第6講 群的同態(tài)

在平面幾何學(xué)中,有兩個(gè)非常熟悉的概念:全等三角形和相似三角形.

請(qǐng)問:這兩個(gè)概念的思想是什么?全等三角形具有完全相同的幾何性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系;相似三角形具有相似的幾何性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系.問題:比較的實(shí)質(zhì)是什么?如何用數(shù)學(xué)語言來描述?比較的實(shí)質(zhì)就是在兩個(gè)事物之間建立一個(gè)對(duì)應(yīng),若能使相互對(duì)應(yīng)的元素具有相同或相似的屬性,就可以說這兩個(gè)事物是一樣的或相似的.通過比較進(jìn)行分類第6講群的同態(tài)1/31/20231定義

設(shè)f是群G到群H的一個(gè)映射,如果

a,b∈G,f(ab)=f(a)f(b)[保持運(yùn)算]則稱f是Ｇ到Ｈ的一個(gè)同態(tài)（映射）．當(dāng)是滿射時(shí)，則稱f是滿同態(tài)，記G～H；當(dāng)是單射時(shí)，則稱f是單同態(tài)；當(dāng)是雙射時(shí)，則稱f是同構(gòu)，記G≌H;當(dāng)G=H時(shí)，則稱f是G的自同態(tài)；何謂自同構(gòu)？1/31/20232命題1.3.3

若f是群Ｇ到群Ｈ的一個(gè)同態(tài),則

f(eG)=eH,f(a－1)=f(

a)－1。證明:

a∈G,f(a)=f(eGa)=f(eG)f(a),等式兩端右f(a)的逆得f(eG)=eH.

f(a－1)f(

a)=f(a－1

a)=f(eG)=eH,故f(a－1)=f(

a)－1?！?/31/20233命題1.3.4(同態(tài)核)ker(f)={a∈G：f(a)=eH}G。證明:a,b∈ker(f),f(a)=eH,f(b)=eH,于是,f(ab)=f(a)f(b)=eHab∈ker(f).由命題1.3.2得f(a－1)=f(

a)－1=eH－1=eH。因而a－1∈ker(f),根據(jù)判定定理知ker(f)G?！?/31/20234命題1.3.5(同態(tài)像)Im(f)=f(G)={f(a):a∈G}H.證明:a,b∈Im(f),有x,y∈G使f(x)=a,f(y)=b,于是

ab=f(x)f(y)=f(xy)∈Im(f).

a－1=f(x)－1=f(x

－1)∈Im(f).根據(jù)判定定理知Im(f)G?！?/31/20235Cayley定理

每個(gè)抽象群必與某個(gè)變換群同構(gòu)．證明：設(shè)Ｇ是任一群．１、構(gòu)造變換群g∈G,令I(lǐng)g:GG,Ig(x)=gx,則Ig∈SG.Ig是滿射:每個(gè)x∈G在Ig下都有原像g-1x;Ig是單射:若Ig(x)=Ig(y),即gx＝gy，由消去律得x＝y(tǒng)．令H={Ig:g∈G}，則Ｈ是SG的子群。根據(jù)命題1.3.5,其證明蘊(yùn)涵于下面的證明.1/31/202362、驗(yàn)證同構(gòu)映射f:GＳG,f(g)=

Ig.g,h∈G,x∈G,Igh(x)=gh(x)=g(h(x))=Ig(Ih(x))=(IgIh)(x).故Igh=IgIh,即f(gh)=f(g)f(h).f是同態(tài)映射.若

f(h)=f(g),即Ih=Ig,于是,Ih(e)=Ig(e)h=g.所以,f是單射,G與f(G)=H同構(gòu).

■1/31/20237注:兩個(gè)同構(gòu)的群具有完全一樣的運(yùn)算性質(zhì),其代數(shù)結(jié)構(gòu)也完全一樣.代數(shù)學(xué)中主要是研究運(yùn)算的一般性質(zhì),而對(duì)承載運(yùn)算的集合是不注意的.同構(gòu)的群作為代數(shù)運(yùn)算系統(tǒng)被看作是一樣的.

Cayley定理告訴我們:第一,只需要研究變換群就可以了;第二,每個(gè)抽象群都有具體的模型.1/31/20238例.

域Ｆ上的N維向量空間Ｖ上的全體可逆線性變換之集GLn(V)關(guān)于變換的合成運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群,且與GLn(F)同構(gòu).因?yàn)?兩個(gè)可逆線性變換的合成還是可逆線性變換,且可逆線性變換的逆變換還是可逆線性變換,即,∈GLn(V)有

∈GLn(V),且-1∈GLn(V),所以,GLn(V)是SV的子群,因而是群.給定V的一個(gè)基X,∈GLn(V),記關(guān)于基X的矩陣為f(),在高等代數(shù)中已經(jīng)證明,f是群GLn(V)到群GLn(F)的雙射,且保持運(yùn)算.■1/31/20239例.對(duì)數(shù)函數(shù)