z變換DTFT以2π為周期函數(shù)，只需考慮一個周期且X(z)的收斂域包括單位圓，如果對X(z)在單位圓上N個均分點采樣，則得到

問題在于這樣采樣以后是否能恢復出原序列x(n)？可認為X(k)是xN(n)的DFTx(n)=xN(n)?有限或無限長有限長僅當x(n)為有限長，上式可能相等，但須具備一定條件！0Re[z]jIm[z]x(n)的DTFTxN(n)的DFTIDFTDFTDTFT的等間隔采樣m=n+rN,N

〇

X(z)

在單位圓上的N點等間隔采樣X(k)的

IDFT

為：原序列x(n)以頻域等間隔采樣點數(shù)N為周期周期延拓序列的主值序。

〇

頻域抽樣造成時域信號的周期延拓，其延拓周期為采樣點數(shù)N。

〇若x(n)不是有限長的，則延拓后必然造成混迭現(xiàn)象；若x(n)

是有限長的，長度為M，當采樣點數(shù)不夠密時(N<M)，也會造成混迭現(xiàn)象?！耦l域抽樣定理：

如果序列x(n)的長度為M，則只有當頻域抽樣點數(shù)

N

滿足

即可由X(k)恢復出原序列x(n)。才有xN(n)x

(n)r=0r=1r=2r=-1●時域抽樣與頻域抽樣的比較：時域抽樣頻域函數(shù)的周期延拓，周期為頻域抽樣時域函數(shù)的周期延拓，周期為例：已知x(n)=R28（n）（M=28）的DTFT為X(e

jω)。X(e

jω)在0~2π一個周期內(nèi)等間隔N=32點抽樣，并計算這些抽樣點的32點IDFT，所獲得的序列仍為R28（n）?！裼糜邢揲L序列的X(k)表示X(z)：當頻率采樣條件滿足，由IDFT可得長度為N的有限長序列

上式適合于FIR直接型結(jié)構(gòu)(以后將介紹)。

由X（k）也可直接求出系統(tǒng)函數(shù)X（z）和頻域的響應：先由X(k)求x(n)，再求X(z)IDFT直接由X(k)求X(z)，不必先求x(n)第一章兩個有用的求和公式之一

上式適合于FIR頻率采樣結(jié)構(gòu)(以后將介紹)

。

●用有限長序列的X(k)表示X(ejω)

當頻率采樣條件滿足，抽樣點間的的值，則由各個內(nèi)插函數(shù)迭加而成。0x(n)的DTFTxN(n)的DFT?頻率采樣法的誤差:

H(ej)在采樣點H（k）等于Hd（k），

H(ej)

對Hd(ej)的逼近誤差為零。而采樣點之間的值，由有限項的采樣值H(k)內(nèi)插而成，H(ej)逼近與期望的Hd(ej)變化特性有關，如果Hd(ej)由有限長度hd(n)對應，取滿足頻率采樣定理，此時Hd(ej)變化趨于平緩，逼近誤差越小或為零。如果Hd(ej)變化陡峭（如理想低通濾波器），hd(n)無限長，而h(n)有限長，不滿足頻率采樣條。在帶邊緣(如間斷點)誤差較大，在帶內(nèi)誤差較小。0Hd(ej)H(ej)?從頻域分析消除誤差的方法:增加采樣點數(shù)，即增加N。增加N的大小，可以減小逼近誤差，但間斷點附近的誤差仍然較大，N太大也會增加濾波器的體積和成本。2.去除頻域中的突變點：在頻率響應間斷點附近內(nèi)插一個或幾個過渡采樣點，使不連續(xù)點變成緩慢過渡，雖然過渡帶增大，但明顯增加阻帶衰減。結(jié)論：頻率采樣法更適合平緩變化特性濾波器的設計。H(ej)0對于理想頻率特性（如矩形）對應于時域無限長序列，頻率采樣定理不滿足！1.理想濾波器抽樣會產(chǎn)生過渡帶;2.增加過渡點也增加過渡帶寬度,增大阻帶衰減;3.過渡點的位置也會影響阻帶衰減.N=65,有兩個過渡點的情況5．FIR濾波器的最優(yōu)化設計窗口法和頻率采樣法的不足：窗口法是一種時域逼近法,其頻域必然帶來誤差:

如果E(ejω)表示Hd(ejω)和所設計濾波器H(ejω)之間的頻率響應誤差其均方誤差為在設計過程中不能精確的說明

ωp

和ωs

；不能獨立說明

δ1

和δ

2

；理想響應和實際響應的近似誤差在各帶內(nèi)不是均勻分布的?？梢宰C明當采用矩形窗時e2是最小的，即最小均方誤差設計。采用其他窗口，雖然可以通過增加過渡帶寬度來換取阻帶衰減和通帶平穩(wěn)性，然而這些窗的使用已不再是最小均方誤差意義上的設計。

對于線性相位FIR濾波器，可以出推導一組約束條件使得設計的濾波器的解在最小化最大近似誤差（有時稱為切比雪夫誤差）意義上是最優(yōu)的，即最佳切比雪夫一致逼近準則。最佳切比雪夫一致逼近準則:對于線性相位FIR濾波器，四種類型濾波器頻率響應函數(shù)可寫成：而Hg(ω)(如對稱且N為奇數(shù)的情況)可寫成：為了公式化切比雪夫優(yōu)化問題，定義理想濾波器的幅度函數(shù)Hd

(ω),加權(quán)函數(shù)W(ω)。加權(quán)誤差函數(shù)定義為通帶阻帶確定一組系數(shù)[a(n)或b(n)或c(n)或d(n)]

以便在通帶和阻帶上最小化E(ω)

的最大絕對值。

例：對于對稱且N為奇數(shù)的情況，E(ω)為

最佳逼近問題是選擇（N-1)/2+1個系數(shù)a(n)，使加權(quán)誤差E(ω)的最大絕對值最小。切比雪夫理論指出其充要條件是E(ω)在S上至少存在（N-1)/2+2個“交錯”使得

E(ωi)

=

—E(ωi+1)按該準則設計的濾波器通帶或阻帶具有等波紋性質(zhì)。這樣，便可精確說明ωp,ωs,δ1,δ

2，此外在通帶和阻帶內(nèi)的近似誤差也是均勻分布的。最小化過程通過程序完成。用切比雪夫逼近法設計FIR濾波器的程序框圖可參見教材和其他書籍。

通帶過濾帶 阻帶

以數(shù)字低通濾波器為例：一.設計指標數(shù)字濾波器的技術(shù)指標:

?

選頻濾波器，頻率響應4.4.無限長沖激響應（IIR）數(shù)字濾波器的設計?邊界頻率：

●數(shù)字濾波器設計的基本思想設計數(shù)字，其指標通常在頻域內(nèi)給出。數(shù)字濾波器的頻率響應一般為復數(shù)，即其中,為幅頻特性函數(shù);為相頻特性函數(shù)。由于是以2π為周期的，只需要給出[-π,π]區(qū)間上的設計指標描述，需要滿足：通帶、過濾帶、阻帶指標要求。

IIR濾波器和FIR濾波器設計方法完全不同：

○IIR濾波器，一般用幅頻特性來描述設計指標，當要設計具有線性相位

IIR時，應采用全通濾波器對其相位進行校正；有直接法和間接方法。

○

FIR濾波器，不僅用幅頻特性來描述設計指標，一般還要考察其相位特性濾波器，滿足一定條件可做到嚴格線性特性，有窗口法、頻率采樣法和切比雪夫等波紋逼近法。

對于IIR濾波器，其系統(tǒng)函數(shù)為z-1

的有理分式：尋找濾波器的各系數(shù)ai，bi,或ci，di

使其系統(tǒng)特性逼近一個要求的頻率特性。IIR數(shù)字濾波器設計方法

模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的方法（利用復數(shù)映射，最常用）

○沖激響應不變法○階躍響應不變法○匹配Z變換法

○微分映射法（歐拉逼近）

○雙線性變換法

直接法：直接在時域或頻域設計IIR濾波器（利用計算機的最優(yōu)化設計）

○零極點累試法

○頻域逼近法

○時域逼近法

模擬——數(shù)字轉(zhuǎn)換法的主要步驟:

先設計一模擬濾波器（參考模擬濾波器），使其平方幅度函數(shù)滿足要求的特性（平方幅度特性要求），由此得到參考模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha（s)

；

找出一種能按Ha(s)

確定待設計數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z）各系數(shù)的方法(模擬─數(shù)字轉(zhuǎn)換方法)；3）此數(shù)字濾波器頻率函數(shù)的平方幅度特性|H（ejω）|2

應與參考模擬濾波器的平方幅度特性足夠近似。再檢驗所設計的|H（ejω）|2

是否滿足要求，若不能，則重來（重復1）~3））。

△模擬濾波器的理論與設計方法已很成熟：常用的參考模擬濾波器（如巴特沃斯濾波器、切比雪夫濾波器、橢圓濾波器、貝塞爾濾波器）不僅有簡單而嚴格的設計公式，而且設計參數(shù)已經(jīng)表格化了，設計起來非常方便、很準確；

△各種復數(shù)映射方法也非常成熟：設計一參考模擬濾波器，其平方幅度函數(shù)滿足要求的特性，由此得到其傳輸函數(shù)Ha（s)

檢驗所設計的|H（ejω）|2

是否滿足要求復數(shù)映射：將傳輸函數(shù)Ha(s)

轉(zhuǎn)換成待設計數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z）結(jié)束是否Ha(s)H(z)S平面映射到Z平面?zhèn)鬏敽瘮?shù)系統(tǒng)函數(shù)復數(shù)變換需具備兩個基本條件：〇因果穩(wěn)定的Ha(s)應能映射成因果穩(wěn)定的H(z)〇數(shù)字濾波器的頻率響應模仿模擬濾波器的頻響最常用的變換方法：Re[s]<0|z|<1S平面虛軸Z平面單位圓上脈沖響應不變法雙線性變換法左半平面的極點單位圓內(nèi)的極點jΩejω二.模擬低通濾波器的設計●模擬低通濾波器的設計指標及逼近方法模擬濾波器按幅度特性分成低通、高通、帶通和帶阻濾波器等：各種頻率選擇模擬濾波器的設計總是先設計模擬低通濾波器，再通過

頻率變換成希望的頻率選擇模擬濾波器濾波器。頻率變換SS模擬低通濾波器設計濾波器變換SZ各種頻率選擇模擬濾波器可通過濾波器變換（間接方法）轉(zhuǎn)換成各種頻率選擇數(shù)字濾波器。模擬低通濾波器設計是基礎！巴特沃茲低通濾波器切比雪夫低通濾波器(I和II型)橢圓低通濾波器貝塞爾濾波器低通轉(zhuǎn)換成高通低通轉(zhuǎn)換成帶通低通轉(zhuǎn)換成帶阻脈沖響應不變法雙線性變換法。。。模擬低通濾波器的設計指標及逼近方法：

△假定總是可以獲得模擬低通濾波器特性要求（依賴于頻率變換）：

p,

s,Rp

和

As,如下圖所示。△由幅度平方函數(shù)確定模擬低通濾波器傳輸函數(shù)：Ha(-s)=Ha*(s)

模擬低通濾波器的特性要求給定后，需要設計一個傳輸函數(shù)為Ha(s)的模擬低通濾波器，希望其頻率響應平方幅度函數(shù)|H(jΩ)|2滿足給定的指標Rp

和

As。由于一般濾波器的單位沖激響應ha(t)

為實數(shù)，有ha(t)

為實數(shù)

△傳輸函數(shù)的零極點分布特點（象限對稱）：Ha(S)的極點（零點）Ha(-S)的極點（零點）

傳輸函數(shù)的零、極點實部、虛部都要改變符號（象限對稱）！●幾種常用模擬低通濾波器IIR數(shù)字濾波器的設計依賴于模擬低通濾波器，這些模擬濾波器稱為原型濾波器.廣泛使用的原型低通濾波器有三種：巴特沃茲（

Butterworth

）低通濾波器切比雪夫（

Chebyshev

）低通濾波器(I和II型)橢圓（EllipticFunction）低通濾波器巴特沃茲（Butterworth

）低通濾波器巴特沃茲低通濾波器的頻率響應（幅度平方）為巴特沃茲低通濾波器的頻率響應通帶和阻帶內(nèi)都是平坦的(單調(diào)的)這里N

為低通濾波器的階數(shù)；為截止頻率。0.5巴特沃茲低通濾波器的特性

|Ha(jΩ)|2

隨Ω單調(diào)減；

|Ha(0)|2=1,|Ha(jΩc)|2=0.5,所有的N,(|Ha(jΩc)|=0.707,

-20(|Ha(jΩc)|=3dB，在Ωc處3dB衰減)N越大，幅度下降越快，過渡帶越窄，當N→∞時，濾波器趨近于理想低通濾波器。如何確定巴特沃茲低通濾波器的的傳輸函數(shù)Ha(s)：

由于

以s代換jΩ（或Ω=s/j）,

將幅度平方函數(shù)寫成

s的函數(shù)

|Ha(jΩ)|2Ω=s/j=Ha(s)Ha(-s)的極點：

2N個極點等角度(π/Nrad)分布在S平面半徑為Ωc

圓上；極點分布相對于虛軸對稱；極點絕不會分布于虛軸上，但當N為奇數(shù)時在實軸上有極點；一個穩(wěn)定的因果巴特沃茲低通濾波器，其N個極點在左半平面。

例如，一個穩(wěn)定的3階巴特沃茲低通濾波器為使設計公式和圖表統(tǒng)一，需將頻率用Ωc歸一化。歸一化后巴特沃茲濾波器的傳輸函數(shù)為：令p=η+jλ=s/Ωc，λ=Ω/Ωc，λ為歸一化頻率，p=s/Ωc為歸一化復變量，pk=sk/Ωc為歸一化極點，歸一化傳輸函數(shù)：其中，歸一化極點：已有現(xiàn)成的巴特沃茲歸一化低通濾波器設計參數(shù)表。如求出階數(shù)N，便可得到極點pk

，或系數(shù)

bk

，或Ga(p)。

只要根據(jù)技術(shù)指標求出階數(shù)

N

后,便可求出N個歸一化極點pk，以及歸一化傳輸函數(shù)Ga(p)。如果給定Ωc，再去歸一化，即用p=s/Ωc

帶入Ga(p)（或由sk

=pkΩc

），便得到期望設計的傳輸函數(shù)Ha(s)

。因此巴特沃茲低通濾波器的設計公式

模擬低通濾波器的特性要求為Ωp，

Rp，Ωs，

As，則設計巴特沃茲低通濾波器就是要確定階數(shù)N和截止頻率Ωc兩個參數(shù)變量性能指標Ωp，

Rp，Ωs，

As，由下邊公式約束：兩個等式，求解兩個參數(shù)變量先確定階數(shù)

N

，再由上式的任何一式確定Ωc。

通帶過濾帶 阻帶阻帶指標有富裕量通帶指標有富裕量括號內(nèi)可能有小數(shù)，N取大于或等于括號內(nèi)的最小整數(shù)令巴特沃茲低通濾波器的設計步驟

1.確定模擬低通濾波器的特性要求：Ωp，

Rp，Ωs，

As；

2.

根據(jù)性能指標要求確定階數(shù)N：

3.確定截止頻率Ωc

：有時Ωc在性能要求中給出，不用再求；

兩式等價4.確定傳輸函數(shù)的歸一化極點pk

或極點sk

：

5.確定歸一化系統(tǒng)傳輸函數(shù)Ga(p)或傳輸函數(shù)Ha(s)

：例:已知通帶截止頻率fp=5kHz,通帶最大波紋Rp=2dB,阻帶截止頻率fs=12kHz,阻帶最小衰減As=30dB,設計一巴特沃茲模擬低通濾波器。

切比雪夫（Chebyshev

）低通濾波器切比雪夫-I型低通濾波器的頻率響應其通帶內(nèi)是等波紋的切比雪夫-II型低通濾波器的頻率響應其阻帶內(nèi)是等波紋的

(巴特沃茲低通濾波器的頻率響應在通帶和阻帶內(nèi)都是單調(diào)的)對相同的頻帶要求，切比雪夫低通濾波器比巴特沃茲低通濾波器需要更低的階數(shù)（犧牲單調(diào)性）相同的階數(shù)情況下，同樣的邊界頻率獲得更好的幅度指標N為濾波器的階數(shù),

為通帶內(nèi)波紋因子Ωc截止頻率?切比雪夫（

Chebyshev

）

-I型低通濾波器切比雪夫-I型低通濾波器的頻率響應（幅度平方）為:N

階切比雪夫多項式巴特沃玆對0<x<1,TN(x)在–1

和1之間振蕩；對1<x<,TN(x)單調(diào)增當x=0(或Ω=0):|Ha(j0)|2=1;對N

奇數(shù);

=1/(1+2);

對N

偶數(shù)當x=1(或Ω=Ωc):

|Ha(j1)|2=1/(1+2)

對所有的N.對0<=x<=1(或0<=Ω<=Ωc):

|Ha(jx)|2

在

1

和

1/(1+2)

之間振蕩。對

x>1(或Ω>Ωc):|Ha(jx)|2

單調(diào)減至0.當x=Ωr:|Ha(jx)|2=1/(A2).如何確定切比雪夫-I型低通濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)

：為了確定一個穩(wěn)定因果的Ha(s)，必須求出Ha(s)Ha(-s)的極點并選擇左半平面的極點作為Ha(s)的極點。

求Ha(s)Ha(-s)的極點可以通過求的根得到。選擇上述多項式在左半平面的根作為Ha(s)的極點。Ha(s)Ha(-s)的極點分布:極點落在主軸為

bΩc、虛軸為

aΩc

的橢圓上，此時的系統(tǒng)函數(shù)為K為歸一化因子3

階切比雪夫濾波器的極點分布切比雪夫-I型低通濾波器的設計公式:

低通濾波器的特性要求為Ωp，

Rp，Ωs，

As，則設計切比雪夫-I型低通濾波器需要確定三個參數(shù)：切比雪夫（

Chebyshev

）

-II型低通濾波器切比雪夫-I型低通濾波器的頻率響應（幅度平方）為切比雪夫-II型低通濾波器是切比雪夫-I型低通濾波器的簡單變換。切比雪夫-II型低通濾波器的頻率響應其阻帶內(nèi)是等波紋的、通帶內(nèi)是單調(diào)減；

切比雪夫-II型低通濾波器比切比雪夫-I型低通濾波器在通帶內(nèi)有更好的線性相位特性。橢圓（EllipticFunction）低通濾波器橢圓（EllipticFunction）低通濾波器的頻率響應其通帶、阻帶內(nèi)都是等波紋的對相同的頻帶要求，橢圓低通濾波器比巴特沃茲、切比雪夫低通濾波器需要更低的階數(shù)（犧牲單調(diào)性）N為階數(shù);

通帶波紋系數(shù);

UN()為N階Jacobian

橢圓函數(shù)。

—階數(shù)N的計算設計與分析比較困難，其設計通常利用程序或表格。橢圓低通濾波器的頻率響應（幅度平方）為幾種原型濾波器的相位響應橢圓低通濾波器提供了最優(yōu)的平方幅度響應，但在通帶內(nèi)具有嚴重的非線性，這在許多應用場合是不希望的。巴特沃茲低通濾波器有最平坦的幅度特性，為獲得阻帶指標需要較高的階數(shù)因而有較多的極點。但在通帶內(nèi)有較好的線性相位特性。切比雪夫低通濾波器(I和

II型)的相位特性界于巴特沃茲和橢圓低通濾波器之間。盡管相位特性在設計中不太過關心，但在整個系統(tǒng)中仍然是需要考慮的一個重要問題。三種濾波器的選擇依賴于濾波器的階數(shù)（影響處理速度和實現(xiàn)復雜性）和要求的相位特性（控制信號畸變）?！衲M濾波器的頻率變換(SS)—模擬高通、帶通和帶阻濾波器的設計

?頻率選擇模擬濾波器可通過模擬低通濾波器頻率變換得到：頻率變換SS模擬低通濾波器設計濾波器變換SZ巴特沃茲低通濾波器切比雪夫低通濾波器(I和II型)橢圓低通濾波器貝塞爾濾波器低通轉(zhuǎn)換成高通低通轉(zhuǎn)換成帶通低通轉(zhuǎn)換成帶阻脈沖響應不變法雙線性變換法。。。

?設模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)為G(s)，s=j，歸一化頻率用表示，p=j為歸一化拉氏復變量。所需類型的濾波器（如高通）的傳輸函數(shù)為H(s)，s=j，歸一化頻率用表示，q=j為歸一化拉氏復變量，H(q)為歸一化傳輸函數(shù)。

?頻率變換用截止頻率Ωc歸一化q=j，=/cs=jq=s/c注意兩個幅度特性的變化趨勢阻帶過渡帶通帶阻帶過渡帶通帶幅度變化趨勢相同如原型濾波器的設計q=j，=/cs=jq=s/c例:設計高通模擬濾波器，要求fp=200Hz，fs=100Hz，幅度特性單調(diào)變化，fp處的最大波紋3dB，阻帶衰減大于15dB。

模擬帶通濾波器的通帶上限和下限頻率為Ωu和Ωl,通帶寬度B=Ωu-Ωl,Ωs1和Ωs2分別為下阻帶上限頻率和上阻帶下限頻率,定義通帶中心頻率Ω02=ΩuΩl,歸一化邊界頻率為:幅度變化趨勢相同

模擬帶阻濾波器的下通帶截止頻率和上通帶截止頻率為Ωl和Ωu,阻帶寬度B=Ωu-Ωl,Ωs1和Ωs2分別為阻帶下限頻率和上限頻率,阻帶中心頻率Ω02=ΩuΩl,歸一化邊界頻率為:

?頻率選擇模擬濾波器設計步驟：給定所需類型(如高通)模擬濾波器的技術(shù)指標，轉(zhuǎn)化成歸一化指標轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的歸一化技術(shù)指標（頻率變換）設計歸一化模擬低通濾波器（原型低通濾波器模擬低通濾波器轉(zhuǎn)換成所需類型(如高通)模擬濾波器（頻率變換）要求的頻率選擇(如高通)模擬濾波器不同的頻率選擇模擬濾波器歸一化方式不同不同的頻率選擇模擬濾波器頻率變換方式不同不同的歸一化原型低通模擬濾波器不同的頻率選擇模擬濾波器頻率變換和去歸一化方式不同

IIR

濾波器設計的間接方法：三.沖激響應不變法設計IIR設計一參考模擬濾波器，其平方幅度函數(shù)滿足要求的特性，由此得到其傳輸函數(shù)Ha（s)

檢驗所設計的|H（ejω）|2

是否滿足要求復數(shù)映射：將傳輸函數(shù)Ha(s)

轉(zhuǎn)換成待設計數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z）結(jié)束是否●脈沖響應不變法●雙線性變換法。。?！衲M低通●模擬高通●模擬帶通●模擬帶阻●數(shù)字低通●數(shù)字高通●數(shù)字帶通●數(shù)字帶阻

沖激響應不變法

方法：使待設計的數(shù)字濾波器的沖激響應h（n）為參考模擬濾波器沖激響應ha（t）的等間隔采樣序列

如果穩(wěn)定因果模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha（s），則所求數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H（z）與h（n）：如果H（z）的各極點是單極點，則H（z）可劃分為部分式之和ha（t）其中Ak為H（z）在極點pk處的留數(shù)，因此因果Ha（s）與ha（t）：其中Ak’為Ha（s）在極點sk處的留數(shù)，則信號與系統(tǒng)有關知識因果由于h（n）=ha（nTs），則待定系數(shù)法得：

Ak=Ak’，

pk=eSkTsS平面的極點sk

映射到Z平面后即為極點pk=eSkTs，且Ha（s）與H（z）的部分分式系數(shù)(留數(shù))相等。Z變換與拉氏變換的關系：設ha(t)

的理想采樣信號為的拉式變換z變量與s變量的關系數(shù)字頻率與模擬頻率的關系:由h（n）=ha（nTs），故設則0j3/Ts/Ts-/Ts-3/TsS平面Re[z]jIm[z]01-1S平面復數(shù)映射多值映射特性:關于s變量：如果s變量的實部小于0，映射為|z|〈1（單位圓內(nèi)）；如果s變量的實部等于0，映射為|z|=1

（單位圓）；如果s變量的實部大于0，映射為|z|〉1

（單位圓外）。

結(jié)論：如果模擬濾波器是穩(wěn)定的(sk在S平面左半部)值小于1，位于單位圓以內(nèi)，也是穩(wěn)定的。虛部相差的帶狀區(qū)映射成整個Z平面。S平面中每一帶狀區(qū)的左半邊映射為Z平面單位圓內(nèi)，右半?yún)^(qū)映射為單圓外

(多對一映射)。

結(jié)論：如果模擬濾波器不是帶限的，映射后頻譜混疊出現(xiàn)。沖激響應不變法中頻率呈線性關系，即結(jié)論：頻率模仿呈線性關系。

如果是帶限且當那么此時，變換不會改變原來的相位特性。否則頻譜會出現(xiàn)交疊（S平面到Z平面的多值映射造成的

），引起頻率響應失真此方法只適合于帶限濾波器的設計。數(shù)字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓，根據(jù)抽樣定理只有當模擬濾波器的頻率響應是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時不產(chǎn)生混迭失真。采樣及其頻譜例：利用沖激響應不變法（這里Ts為實系數(shù)且Ts>0）可將模擬參考濾波器轉(zhuǎn)換函數(shù)Ha(s)

映射為數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。試證明：若模擬參考濾波器是穩(wěn)定的，映射后的數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的。思路：若模擬參考濾波器是穩(wěn)定的，則其任意極點sk在左半平面，即Re{sk}<0；只要能證明映射到Z平面的極點pk的模小于1，即|pk|<1，結(jié)論便得證。?用沖激響應不變法設計一個低通數(shù)字濾波器給定低通數(shù)字濾波器的特性要求為ωp,ωs,Rp

和

As,首先設計一個參考模擬濾波器，然后將其映射為數(shù)字濾波器，其步驟為1.選擇

Ts

并確定模擬濾波器性能指標:

Ωp=ωp/Ts,Ωs=ωs/Ts,Rp

和As指標不作變化.2.用幾種原型低通濾波器（巴特沃茲濾波器、切比雪夫濾波器、橢圓濾波器）之一設計滿足性能指標的參考模擬低通濾波器

Ha(s).3.用部分分式和表示Ha(s)

為4.變換模擬極點

{sk}為數(shù)字極點{eskTs}

，從而獲得數(shù)字濾波器5.驗證數(shù)字濾波器的性能指標是否滿足要求。假定模擬濾波器Ha(s)的截止頻率為fo，則Ts≤1/(2fo)。例：設計數(shù)字低通濾波器，要求通帶、阻帶具有單調(diào)下降特性。通帶內(nèi)頻率低于0.2rad時，容許的幅度誤差在1dB以內(nèi)；頻率在0.35到之間的阻帶衰減大于10dB。采用沖激響應不變法設計。確定數(shù)字低通濾波器指標轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器指標設計巴特沃茲模擬低通濾波器沖激響應不變法轉(zhuǎn)換成數(shù)字低通濾波器驗證所設計的數(shù)字低通濾波器是否滿足要求Ts的取值對數(shù)字濾波器的頻譜影響不大，但在折疊頻率ω=π處有頻率混疊。階躍響應不變法

方法:使數(shù)字濾波器的階躍響應hs(n)為模擬濾波器的階躍響應hsa(t)的等間隔采樣序列.模擬濾波器的階躍響應及拉氏變換為

對應數(shù)字濾波器階躍響應Z變換:由于求數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的步驟:把Hsa(s)=Ha(s)/s展開為部分分式(Ak’,sk)把Hs(z)表示為部分分式(Ak,pk)利用Ak=Ak’,pk=eSkTs,用待定系數(shù)法求Hs(z)將Hs(z)乘(z-1)/z得到H(z).?匹配Z變換法方法:將S

平面的極點和零點直接映射到Z平面的極點和零點,即S平面上形如(s-sk)的點,映射到Z平面上的點為(1-eskTsz-1).即把S平面上s=sk的極點和零點，映射為Z平面上的極點和零點zk=eskTs.Ts為采樣周期。形如(s+a-jb)(s+a+jb)的共軛極點和零點映射到Z平面后的極點和零點為(1-2e-aTscosbT+e-2aTsz-2)假如給定模擬濾波器的傳輸函數(shù)為則轉(zhuǎn)移成的數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)為(直接映射)或

微分映射法

方法：把模擬系統(tǒng)的微分方程用數(shù)字系統(tǒng)的差分方程代替：即反向差分：用[y(nTs)-y(nTs-Ts)]/Ts代替的變換，相當于如果Ha(s)是穩(wěn)定的H(z)穩(wěn)定。只有在低頻部分，模擬頻率和數(shù)字頻率才近似相等。ImRe●沖激響應不變法的缺陷：

四.雙線性變換法設計IIR沖激響應不變法得到的數(shù)字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應以2π/Ts

的周期延拓，當模擬濾波器的頻率響應不是限帶于折疊頻率±π/Ts

，產(chǎn)生頻譜混疊混迭失真。數(shù)字濾波器的頻譜偏離模擬濾波器的頻譜。如果能將模擬頻率軸壓縮到±π/Ts

之間，再用z=esTs

轉(zhuǎn)換到Z平面上，就不會產(chǎn)生頻譜混疊混迭失真。●方法:

將模擬頻率軸壓縮到±π/Ts

之間，可用正切變換實現(xiàn)頻率壓縮：

Ω1從-π/Ts經(jīng)過0

變換到+π/Ts

，Ω則由-∞經(jīng)過0變換到∞，實現(xiàn)了S平面整個虛軸到S1平面上虛軸的±π/Ts

之間的轉(zhuǎn)換。由上式可得上式將S平面變量s映射到Z平面變量z，稱為雙線性變換。雖然映射一次完成，但可理解為經(jīng)過兩次變換：●模擬頻率Ω與數(shù)字頻率ω的關系:

令s=jΩ,z=ejω,帶入雙線性變換，可得：模擬頻率Ω與數(shù)字頻率ω形成正切關系，如圖所示。在

ω=0

附近，接近線性關系。當ω增加時，Ω的增加越來越快，當ω趨于π時，Ω趨于∞，正是這種非線性關系，消除了頻譜混疊現(xiàn)象。這種正切頻率變換使得數(shù)字頻率響應不能保真地模仿模擬濾波器的頻率響應。即Ω在-∞

至∞的頻譜,壓縮成ω在-π至π的范圍內(nèi)的頻譜。低頻展寬高頻壓縮●雙線性變換法的優(yōu)缺點：優(yōu)點：整S左平面一一對應映射到Z平面單位圓內(nèi)，是一種穩(wěn)定映射且無頻域混疊：對模擬濾波器類型無限制。缺點：頻率之間的關系非線性（正切變換），線性相位的濾波器經(jīng)雙線性變換后，得到非線性相位的數(shù)字濾波器。若設計指標中的邊界頻率是以數(shù)字頻率給出的，則必須按正切關系求出模擬濾波器的設計的邊界頻率，即“預畸變校正”，只有這樣，才能保證設計的Ha(s)用雙線性變換法轉(zhuǎn)換成的數(shù)字濾波器H(z)的頻率響應滿足設計指標例：利用雙線性變換（這里為實系數(shù)且

>0）可將模擬參考濾波器轉(zhuǎn)換函數(shù)Ha(s)

映射為數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。試證明：若模擬參考濾波器是穩(wěn)定的，映射后的數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的。證明：因，有假定模擬參考濾波器Ha(s)是穩(wěn)定的，那么其所有極點在S平面左半面，即由于為實系數(shù)且

>0，借助下面的矢量圖，有

|Re{τ+s}|=|τ-|a||<|Re{τ-s}|=τ+|a||Im{τ+s}|=|b|=|Im{τ-s}|=|b|故根據(jù)勾股定理，有數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)的極點z的模說明數(shù)字濾波器極點在單位圓內(nèi)，故數(shù)字系統(tǒng)穩(wěn)定。（獲證）例：假設Ha(s)為模擬低通濾波器，又知，則H(z)為哪種頻率選擇數(shù)字濾波器?

解:如果將模擬低通濾波器Ha(s)轉(zhuǎn)換為