江蘇省姜堰、溧陽、前黃中學(xué)2023屆高三4月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023屆高三姜堰中學(xué)、溧陽中學(xué)、前黃中學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.1.若，，為實(shí)數(shù)，則_____.2.某地區(qū)對(duì)某路段公路上行駛的汽車速度實(shí)施監(jiān)控,從中抽取輛汽車進(jìn)行測(cè)速分析,得到如圖所示的時(shí)速的頻率分布直方圖，根據(jù)該圖,時(shí)速在以下的汽車有_____.3.已知命題，，則成立是成立的_____.（選“充分必要”，“充分不必要”，“既不充分也不必要”填空）.4.從甲、乙、丙、丁4個(gè)人中隨機(jī)選取兩人，則甲、乙兩人中有且只有一個(gè)被選取的概率是_____.5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為____.6.設(shè)滿足，則的最大值是_____.7.若是周期為的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則_____.8.正方形鐵片的邊長(zhǎng)為，以它的一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，一邊長(zhǎng)為半徑畫弧剪下一個(gè)頂角為的扇形，用這塊扇形鐵片圍成一個(gè)圓錐形容器，則這個(gè)圓錐形容器的容積為____.9.已知函數(shù)的圖象如圖所示，，則____.10.平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點(diǎn),若的垂心為的焦點(diǎn)，則的離心率為____.11.已知點(diǎn)，若圓上恰有兩點(diǎn)，使得和的面積均為，則的取值范圍是____.12.設(shè)分別為線段的中點(diǎn),且,記為與的夾角,則的最小值為____.13.已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),若存在實(shí)數(shù)使成立，則實(shí)數(shù)的值為____.14.若方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且，則的取值范圍是____.二、解答題：本大題共6小題，共90分.15.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，且.求的值；若，為的面積，求的取值范圍.16.如圖，在正三棱柱中，點(diǎn)在棱上，,點(diǎn)分別是的中點(diǎn).求證：為的中點(diǎn)；求證:平面.17.科學(xué)研究證實(shí),二氧化碳等溫空氣體的排放(簡(jiǎn)稱碳排放)對(duì)全球氣候和生態(tài)環(huán)境產(chǎn)生了負(fù)面影響，環(huán)境部門對(duì)市每年的碳排放總量規(guī)定不能超過萬噸,否則將采取緊急限排措施.已知市年的碳排放總量為萬噸，通過技術(shù)改造和倡導(dǎo)低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放總量減少.同時(shí),因經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人口增加等因素,每年又新增加碳排放量萬噸.求市年的碳排放總量(用含的式子表示）；若市永遠(yuǎn)不需要采取緊急限排措施,求的取值范圍.18.已知橢圓的左頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)分別為，右準(zhǔn)線為.若直線上不存在點(diǎn)，使為等腰三角形,求橢圓離心率的取值范圍；在(1)的條件下，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)是橢圓上的三點(diǎn)，且,求:以線段的中點(diǎn)為圓心,過兩點(diǎn)的圓的方程.19.設(shè)函數(shù)，其中.若，求過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程；若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).①求的取值范圍；②求證：.20.設(shè)，正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)的積為，且，當(dāng)時(shí)，都成立.若，，，求數(shù)列的前項(xiàng)和；若，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.附加題21A.選修4-1：幾何證明選講如圖，圓是△的外接圓，過點(diǎn)的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，OABCD，，求以及的長(zhǎng)．OABCD21B.選修4-2：矩陣與變換(本題滿分10分)已知矩陣,的一個(gè)特征值，其對(duì)應(yīng)的特征向量是.（1）求矩陣；（2）設(shè)直線在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到了直線，求直線的方程．21C.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程(本題滿分10分)圓：()，與極軸交于點(diǎn)(異于極點(diǎn))，求直線的極坐標(biāo)方程.21D.選修4-5：不等式選講(本題滿分10分)證明：(≥2，).22.（本小題滿分10分）盒子中裝有四張大小形狀均相同的卡片，卡片上分別標(biāo)有數(shù)其中是虛數(shù)單位．稱“從盒中隨機(jī)抽取一張，記下卡片上的數(shù)后并放回”為一次試驗(yàn)（設(shè)每次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響）．（1）求事件“在一次試驗(yàn)中，得到的數(shù)為虛數(shù)”的概率與事件“在四次試驗(yàn)中，至少有兩次得到虛數(shù)”的概率；（2）在兩次試驗(yàn)中，記兩次得到的數(shù)分別為，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望23．(本小題滿分10分)已知數(shù)列滿足…．（1）求，，的值；（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并證明．聯(lián)考數(shù)學(xué)試題Ⅰ1．若，，為實(shí)數(shù)，則▲．2．某地區(qū)對(duì)某路段公路上行駛的汽車速度實(shí)施監(jiān)控，從中抽取40輛汽車進(jìn)行測(cè)速分析，得到如圖所示的時(shí)速的頻率分布直方圖，根據(jù)該圖，時(shí)速在70km/h以下的汽車有▲輛．163．已知命題，命題，則成立是成立的▲條件（選“充分必要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”填空）．充分不必要4．從甲、乙、丙、丁4個(gè)人中隨機(jī)選取兩人，則甲、乙兩人中有且只有一個(gè)被選取的概率為▲．5．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為▲．6．設(shè)滿足約束條件,則的最大值是▲．7．已知是周期為2的奇函數(shù)且當(dāng)時(shí),則▲．8．正方形鐵片的邊長(zhǎng)為，以它的一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，一邊長(zhǎng)為半徑畫弧剪下一個(gè)頂角為的扇形，用這塊扇形鐵片圍成一個(gè)圓錐形容器，則這個(gè)圓錐形容器的容積為▲．9．已知函數(shù)的圖象如圖所示，，則▲．10．平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的漸近線與拋物線交于點(diǎn)，若的垂心為的焦點(diǎn)，則的離心率為▲．11．已知點(diǎn)，若圓上恰有兩點(diǎn)，使得和的面積均為，則的取值范圍是▲．12．設(shè)D，E分別為線段AB，AC的中點(diǎn)，且eq\o(BE,\s\up7(→))·eq\o(CD,\s\up7(→))＝0，記α為eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(AC,\s\up7(→))的夾角，的最小值為▲．eq\f(7,25)13．已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若存在實(shí)數(shù)使成立，則實(shí)數(shù)的值為▲．14.若方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，且，則的取值范圍是▲.二、解答題：本大題共6小題，共90分．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（本小題滿分14分）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知，且.（1）求邊的值；（2）若，為的面積，求的取值范圍．解：（1）由正弦定理，余弦定理可等價(jià)變形為化簡(jiǎn)得……3分或……6分若求范圍：（2）由正弦定理得……10分在中，由得，……14分若求定值：由得故解得故由正弦定理得解得……14分16．（本小題滿分14分）AA1BCB1C1DEF如圖，在正三棱柱AA1BCB1C1DEF分別是，的中點(diǎn)．（1）求證：為的中點(diǎn)；（2）求證：平面．解：（1）正三棱柱，平面，又平面，，又，平面，………3分又正三棱柱，AA1BCB1C1DEFG平面平面，，為AA1BCB1C1DEFG（2）連接，連接交于點(diǎn)，連接矩形，為的中點(diǎn)，又由(1)得為的中點(diǎn)，△中，…9分又點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，△中，，，……12分又平面，平面平面．………14分17．（本小題滿分14分）科學(xué)研究證實(shí)，二氧化碳等溫室氣體的排放（簡(jiǎn)稱碳排放）對(duì)全球氣候和生態(tài)環(huán)境產(chǎn)生了負(fù)面影響.環(huán)境部門對(duì)A市每年的碳排放總量規(guī)定不能超過550萬噸，否則將采取緊急限排措施.已知A市2023年的碳排放總量為400萬噸，通過技術(shù)改造和倡導(dǎo)低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放總量減少10%．同時(shí)，因經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m萬噸（m>0）.（Ⅰ）求A市2023年的碳排放總量(用含m的式子表示)；（Ⅱ）若A市永遠(yuǎn)不需要采取緊急限排措施，求m的取值范圍.解：設(shè)2023年的碳排放總量為，2023年的碳排放總量為，…（Ⅰ）由已知，,=. （4分）（Ⅱ）,…. （8分）由已知有（1）當(dāng)即時(shí),顯然滿足題意；（9分）（2）當(dāng)即時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得:，解得.綜合得；（11分）（3）當(dāng)即時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得:，解得,綜合得.（13分）綜上可得所求范圍是. （14分）18．（本小題滿分16分）已知橢圓的左頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)分別為，右準(zhǔn)線為．（1）若直線上不存在點(diǎn)Q，使為等腰三角形，求橢圓離心率的取值范圍;（2）在（1）的條件下，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)、、是橢圓上的三點(diǎn)，且，求：以線段的中點(diǎn)為圓心，過兩點(diǎn)的圓方程．解：（1）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)是，依題意，即,,,,…………4分（2）當(dāng)且時(shí)，，故，…………5分所以，橢圓方程是：…………6分設(shè)，則，．由，得．因?yàn)槭菣E圓C上一點(diǎn)，所以…8分即………①…10分因?yàn)閳A過兩點(diǎn)，所以線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為…………11分又………②…………12分由①和②得所以圓心坐標(biāo)為…………14分（少一解扣一分）故所求圓方程為………………16分19．（本小題滿分16分）設(shè)函數(shù)，其中．（1）若，求過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，，①求的取值范圍；②求證：．解（1）當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－1－lnx，f′(x)＝－EQ\F(1,x)．設(shè)切點(diǎn)為T(x0，－1－lnx0)，則切線方程為：y＋1＋lnx0＝－EQ\F(1,x0)(x－x0)．……2分因?yàn)榍芯€過點(diǎn)(0，－1)，所以－1＋1＋lnx0＝－EQ\F(1,x0)(0－x0)，解得x0＝e．所以所求切線方程為y＝－EQ\F(1,e)x－1．……4分（2）①f′(x)＝ax－EQ\F(1,x)＝EQ\F(ax2－1,x)，x＞0．(i)若a≤0，則f′(x)＜0，所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，從而函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上至多有1個(gè)零點(diǎn)，不合題意．……5分(ii)若a＞0，由f′(x)＝0，解得x＝EQ\F(1,EQ\r(,a))．當(dāng)0＜x＜EQ\F(1,EQ\r(,a))時(shí)，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x＞EQ\F(1,EQ\r(,a))時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)min＝f(EQ\F(1,EQ\r(,a)))＝EQ\F(1,2)－lnEQ\F(1,EQ\r(,a))－1＝－EQ\F(1,2)－lnEQ\F(1,EQ\r(,a))．要使函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，首先－EQ\F(1,2)－lnEQ\F(1,EQ\r(,a))＜0，解得0＜a＜e．……………7分當(dāng)0＜a＜e時(shí)，EQ\F(1,EQ\r(,a))＞EQ\F(1,EQ\r(,e))＞EQ\F(1,e)．因?yàn)閒(EQ\F(1,e))＝EQ\F(a,2e2)＞0，故f(EQ\F(1,e))·f(EQ\F(1,EQ\r(,a)))＜0．又函數(shù)f(x)在(0，EQ\F(1,EQ\r(,a)))上單調(diào)遞減，且其圖像在(0，EQ\F(1,EQ\r(,a)))上不間斷，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，EQ\F(1,EQ\r(,a)))內(nèi)恰有1個(gè)零點(diǎn)．……9分考察函數(shù)g(x)＝x－1－lnx，則g′(x)＝1－EQ\F(1,x)＝EQ\F(x－1,x)．當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，g′(x)＜0，函數(shù)g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，g′(x)＞0，函數(shù)g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)≥g(1)＝0，故f(EQ\F(2,a))＝EQ\F(2,a)－1－lnEQ\F(2,a)≥0．因?yàn)镋Q\F(2,a)－EQ\F(1,EQ\r(,a))＝EQ\F(2－EQ\r(,a),a)＞0，故EQ\F(2,a)＞EQ\F(1,EQ\r(,a))．因?yàn)閒(EQ\F(1,EQ\r(,a)))·f(EQ\F(2,a))≤0，且f(x)在(EQ\F(1,EQ\r(,a))，＋∞)上單調(diào)遞增，其圖像在(EQ\F(1,EQ\r(,a))，＋∞)上不間斷，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(EQ\F(1,EQ\r(,a))，EQ\F(2,a)]上恰有1個(gè)零點(diǎn)，即在(EQ\F(1,EQ\r(,a))，＋∞)上恰有1個(gè)零點(diǎn)．綜上所述，a的取值范圍是(0，e)．……11分②由x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)(不妨設(shè)x1＜x2)，得EQ\b\lc\{(\a\al(EQ\F(1,2)ax12－1－lnx1＝0，,EQ\F(1,2)ax22－1－lnx2＝0，))兩式相減，得EQ\F(1,2)a(x12－x22)－lnEQ\F(x1,x2)＝0，即EQ\F(1,2)a(x1＋x2)(x1－x2)－lnEQ\F(x1,x2)＝0，所以a(x1＋x2)＝EQ\F(2lnEQ\F(x1,x2),x1－x2)．……13分f′(x1)＋f′(x2)＜0等價(jià)于ax1－EQ\F(1,x1)＋ax2－EQ\F(1,x2)＜0，即a(x1＋x2)－EQ\F(1,x1)－EQ\F(1,x2)＜0，即EQ\F(2lnEQ\F(x1,x2),x1－x2)－EQ\F(1,x1)－EQ\F(1,x2)＜0，即2lnEQ\F(x1,x2)＋EQ\F(x2,x1)－EQ\F(x1,x2)＞0．設(shè)h(x)＝2lnx＋EQ\F(1,x)－x，x∈(0，1)．則h′(x)＝EQ\F(2,x)－EQ\F(1,x2)－1＝EQ\F(2x－1－x2,x2)＝－EQ\F((x－1)2,x2)＜0，所以函數(shù)h(x)在(0，1)單調(diào)遞減，所以h(x)＞h(1)＝0．因?yàn)镋Q\F(x1,x2)∈(0，1)，所以2lnEQ\F(x1,x2)＋EQ\F(x2,x1)－EQ\F(x1,x2)＞0，即f′(x1)＋f′(x2)＜0成立．……16分20．(本小題滿分16分)設(shè)EQ\O\ac(\S\UP3(),\S\DO4(≠))，正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積為，且，當(dāng)時(shí)，都成立．(1)若，，，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(2)若，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．解：(1)當(dāng)n≥2時(shí)，因?yàn)镸＝{1}，所以EQ\r(,Tn＋1Tn－1)＝TnT1，可得an＋1＝ana1EQ\s\up4(2)，故EQ\F(an＋1,an)＝a1EQ\s\up4(2)＝3(n≥2)．又a1＝EQ\r(,3)，a2＝3EQ\r(,3)，則{an}是公比為3的等比數(shù)列，…………2分故{an}的前n項(xiàng)和為EQ\F(EQ\r(,3)(1－3EQ\s\up4(n)),1－3)＝EQ\F(EQ\r(,3),2)·3EQ\s\up4(n)－EQ\F(EQ\r(,3),2)．…………4分(2)當(dāng)n＞k時(shí)，因?yàn)镋Q\r(,Tn＋kTn－k)＝TnTk，所以EQ\r(,Tn＋1＋kTn＋1－k)＝Tn＋1Tk，所以EQ\F(EQ\r(,Tn＋kTn－k),EQ\r(,Tn＋1＋kTn＋1－k))＝EQ\F(TnTk,Tn＋1Tk)，即EQ\r(,an＋1＋kan＋1－k)＝an＋1，…………6分因?yàn)镸＝{3，4}，所以取k＝3，當(dāng)n＞3時(shí)，有an＋4an－2＝an＋1EQ\s\up4(2)；取k＝4，當(dāng)n＞4時(shí)，有an＋5an－3＝an＋1EQ\s\up4(2)．…………8分由an＋5an－3＝an＋1EQ\s\up4(2)知，數(shù)列a2，a6，a10，a14，a18，a22，…，a4n－2，…，是等比數(shù)列，設(shè)公比為q．………①由an＋4an－2＝an＋1EQ\s\up4(2)知，數(shù)列a2，a5，a8，a11，a14，a17，…，a3n－1，…，是等比數(shù)列，設(shè)公比為q1，………②數(shù)列a3，a6，a9，a12，a15，a18，…，a3n，…，成等比數(shù)列，設(shè)公比為q2，………③數(shù)列a4，a7，a10，a13，a16，a19，a22，…，a3n＋1，…，成等比數(shù)列，設(shè)公比為q3，…④由①②得，EQ\F(a14,a2)＝qEQ\s\up4(3)，且EQ\F(a14,a2)＝q1EQ\s\up4(4)，所以q1＝qEQ\s\up4(EQ\F(3,4))；由①③得，EQ\F(a18,a6)＝qEQ\s\up4(3)，且EQ\F(a18,a6)＝q2EQ\s\up4(4)，所以q2＝qEQ\s\up4(EQ\F(3,4))；由①④得，EQ\F(a22,a10)＝qEQ\s\up4(3)，且EQ\F(a22,a10)＝q3EQ\s\up4(4)，所以q3＝qEQ\s\up4(EQ\F(3,4))；所以q1＝q2＝q3＝qEQ\s\up4(EQ\F(3,4))．…………12分由①③得，a6＝a2q，a6＝a3q2，所以EQ\F(a3,a2)＝EQ\F(q,q2)＝qEQ\s\up4(EQ\F(1,4))，由①④得，a10＝a2qEQ\s\up4(2)，a10＝a4q3EQ\s\up4(2)，所以EQ\F(a4,a2)＝EQ\F(qEQ\s\up4(2),q3EQ\s\up4(2))＝qEQ\s\up4(EQ\F(1,2))，所以a2，a3，a4是公比為qEQ\s\up4(EQ\F(1,4))的等比數(shù)列，所以{an}(n≥2)是公比為qEQ\s\up4(EQ\F(1,4))的等比數(shù)列．因?yàn)楫?dāng)n＝4，k＝3時(shí)，T7T1＝T4EQ\s\up4(2)T3EQ\s\up4(2)；當(dāng)n＝5，k＝4時(shí)，T9T1＝T5EQ\s\up4(2)T4EQ\s\up4(2)，所以(qEQ\s\up4(EQ\F(1,4)))EQ\s\up4(7)＝2a2EQ\s\up4(4)，且(qEQ\s\up4(EQ\F(1,4)))EQ\s\up4(10)＝2a2EQ\s\up4(6)，所以qEQ\s\up4(EQ\F(1,4))＝2，a2＝2EQ\r(,2)．…………14分又a1＝EQ\r(,2)，所以{an}(n∈N*)是公比為qEQ\s\up4(EQ\F(1,4))的等比數(shù)列．故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝2EQ\s\up4(n－1)·EQ\r(,2)．…………16分21A.選修4-1：幾何證明選講如圖，圓是△的外接圓，過點(diǎn)的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，O