概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)2.3

2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率分布定義的引入設(shè)離散型隨機(jī)變量X在[a,b]內(nèi)取n個(gè)值，x1=a<x2<…<xn=b

為區(qū)間中概率之和。x1=aPx2x3s1s2s3sn…….xn=b定義的引入若X為連續(xù)型隨機(jī)變量，由于X在[a,b]內(nèi)取無數(shù)值，折線變成一條光滑曲線f(x),XaP…….b定義:

設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，若存在非負(fù)函數(shù)f(t),使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，稱f(t)為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度或分布密度。上一頁下一頁返回

(4)若x為f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則有概率密度f(x)具有以下性質(zhì)：上一頁下一頁返回其中，(1)(2)為判斷函數(shù)是否為連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)注意點(diǎn)只有連續(xù)型隨機(jī)變量X才存在密度函數(shù)f(x)，密度函數(shù)是分布函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且密度函數(shù)也滿足歸一性；連續(xù)型隨機(jī)變量在任意一點(diǎn)的點(diǎn)概率為零，但離散型隨機(jī)變量沒有此條性質(zhì)；連續(xù)型隨機(jī)變量在任何區(qū)間上的取值概率與區(qū)間的開閉無關(guān)，但離散型隨機(jī)變量的取值概率需考慮是否包含區(qū)間端點(diǎn)處的概率。例1

設(shè)求常數(shù)K的值例2設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為求P{0.1<X<0.5}以及X的密度函數(shù)

例3設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為1，求X的分布律；2，P{X<2|X≠1}求：（1）常數(shù)a；（2）（3）X的分布函數(shù)F（x）（1）由概率密度的性質(zhì)可知所以a＝1/2

例4設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度解：上一頁下一頁返回上一頁下一頁返回三大連續(xù)分布函數(shù)（1）均勻分布U(a,b)

在區(qū)間(a,b)內(nèi)的任意子區(qū)間(c,d)內(nèi)，取值概率直接等于子區(qū)間與母區(qū)間的長(zhǎng)度比；（2）指數(shù)分布E(λ)

用來表示獨(dú)立事件發(fā)生的時(shí)間間隔，在壽命分布、可靠性與排隊(duì)理論中應(yīng)用廣泛；（3）正態(tài)分布

理論和實(shí)踐中運(yùn)用最廣的分布，在數(shù)據(jù)量大的時(shí)候有非常好的性質(zhì)。則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，記為X~U(a,b)，均勻分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為上一頁下一頁返回均勻分布隨機(jī)變量X落在(a,b)的子區(qū)間(c,d)的概率與位置無關(guān)，僅與長(zhǎng)度成正比均勻分布X的分布函數(shù)為均勻分布例題例5設(shè)隨機(jī)變量X服從[1,5]上的均勻分布，(1)若x1<1<x2<5,求P{x1<X<x2}(2)若1<x1<5<x2,求P{x1<X<x2}設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，記為X～E(λ)

指數(shù)分布X的分布函數(shù)為上一頁下一頁返回指數(shù)分布指數(shù)分布例題例６電子元件的壽命X（年）服從參數(shù)為3的指數(shù)分布，求該電子元件壽命超過兩年的概率。若該元件已經(jīng)使用了1.5年，求它還能使用超過2年的概率是多少？Foreveryoung!正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為其中,(>0)為常數(shù),則稱X服從參數(shù)為,

的正態(tài)分布,記為X~N(,2)上一頁下一頁返回正態(tài)分布正態(tài)分布概率密度的圖形特征密度曲線位于x軸的上方，并關(guān)于x=μ對(duì)稱；曲線在x=μ時(shí)達(dá)到最大值曲線在x=μ±σ處有拐點(diǎn)且以x軸為漸近線；正態(tài)分布概率密度的圖形特征Μ決定了曲線的位置，σ確定了曲線中峰的陡峭程度。當(dāng)固定μ，改變?chǔ)业拇笮r(shí)，f(x)的對(duì)稱軸不變，圖形形狀改變。σ越小，圖形越高越瘦，σ越大，圖形越矮越胖。當(dāng)固定σ，改變?chǔ)痰拇笮r(shí)，f(x)圖形的形狀不變，沿著x軸作平移變換。正態(tài)分布分布函數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布當(dāng)μ=0，σ=1時(shí)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布定理當(dāng)x>0時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值可通過查表得到（P211附表3標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表）當(dāng)x<0時(shí)，利用正態(tài)分布密度函數(shù)的對(duì)稱性，有當(dāng)x=0時(shí)，若X~N(0,1),則若，則X的分布函數(shù)3σ準(zhǔn)則正態(tài)隨機(jī)變量的取值范圍幾乎全部集中在區(qū)間（μ-3σ，μ+3σ）內(nèi)，超出這個(gè)范圍的可能性僅占不到0.3%，這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱為3σ準(zhǔn)則。例1設(shè)X~N(1,4),求F(5),P{0<X≤1.6},P{|X-1|≤2}例2假設(shè)某地區(qū)成年男性的身高（單位：厘米）X~N(170,7.69^2),求該地區(qū)成年男性的身高超過175厘米的概率.例3已知某臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長(zhǎng)度X（單位：厘米）服從參數(shù)μ=10.05，σ=0.06的正態(tài)分布，規(guī)定螺栓長(zhǎng)度在10.05±0.12內(nèi)為合格品，求螺栓為