第8章 時域離散系統(tǒng)的實現(xiàn)

第8章時域離散系統(tǒng)的實現(xiàn)本章內容:8.4格型網(wǎng)絡結構8.3IIR網(wǎng)絡結構8.2FIR網(wǎng)絡結構8.1引言8.1引言時域離散系統(tǒng)的實現(xiàn)方法:(a)軟件實現(xiàn)：按所設計的軟件在通用的計算機運行數(shù)字信號處理程序。優(yōu)點：經(jīng)濟，一機可以多用.缺點：處理速度慢.(b)硬件實現(xiàn)：用加法器、乘法器和延時器等組成的專用數(shù)字網(wǎng)絡設備,以實現(xiàn)信號的處理運算.優(yōu)點：處理速度快,容易做到實時處理.缺點：不靈活,開發(fā)周期較長,且設備只能專用.在實際應用中,通常采用軟硬件結合實現(xiàn).數(shù)字濾波器的表示方法:(a)常系數(shù)線性差分方程:（b）數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：實現(xiàn)方法數(shù)字信號處理器中的基本運算單元加法器方框圖乘法器單位延時基本運算單元流圖本章重點討論下述內容IIR濾波器的基本結構FIR濾波器的直接型、級聯(lián)型、線性相位結構，理解頻率抽樣型結構

數(shù)字濾波器的格型結構8.2FIR網(wǎng)絡結構差分方程：系統(tǒng)函數(shù)：單位脈沖響應：N：FIR濾波器的長度N-1：濾波器的階數(shù)FIR網(wǎng)絡結構特點:(a)沒有反饋支路，即沒有環(huán)路，非遞歸型結構。(b)N-1階濾波器，N為濾波器的長度，有N-1個零點分布于z平面，z=0處是N-1階極點。(c)其單位脈沖響應是有限長序列。設N點系統(tǒng)函數(shù)H(z)在Z模值大于0處收斂，有限z平面只有零點，全部極點在z=0

處（因果系統(tǒng)）本節(jié)主要講述：8.2.1FIR直接型結構和級聯(lián)型結構8.2.2線性相位結構8.2.3FIR頻率采樣結構8.2.4快速卷積法FIR濾波器網(wǎng)絡結構的五種實現(xiàn)方法（1）直接型結構（2）級聯(lián)型結構（3）線性相位型結構（4）頻率取樣型結構（5）快速卷積法8.2.1FIR直接型結構和級聯(lián)型結構1.FIR直接型結構（卷積型、橫截型）按照H(z)或者差分方程直接畫出結構圖。如圖8.2.1所示。特點：單位延時器串聯(lián)，有抽頭，稱為延時線；簡單直觀，乘法運算量少，但不易調整零點.N-1個延時器N個乘法器N-1個加法器2.FIR級聯(lián)型結構當需要控制濾波器的傳輸零點時，可將H(z)進行因式分解，并將共軛成對的零點放在一起，形成一個系數(shù)為實數(shù)的二階形式：這樣級聯(lián)型網(wǎng)絡結構就是由一階或二階因子構成的級聯(lián)結構，其中每一個因式都用直接型實現(xiàn)。例8.2.1

設FIR網(wǎng)絡系統(tǒng)函數(shù)H(z)如下式：畫出H(z)的直接型結構和級聯(lián)型結構。解:將H(z)進行因式分解，得到：它的直接型結構和級聯(lián)型結構分別如下圖所示:

級聯(lián)型結構中:每一個一階網(wǎng)絡控制一個零點,調整零點只需調整該因式的兩個系數(shù);二階網(wǎng)絡控制一對零點,調整它也只需調整該因式的三個系數(shù).相對于直接型結構來說，F(xiàn)IR級聯(lián)型結構特點:1）每個基本節(jié)控制一對零點，調整零點方便。2）需要對系統(tǒng)函數(shù)進行因式分解，系數(shù)比直接型多，所需的乘法運算多。MATLAB函數(shù)：直接型到級聯(lián)型的轉換：[sos,g]=tf2sos(b,1)級聯(lián)型到直接型的轉換：[b,a]=sos2tf(sos,g)FIR濾波器單位抽樣響應h(n)為實數(shù)，且滿足：第一類偶對稱：第二類奇對稱：對稱中心在(N-1)/2處，這種FIR濾波器具有嚴格線性相位。8.2.2線性相位結構系統(tǒng)函數(shù)具有線性相位,它的單位脈沖響應滿足下式：當N為偶數(shù)時，當N為奇數(shù)時，令m=N-n-1根據(jù)線性相位結構流圖,和直接型結構比較：如果N取偶數(shù),直接型需要N個乘法器,而線性相位結構需要N/2個,節(jié)約了一半的乘法器；如果N取奇數(shù),則乘法器減少到(N+1)/2個,同樣也節(jié)約了一半的乘法器.b=[100016+1/160001];a=1;[sos,g]=tf2sos(b,1)sos=1.0000-2.82844.00001.0000001.00002.82844.00001.0000001.00000.70710.25001.0000001.0000-0.70710.25001.000000g=18.2.3FIR頻率采樣結構根據(jù)頻率采樣定理,在頻率的區(qū)間,對系統(tǒng)的傳輸函數(shù)進行N點等間隔采樣,如果N大于等于系統(tǒng)單位脈沖響應的長度M,不會引起信號失真,系統(tǒng)函數(shù)和采樣值之間服從下面的內插關系：

其中，其中，其中子系統(tǒng)：是N節(jié)單位延時單元的梳狀濾波器，在單位圓上有N個等間隔角度的零點：頻率響應：與第k個零點相抵消，使該頻率處的頻率響應等于H(k)一階網(wǎng)絡，單位圓上有N個極點：子系統(tǒng)：頻率采樣結構是由一個梳狀濾波器和N個一階網(wǎng)絡Hk(z)的并聯(lián)結構進行級聯(lián)而成.其結構如下圖所示頻率抽樣型結構的優(yōu)點：（1）調整H(k)就可以有效地調整頻響特性。（2）若h(n)長度相同，除了各支路增益H(k)不同，網(wǎng)絡結構完全相同，便于標準化、模塊化。（1）系數(shù)多為復數(shù)，增加了復數(shù)乘法和存儲量。（2）系統(tǒng)穩(wěn)定是靠位于單位圓上的N個零極點對消來保證的，導致系統(tǒng)不穩(wěn)定。頻率抽樣型結構的缺點：8.2.4快速卷積法

對于兩個有限長序列的線性卷積,可以采用DFT(FFT)計算,從而使運算速度加快.同樣,輸入序列是無限長的,也可采用FFT計算卷積,但需要應用重疊相加法或重疊保留法(詳見本書第三章).對于IIR網(wǎng)絡,其單位脈沖響應是無限長的,因此無法采用FFT算法實現(xiàn).利用快速卷積法實現(xiàn)是FIR濾波器的一個優(yōu)點.8.3IIR網(wǎng)絡結構IIR網(wǎng)絡結構的特點:信號流圖中含有反饋支路,即含有環(huán)路,遞歸型結構；單位脈沖響應序列是無限長的.差分方程：系統(tǒng)函數(shù)：其網(wǎng)絡基本結構有直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型三種本節(jié)主要講述：8.3.1IIR直接型網(wǎng)絡結構8.3.2IIR級聯(lián)型結構8.3.3IIR并聯(lián)型網(wǎng)絡結構8.3.4轉置型網(wǎng)絡結構8.3.1IIR直接型網(wǎng)絡結構考慮N階差分方程,即：其系統(tǒng)函數(shù)：令,

其中取M=N=2,H(z)的實現(xiàn)結構如下圖(a)所示將H1(z)和H2(z)交換位置,結點變量w1=w2，即輸入結點變量相等，對應延時支路輸出結點變量相等,其結構圖如下圖觀察上圖,結點w1=w2,前后延時支路合并,可以得到下圖8.3.1(c)所示的IIR直接型網(wǎng)絡結構由于

由上圖可以看出，IIR直接型網(wǎng)絡結構需要M+N+1次乘法，M+N次加法，延時單元數(shù)為M和N中較大的數(shù).典范型IIR直接型結構特點：優(yōu)點：可直接由傳輸函數(shù)或差分方程畫出網(wǎng)結構流圖，簡單直觀。缺點:（1）調整零、極點困難；（2）對參數(shù)的量化非常敏感，這是由極點對系數(shù)的變化過于敏感造成的；（3）容易產(chǎn)生較大誤差。例8.3.1

設IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)為寫出系統(tǒng)的差分方程,并畫出該濾波器的直接型結構.解:由系統(tǒng)函數(shù)H(z)寫出差分方程如下：可根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)或差分方程畫出直接型結構如下圖所示8.3.2IIR級聯(lián)型結構將濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子和分母分解為一階和二階實系數(shù)因子之積的形式.畫出各二階基本網(wǎng)絡的直接型結構，再將它們級聯(lián)。除實數(shù)極、零點外，共軛零點放在一起；共軛極點放在一起，形成實系數(shù)二階因式連乘形式。例8.3.2

設系統(tǒng)函數(shù)H(z)如下式：試畫出其級聯(lián)型網(wǎng)絡結構。解:將H(z)分子分母進行因式分解，得到：

b=[8-411-2]；a=[1-5/43/4-1/8]；[sos,g]=tf2sos(b,a)sos=1.0000-0.190001.0000-0.250001.0000-0.31001.31611.0000-1.00000.5000g=88.3.3IIR并聯(lián)型網(wǎng)絡結構將濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)展開成部分分式之和，每部分可用一個一階或二階網(wǎng)絡實現(xiàn)畫出各二階基本網(wǎng)絡的直接型結構，再將它們并聯(lián)。例8.3.3

假設系統(tǒng)函數(shù)表達式畫出它的并聯(lián)型結構.解:將系統(tǒng)函數(shù)展開成下式將式中的每一部分畫成直接型結構,再進行并聯(lián)可以得到并聯(lián)型結構,如下圖示并聯(lián)型網(wǎng)絡結構優(yōu)點：（1）調整極點方便（因為一階網(wǎng)絡決定一個實數(shù)極點，二階網(wǎng)絡決定對共軛極點）（2）運算誤差最小，運算速度最高。（3）系數(shù)量化誤差敏感度低。缺點：當系統(tǒng)函數(shù)階數(shù)較高時，部分分式展開較難，并且調整零點不如級聯(lián)型方便。[C,B,A]=dir2par(b,a)I=cplxcomp(p1,p2)C=-18B=-10.0500-3.950028.1125-13.3625A=1.00001.00000.50001.0000-0.2500-0.1250b=[1,-3,11,-27,18];a=[16,12,2,-4,-1];[C,B,A]=dir2par(b,a)8.3.4轉置型網(wǎng)絡結構將一個實系數(shù)線性時不變系的結構流圖中所有支路方向翻轉,增益不變,輸入和輸出位置交換,即可形成原網(wǎng)絡結構的轉置型網(wǎng)絡結構,系統(tǒng)傳輸函數(shù)不變.例8.3.4

系統(tǒng)函數(shù)直接型結構及其轉置型結構分別如下圖(a)和(b)所示

[例]已知某三階數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為試畫出其直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型結構。(a)直接型將系統(tǒng)函數(shù)H(z)表達為:(b)級聯(lián)型將系統(tǒng)函數(shù)H(z)表達為一階、二階實系數(shù)分式之積(c)并聯(lián)型將系統(tǒng)函數(shù)H(z)表達為部分分式之和的形式8.4格型網(wǎng)絡結構格型網(wǎng)絡結構既可用于FIR系統(tǒng),也可用于IIR系統(tǒng),這種結構的優(yōu)點是:對有限字長效應的敏感度低,適合于遞推算法,在一’般數(shù)字濾波器、自適應濾波器和線性預測等有廣泛的應用.可以分為：全零點(AZ)濾波器的格型結構全極點（AP）濾波器的格型結構有極點和零點濾波器的格型結構本節(jié)主要從以下幾個結構分節(jié)講述：8.4.1全零點格型網(wǎng)絡結構8.4.2全極點格型網(wǎng)絡結構8.4.3有極點和零點濾波器的格型結構8.4.1全零點格型網(wǎng)絡結構AZ系統(tǒng)的基本格形單元1全零點格型網(wǎng)絡結構—FIR格型網(wǎng)絡結構根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)，由高階系數(shù)遞推各低階反射系數(shù)Kp該流圖可以看作是由如下圖示的基本單元級聯(lián)而成的.根據(jù)右圖寫出差分方程:

進行Z變換,得

寫成矩陣形式:

8.4.38.4.4將N個基本單元級聯(lián)后,得令,輸出為從而得到全零點格型網(wǎng)絡的系統(tǒng)函數(shù)為系數(shù)給定后,由上式可以求出網(wǎng)絡的系統(tǒng)函數(shù).2由FIR直接型網(wǎng)絡結構轉換到全零點格型網(wǎng)絡結構系統(tǒng)函數(shù)：式中，是FIR網(wǎng)絡的單位脈沖響應，令，得到式中，遞推公式：例8.4.1

k=tf2latc(b)b=latc2tf(k)b=[1-0.90.64-0.576