第八章-空間解析幾何與向量代數(shù)知識(shí)點(diǎn)-題庫與答案

第八章：空間解析幾何與向量代數(shù)一、重點(diǎn)與難點(diǎn)1、重點(diǎn)=1\*GB3①向量的基本概念、向量的線性運(yùn)算、向量的模、方向角；=2\*GB3②數(shù)量積（是個(gè)數(shù)）、向量積（是個(gè)向量）；=3\*GB3③幾種常見的旋轉(zhuǎn)曲面、柱面、二次曲面；=4\*GB3④平面的幾種方程的表示方法（點(diǎn)法式、一般式方程、三點(diǎn)式方程、截距式方程），兩平面的夾角；=5\*GB3⑤空間直線的幾種表示方法（參數(shù)方程、對(duì)稱式方程、一般方程、兩點(diǎn)式方程），兩直線的夾角、直線與平面的夾角；2、難點(diǎn)=1\*GB3①向量積（方向）、混合積（計(jì)算）；=2\*GB3②掌握幾種常見的旋轉(zhuǎn)曲面、柱面的方程及二次曲面所對(duì)應(yīng)的圖形；=3\*GB3③空間曲線在坐標(biāo)面上的投影；=4\*GB3④特殊位置的平面方程（過原點(diǎn)、平行于坐標(biāo)軸、垂直于坐標(biāo)軸等；）=5\*GB3⑤平面方程的幾種表示方式之間的轉(zhuǎn)化；=6\*GB3⑥直線方程的幾種表示方式之間的轉(zhuǎn)化；二、基本知識(shí)1、向量及其線性運(yùn)算=1\*GB3①向量的基本概念：向量既有大小又有方向的量；向量表示方法：用一條有方向的線段(稱為有向線段)來表示向量有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小有向線段的方向表示向量的方向.；向量的符號(hào)以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段所表示的向量記作向量可用粗體字母表示也可用上加箭頭書寫體字母表示例如a、r、v、F或、、、；向量的模向量的大小叫做向量的模向量a、、的模分別記為|a|、、單位向量模等于1的向量叫做單位向量；向量的平行兩個(gè)非零向量如果它們的方向相同或相反就稱這兩個(gè)向量平行向量a與b平行記作a//b零向量認(rèn)為是與任何向量都平行；兩向量平行又稱兩向量共線零向量模等于0的向量叫做零向量記作0或零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合它的方向可以看作是任意的共面向量：設(shè)有k(k3)個(gè)向量當(dāng)把它們的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí)如果k個(gè)終點(diǎn)和公共起點(diǎn)在一個(gè)平面上就稱這k個(gè)向量共面；兩向量夾角：當(dāng)把兩個(gè)非零向量a與b的起點(diǎn)放到同一點(diǎn)時(shí)兩個(gè)向量之間的不超過的夾角稱為向量a與b的夾角記作或如果向量a與b中有一個(gè)是零向量規(guī)定它們的夾角可以在0與之間任意取值；=2\*GB3②向量的線性運(yùn)算向量的加法（三角形法則）：設(shè)有兩個(gè)向量a與b平移向量使b的起點(diǎn)與a的終點(diǎn)重合此時(shí)從a的起點(diǎn)到b的終點(diǎn)的向量c稱為向量a與b的和記作a+b即ca+b.平行四邊形法則向量a與b不平行時(shí)平移向量使a與b的起點(diǎn)重合以a、b為鄰邊作一平行四邊形從公共起點(diǎn)到對(duì)角的向量等于向量a與b的和ab向量的加法的運(yùn)算規(guī)律(1)交換律abba(2)結(jié)合律(ab)ca(bc)負(fù)向量設(shè)a為一向量與a的模相同而方向相反的向量叫做a的負(fù)向量記為a向量的減法把向量a與b移到同一起點(diǎn)O則從a的終點(diǎn)A向b的終點(diǎn)B所引向量便是向量b與a的差ba向量與數(shù)的乘法：向量a與實(shí)數(shù)的乘積記作規(guī)定a是一個(gè)向量它的模|a||||a|它的方向當(dāng)>0時(shí)與a相同當(dāng)<0時(shí)與a相反當(dāng)0時(shí)|a|0即a為零向量這時(shí)它的方向可以是任意的運(yùn)算規(guī)律(1)結(jié)合律(a)(a)()a；(2)分配律()aaa；(ab)ab向量的單位化設(shè)a0則向量是與a同方向的單位向量記為ea，于是a|a|ea定理1設(shè)向量a0那么向量b平行于a的充分必要條件是存在唯一的實(shí)數(shù)使ba=3\*GB3③空間直角坐標(biāo)系在空間中任意取定一點(diǎn)O和三個(gè)兩兩垂直的單位向量i、j、k就確定了三條都以O(shè)為原點(diǎn)的兩兩垂直的數(shù)軸依次記為x軸(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸)統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸它們構(gòu)成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系稱為Oxyz坐標(biāo)系注:(1)通常三個(gè)數(shù)軸應(yīng)具有相同的長(zhǎng)度單位(2)通常把x軸和y軸配置在水平面上而z軸則是鉛垂線(3)數(shù)軸的的正向通常符合右手規(guī)則坐標(biāo)面在空間直角坐標(biāo)系中任意兩個(gè)坐標(biāo)軸可以確定一個(gè)平面這種平面稱為坐標(biāo)面x軸及y軸所確定的坐標(biāo)面叫做xOy面另兩個(gè)坐標(biāo)面是yOz面和zOx面卦限三個(gè)坐標(biāo)面把空間分成八個(gè)部分每一部分叫做卦限含有三個(gè)正半軸的卦限叫做第一卦限它位于xOy面的上方在xOy面的上方按逆時(shí)針方向排列著第二卦限、第三卦限和第四卦限在xOy面的下方與第一卦限對(duì)應(yīng)的是第五卦限按逆時(shí)針方向還排列著第六卦限、第七卦限和第八卦限八個(gè)卦限分別用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示向量的坐標(biāo)分解式任給向量r對(duì)應(yīng)有點(diǎn)M使以O(shè)M為對(duì)角線、三條坐標(biāo)軸為棱作長(zhǎng)方體有設(shè)則上式稱為向量r的坐標(biāo)分解式xi、yj、zk稱為向量r沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量點(diǎn)M、向量r與三個(gè)有序x、y、z之間有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系有序數(shù)x、y、z稱為向量r(在坐標(biāo)系Oxyz)中的坐標(biāo)記作r(xyz)向量稱為點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O的向徑=4\*GB3④利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算設(shè)a(axayaz)b(bxbybz)ab(axbxaybyazbz)ab(axbxaybyazbz)a(axayaz)利用向量的坐標(biāo)判斷兩個(gè)向量的平行設(shè)a(axayaz)0b(bxbybz)向量b//aba即b//a(bxbybz)(axayaz)于是=5\*GB3⑤向量的模、方向角、投影設(shè)向量r(xyz)作則向量的模長(zhǎng)公式設(shè)有點(diǎn)A(x1y1z1)、B(x2y2z2)(x2y2z2)(x1y1z1)(x2x1y2y1z2z1)A、B兩點(diǎn)間的距離公式為：方向角：非零向量r與三條坐標(biāo)軸的夾角、、稱為向量r的方向角設(shè)r(xyz)則x|r|cosy|r|cosz|r|coscos、cos、cos稱為向量r的方向余弦從而cos2cos2cos21投影的性質(zhì)性質(zhì)1(a)u|a|cos(即Prjua|a|cos)其中為向量與u軸的夾角性質(zhì)2(ab)u(a)u(b)u(即Prju(ab)PrjuaPrjub)性質(zhì)3(a)u(a)u(即Prju(a)Prjua)2、數(shù)量積、向量積、混合積=1\*GB3①兩向量的數(shù)量積數(shù)量積對(duì)于兩個(gè)向量a和b它們的模|a|、|b|及它們的夾角的余弦的乘積稱為向量a和b的數(shù)量積記作ab即a·b|a||b|cos數(shù)量積的性質(zhì)(1)a·a|a|2(2)對(duì)于兩個(gè)非零向量a、b如果a·b0則ab;反之如果ab則a·b0如果認(rèn)為零向量與任何向量都垂直則aba·b0兩向量夾角的余弦的坐標(biāo)表示設(shè)(a^b)則當(dāng)a0、b0時(shí)有數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)a(axayaz)b(bxbybz)則a·baxbxaybyazbz數(shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律a·bb·a;(2)分配律(ab)cacbc(3)(a)·ba·(b)(a·b)(a)·(b)(a·b)、為數(shù)=2\*GB3②兩向量的向量積向量積設(shè)向量c是由兩個(gè)向量a與b按下列方式定出c的模|c||a||b|sin其中為a與b間的夾角;c的方向垂直于a與b所決定的平面c的指向按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b來確定那么向量c叫做向量a與b的向量積記作ab即cab向量積的性質(zhì)(1)aa0(2)對(duì)于兩個(gè)非零向量a、b如果ab0則a//b反之如果a//b則ab0如果認(rèn)為零向量與任何向量都平行則a//bab0數(shù)量積的運(yùn)算律(1)交換律abba(2)分配律(ab)cacbc(3)(a)ba(b)(ab)(為數(shù))數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)a(axayaz)b(bxbybz)ab(aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k為了邦助記憶利用三階行列式符號(hào)上式可寫成aybziazbxjaxbykaybxkaxbzjazbyi(aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k=3\*GB3③三向量的混合積混合積：先作兩向量a和b的向量積,把所得到的向量與第三個(gè)向量c再作數(shù)量積，這樣得到的數(shù)量叫做三個(gè)向量a、b、c的混合積，記作[abc][abc]==混合積的幾何意義：混合積[abc]是這樣一個(gè)數(shù)，它的絕對(duì)值表示以向量a、b、c為棱的平行六面體的體積，如果向量a、b、c組成右手系，那么混合積的符號(hào)是正的，如果a、b、c組成左手系，那么混合積的符號(hào)是負(fù)的。三個(gè)向量a、b、c共面的充分必要條件事他們的混合積[abc]=0即=03、曲面及其方程=1\*GB3①曲面方程的概念如果曲面S與三元方程F(xyz)0有下述關(guān)系(1)曲面S上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程F(xyz)0(2)不在曲面S上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿足方程F(xyz)0那么方程F(xyz)0就叫做曲面S的方程而曲面S就叫做方程F(xyz)0的圖形例如：方程(xx0)2(yy0)2(zz0)2R2表示球心在點(diǎn)M0(x0y0z0)、半徑為R的球面=2\*GB3②旋轉(zhuǎn)曲面以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)曲面的軸設(shè)在yOz坐標(biāo)面上有一已知曲線C它的方程為f(yz)0把這曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周就得到一個(gè)以z軸為軸的旋轉(zhuǎn)曲面它的方程為這就是所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程在曲線C的方程f(yz)0中將y改成便得曲線C繞z軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程同理曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為=3\*GB3③柱面柱面平行于定直線并沿定曲線C移動(dòng)的直線L形成的軌跡叫做柱面定曲線C叫做柱面的準(zhǔn)線動(dòng)直線L叫做柱面的母線例如方程x2y2R2在空間直角坐標(biāo)系中表示圓柱面它的母線平行于z軸它的準(zhǔn)線是xOy面上的圓x2y2R2一般地只含x、y而缺z的方程F(xy)0在空間直角坐標(biāo)系中表示母線平行于z軸的柱面其準(zhǔn)線是xOy面上的曲線CF(xy)0類似地只含x、z而缺y的方程G(xz)0和只含y、z而缺x的方程H(yz)0分別表示母線平行于y軸和x軸的柱面=4\*GB3④二次曲面三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面把平面叫做一次曲面(1)橢圓錐面由方程所表示的曲面稱為橢圓錐面(2)橢球面由方程所表示的曲面稱為橢球面(3)單葉雙曲面由方程所表示的曲面稱為單葉雙曲面(4)雙葉雙曲面由方程所表示的曲面稱為雙葉雙曲面(5)橢圓拋物面由方程所表示的曲面稱為橢圓拋物面(6)雙曲拋物面由方程所表示的曲面稱為雙曲拋物面雙曲拋物面又稱馬鞍面方程依次稱為橢圓柱面、雙曲柱面、拋物柱面空間曲線及其方程=1\*GB3①空間曲線的一般方程設(shè)F(xyz)0和G(xyz)0是兩個(gè)曲面方程它們的交線為C所以C應(yīng)滿足方程組上述方程組叫做空間曲線C的一般方程=2\*GB3②空間曲線的參數(shù)方程空間曲線C上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x、y、z表示為參數(shù)t的函數(shù)……..(2)當(dāng)給定tt1時(shí)就得到C上的一個(gè)點(diǎn)(x1y1z1)隨著t的變動(dòng)便得曲線C上的全部點(diǎn)方程組(2)叫做空間曲線的參數(shù)方程=3\*GB3③空間曲線在坐標(biāo)面上的投影以曲線C為準(zhǔn)線、母線平行于z軸的柱面叫做曲線C關(guān)于xOy面的投影柱面投影柱面與xOy面的交線叫做空間曲線C在xOy面上的投影曲線或簡(jiǎn)稱投影(類似地可以定義曲線C在其它坐標(biāo)面上的投影)設(shè)空間曲線C的一般方程為設(shè)方程組消去變量z后所得的方程H(xy)0這就是曲線C關(guān)于xOy面的投影柱面曲線C在xOy面上的投影曲線的方程為5平面及其方程=1\*GB3①平面的點(diǎn)法式方程法線向量如果一非零向量垂直于一平面這向量就叫做該平面的法線向量已知平面上的一點(diǎn)M0(x0y0z0)及它的一個(gè)法線向量n(ABC)，平面的點(diǎn)法式方程為：A(xx0)B(yy0)C(zz0)0=2\*GB3②平面的一般方程平面的一般方程為：AxByCzD0，其中xyz的系數(shù)就是該平面的一個(gè)法線向量n的坐標(biāo)即n(ABC)特殊位置的平面方程：D0平面過原點(diǎn)n(0BC)法線向量垂直于x軸平面平行于x軸n(A0C)法線向量垂直于y軸平面平行于y軸n(AB0)法線向量垂直于z軸平面平行于z軸n(00C)法線向量垂直于x軸和y軸平面平行于xOy平面n(A00)法線向量垂直于y軸和z軸平面平行于yOz平面n(0B0)法線向量垂直于x軸和z軸平面平行于zOx平面求這平面的方程=3\*GB3③平面的截距式方程為：(其中a0b0c0)該平面與x、y、z軸的交點(diǎn)依次為P(a00)、Q(0b0)、R(00c)三點(diǎn)而a、b、c依次叫做平面在x、y、z軸上的截距=4\*GB3④平面的三點(diǎn)式方程為：=0其中M()，N()P()是平面上的三點(diǎn)。=5\*GB3⑤兩平面的夾角兩平面的夾角兩平面的法線向量的夾角(通常指銳角)稱為兩平面的夾角設(shè)平面1和2的法線向量分別為n1(A1B1C1)和n2(A2B2C2)那么平面1和2的夾角應(yīng)是和兩者中的銳角平面1和2垂直相當(dāng)于A1A2B1B2C1C20也即平面1和2平行或重合相當(dāng)于也即設(shè)P0(x0y0z0)是平面AxByCzD0外一點(diǎn)P0到這平面的距離公式為d6空間直線及其方程=1\*GB3①空間直線的一般方程空間直線L可以看作是兩個(gè)平面1和2的交線如果兩個(gè)相交平面1和2的方程分別為A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20那么直線L滿足方程組(1)上述方程組叫做空間直線的一般方程=2\*GB3②空間直線的對(duì)稱式方程與參數(shù)方程方向向量如果一個(gè)非零向量平行于一條已知直線這個(gè)向量就叫做這條直線的方向向量容易知道直線上任一向量都平行于該直線的方向向量已知直線L通過點(diǎn)M0(x0y0x0)且直線的方向向量為s(mnp)則直線L的方程為：叫做直線的對(duì)稱式方程或點(diǎn)向式方程注當(dāng)mnp中有一個(gè)為零例如m0而np0時(shí)這方程組應(yīng)理解為當(dāng)mnp中有兩個(gè)為零例如mn0而p0時(shí)這方程組應(yīng)理解為設(shè)得方程組此方程組就是直線L的參數(shù)方程=3\*GB3③兩直線的夾角兩直線的方向向量的夾角(通常指銳角)叫做兩直線的夾角設(shè)直線L1和L2的方向向量分別為s1(m1n1p1)和s2(m2n2p2)那么L1和L2的夾角就是和兩者中的銳角因此設(shè)有兩直線L1L2則L1L2m1m2n1n2p1p20lIIL2=4\*GB3④直線與平面的夾角當(dāng)直線與平面不垂直時(shí)直線和它在平面上的投影直線的夾角稱為直線與平面的夾角當(dāng)直線與平面垂直時(shí)規(guī)定直線與平面的夾角為設(shè)直線的方向向量s(mnp)平面的法線向量為n(ABC)直線與平面的夾角為那么因此因?yàn)橹本€與平面垂直相當(dāng)于直線的方向向量與平面的法線向量平行所以直線與平面垂直相當(dāng)于因?yàn)橹本€與平面平行或直線在平面上相當(dāng)于直線的方向向量與平面的法線向量垂直所以直線與平面平行或直線在平面上相當(dāng)于AmBnCp0設(shè)直線L的方向向量為(mnp)平面的法線向量為(ABC)則LL//AmBnCp0三、疑難點(diǎn)解析（1）數(shù)量積、向量積、混合積易混怎么辦？答：數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量無方向、向量積是個(gè)向量有方向，算出來的向量垂直于兩向量構(gòu)成的平面，且滿足右手法則?；旌戏e也是個(gè)常數(shù)。數(shù)量積：a·b|a||b|cosaxbxaybyazbz向量積cab，|c||a||b|sinaybziazbxjaxbykaybxkaxbzjazbyi混合積：[abc]==（2）已知平面圖形的方程如何求出該圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)后所得旋轉(zhuǎn)體的方程？答：求旋轉(zhuǎn)曲面方程的口訣用通俗的語言描述就是：：“繞誰（如x）旋轉(zhuǎn)誰不變，另外一個(gè)字母變成”。（3）同一個(gè)方程在空間和在平面中表示的圖形為何不一樣？答：例如：，在平面上只有兩個(gè)坐標(biāo)，所以表示的是一個(gè)圓，但在空間中是三維坐標(biāo)的，這個(gè)方程表示的就是圓柱了，即當(dāng)滿足上述方程，則對(duì)任意的z,也滿足這個(gè)方程。（4）求平面方程有幾種方法，具體用于求平面方程時(shí)要注意哪些關(guān)鍵的東西？答：求平面方程時(shí)最關(guān)鍵的就是要找到平面中的一個(gè)點(diǎn)和平面的法向量，求平面的法向量經(jīng)常會(huì)用到兩向量的叉乘的方向的性質(zhì)來解決法向量，也即找到兩個(gè)向量做叉乘后所得到的向量便可做所求向量的法向量。（5）解與直線和平面相關(guān)的題時(shí)如何分析？答：但凡涉及平面的找法向量，但凡涉及直線的找方向向量。然后在根據(jù)具體題來分析該如何使用法向量和方向向量。四、考點(diǎn)分析（一）向量的的基本概念的相關(guān)知識(shí)例1、平行于向量的單位向量為______________.解：例2、設(shè)已知兩點(diǎn)，計(jì)算向量的模，方向余弦和方向角.解、=（-1，-，1）=2,,例3、設(shè)，求向量在x軸上的投影，及在y軸上的分向量.解：a=13i+7j+15k,所以在x軸上的投影為13，在y軸上的分量為7j例4、在空間直角坐標(biāo)系{O;}下，求M(a,b,c)關(guān)于(1)坐標(biāo)平面；(2)坐標(biāo)軸；(3)坐標(biāo)原點(diǎn)的各個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).[解]：M(a,b,c)關(guān)于xOy平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b,－c)，M(a,b,c)關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(－a,b,c)，M(a,b,c)關(guān)于xOz平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(a,－b,c)，M(a,b,c)關(guān)于x軸平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為(a,－b,－c)，M(a,b,c)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(－a,b,－c)，M(a,b,c)關(guān)于z軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(－a,－b,c).M(a,b,c)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(－a,－b,—c).（二）向量的數(shù)量積、向量積、混合積的計(jì)算例5、設(shè)，求(1)(3)a、b的夾角的余弦.解：（1）（2），（3）例6、知，求與同時(shí)垂直的單位向量.解：即為所求單位向量。例7、已知，求的面積解：思路：=答案：其中，|OA|=例8、求單位向量，使且軸，其中.解：取，則。==8j-6k,||=10,=,答案：例9、解：=,。tan,答案：例10．已知矢量互相垂直，矢量與的夾角都是，且計(jì)算：解：例11、已知平行四邊形以﹛1，2，-1﹜，﹛1，-2，1﹜為兩邊 求它的邊長(zhǎng)和內(nèi)角求它的兩對(duì)角線的長(zhǎng)和夾角 解：∴或，. ∴例12、已知,試求: 解:∴4. 原式=. 原式==9例13、已知直角坐標(biāo)系內(nèi)矢量的分量,判別這些矢量是否共面?如果不共面,求出以它們?yōu)槿忂呑鞒傻钠叫辛骟w體積.,,.,,.解:共面∵=∴向量共面 不共面∵=∴向量不共面 以其為鄰邊作成的平行六面體體積（三）求平面的曲線與曲面例14.一動(dòng)點(diǎn)到的距離恒等于它到點(diǎn)的距離一半，求此動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并指出此軌跡是什么圖形？ 解：動(dòng)點(diǎn)在軌跡上的充要條件是。設(shè)的坐標(biāo)有 化簡(jiǎn)得故此動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為此軌跡為橢圓例15、把下面的平面曲線的普通方程化為參數(shù)方程.⑴;⑵;⑶.解:⑴令,代入方程得參數(shù)方程為.⑶令代入方程得當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),故參數(shù)方程為.(四)空間的曲線與曲面方程及投影一動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，與及平面等距離，求該動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。解：設(shè)在給定的坐標(biāo)系下，動(dòng)點(diǎn)，所求的軌跡為，則亦即由于上述變形為同解變形，從而所求的軌跡方程為求下列各球面的方程：（1）中心，半徑為；（2）中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)；（3）一條直徑的兩端點(diǎn)是（4）通過原點(diǎn)與（5）求中心在且與平面相切的球面方程。.解：（1）所求的球面方程為：（2）球面半徑所以類似上題，得球面方程為（3）球面的球心坐標(biāo)，球的半徑，所以球面方程為：（4）設(shè)所求的球面方程為：因該球面經(jīng)過點(diǎn)，所以（1）解（1）有所求的球面方程為（5）球面的半徑為C到平面：的距離，它為：，所以，要求的球面的方程為：.即：例17、（1)將xOy坐標(biāo)面上的繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，生成的曲面方程為_______________，曲面名稱為___________________.2)將xOy坐標(biāo)面上的繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，生成的曲面方程_____________，曲面名稱為___________________.3)將xOy坐標(biāo)面上的繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn)一周，生成的曲面方程為_____________，曲面名稱為_____________________.4）在平面解析幾何中表示____________圖形。在空間解析幾何中表示______________圖形.解：求旋轉(zhuǎn)曲面方程的口訣：“繞誰（如x）旋轉(zhuǎn)誰不變，另外一個(gè)字母變成”（1),旋轉(zhuǎn)拋物面（,球面（3)繞x軸：旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面繞y軸：旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面（4）、拋物線，拋物柱面5）畫出下列方程所表示的曲面(1)解：(2)解例18、（1）、指出方程組在平面解析幾何中表示____________圖形，在空間=析幾何中表示______________圖形.（2）、求球面與平面的交線在xOy面上的投影方程.（3）、求上半球與圓柱體的公共部分在xOy面及xOz面上的投影.（4）、求曲線在坐標(biāo)面上的投影曲線的方程，并指出原曲線是什么曲線？解：（1）、平面解析幾何表示橢圓與其一切線的交點(diǎn)；空間解析幾何中表示橢圓柱面與其切平面的交線。（2）、（3）、在xoy面的投影為：，在xOz面的投影為（？）：(4)、先求投影柱面方程，答案：原曲線在面上的投影曲線方程為。原曲線是由旋轉(zhuǎn)拋物面被平面所截的拋物線。例19、已知柱面的準(zhǔn)線為：母線平行于軸，求該柱面方程；解：從方程中消去，得到：即：此即為要求的柱面方程。例20、已知橢圓拋物面的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱面為面與面，且過點(diǎn)和，求這個(gè)橢圓拋物面的方程。解：據(jù)題意可設(shè)，要求的橢圓拋物面的方程為：令確定與和均在該曲面上。有：從而所以要求的橢圓拋物面的方程為：即：（五）求平面方程等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的各類常見的重要題型（找到平面過的點(diǎn)和平面的法向量）注意利用兩向量的叉乘知識(shí)來解決平面的法向量。例21（1）、求過點(diǎn)(3,0,-1)且與平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.解：平面過點(diǎn)為（3,0，-1），且與平面3x-7y+5z-12=0平行，所以所求平面的法向量為,再由平面方程的點(diǎn)法式方程知所求方程為：（2）、求過點(diǎn)(1,1,-1)，且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)的平面方程.解：因?yàn)樗笃矫嫫叫杏谙蛄縜=(2,1,1)和b=(1,-1,0)，所以知道平面的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)，根據(jù)向量的叉乘知，在由點(diǎn)法式方程知所求平面為：。（3）、求平行于xOz面且過點(diǎn)(2,-5,3)的平面方程.解：所求平面平行于xOz面，所以垂直y軸，所以可以用z軸上的單位向量（0,1,0）為法向量，再由點(diǎn)法式方程知所求平面為：（4）、求平行于x軸且過兩點(diǎn)(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.解：因?yàn)槠矫孢^兩點(diǎn)M(4,0,-2)和N(5,1,7)，所以過向量=（1,1，9）,由因?yàn)樗笃矫嫫叫杏趚軸，所以平面平行于x軸上的單位向量i=（1,0,0），從而,再由點(diǎn)法式方程知所求平面方程為：（5）、求過點(diǎn)(2,0,-3)且與直線垂直的平面方程.解：直線的方向向量可以作為所求平面的法向量，所以，在由平面的點(diǎn)法式方程知所求平面為：（6）、求過點(diǎn)(3,1,-2)且通過直線的平面方程.解：因?yàn)槠矫孢^直線，所以過直線上的點(diǎn)A（4，-3,0），已知過點(diǎn)B(3,1,-2),從而過向量及直線的方向向量因此平面的法向量可求出，再由平面的點(diǎn)法式方程知所求平面為：。（7）、求過點(diǎn)且與直線垂直的平面方程。解：所求平面方程為即（8）、求過點(diǎn)，，且垂直于的平面.解：法一：，所求平面法向量，且取又平面過點(diǎn)，則平面方程為解法2.在平面上任取一點(diǎn)，則和共面，由三向量共面的充要條件得，整理得所求平面方程（9）、求過直線，且與直線：平行的平面.解：用平面束。設(shè)過直線的平面束方程為因?yàn)樗笃矫媾c直線：平行，則所求平面的法向量()與直線的方向向量(1,-1,2),從而，因此所求平面方程為。（10）、求通過軸其與點(diǎn)相距8個(gè)單位的平面方程。解：設(shè)通過軸的平面為它與點(diǎn)相距8個(gè)單位，從而因此從而得或于是有或所求平面為或(11)求過A(1,1,-2)，B（-2，-2,2），C（1，-1,2）三點(diǎn)的平面方程（12）、已知直線，直線，求過且平行的平面方程。解：在上任取一點(diǎn)，故所求平面方程為即（13）、求過軸，且與平面的夾角為的平面方程.解：平面過軸，不妨設(shè)平面方程為，則，且（不全為），已知平面的法向量為，兩平面的夾角為，根據(jù)兩法向量與兩平面的關(guān)系有,所以所求的平面方程為：或（六）求直線方程等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的各類常見的重要題型（找出直線所過的點(diǎn)與直線方向向量）例22（1）、求過點(diǎn)(1,2,3)且平行于直線的直線方程.解：因?yàn)樗笾本€平行于直線，所以可取所求直線的方向向量為（2,1,5），又因?yàn)檫^點(diǎn)（1,2,3），由直線的對(duì)稱式方程知所求直線方程為：（2）、求過點(diǎn)(0,2,4)且與兩平面,平行的直線方程.解：所求直線與兩平面,平行，所以該直線垂直于這兩平面的法向量，所以也垂直于這兩法向量構(gòu)成的平面，有兩向量的叉乘知可去所求直線的方向向量為，再由直線的對(duì)稱式方程知所求直線方程為：（3）求過且平行于平面又與直線相交的直線方程。解：設(shè)所求直線方程為所求直線與已知平面平行，則所求直線的方向向量與已知平面的法向量垂直即有（1）又所求直線與已知直線（相交）共面，在已知直線上任取一點(diǎn)，則在平面上。三向量(所求直線，已知直線，)共面，得，即（2）由（1）（2），得所求直線方程：程.（4）、求在平面:上，且與直線垂直相交的直線方程.解：所求直線與已知直線L的交點(diǎn)，過交點(diǎn)且垂直于已知直線的平面為。答案：（5）通過點(diǎn)和點(diǎn)的直線；解：所求直線的方向向量為（5，-5,0）由直線的對(duì)稱式方程知所求直線方程為：，亦即。（6）通過點(diǎn)且與三軸分別成的直線；解：欲求的直線的方向矢量為：，故由直線的對(duì)稱式方程知所求直線方程為：。（7）通過點(diǎn)且與兩直線和垂直的直線；。解：欲求直線的方向矢量為：，所以，直線方程為：。（8）用對(duì)稱式方程及參數(shù)式方程表示直線解：，取得故直線的對(duì)稱式方程為直線參數(shù)式方程為（七）利用平面與直線的位置關(guān)系找出法向量與方向向量，求平面與直線的夾角、距離、位置關(guān)系、直線與平面的交點(diǎn)計(jì)算等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的各類題型例23、判別下列各直線之間的位置關(guān)系：（1）與解：，，所以（2）與解：，所以‖（?。┣簏c(diǎn)到直線的距離例24、求原點(diǎn)到的距離。解：方法（1）化為參數(shù)方程點(diǎn)（0，0，0）到直線上任意點(diǎn)的距離為（參數(shù)為的點(diǎn)）方法（2）過點(diǎn)（0，0，0）與且直線垂直的平面方程為將直線化為參數(shù)式方程為代入直線的垂面方程，得所以（0，0，0）在直線上的垂足為所求距離為（ⅱ）求直線與平面的交點(diǎn)例25、求直線與平面的交點(diǎn)。解：（1）令代入平面得，所求交點(diǎn)為（ⅲ）已知點(diǎn)在已知平面的投影計(jì)算。例26求點(diǎn)在平面上的投影。解：過且與垂直的直線方程為代入得，故在平面上的投影為（ⅳ）涉及線面關(guān)系的綜合計(jì)算。例23(1)、求直線與平面的夾角.解：設(shè)平面與直線的夾角為，直線的方向向量為，平面的法向量，=0，所以夾角為0。（2)直線與直線的位置關(guān)系;解:直線的方向向量為直線的方向向量為，所以兩直線垂直。（3)直線和平面x+y+z=3的位置關(guān)系解：直線的方向向量（3,1，-4）與平面的法向量（1,1,1）垂直，從而知該直線平行于平面或在平面內(nèi)，有因?yàn)橹本€上一點(diǎn)（2，-2,3）在平面內(nèi)，所以知直線在平面x+y+z=3內(nèi)。（4）、求點(diǎn)A(3,-1,2)到直線的距離.解：直線的方向向量為，求直線上的一點(diǎn)（可令y=0）,所以直線過點(diǎn)B（1，0，2）,點(diǎn)AB之間的距離為,向量的夾角的余弦為，所以A點(diǎn)到直線的距離為(6)、求兩直線：與直線：的最短距離.解：已知兩直線的方向向量為，故垂直于兩方向向量的向量可取為，又點(diǎn)在直線上過直線且平行于的平面為，即，又點(diǎn)在直線上，該點(diǎn)到平面的距離為所求兩直線間的最短距離。（7）求兩平行平面，間的距離：；解：（1）將所給的方程化為：所以兩平面間的距離為：2-1=1。（8）求兩平面，所成的角；解：（1）設(shè)：，：（9）.求下列各對(duì)直線間的角①②解①∴直線∴例24、.分別在下列條件下確定的值：（1）使和表示同一平面；（2）使與表示兩平行平面；（3）使與表示兩互相垂直的平面。解：（1）欲使所給的兩方程表示同一平面，則：即：從而：，，。（2）欲使所給的兩方程表示兩平行平面，則：所以：，。（3）欲使所給的兩方程表示兩垂直平面，則：所以：。例25、求關(guān)于直線與點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)。解：已知直線的方向矢量為：，或?yàn)?，求直線上的一點(diǎn)（令z=0,）,從而直線方程為過垂直于已知直線的平面為：，即代入平面方程解出t=該平面與已知直線的交點(diǎn)為，所以若令為P的對(duì)稱點(diǎn)，則：，，，即。（八）用平面束求解題；求過直線的平面可設(shè)為例26、.求通過平面和的交線且滿足下列條件之一的平面：（1）通過原點(diǎn)；（2）與軸平行；（3）與平面垂直。解：（1）設(shè)所求的平面為：欲使平面通過原點(diǎn)，則須：，即，故所求的平面方程為：即：。（2）同（1）中所設(shè)，可求出。故所求的平面方程為：即：。（3）如（1）所設(shè)，欲使所求平面與平面垂直，則須：從而：，所以所求平面方程為：。五、章節(jié)基礎(chǔ)訓(xùn)練向量及其線性運(yùn)算一、選擇題1.點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為-------------------------------------------------------（）（A）（B）（C）（D）2.下列哪組角可以作為某個(gè)空間向量的方向角---------------------------------------------（）（A）（B）（C）（D）3.已知A(1,0,2),B(1,2,1)是空間兩點(diǎn)，向量的模是：（）A）B）C）6D）94.設(shè)a={1,-1,3},b={2,-1,2}，求c=3a-2b是：（）A）{-1,1,5}.B）{-1,-1,5}.C）{1,-1,5}.D）{-1,-1,6}.已知向量的終點(diǎn)為則起點(diǎn)的坐標(biāo)為（）；、、、、6、已知向量則垂直與及軸的單位向量（）；、、、、7、零向量的方向（）；、是一定的；、是任意的；、與坐標(biāo)軸間的夾角相等；、以上結(jié)論都不對(duì)。8、單位向量的方向（）；、必相等；、不相等；、不一定相等；、向量的方向必相同。9、兩個(gè)單位向量（）；、是一定的；、是任意的；、與坐標(biāo)軸間的夾角相等；、以上結(jié)論都不對(duì)。二、填空題1．（4）在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各點(diǎn)在哪個(gè)卦限？(1)第____________卦限(2)第____________卦限(3)第____________卦限(4)第____________卦限2、已知兩點(diǎn)與，與向量方向一致的單位向量=。3、若，則中點(diǎn)坐標(biāo)為，4、若為向量的方向角，則_________________________.5、與的位置關(guān)系_______________.6、已知，，且，則（1）=_____________；（2）線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為______________________。7、已知點(diǎn)的向徑為單位向量，且與軸的夾角為，另外兩個(gè)方向角相等，則點(diǎn)的坐標(biāo)為____________________________。三、計(jì)算題2、已知，，求，和．3、設(shè)求5、化簡(jiǎn)．6、已知向量與各坐標(biāo)軸成相等的銳角，若，求的坐標(biāo)。7、試證明以三點(diǎn)A（4,1,9）、B（10，-1,6）、C(2,4,3)為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形。數(shù)量積、向量積、混合積一、選擇題1、設(shè)求是：（）A）-i-2j+5kB）-i-j+3kC）-i-j+5kD）3i-3j+3k2、設(shè)⊿的頂點(diǎn)為，求三角形的面積是：A）B）C）D）33、下列關(guān)系式錯(cuò)誤的是------------------------------------------------------------------（）(A)(B)(C)(D)二、填空題1、已知，，且，則．2、與的位置關(guān)系為_________________3、設(shè)，，則=_______________=___________________________三、計(jì)算題1、設(shè)，求2、試找出一個(gè)與同時(shí)垂直的向量。3、已知，試在軸上求一點(diǎn)，使的面積最小。4、設(shè)。5、設(shè)已知向量，計(jì)算曲面及其方程一、選擇題1、設(shè)球面方程為則下列點(diǎn)在球面內(nèi)部的是（）；、、、、2、列曲面中經(jīng)過原點(diǎn)的曲面是（）；、、、、曲面的圖形關(guān)于（）；、平面對(duì)稱；、平面對(duì)稱；、平面對(duì)稱；、原點(diǎn)對(duì)稱。4、在空間直角坐標(biāo)系里表示（）；、一個(gè)點(diǎn)；、平面；、橢圓、橢圓面。5．母線平行于x軸且通過曲線的柱面方程是()．(A)(B)(C)(D)6、將曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周，所得的曲面為（）（A）圓錐面（B）旋轉(zhuǎn)拋物面（C）橢球面（D）拋物柱面7、在空間直角坐標(biāo)系中，是（）（A）圓（B）球（C）一點(diǎn)（D）圓柱面二、計(jì)算題3、設(shè)動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)的距離等于從這點(diǎn)到平面的距離的一半，試求此動(dòng)點(diǎn)的軌跡。4、坐標(biāo)面的曲線繞軸旋轉(zhuǎn)生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程是：空間曲線及其方程1、求出平面與橢球面的交線方程。2、指出下列曲面與三個(gè)坐標(biāo)面的交線分別是什么曲線？（1）；（2）；（3）；（4）平面及其方程1、在空間直角坐標(biāo)系下，方程的圖形表示為（）；、通過原點(diǎn)的直線；、垂直于軸的直線；、垂直于軸的平面；、通過軸的平面。2、直線與平面的位置關(guān)系為----------（）（A）平行（B）垂直（C）斜交（D）在平面上3.平面與面夾角為-------------------------------------------（）（A）（B）（C）（D）通過點(diǎn)且平行與平面的平面方程為（）；、、、、5、在軸上的截距分別為（）；、、、、6、平面（）；、平行于軸；、平行于軸；、平行于軸；、過原點(diǎn)。7.求兩平面和的夾角是：（）A）B）C）