江蘇省蘇州市2023屆迎一模十校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題2023.3

江蘇省蘇州市2023屆迎一模十校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、填空題（本大題共14小題，每小題5分，共70分，請(qǐng)將答案填寫在答題卷相應(yīng)位置）1．命題“”的否定是★．2．已知復(fù)數(shù)，（是虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)＝__★_3．直線x＋ay＋3＝0與直線ax＋4y＋6＝0平行的充要條件是__★4.執(zhí)行右邊的程序框圖，若，則輸出的★．5．已知點(diǎn)A、B、C滿足，，，則的值是_____★________.6．若直線過點(diǎn)，則以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，長為半徑的圓的面積的最小值是★．7．已知拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線的左準(zhǔn)線重合，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為★.8．分別在區(qū)間[1,6]和[2,4]內(nèi)任取一實(shí)數(shù)，依次記為m和n，則的概率為★9．設(shè)等差數(shù)列的公差為，若的方差為1，則=__★_10．已知函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_★_11．已知、是橢圓+=1的左右焦點(diǎn)，弦過F1，若的周長為，則橢圓的離心率為★．12．實(shí)數(shù)滿足，且，則★13．已知一個(gè)正三棱錐P－ABC的主視圖如圖所示，若AC＝BC＝，PC＝，則此正三棱錐的全面積為_____★____14．已知命題：“在等差數(shù)列中，若，則為定值”為真命題，由于印刷問題，括號(hào)處的數(shù)模糊不清，可推得括號(hào)內(nèi)的數(shù)為_★___二、解答題：（本大題共6道題，計(jì)90分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15．在△ABC中，分別是角A，B，C的對(duì)邊，，．（Ⅰ）求角的值;（Ⅱ）若，求△ABC面積．16．在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，PA＝2AB＝2．（Ⅰ）求四棱錐P－ABCD的體積V；（Ⅱ）若F為PC的中點(diǎn)，求證PC⊥平面AEF；（Ⅲ）求證CE∥平面PAB．17．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（Ⅰ）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若，，求證數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，某超市的一種小商品在過去的近20天內(nèi)的銷售量（件）與價(jià)格（元）均為時(shí)間t（天）的函數(shù)，且銷售量近似滿足g(t)＝80－2t（件），價(jià)格近似滿足（元）．（Ⅰ）試寫出該種商品的日銷售額y與時(shí)間t（0≤t≤20）的函數(shù)表達(dá)式；（Ⅱ）求該種商品的日銷售額y的最大值與最小值．19.已知⊙過點(diǎn),且與⊙:關(guān)于直線對(duì)稱.（Ⅰ）求⊙的方程；（Ⅱ）設(shè)為⊙上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求的最小值；（Ⅲ）過點(diǎn)作兩條相異直線分別與⊙相交于,且直線和直線的傾斜角互補(bǔ),為坐標(biāo)原點(diǎn),試判斷直線和是否平行?請(qǐng)說明理由.20．已知函數(shù)圖象上一點(diǎn)P（2，f(2)）處的切線方程為．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若方程在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根，求的取值范圍（其中為自然對(duì)數(shù)的底，）；（Ⅲ）令，如果圖象與軸交于，AB中點(diǎn)為，求證：．?dāng)?shù)學(xué)（附加題）21．選修4—2矩陣與變換已知矩陣，求特征值λ1，λ2及對(duì)應(yīng)的特征向量α1，α2．22．已知直線和圓，判斷直線和圓的位置關(guān)系．23．如圖，四棱錐中，底面ABCD是矩形，⊥平面ABCD，且，，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，AE等于何值時(shí)，二面角的平面角為．24．已知方程為常數(shù)。（Ⅰ）若，，求方程的解的個(gè)數(shù)的期望；（Ⅱ）若內(nèi)等可能取值，求此方程有實(shí)根的概率．參考答案1．2．3．a(chǎn)＝－2．4.5．6．7．8．9．10．11．12．013．14．1815．解：（Ⅰ）由得，，3分，5分又，∴。7分（Ⅱ）由可得，，9分由得，,12分所以，△ABC面積是14分17．解：（Ⅰ）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝，AC＝2．在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝2，AD＝4．∴SABCD＝．………………3分則V＝．………………5分（Ⅱ）∵PA＝CA，F(xiàn)為PC的中點(diǎn)，∴AF⊥PC．………………7分∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．∴CD⊥PC．∵E為PD中點(diǎn)，F(xiàn)為PC中點(diǎn)，∴EF∥CD．則EF⊥PC．………9分∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF．……10分（Ⅲ）證法一：取AD中點(diǎn)M，連EM，CM．則EM∥PA．∵EM平面PAB，PA平面PAB，∴EM∥平面PAB．………12分在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．∵M(jìn)C平面PAB，AB平面PAB，∴MC∥平面PAB．………14分∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面PAB．∵EC平面EMC，∴EC∥平面PAB．………15分證法二：延長DC、AB，設(shè)它們交于點(diǎn)N，連PN．∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，∴C為ND的中點(diǎn)．……12分∵E為PD中點(diǎn)，∴EC∥PN．……14分∵EC平面PAB，PN平面PAB，∴EC∥平面PAB．………15分17．解：（Ⅰ）n≥2時(shí)，．…4分n＝1時(shí)，，適合上式，∴．…5分（Ⅱ），．…8分即．∴數(shù)列是首項(xiàng)為4、公比為2的等比數(shù)列．…10分，∴．………………12分Tn＝＝．…14分18．解：（Ⅰ）……4分＝……8分（Ⅱ）當(dāng)0≤t＜10時(shí)，y的取值范圍是[1200，1225]，在t＝5時(shí)，y取得最大值為1225；……11分當(dāng)10≤t≤20時(shí)，y的取值范圍是[600，1200]，在t＝20時(shí)，y取得最小值為600．……14分（答）總之，第5天，日銷售額y取得最大為1225元；第20天，日銷售額y取得最小為600元．……15分19.解:(Ⅰ)設(shè)圓心,則,解得…(3分)則圓的方程為,將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得,故圓的方程為…………(5分)(Ⅱ)設(shè),則,且…………(7分)==,所以的最小值為(可由線性規(guī)劃或三角代換求得)…………(10分)(Ⅲ)由題意知,直線和直線的斜率存在,且互為相反數(shù),故可設(shè),,由,得……………(11分)因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)一定是該方程的解,故可得…………(13分)同理,,所以=所以,直線和一定平行………………(15分)20．解：（Ⅰ），，．∴，且．……2分解得a＝2，b＝1．……4分（Ⅱ），令，則，令，得x＝1（x＝－1舍去）．在內(nèi)，當(dāng)x∈時(shí)，，∴h(x)是增函數(shù)；當(dāng)x∈時(shí)，，∴h(x)是減函數(shù)．……7分則方程在內(nèi)有兩個(gè)不等實(shí)根的充要條件