彈塑性力學(xué)第06章

第六章彈性力學(xué)問題的變分解法§6-l基本概念§6-2彈性體的虛功原理§6-3位移變分方程最小勢能原理§6-4基于最小勢能原理的近似計算方法§6-5應(yīng)力變分方程最小余能原理§6-6基于最小余能原理的近似計算方法§6-7彈性力學(xué)邊值問題的兩種描述方法

§6-l基本概念從以上各章可以發(fā)現(xiàn)，在彈性力學(xué)中，即使對于像平面問題、柱形桿的扭轉(zhuǎn)和彎曲等特殊的問題，當(dāng)邊界條件比較復(fù)雜時，要求得精確解答是十分困難，甚至是不可能的。因此，對于彈性力學(xué)的大量實際問題，近似解法就具有極為重要的意義。本章要介紹的變分方法，不僅是近似解法中最有成效的方法之一，而且是有限單元法等近似解法的理論基礎(chǔ)。

一、彈性力學(xué)中的變分法

變分法主要是研究泛函及其極值的求解方法。所謂泛函，就是以函數(shù)為自變量的一類函數(shù)，簡單地講，泛函就是函數(shù)的函數(shù)。彈性力學(xué)變分法中所研究的泛函，就是彈性體的能量。因此，彈性力學(xué)中的變分法又稱為能量法。這種方法就其本質(zhì)而言，是要把彈性力學(xué)基本方程的定解問題，變?yōu)榍蠓汉臉O值（或駐值）問題。而在求問題近似解時，泛函的極值（或駐值）問題又進而變成函數(shù)的極值（或駐值）問題。因此，最后把問題歸結(jié)為求解線性代數(shù)方程組。

彈性力學(xué)的變分法建立在能量守恒定律的基礎(chǔ)上。W=Vε

二、應(yīng)變能與應(yīng)變余能

應(yīng)變能密度或比能

余能的概念當(dāng)應(yīng)力、應(yīng)變之間呈線性關(guān)系時：對于線性彈性關(guān)系的問題，對于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變余能密度可以表示為

三、能量形式的物理方程

格林（Green）公式

卡斯蒂利亞諾（Castingliao,A）公式

§6-2彈性體的虛功原理一、靜力可能的應(yīng)力

二、幾何可能的位移

三、彈性體的虛功原理

一、靜力可能的應(yīng)力靜力可能的應(yīng)力未必是真實的應(yīng)力，因為真實的應(yīng)力在體內(nèi)還須滿足以應(yīng)力表示的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，而對應(yīng)的位移還須滿足Su上的位移邊界條件。但反之，真實的應(yīng)力必然是靜力可能的。

二、幾何可能的位移幾何可能的位移未必是真實的，因為真實的位移，還須在體內(nèi)滿足以位移表示的平衡微分方程，在面力已知的邊界Sσ上，須滿足以位移表示的應(yīng)力邊界條件。但反之，真實的位移必然是幾何可能的。三、彈性體的虛功原理

恒等式（證明略）其中在Sσ上在Su上

在彈性體上，外力在任意一組幾何可能位移上作的功，等于任意一組靜力可能的應(yīng)力在與上述幾何可能位移所對應(yīng)的應(yīng)變上所作的功。（6-8）

討論功的前面加一個“虛”字，只是用以指明作功的雙方彼此獨立無關(guān)這一特征，而沒有別的含義。注意！

第一，在證明彈性體的虛功原理時，只用到小變形假設(shè)，而未涉及到材料的性質(zhì)，因此，在小變形的前提下，這個原理適用于任何性質(zhì)的材料。第二，從平衡微分方程、應(yīng)力邊界條件、幾何方程和位移邊界條件出發(fā)，可證明虛功原理的成立，反之，也可利用虛功原理推導(dǎo)平衡微分方程、應(yīng)力邊界條件、幾何方程和位移邊界條件。第三，式（6-8）中的靜力可能的應(yīng)力和幾何可能的位移及其對應(yīng)的應(yīng)變，可以是同一彈性體的兩種不同的受力狀態(tài)和變形狀態(tài)，二者彼此獨立而無任何的關(guān)系。這正是虛功的含義。

真實應(yīng)力、應(yīng)變和位移情況但當(dāng)靜力可能的應(yīng)力和幾何可能的應(yīng)變服從物理方程時，即為真實的應(yīng)力、應(yīng)變和位移。此時，式（6-8）變?yōu)?/p>

（f）

虛功原理是彈性力學(xué)中的一個普遍的能量原理，我們將由此導(dǎo)出彈性力學(xué)的兩個重要的變分原理。

§6-3位移變分方程最小勢能原理

如果取真實的應(yīng)力為靜力可能的應(yīng)力，則可導(dǎo)出彈性體的虛位移原理。設(shè)幾何可能的位移為（a）這里的ui為真實位移，而表示真實位移鄰近的位移的微小改變量，我們稱之為虛位移。因為真實位移ui滿足位移邊界條件，所以，要求滿足位移邊界條件，必須有（在Su上）

（b）

（a)將式（a）代入幾何方程

真實應(yīng)變虛應(yīng)變

將式（a）和式（c）代入式（6-8），并取真實應(yīng)力作為靜力可能的應(yīng)力（c）位移變分方程將上式與§6-2中的式（f）相減，得（f）式（6-10）稱為位移變分方程，又稱虛位移方程。它表示外力在虛位移上作的虛功，等于彈性體的真實內(nèi)力在相應(yīng)虛位移上作的虛功。從§6-2中的論述和本節(jié)的推導(dǎo)可知，它等價于平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件。

（6-10）最小勢能原理從位移變分方程出發(fā)，可以推出彈性力學(xué)中一個重要的原理，即所謂的最小勢能原理。

（6-10）（6-10）′

在所有幾何可能的位移中，真實的位移使總勢能Ep取最小值。（6-12）（6-11）討論綜上所述，以位移作為基本未知函數(shù)求解彈性力學(xué)問題時，按過去的方法是要求解以位移表示的平衡微分方程，使所求的位移分量，在Su上滿足位移邊界條件，在Sσ上滿足以位移表示的應(yīng)力邊界條件。而現(xiàn)在可歸結(jié)為求解位移變分方程（6-10）′，或者去求總勢能Ep的極值。在利用方程（6-10）′和（6-12）時，所設(shè)的位移毋須事先滿足應(yīng)力邊界條件，而只要滿足位移邊界條件就可以了，因應(yīng)力邊界條件是會自動滿足的。最小勢能原理等價于以位移表示的平衡微分方程和以位移表示的應(yīng)力邊界條件。(平衡律）例6-1圖示為一直梁，其橫截面有一鉛直的對稱軸，分布荷載q(x)就作用在包含該軸的鉛直平面內(nèi)。在梁的端面上，施加適當(dāng)?shù)募s束，使梁不能產(chǎn)生整體的剛性位移，或者作用適當(dāng)?shù)募袅蛷澗?，使梁保持平衡。現(xiàn)在，要用最小勢能原理推導(dǎo)用梁的撓度表示的平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件。

§6-4基于最小勢能原理的近似計算方法

根據(jù)最小勢能原理，首先必須列出所有滿足位移邊界條件的位移(可能位移），然后求出其中使總勢能Ep取最小值的那組位移，就是所要求的真正的位移。但問題在于要列出所有滿足位移邊界條件的位移是非常困難的，甚至是不可能的。因此，在計算工程實際問題時，只能根據(jù)受力特點和邊界條件，憑經(jīng)驗和直覺在縮小范圍內(nèi)尋找一簇位移，從中求得一組使總勢能Ep取得最小值的位移。雖然，一般來說，這組位移不是真正的位移，但可以肯定它是在縮小范圍后的一簇位移中與真正位移最接近的一組，從而可以作為問題的近似解。下面介紹基于最小勢能原理的兩種近似解法——瑞利-李茲（Rayleigh-Ritz）法和伽遼金（Γaлёpkии）法。

（一）瑞利-李茲法

由式（6-13）給出的位移，不論Am，Bm和Cm取何值，它們在Su上總是滿足位移邊界的。（6-13）變泛函極值問題為求函數(shù)的極值問題現(xiàn)在的問題是要適當(dāng)?shù)剡x擇Am，Bm和Cm，使總勢能在以式（6-13）所表示的這簇位移中取最小值。為此，先將式（6-13）代入幾何方程求應(yīng)變分量，再代入總勢能Ep的表達式（6-11）中，注意到右邊的第一個積分中vε是應(yīng)變分量的齊二次函數(shù)，因此，代入后，這個積分是Am，Bm和Cm的齊二次函數(shù)。于是，總勢能Ep本來是自變函數(shù)u，v，w的泛函，而現(xiàn)在變成待定系數(shù)Am，Bm和Cm的二次函數(shù)。這樣，就把求泛函的極值問題變成求函數(shù)的極值問題。（6-11）總勢能Ep取極值的條件為這是一組以Am，Bm和Cm（m=1,2,3,…）為未知數(shù)的線性非齊次代數(shù)方程組，解出了系數(shù)Am，Bm和Cm，代入式（6-13），就得到位移的近似解答。這種方法稱為瑞利-李茲法。

伽遼金法如果所選擇的位移函數(shù)式（6-13）不僅滿足Su上的位移邊界條件，而且還滿足Sσ上的靜力邊界條件，則方程（a）簡化為

（6-10）（a）（b）伽遼金法（b）例6-2兩端簡支的等截面梁，受均布荷載q作用（圖6-3），試求撓度w（x）。

平面問題

平面問題的應(yīng)變能表達式

平面應(yīng)變問題例6-3圖6-4所示為一邊固定、另三邊自由的薄板，三自由邊受均布剪應(yīng)力τ作用。不計體力，試用瑞利-李茲法求薄板的位移。

u=0

薄板彎曲問題

等厚薄板

對于四條邊上w=0的矩形板

例6-4邊長分別為a和b的矩形薄板，前、后兩對邊為簡支，左邊固定，右邊自由，受均布荷載q作用，坐標(biāo)選取如圖6-5所示，求板的撓度w。

§6-5應(yīng)力變分方程最小余能原理取幾何可能的位移為真實位移

彈性體的穩(wěn)定平衡狀態(tài)

式（6-33）稱為應(yīng)力變分方程，又稱虛應(yīng)力方程。它表示在已知位移的邊界上，虛面力在真實位移上作的功，等于整個彈性體的虛應(yīng)力在真實變形中所作的功。

（6-33）最小余能原理

應(yīng)力變分方程還可以表成另一種形式。

在所有靜力可能的應(yīng)力中，真實的應(yīng)力使總余能取最小值。

§6-6基于最小余能原理的近似計算方法

§6-7彈性力學(xué)邊值問題的兩種描述方法微分描述與變分描述

微分描述平衡律

協(xié)調(diào)律

本構(gòu)律或（6-44）

（6-45）

（6-46）

變分描述最小勢能原理中的極值條件就是用能量形式表示物體的平衡律

總勢能Ep是容許位移函數(shù)uik的函數(shù)，又稱為勢能泛函。uik是自變函數(shù)，但不是完全自由變化的，而是“容許”的位移，即受協(xié)調(diào)律的約束的位移應(yīng)用最小勢能原理可以直接求出物體的位移，若選取的ui事先滿足協(xié)調(diào)律，分析過程中又遵循本構(gòu)律，則由式（6-47

）求得的ui必是真解，這就說明式（6-47

）反映的恰是物體的平衡律，它與式（6-44

）完全等價。

（6-47)變分描述最小余能原理的極值條件則是反映物體的協(xié)調(diào)律約束條件為條件等價于協(xié)調(diào)律式（6-45）（6-48)廣義變分原理對于可以直接表達連續(xù)體的物理本質(zhì)的變分原理，如最小勢能原理、最小余能原理等，稱之為“自然”變分原理