第1章-數(shù)字邏輯基礎(chǔ)

數(shù)字邏輯與數(shù)字系統(tǒng)設(shè)計電工電子教學(xué)中心第一章數(shù)字邏輯基礎(chǔ)數(shù)制

二進制數(shù)的表示方法

二進制數(shù)的運算

邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

編碼下頁返回上頁一、模擬量1、模擬量：它們的變化在時間上和數(shù)值上都是連續(xù)的2、模擬信號：表示模擬量的信號3、模擬電路：工作在模擬信號下的電子電路例如：溫度是連續(xù)變化的數(shù)字量和模擬量下頁返回上頁二、數(shù)字量1、數(shù)字量：它們的變化在時間上和數(shù)量上都是離散的2、數(shù)字信號：表示數(shù)字量的信號3、數(shù)字電路：工作在數(shù)字信號下的電子電路例如：零件數(shù)、人數(shù)，最小的數(shù)量單位為1下頁返回上頁1.1數(shù)制1、十進制：低位和相鄰高位間的進位關(guān)系是“逢十進一”。任意十進制數(shù)D

的展開式：ki是第i

位的系數(shù)，可以是0~9中的任何一個例如：下頁返回上頁任意N進制數(shù)展開式的普遍形式其中ki

是第i

位的系數(shù)，ki

可以是0~N-1中的任何一個N稱為計數(shù)的基數(shù)，Ni稱為第i

位的權(quán)下頁返回上頁2、二進制：低位和相鄰高位間的進位關(guān)系是“逢二進一”。任意二進制數(shù)D的展開式：ki可以是0和1中的任何一個例如：下頁返回上頁3、八進制：低位和相鄰高位間的進位關(guān)系是“逢八進一”。任意八進制數(shù)D的展開式：ki可以是0

~

7中的任何一個例如：下頁返回上頁4、十六進制：低位和相鄰高位間的進位關(guān)系是“逢十六進一”任意十六進制數(shù)D的展開式：ki可以是0~9、A、B、C、D、E、F中之一下頁返回上頁5、數(shù)制轉(zhuǎn)換按二進制展開式展開，然后各項數(shù)值按十進制數(shù)相加，就可得到等值的十進制數(shù)(1)二-十轉(zhuǎn)換下頁返回上頁1）整數(shù)部分：除2法—保商為偶數(shù)的余數(shù)692余數(shù)=1=k0342余數(shù)=0=k1172余數(shù)=1=k282余數(shù)=0=k342余數(shù)=0=k422余數(shù)=0=k512余數(shù)=1=k60所以(2)十-二轉(zhuǎn)換下頁返回上頁2）小數(shù)部分：乘2法-使積<1的余數(shù)0.625×21.250整數(shù)部分=1=k-10.250×21.500整數(shù)部分=0=k-20.500×21.000整數(shù)部分=1=k-3所以下頁返回上頁從低位到高位將每4位二進制數(shù)分為一組并代之以等值的十六進制數(shù)，即可得到對應(yīng)的十六進制數(shù)=（51B）16(3)二-十六轉(zhuǎn)換下頁返回上頁將十六進制的每一位用等值的4位二進制代替即可（8FC6）16(4)十六-二轉(zhuǎn)換下頁返回上頁十六-十轉(zhuǎn)換根據(jù)式將各位按權(quán)展開后相加十-十六轉(zhuǎn)換先轉(zhuǎn)換成二進制數(shù)再轉(zhuǎn)換成等值的十六進制數(shù)(5)

十六進制數(shù)與十進制數(shù)的轉(zhuǎn)換(6)二-八轉(zhuǎn)換例：將二進制數(shù)（10111101.01110111）2轉(zhuǎn)換為八進制數(shù)。解：10

111

101.011

101

1100.

255673則（10111101.01110111）2=（275.356）8

下頁返回上頁1.2二進制數(shù)的表示方法1、原碼:又稱為"符號-數(shù)值"，當用原碼形式表示正數(shù)或負數(shù)時，最高位是符號位，正數(shù)符號位為0，負數(shù)符號位為1，其余部分表示數(shù)值部分。如+89=（01011001）

-89=（1

1011001）2、反碼:又稱為"對1的補數(shù)"，當用反碼表示時，最高位是符號位，正數(shù)符號位為0，負數(shù)符號位為1。對于正數(shù)，反碼和原碼相同；對于負數(shù)，反碼的數(shù)值是將原碼數(shù)值逐位取反。如+89=（01011001）（原碼）（01011001）（反碼）

-89=（1

1011001）（原碼）（1

0100110）（反碼）3、補碼:又稱為"對2的補數(shù)"，最高位為符號位（0為正，1為負）正數(shù)的補碼和它的原碼相同負數(shù)的補碼=數(shù)值位逐位求反(反碼)+1 如+5=（00101）原碼 -5=（10101）原碼（11010）反碼（11011）補碼。下頁返回上頁1.3二進制的運算1、二進制的加法和減法類似于十進制的加法和減法，只是進位規(guī)則不同，是“逢二進一”2、二進制的乘法3、二進制的除法1.4編碼編碼（code）:用于表示不同的數(shù)或事件的一組n位二進制碼的集合，稱為這種多位的二進制碼叫做代碼。碼制（codesystem）:在編制代碼時遵循的規(guī)則。編碼后的代碼都具有一定的含義。三種常用編碼：二－十進制編碼（BCD碼）、格雷碼和ASCII碼。下頁返回上頁000000110000000000100001010000010001011000100101001001000111001101100011010101010100011101000111010001011000101110001100011010011100100111010111101011011100111110001011111011011110100111001111111110108421碼余3碼2421碼5211碼余3循環(huán)碼編碼0123456789權(quán)8421

2421

5211十進種類制數(shù)幾種常見的BCD碼下頁返回上頁循環(huán)碼00000001001100100110011101010100110011011111111010101011100110001.5邏輯代數(shù)基礎(chǔ)1.5.1邏輯變量與邏輯函數(shù)1.5.2常用邏輯運算下頁返回上頁1.5.1邏輯變量邏輯函數(shù)一、各種邏輯關(guān)系中，輸入與輸出之間的函數(shù)關(guān)系，稱為邏輯函數(shù)。表示為：二、邏輯變量和輸出（函數(shù)）的取值只有0和1兩種狀態(tài)這種邏輯函數(shù)是二值邏輯函數(shù)。下頁返回上頁如三人表決電路：三人A，B，C當中有兩人或兩人以上同意時，表決結(jié)果Y為通過，否則表決結(jié)果Y為沒通過表決結(jié)果Y的狀態(tài)（通過與沒通過）是三人A，B，C狀態(tài)（同意與不同意）的函數(shù)。三、任何一個具體的因果關(guān)系都可以用一個邏輯函數(shù)描述。1.5.2

常用邏輯代數(shù)與邏輯或邏輯非邏輯下頁返回上頁一、邏輯與1、定義：只有決定事物結(jié)果的全部條件同時具備時，結(jié)果才發(fā)生，種因果關(guān)系叫邏輯與，或叫邏輯相乘。條件：開關(guān)閉合結(jié)果：燈亮ABY

ABY斷開斷開不亮斷開閉合不亮閉合斷開不亮閉合閉合燈亮與邏輯功能表下頁返回上頁1表示開關(guān)閉合，燈亮0表示開關(guān)斷開，燈不亮2、真值表

ABY

000010100111與邏輯真值表3、與邏輯表達式Y(jié)=A·B&AYB下頁上頁二、邏輯或1、定義：決定事物結(jié)果的諸條件中只要有任何一個滿足，結(jié)果就會發(fā)生。這種邏輯關(guān)系叫邏輯或，也叫邏輯相加。BYA條件：開關(guān)閉合結(jié)果：燈亮

ABY斷開斷開不亮斷開閉合燈亮閉合斷開燈亮閉合閉合燈亮或邏輯功能表返回下頁返回上頁2、真值表1表示開關(guān)閉合，燈亮0表示開關(guān)斷開，燈不亮

ABY

000011101111或邏輯真值表3、或邏輯表達式Y(jié)=A+B≥1

ABY下頁返回上頁三、邏輯非1、定義：只要條件具備了，結(jié)果就不會發(fā)生；而條件不具備時，結(jié)果一定發(fā)生這種邏輯關(guān)系叫邏輯非，也叫邏輯求反。條件：開關(guān)閉合結(jié)果：燈亮

AY

斷開燈亮閉合不亮非邏輯功能表AY下頁返回上頁2、真值表1表示開關(guān)閉合，燈亮0表示開關(guān)斷開，燈不亮

AY

0110

非邏輯真值表3、非邏輯表達式Y(jié)=A1AY下頁返回上頁三、圖形符號&AYB1AY≥1

ABYYABYABYA與或非下頁返回上頁四、復(fù)合邏輯運算&AYBYAB

ABY

001011101110與非邏輯真值表與非邏輯表達式1.與非門下頁返回上頁2.或非門

ABY

001010100110或非邏輯真值表或非邏輯表達式≥1

ABYYAB下頁返回上頁3.與或非門ABCDYY&AB&CD≥1

YDCAB≥1&下頁返回上頁4.異或門兩輸入變量A、B不同時，輸出Y為1而A、B相同時，輸出Y為0

ABY

000011101110異或邏輯真值表YAB=1AYB下頁返回上頁5.同或門兩輸入變量A、B相同時，輸出Y為1而A、B不同時，輸出Y為0

ABY

001010100111異或邏輯真值表=AYBYABY=A⊙B下頁返回上頁五.總結(jié)基本邏輯運算邏輯或邏輯與邏輯非可組合實現(xiàn)各種復(fù)合邏輯運算1.5.3

邏輯代數(shù)的定律與規(guī)則1邏輯代數(shù)的基本定律下頁返回上頁一、基本公式下頁返回上頁下頁返回上頁結(jié)合律交換律分配律下頁返回上頁德·摩根定理還原律下頁返回上頁二、常用公式下頁返回上頁2邏輯代數(shù)的基本規(guī)則在任何一個包含變量A的邏輯等式中，若以另外一個邏輯式代入式中所有A的位置，則等式仍然成立。一、代入規(guī)則例：注意：遵守“括號、乘、加”的運算優(yōu)先次序下頁返回上頁二、反演規(guī)測對任一邏輯式Y(jié)，若將其中所有的乘換成加，加換成乘，0換成1，1換成0，原變量換成反變量，反變量換成原變量，保持原運算順序不變，則得到的結(jié)果就是Y的反。若則下頁返回上頁若則注意：Δ

遵守“括號、乘、加”的運算優(yōu)先次序Δ

不屬于單個變量上的反號應(yīng)保留不變下頁返回上頁三、對偶規(guī)則若兩邏輯式相等，則它們的對偶式也相等。對偶式：對于任何一個邏輯式Y(jié)，若將其中的“·”換成“+”，“+”換成“·”，0換成1，1換成0，則得到一個新的邏輯式Y(jié)′，則Y′叫做Y的對偶式下頁返回上頁若若下頁返回上頁必須掌握基本公式常用公式導(dǎo)出盡可能多掌握常用公式1.5.4邏輯函數(shù)的表示方法邏輯真值表邏輯函數(shù)表達式

卡諾圖邏輯圖下頁返回上頁1.5.4邏輯函數(shù)的表示方法一、邏輯真值表以三人表決電路為例，輸入變量為1表示同意，0表示不同意輸出（函數(shù)）為1表示通過，0表示沒通過將輸入變量所有的取值下對應(yīng)的輸出值找出來列成表格，即可得到真值表。下頁返回上頁ABCY00000101001110010111011100010111三人表決電路真值表下頁返回上頁二、邏輯函數(shù)式把輸入與輸出之間的邏輯關(guān)系寫成與、或、非等運算的組合式，就得到了邏輯函數(shù)式。邏輯函數(shù)式:下頁返回上頁三、邏輯圖將邏輯函數(shù)中各變量之間的與、或、非等邏輯關(guān)系用圖形符號表示出來，就可畫出表示函數(shù)關(guān)系的邏輯圖&AB≥1

Y&AC&BD四、卡諾圖是邏輯函數(shù)的圖形表示方法，實際上是真值表的一種變形，與真值表具有一一對應(yīng)的關(guān)系。下頁返回上頁四、各種方法間的互相轉(zhuǎn)換1、從真值表寫出邏輯函數(shù)式一般方法：（1）找出真值表中是邏輯函數(shù)為1的那些輸入變量取值的組合；（2）每組輸入變量取值的組合對應(yīng)一個乘積項，其中取值為1的寫入原變量，取值為0的寫入反變量；（3）將這些乘積項相加，即得輸出的邏輯函數(shù)式。下頁返回上頁ABCY000001010011100101110111

000

1

0

1

1

1例：下頁返回上頁2、從邏輯函數(shù)式列出真值表將輸入變量取值的所有組合狀態(tài)逐一代入邏輯式求出函數(shù)值，列成表。例如:已知邏輯函數(shù)表達式求它對應(yīng)的真值表下頁返回上頁111100110000001000010001000001010011100101110111YABCBCABC下頁返回上頁3、從邏輯函數(shù)式畫出邏輯圖用圖形符號代替邏輯式中的運算符號例：已知邏輯函數(shù)為畫出對應(yīng)的邏輯圖&C1A≥1

1B&&≥1

Y下頁返回上頁4、從邏輯圖寫出邏輯式從輸入端到輸出端逐級寫出每個圖形符號對應(yīng)的邏輯式，即可得到對應(yīng)的邏輯式。&CB1A≥1

Y11&≥1

下頁返回上頁一、最小項1、定義：在n變量邏輯函數(shù)中，若m為包含n個因子的乘積項，而且這幾個變量均以原變量或反變量的形式在m中出現(xiàn)一次，則稱m為該組變量的最小項。2、n變量的最小項應(yīng)為2n個；3、輸入變量的每一組取值都使一個對應(yīng)的最小項的值等于1。1.5.5邏輯函數(shù)的化簡

1.邏輯函數(shù)的兩種標準形式下頁返回上頁最小項使最小項為1的變量取值對應(yīng)的十進制數(shù)編號ABC00000101001110010111011101234567m0m1m2m3m4m5m6m74、在輸入變量的任何取值下必有一個最小項而且僅有一個最小項的值為1;5、全體最小項之和為1;6、任意兩個最小項的乘積為0;7、相鄰性：若兩個最小項只有一個因子不同則這兩個最小項具有相鄰性。8、具有相鄰性的兩個最小項之和可以合并成一項并消去一對因子;下頁返回上頁二、最大項1、定義：在n變量邏輯函數(shù)中，若M為n個變量之和，而且這幾個變量均以原變量或反變量的形式在M中出現(xiàn)一次，則稱M為該組變量的最大項。2、n變量的最大項應(yīng)為2n個。3、輸入變量的每一組取值都使一個對應(yīng)的最大項的值等于0。下頁返回上頁最大項使最大項為0的變量取值對應(yīng)的十進制數(shù)編號ABC00000101001110010111011101234567M0M1M2M3M4M5M6M7下頁返回上頁4、在輸入變量的任何取值下必有一個最大項而且僅有一個最大項的值為0；5、全體最大項之積為0；6、任意兩個最大項的和為1；7、相鄰性：若兩個最大項只有一個因子不同則這兩個最大項具有相鄰性。8、具有相鄰性的兩個最大項之積可以合并成一項并消去一對不同的因子;下頁返回上頁三、最大項和最小項之間的關(guān)系例如下頁返回上頁四、邏輯函數(shù)的最小項之和形式可以把任何一個邏輯函數(shù)化為最小項之和的標準形式利用下頁返回上頁例如，給定邏輯函數(shù)則可化為下頁返回上頁例：將邏輯函數(shù)展開為最小項之和的形式下頁返回上頁五、邏輯函數(shù)的最大項之積形式任何一個邏輯函數(shù)都可以化成最大項之積的標準形式若給定則下頁返回上頁例：將邏輯函數(shù)展開成最大項之積的形式解：已求得下頁返回上頁邏輯函數(shù)表示方法真值表函數(shù)式邏輯圖卡諾圖最小項之和最大項之積下頁返回上頁邏輯函數(shù)的表達形式一、與-或式：由幾個乘積項相加組成的邏輯式。三、化簡的目的：得到邏輯函數(shù)的最簡形式。二、最簡與-或式：邏輯式中包含的乘積項已經(jīng)最少，且每個乘積項里的因子也不能再減少。通常先化簡成最簡與-或式，再轉(zhuǎn)換成其他形式下頁返回上頁例：將邏輯函數(shù)化為與非-與非形式解：下頁返回上頁例：將邏輯函數(shù)化為與或非形式解：2邏輯函數(shù)的公式化簡法一、原理：反復(fù)使用邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式消去函數(shù)式中多余的乘積項和多余的因子，以得到函數(shù)式的最簡形式。二、化簡方法：并項法吸收法消項法消因子法配項法下頁返回上頁1.并項法利用公式例：注：A和B可以是任何復(fù)雜的邏輯式，后面的方法亦可同樣理解。下頁返回上頁下頁返回上頁2.吸收法利用公式例：下頁返回上頁下頁返回上頁3.消項法利用公式例：下頁返回上頁下頁返回上頁4.消因子法利用公式例：下頁返回上頁下頁返回上頁5.配項法（1）根據(jù)公式可在邏輯函數(shù)式中重復(fù)寫入某一項；例：下頁返回上頁（2）根據(jù)公式可在邏輯函數(shù)式中的某一項乘例：然后拆成兩項分別與其他項合并。下頁返回上頁6.綜合法下頁返回上頁3

邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法將n變量的全部最小項各用一個小方塊表示，并使具有邏輯相鄰性的最小項在幾何位置上也相鄰地排列起來，所得到的圖形叫做n變量的卡諾圖。一、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法下頁返回上頁m3m2m1m0AB0101m10m11m9m8m14m15m13m12m6m7m5m4m2m3m1m0ABCD0001111000011110m6m7m5m4m2m3m1m00001111001ABC二、表示最小項的卡諾圖兩變量卡諾圖四變量卡諾圖三變量卡諾圖下頁返回上頁三、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)把邏輯函數(shù)化為最小項之和的形式；在卡諾圖上與這些最小項對應(yīng)的位置添1；在其余的位置上添入0；任何一個邏輯函數(shù)都等于它的卡諾圖中添入1的那些最小項之和。下頁返回上頁例：用卡諾圖表示邏輯函數(shù)解：先將邏輯函數(shù)化為最小項之和形式下頁返回上頁1101010000100000ABCD0001111000011110Y下頁返回上頁已知邏輯函數(shù)的卡諾圖，寫出該函數(shù)的邏輯式1000100000000101ABCD0001111000011110Y下頁返回上頁

用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)一、合并最小項的規(guī)則：若兩個最小項相鄰，則可合并為一項并消去一對因子；若四個最小項相鄰并排列成一個矩形組，則可合并為一項并消去兩對因子；若八個最小項相鄰并排列成一個矩形組，則可合并為一項并消去三對因子；個最小項相鄰并排成一個矩形組，如果由則它們可以合并為一項，并消去n對因子。下頁返回上頁011010110001111001ABC0100111010110100ABCD0001111000011110Y合并兩個相鄰最小項下頁返回上頁111111110001111001ABC1101111111111101ABCD00011110