《任意角的概念》

必修四第一章

三角函數(shù)1.1.1任意角的概念1、角的概念初中是如何定義角的？

從一個(gè)點(diǎn)出發(fā)引出的兩條射線構(gòu)成的幾何圖形.

角也可以看成是由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的。初中學(xué)過的角的范圍是：0o至360o。

2．角的概念的推廣⑴“旋轉(zhuǎn)”形成角如圖：一條射線由原來的位置OA，繞著它的端點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到另一位置OB，就形成角α．

旋轉(zhuǎn)開始時(shí)的射線OA叫做角α的始邊，旋轉(zhuǎn)終止的射線OB叫做角α的終邊，射線的端點(diǎn)O叫做角α的頂點(diǎn)．⑵．“正角”與“負(fù)角”、“零角”我們規(guī)定：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做正角，按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫做負(fù)角，如圖，以O(shè)A為始邊的角α=210°，β=－150°，γ=660°，

特別地，當(dāng)一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們也認(rèn)為這時(shí)形成了一個(gè)角，并把這個(gè)角叫做零角即零度角（0o）．此時(shí)零角的始邊與終邊重合。角的記法：角α或可以簡(jiǎn)記成∠α，或簡(jiǎn)記為：α.如∠α=-1500，α=00，α=6600等等……⑶角的概念擴(kuò)展的意義：用“旋轉(zhuǎn)”定義角之后，角的范圍大大地?cái)U(kuò)大了①角有正負(fù)之分;如：=210,

=150,

=660.②角可以任意大;

實(shí)例：體操動(dòng)作：旋轉(zhuǎn)2周（360×2=720）3周（360×3=1080）③還有零角,一條射線，沒有旋轉(zhuǎn).

角的概念推廣以后，它包括任意大小的正角、負(fù)角和零角．要注意，正角和負(fù)角是表示具有相反意義的旋轉(zhuǎn)量，它的正負(fù)規(guī)定源于實(shí)際的需要，就好象與正數(shù)、負(fù)數(shù)的規(guī)定一樣，零角無正負(fù)，就好象數(shù)零無正負(fù)一樣．用旋轉(zhuǎn)來描述角，需要注意三個(gè)要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量

（2）旋轉(zhuǎn)方向：旋轉(zhuǎn)變換的方向分為逆時(shí)針和順時(shí)針兩種，這是一對(duì)意義相反的量，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，我們可以把一對(duì)意義相反的量用正負(fù)數(shù)來表示，那么許多問題就可以解決了；（1）旋轉(zhuǎn)中心：作為角的頂點(diǎn).（3）旋轉(zhuǎn)量：當(dāng)旋轉(zhuǎn)超過一周時(shí)，旋轉(zhuǎn)量即超過360o，角度的絕對(duì)值可大于360o.于是就會(huì)出現(xiàn)720o，－540o等角度.3．象限角

為了研究方便，我們往往在平面直角坐標(biāo)系中來討論角。

角的頂點(diǎn)重合于坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊重合于x軸的非負(fù)半軸，這樣一來，角的終邊落在第幾象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限的角。（角的終邊落在坐標(biāo)軸上，則此角不屬于任何一個(gè)象限此時(shí)這種角稱為：軸線角）例如：30、390、330是第一象限角，

300、60是第四象限角，

585、1300是第三象限角，

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、2000是第二象限角等4．終邊相同的角

⑴觀察：390，330角，它們的終邊都與30角的終邊相同.⑵探究：終邊相同的角都可以表示此角與k(k∈Z)個(gè)周角的和：

390=30+360(k=1),

330=30360

(k=－1)

30=30+0×360(k=0),1470=30+4×360(k=4)

1770=305×360(k=－5)⑶結(jié)論：所有與終邊相同的角連同在內(nèi)可以構(gòu)成一個(gè)集合：{β|β=α+k·360o，k∈Z}

即：任何一個(gè)與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個(gè)周角的和。⑷注意以下四點(diǎn)：①

k∈Z，

K>0，表示逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，

K<0,表示順時(shí)針旋轉(zhuǎn).

②

是任意角；③

k·360o與之間是“+”號(hào)，如k·360o－30o,應(yīng)看成(－30o)+k·360o

；④

終邊相同的角不一定相等，但相等的角，終邊一定相同，終邊相同的角有無數(shù)多個(gè)，它們相差360o的整數(shù)倍.

所有與終邊相同的角連同在內(nèi)可以構(gòu)成一個(gè)集合：{β|β=α+k·360o，k∈Z}即：任何一個(gè)與角終邊相同的角，都可以表示成角與整數(shù)個(gè)周角的和。例1.在0o~360o范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它是哪個(gè)象限的角.(1)－120o；(2)640o；(3)－950o12′.例2.寫出與下列各角終邊相同的角的集合S，并把S中在－360o~720o間的角寫出來：

(1)60o；(2)－21o；(3)363o14′.例3寫出終邊分別落在四個(gè)象限的角的集合.終邊落在坐標(biāo)軸上的情形xyo0°90°180°270°+K·360°+K·360°+K·360°+K·360°或360°+

K·360°第一象限的角表示為

{|k360<<90+k360,kZ}；第二象限的角表示為

{|90+k360<<180+k360，kZ}；第三象限的角表示為

{|180+k360<<270+k360，kZ}第四象限的角表示為

{|270+k360<<360+k360，kZ}例4、寫出終邊落在y軸上的角的集合.xyo0°90°180°270°+K·360°+K·360°+K·360°+K·360°課堂練習(xí)1．銳角是第幾象限的角？第一象限的角是否都是銳角？小于90o的角是銳角嗎？區(qū)間(0o,90o)內(nèi)的角是銳角嗎？答：銳角是第一象限角；第一象限角不一定是銳角；小于90o的角可能是零角或負(fù)角，故它不一定是銳角；區(qū)間(0o,90o)內(nèi)的角是銳角．2、已知角2α的終邊在x軸的上方，那么α是()A第一象限角B第一、二象限角

C第一、三象限角D第一、四象限角3、若α是第四象限角，則180o－α是（）

A第一象限角B第二象限角

C第三象限角D第四象限角4、若90o<β<α<135o，則α－β的范圍是__________，α+β的范圍是___________;5、若β的終邊與60o角的終邊相同，那么在[0o,360o）范圍內(nèi)，終邊與角的終邊相同的角為______________;弧度制1、角度制的定義規(guī)定周角的為1度的角這種用度做單位來度量角的制度叫角度制。1°2、弧長(zhǎng)公式及扇形面積公式nπR180l=———nπR2360S=———n°Rl1、弧度制

我們把等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角。設(shè)弧AB的長(zhǎng)為l，若l=r，則∠AOB=1弧度lr=OBrl=rA1弧度

則∠AOB=2弧度lr=

則∠AOB=2π弧度lr=rOABl=2r2π弧度l=2πrOA(B)r若l=2r，若l=2πr，2弧度若圓心角∠AOB表示一個(gè)負(fù)角，且它所對(duì)的弧的長(zhǎng)為3r，則∠AOB的弧度數(shù)的絕對(duì)值是lr=3，即∠AOB=－lr=－3弧度l=3rOABr-3弧度由弧度的定義可知：圓心角AOB的弧度數(shù)的絕對(duì)值等于

它所對(duì)的弧的長(zhǎng)與半徑長(zhǎng)的比。定義的合理性1弧度Rl=ROAB1弧度rl=rOAB與半徑長(zhǎng)無關(guān)的一個(gè)比值一般地，我們規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，任一已知角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值：︱α︱=lr其中l(wèi)為以角α作為圓心角時(shí)所對(duì)圓弧的長(zhǎng)，r為圓的半徑。這種用“弧度”做單位來度量角的制度叫做弧度制。2、弧度與角度的換算lr=

則∠AOB=2π弧度此角為周角即為360°360°=2π弧度180°=π弧度l=2πrOA(B)r若l=2πr，由180°=π

弧度還可得1°=——弧度≈0．01745弧度180π1弧度=（——）°≈57．30°=57°18′π1803、圓的弧長(zhǎng)公式及扇形面積公式αOlrl

=︱α︱r由︱α︱=lr得S=—

lr12=—︱α︱r2

124、用弧度來度量角，實(shí)際上角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系：實(shí)數(shù)集R角的集合正角零角負(fù)角正實(shí)數(shù)零負(fù)實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)角的弧度數(shù)練習(xí)xy0(1)xy0(2)練習(xí)小結(jié)：1、量角的制度:角度制與弧度制弧度制除了使角與實(shí)數(shù)有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系外，為以后學(xué)習(xí)三角函數(shù)打下基礎(chǔ)。2、能熟練地進(jìn)行角度