高中平面解析幾何知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(直線、圓、橢圓、曲線)

--1-高中平面解析幾何學(xué)問點(diǎn)總結(jié)一.直線局部直線的傾斜角與斜率：直線的傾斜角：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線，假設(shè)把x軸圍著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為叫做直線的傾斜角.傾斜角[0,180,90斜率不存在.ky2

y1(x

x),ktan直線的斜率：

x x 1 2

P(xyP(xy.2 1直線方程的五種形式：

1 1 1

2 2 2yy

k(xx

) (直線lP(xy

)，且斜率為k)．1 1 1 1 1xx0．斜截式：ykxb (b為直線l在y軸上的截距).yy1

xx 11y2y1

x2 1

y(1 2(

xx，).1 2，).注：①不能表示與xy軸垂直的直線；2(x2

x)(yy1

)(y2

y)(xx1

)0時(shí)，方程可以表示任意直線．xy1截距式：a b

〔a,bxy軸上的截距，且a,b0．注：不能表示與x軸垂直的直線，也不能表示與y軸垂直的直線，特別是不能表示過原點(diǎn)的直線．一般式：AxByC0 (其中A、B不同時(shí)為0)．

yAxCB B，即，直線的斜率：

kAB．1〕直線縱截距bykxbx0．x0xmyx0(直線斜率k為ky0．直線過點(diǎn)(x0y0yk(xx0y0xx0．〔2〕解析幾何中爭(zhēng)論兩條直線位置關(guān)系時(shí)，兩條直線有可能重合；立體幾何中兩條直線一般不重合．直線在坐標(biāo)軸上的截矩可正，可負(fù)，也可為0.直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等直線的斜率為1或直線過原點(diǎn)．直線兩截距互為相反數(shù)1直線兩截距確定值相等直線的斜率為1或直線過原點(diǎn)．4．兩條直線的平行和垂直：假設(shè)l

:yk111

xb1

:yk2

xb2①l//l k k,b

b；

ll

1.1 2

2 1 2

1 2 12假設(shè)l

:AxB

yC

0，l

yC

0，有1 1 1 1 2 2 2 2①l//l

AB且AC AC

； ②l l AABB

0．1 2 1

2 1 1 2 2

1 2 1 2 1 2平面兩點(diǎn)距離公式：P(x,y

P(x,y

)，則兩點(diǎn)間距離PP ．(x(xx)2(yy)21 2 1 2B x軸上兩點(diǎn)間距離：ABx x．B x

x1 2 0 2y

y1 21 1

的中點(diǎn)是M(x0,y0

)，則 0 2 ．點(diǎn)到直線的距離公式：Ax By Ax By C0 0A2B2點(diǎn)P(x0,y0)到直線l：AxByC0的距離： ．兩平行直線間的距離公式：兩條平行直線l：AxByC C

dCC1 2CC1 2A2B21 1 2 2直線系方程：平行直線系方程：ykxb中當(dāng)斜率k肯定而b變動(dòng)時(shí)，表示平行直線系方程．1②與直線l:AxByC0AxByC1

0．P(x0,y0與直線l:AxByC0A(xx0Byy0)0．垂直直線系方程：1①與直線l:AxByC0BxAyC1

0．0 0 0 P(x,y與直線l:AxByC0B(xxAyy)00 0 0 定點(diǎn)直線系方程：P(x,y

yy

k(xx

)xx

),其中k是待定的系數(shù)．

0 0 0

0 0 0P(x,y

)A(xx

)B(yy

)0AB是待定的系數(shù)．0 0 0 0 0共點(diǎn)直線系方程：經(jīng)過兩直線l：A

xB

yC

xB

yC

0交點(diǎn)的直線系1 1 1 1 2 2 2 2

xB111

yC1

(A2

xB2

yC2

)0 (除開l2)，其中λ是待定的系數(shù)．兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)：

f(x,y)01 曲線C:f(x,y)0與C :g(x,y)0的交點(diǎn)坐標(biāo)方程組g(x,y)0的解．1 xan1

yb n2

方向向量為snn1 2

下面推導(dǎo)參數(shù)方程：xa

yb

xant令：

t則有 1n n ybnt1 2 2xan1

yb n2

zb n3

方向向量為snn1 2

n 下面推導(dǎo)參數(shù)方程：3xa

yb

zc

xa

nt1令：n n n

則有ybnt 21 2

zcnt3上的參數(shù)方程。二.圓局部圓的方程：(xa)2

(yb)2

r2〔r0．x2

DxEyF0(D2

4F0)．1圓的直徑式方程：假設(shè)A(x1

,y)，B(x,y1 2

)，以線段AB為直徑的圓的方程是：(xx1

)(xx2

)(yy1

)(yy2

1D2E24F(1D2E24F一般方程的特點(diǎn)：

2 2 ， 2 ．①x2y2xy項(xiàng)；③

D2E2

4F0Ax2

BxyCy2

DxEyF0表示圓的等價(jià)條件是：①AC0； ②B0； 圓的弦長(zhǎng)的求法：

4AF0．幾何法：當(dāng)直線和圓相交時(shí)，設(shè)弦長(zhǎng)為l，弦心距為d，半徑為r，l( )2

d2r2則“半弦長(zhǎng)2+弦心距2=半徑2”——2 ；1代數(shù)法：設(shè)l的斜率為klA(x1

,y)，B(x,y1 2

)，則|AB|

|x x 11k2

|y y |111k2〔其中|x

x |,|yy12 1 1

|yx，利用韋達(dá)定理求解〕P(x0,y0與圓(xa)2

(yb)2

r2的位置關(guān)系有三種0 ①P在在圓外dr(x a)2(y b)2r20 0 ②P在在圓內(nèi)dr(x a)2(y b)2r20 0 ③P在在圓上dr(x a)2(y b)2r20 (ax)2((ax)2(by)20 0AxByC0與圓(xa)2

(yb)2

r2的位置關(guān)系有三種:d圓心到直線距離為d(

AaBbCA2B2 元二次方程的判別式為．dr相離0；dr相切0；dr0．兩圓位置關(guān)系:設(shè)兩圓圓心分別為O,O

，半徑分別為rr

，OO d1 2 1 2 1 2drr1 2drr1 2drr1 2drr1

4條公切線；內(nèi)含無公切線；3條公切線；內(nèi)切1條公切線；rr1

drr1

相交2條公切線．x2

DxEyF0(D2

4F0)過直線l：AxByC0與圓C

2

DxEyF0的交點(diǎn)的圓系方程：x2y2DxEyFAxByC)0,λ是待定的系數(shù)．過圓C

x2y2D1:11:

xE1

yF1

0與圓C2

x2y2D:2:

xE2

yF2

0的交點(diǎn)的圓系方程：x2y2D1

xE1

yF1

(x2y2D2

xE2

yF2

)0,λ是待定的系數(shù)．特別地，當(dāng)1x2y2DxEyF(x2y2DxEyF

0就是1 1 1 2 2 2-5---6-(DD1

)x(E1

E)y(F2

F)0表示兩圓的公共弦所在的直線方程，即過兩圓交點(diǎn)的0 0 0 0 2x2

r2P(xyxxyyr2．過圓(xa)2

(yb)2

r2上的點(diǎn)P(x,y)的切線方程為:(xa)(xa)(yb)(yb)r2 ．0 0 0 P(x0y0yy0k(xx0，即dr，求出k；或利用0，求出k．假設(shè)求得k只有一值，則還有一條斜率不存在的直線xx00 0 0 圓的參數(shù)方程：圓方程參數(shù)方程源于：sinco1xa2那么R2 xa)

(y21 R2 1設(shè)： R

sin

aRsinxyb)x

cos

y Rcos Rx2

DxEyF0 與1 1 1與

DxE2

yF2

0方程相減即得相交弦所在直線方程:(D

D)x(E12 1

E)y(F2

F)0．2．對(duì)稱問題：中心對(duì)稱：1①點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：點(diǎn)A(x1

y關(guān)于M(x0y0A(2x0x

．,2y y)．0 111②直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：11線方程．2：求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，在利用l

//l121

由點(diǎn)斜式得出直線方程．軸對(duì)稱：在直線上．AA⊥l

1

AA l點(diǎn)A、A關(guān)于直線l對(duì)稱 AA

中點(diǎn)在上 AA中點(diǎn)坐標(biāo)滿足l方程．〔設(shè)a,b關(guān)于l對(duì)稱〕1：假設(shè)ab相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，并在直線a上任取一點(diǎn)，求該點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)．假設(shè)a//l，則b//l，且ab與l的距離相等．2：求出aAB關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)，在由兩點(diǎn)式求出直線的方程．其他對(duì)稱：y(-a,b)；關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱：(-a,-b)；y=-x：(-b,-a)；y=x+m：(b-m、a+m)；-a+m).xx x yy y 1 2 3，1 2 31假設(shè)A(x1

,y)，B(x,y1 2

)，C(x,y3

，則△ABCG

3 3 ．各種角的范圍：直線的傾斜角0180兩條相交直線的夾角090兩條異面線所成的角090三.橢圓局部1.橢圓定義：①到兩定點(diǎn)距離之和為一常數(shù)的平面幾何曲線：即∣MO1∣+∣MO2∣=2a〔不包括兩端點(diǎn)用一個(gè)釘子將線段繃直旋轉(zhuǎn)一周得到的平面幾何曲線即為橢圓。2a。2.橢圓性質(zhì)：A∣AO1∣+∣AO2∣=∣AO2∣+∣O2B∣=2a由圖形比較看出)②橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：1x2 y2a2b21③橢圓參數(shù)方程：x2y2R2圓方程參數(shù)方程源于：sinco1所以按上面規(guī)律將橢圓方程

x2 ya2b2

1視為xsin

Rsin設(shè)R ycosR

xyRcosxsin xasinayb

cos

所以O(shè)CO

OCOC得：1 2

a

a2b2c2 1 2

OCb

c

a2b2OCOC 1 2

OCc ⑤橢圓離心率，來源于圓的定義：圓實(shí)際上是一種特別的橢圓，而圓不過是兩個(gè)焦點(diǎn)與坐標(biāo)圓點(diǎn)重合罷了。橢圓離心率為e ca-8-四.雙曲線局部1.雙曲線定義：到兩定點(diǎn)的距離之差確實(shí)定值為常數(shù)的平面幾何圖形，即：MOMO2 1

2a①雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：b1x2 y2a2 2b1②由于雙曲線上任意一點(diǎn)兩個(gè)焦點(diǎn)之差的確定值為常數(shù)2a.AQ

AQ

AB

2a2AQ

1AQAB

BQAQ

AB2a2 1 2 1③雙曲線的漸近線：b2 by2a2

x2a

ya

x2a2

x2a

x2 xbb bbb by

bx為漸近線，另一條為ya

ax以上為漸近線的推導(dǎo)過程。y2 x2

xab

y2b2b

y2ayb

b2a

1，那么這時(shí)ybxayb，xa.y該軸稱為虛軸。⑤推導(dǎo)a、b、c設(shè)雙曲線上任意一點(diǎn)坐標(biāo)M〔x，y〕-9-MO2MO1

(x)2y(x)2y2MOMO2 1x2

(x)2y2 (x)2yy2

2a經(jīng)化簡(jiǎn)得：a2

c2a2

x2 y2設(shè)：c2a2b2雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為： 1a2