第21講狀態(tài)空間分析2

習題A.10.5、B.10.3第九章狀態(tài)空間分析與設(shè)計

9.1線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述9.2線性系統(tǒng)的能控性和能觀性9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測器9.4Lyapunov穩(wěn)定性分析9.5二次型最優(yōu)控制

與經(jīng)典控制設(shè)計采用輸出反饋不同，狀態(tài)空間設(shè)計主要采用狀態(tài)反饋9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測器1、基本概念狀態(tài)反饋輸出反饋狀態(tài)反饋可以利用系統(tǒng)內(nèi)、外部特性，能夠提供更多的校正信息，可以獲得更好的結(jié)果。由于并不是所有狀態(tài)變量在物理上都可以測量，為了能夠形成反饋，就引出了用狀態(tài)觀測器給出狀態(tài)估值的問題。狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測器的設(shè)計構(gòu)成了狀態(tài)空間綜合設(shè)計的主要內(nèi)容。1、基本概念9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測器在某種程度上類似于根軌跡設(shè)計方法，即通過狀態(tài)反饋將系統(tǒng)閉環(huán)極點配置到期望的位置，以獲得理想的性能，區(qū)別在于：根軌跡法只將閉環(huán)主導極點配置到期望位置極點配置可以把所有的極點配置到期望位置2、極點配置假設(shè)：只討論單輸入-單輸出（SISO）系統(tǒng)；參考輸入v(t)為零（或某個常值），即所謂調(diào)節(jié)器系統(tǒng)；9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測器(1)極點配置問題2、極點配置系統(tǒng)模型控制信號狀態(tài)反饋增益矩陣9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測器極點配置設(shè)計的問題在于選擇合適的矩陣K，使得閉環(huán)系統(tǒng)矩陣：閉環(huán)系統(tǒng)方程的解其特征值（調(diào)節(jié)器系統(tǒng)的極點）均具有負實部（位于S平面左半平面），則當t趨近于無窮時，X(t)趨近于零。9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測器(2)任意配置極點的充要條件2、極點配置任意配置極點的充要條件是被控系統(tǒng)狀態(tài)完全可控，即：的秩為n。證明見教材P551～553，10.2.2節(jié)9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測器(3)極點配置設(shè)計的步驟2、極點配置推導被控系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型；檢驗被控系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控性；根據(jù)性能要求確定期望的閉環(huán)系統(tǒng)極點位置；確定狀態(tài)反饋增益矩陣K；利用所求出的增益矩陣K，推導控制器的傳遞函數(shù)，檢驗其對給定初始條件的響應(yīng)，如果響應(yīng)不能令人滿意，則調(diào)整期望閉環(huán)極點的位置，直到獲得滿意的響應(yīng)為止。9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測器(3)極點配置設(shè)計的步驟2、極點配置推導被控系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型；檢驗被控系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控性；根據(jù)性能要求確定期望的閉環(huán)系統(tǒng)極點位置；確定狀態(tài)反饋增益矩陣K；利用所求出的增益矩陣K，推導控制器的傳遞函數(shù)，檢驗其對給定初始條件的響應(yīng)，如果響應(yīng)不能令人滿意，則調(diào)整期望閉環(huán)極點的位置，直到獲得滿意的響應(yīng)為止。9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測器(4)確定狀態(tài)反饋增益矩陣K的方法2、極點配置

根據(jù)：期望閉環(huán)極點（特征值）：a.直接代入法

極點配置后系統(tǒng)閉環(huán)極點（特征值）：確定狀態(tài)反饋增益矩陣：直接比較各冪次系數(shù)即可求得增益矩陣K。9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測器b.利用變換矩陣T的方法

假設(shè)原被控對象的極點（特征值）：定義變換矩陣T：T=MW其中M是可控性矩陣：則c.阿克曼（Ackermann）公式M是可控性矩陣：則

期望閉環(huán)極點（特征值）：自學教材P556，例10.1教材P625，A10.5教材P625，A10.5

已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型如下：

若期望的系統(tǒng)特征根為-3和-5，試確定反饋增益矩陣K和控制信號u(t)。倒立擺控制系統(tǒng)狀態(tài)空間極點配置狀態(tài)空間模型：

若期望系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間為2s(2%準則)，阻尼比為0.5，試確定反饋增益矩陣K。期望閉環(huán)極點：(1)基本概念3、狀態(tài)觀測器

當利用狀態(tài)反饋配置系統(tǒng)極點時，需要用傳感器測量狀態(tài)變量以便實現(xiàn)反饋。但一般情況下，只有系統(tǒng)的輸入和輸出能夠測量，而多數(shù)狀態(tài)變量不易測得或不能夠測得。這就引出了利用被控對象輸入量和輸出量建立狀態(tài)觀測器，重構(gòu)狀態(tài)的問題。實際系統(tǒng)系統(tǒng)估計9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測器(2)全階狀態(tài)觀測器3、狀態(tài)觀測器

所謂全階狀態(tài)觀測器即能夠觀測到系統(tǒng)全部狀態(tài)變量的觀測器。利用實際系統(tǒng)的狀態(tài)方程減去上述方程，得：9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測器即狀態(tài)觀測器設(shè)計的問題在于選擇合適的矩陣Ke，使得矩陣：其特征值（調(diào)節(jié)器系統(tǒng)的極點）均具有負實部（位于S平面左半平面），則當t趨近于無窮時，E(t)趨近于零。狀態(tài)觀測增益矩陣(3)狀態(tài)觀測的充要條件3、狀態(tài)觀測器對偶系統(tǒng)：狀態(tài)觀測的充要條件是被控系統(tǒng)S1狀態(tài)完全可觀，或其對偶系統(tǒng)S2狀態(tài)完全可控，即：的秩為n。9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測器(3)確定狀態(tài)觀測增益矩陣Ke的方法3、狀態(tài)觀測器

根據(jù)觀測器的期望極點（特征值）：a.直接代入法

極點（特征值）：確定狀態(tài)觀測增益矩陣：直接比較各冪次系數(shù)即可求得增益矩陣Ke。9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測器b.利用變換矩陣Q的方法

假設(shè)原被控對象的極點（特征值）：定義變換矩陣Q：Q=WN*其中N是可觀性矩陣：則c.阿克曼（Ackermann）公式則N是可觀性矩陣：自學教材P575，例10.6(1)最佳Ke的選擇原則4、狀態(tài)觀測器的相關(guān)問題一般情況下，觀測器極點必須比控制器極點快2～5倍。此時，系統(tǒng)響應(yīng)以控制器極點為主導。如果傳感器噪聲較大，可以將觀測器極點選的比控制器極點慢一些，以減小系統(tǒng)帶寬，平滑噪聲。此時，系統(tǒng)響應(yīng)以觀測器極點為主導。9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測器(2)觀測器的引入對閉環(huán)系統(tǒng)影響4、狀態(tài)觀測器的相關(guān)問題被控對象狀態(tài)反饋觀測模型可得其中9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測器寫成矩陣形式為可見：觀測-狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)極點包含極點配置設(shè)計產(chǎn)生的極點和狀態(tài)觀測器設(shè)計產(chǎn)生的極點。由于引入狀態(tài)觀測器，整個閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程由n階變?yōu)?n階。(3)基于觀測器的控制器傳遞函數(shù)4、狀態(tài)觀測器的相關(guān)問題9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測器(3)基于觀測器的控制器傳遞函數(shù)4、狀態(tài)觀測器的相關(guān)問題被控對象狀態(tài)反饋觀測模型可得利用拉氏變換，并令初值為零：9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測器基于觀測器的控制器傳遞函數(shù)為：5、帶觀測器的調(diào)節(jié)器系統(tǒng)設(shè)計推導被控系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型；檢驗被控系統(tǒng)的狀態(tài)完全可控性和可觀性；根據(jù)性能要求確定期望的閉環(huán)系統(tǒng)極點位置，同時選擇期望的觀測器極點；確定狀態(tài)反饋增益矩陣K和狀態(tài)觀測增益矩陣Ke；利用所求出的增益矩陣K，推導觀測器-控制器的傳遞函數(shù)，如果控制器是穩(wěn)定的，檢驗其對給定初始條件的響應(yīng)，如果響應(yīng)不能令人滿意，則調(diào)整期望閉環(huán)極點的位置和（或）觀測器極點的位置，直到獲得滿意的響應(yīng)為止。9.3線性系統(tǒng)的狀態(tài)反饋及狀態(tài)觀測器第九章狀態(tài)空間分析與設(shè)計

9.1線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述9.2線性系統(tǒng)的能控性和能觀性9.3線性系統(tǒng)的反饋結(jié)構(gòu)及狀態(tài)觀測器

9.4Lyapunov穩(wěn)定性分析9.5二次型最優(yōu)控制

非線性系統(tǒng)的初值問題初始條件不同，系統(tǒng)的運動特性不同1、Lyapunov穩(wěn)定9.4Lyapunov

穩(wěn)定性分析x*Rr如果對于任何的R>0，存在與R相關(guān)的r(R)>0，使得對于所有的t0，如果有x(0)<r(R)，就有x(t)<R，則稱平衡點0是Lyapunov穩(wěn)定的，簡稱穩(wěn)定的。如果至少存在一個R>0，對于任何r>0，無論r如何小，如果有x(0)<r，隨著時間的增長，總有x(t)R，則稱平衡點0是不穩(wěn)定。1892年，俄國李雅普諾夫在《論運動穩(wěn)定性的一般問題》中建立了動力學系統(tǒng)的一般穩(wěn)定性理論：2、漸近穩(wěn)定x*Rr平衡點0是穩(wěn)定的

則稱平衡點0是漸近穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性和漸近穩(wěn)定性是等價的。3、線性化方法（Lyapunov第一方法）1、如果線性化后的系統(tǒng)是嚴格穩(wěn)定的（即A的所有特征值都嚴格位于左半S平面）則對原非線性系統(tǒng)，平衡點是漸近穩(wěn)定的。2、如果線性化后的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的（即A的特征值中至少有一個嚴格位于右半S平面上）則對原非線性系統(tǒng)，平衡點是不穩(wěn)定的。3、如果線性化后的系統(tǒng)是臨界穩(wěn)定的（即A所有特征值都位于左半S平面，但至少有一個在虛軸上）則對原非線性系統(tǒng)，得不出任何結(jié)論。如果一個機械（或電氣）系統(tǒng)的全部能量是連續(xù)消耗（持續(xù)減?。┑?，那么該系統(tǒng)無論是線性的還是非線性的，最終必定穩(wěn)定到某個平衡點。4、直接法（Lyapunov第二方法）四個判定定理……通過為系統(tǒng)構(gòu)造一個“類能量”的標量函數(shù)(Lyapunov函數(shù))，并檢查該標量函數(shù)的時變