第二章系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

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機(jī)械控制工程基礎(chǔ)第二章系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1系統(tǒng)的微分方程

2.2拉氏變換與反變換2.3傳遞函數(shù)2.4系統(tǒng)方框圖及其簡化2.5反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.6信號流圖與梅遜公式2.7物理系統(tǒng)的傳遞函數(shù)推導(dǎo)2.8本章小結(jié)▼

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學(xué)習(xí)重點(diǎn)簡單物理系統(tǒng)的微分方程和傳遞函數(shù)的列寫及計算；（重點(diǎn)掌握）了解非線性模型的線性化方法；

結(jié)構(gòu)圖和信號流圖的變換與化簡;（重點(diǎn)掌握）

開環(huán)傳遞函數(shù)和閉環(huán)傳遞函數(shù)的推導(dǎo)和計算。1、什么是系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2、研究系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的定義3、數(shù)學(xué)模型的表示形式4、如何建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

自動控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型自動控制系統(tǒng)的任務(wù)是將系統(tǒng)的輸入信號（包括控制輸入與擾動輸入）的變化，及時地、準(zhǔn)確地、穩(wěn)定可靠地傳到系統(tǒng)的輸出端，驅(qū)動執(zhí)行機(jī)構(gòu)動作，使被控量按照輸入信號的要求而變化或保持恒定。數(shù)學(xué)模型定義：描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的表達(dá)式。一般應(yīng)根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際機(jī)構(gòu)參數(shù)及計算所要求的精度忽略一些次要因素，使模型既能反映系統(tǒng)的動態(tài)特性又能簡化分析、計算數(shù)學(xué)模型：描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式。數(shù)學(xué)模型的主要形式：引言數(shù)學(xué)模型微分方程傳遞函數(shù)頻率特性結(jié)構(gòu)框圖信號流圖頻域時域※LL-1Ui(S)U0(S)1/RR1CSR2I1(S)I2(S)I(S)+-U0(S)+建立數(shù)學(xué)模型的方法：解析法（機(jī)理分析法）

根據(jù)系統(tǒng)工作所依據(jù)的物理定律列寫運(yùn)動方程。實(shí)驗法（系統(tǒng)辨識法）

給系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近系統(tǒng)的輸入輸出特性?！?.1系統(tǒng)的微分方程2.1.1建立微分方程模型的步驟分析系統(tǒng)的工作原理，確定輸入量和輸出量；將系統(tǒng)分解為各環(huán)節(jié)，建立各環(huán)節(jié)輸入量、輸出量之間的動態(tài)聯(lián)系。

消去中間變量，求出系統(tǒng)的微分方程。

標(biāo)準(zhǔn)化微分方程。2.1.2系統(tǒng)微分方程的列寫1、機(jī)械平動系統(tǒng)平動即直線運(yùn)動，其主要元件為質(zhì)量、彈簧、阻尼器。（一）機(jī)械系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng)分為平動系統(tǒng)和旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)模型的建立主要應(yīng)用牛頓定理來列寫。mf(t)x(t)質(zhì)量Kf(t)x1(t)x2(t)f(t)彈簧Cf(t)x1(t)x2(t)f(t)阻尼器x2’(t)預(yù)備知識圖2-1機(jī)械移動系統(tǒng)X1X解：取f(t)為輸入量,x為輸出量2、機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)機(jī)械系統(tǒng)用途極其廣泛，其建模方法與平移系統(tǒng)非常相似。只是將平移的質(zhì)量、彈簧、阻尼器分別變成了轉(zhuǎn)動慣量、扭轉(zhuǎn)彈簧和旋轉(zhuǎn)阻尼。BJ-粘性液體圖2-2機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)KJJ例2.2：下圖為在扭矩T作用下的機(jī)械轉(zhuǎn)動系統(tǒng)，包含有慣量、扭轉(zhuǎn)彈簧、回轉(zhuǎn)粘性阻尼。試寫出其微分方程。其中轉(zhuǎn)動慣量為J，轉(zhuǎn)角為θ，回轉(zhuǎn)粘性阻尼系數(shù)為BJ，扭轉(zhuǎn)彈簧剛度為KJ。消去中間變量，整理得微分方程：解：（二）電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)電阻、電感、電容是電路中最基本的三個元件。電氣系統(tǒng)遵循的基本定律為：基爾霍夫電流定律和基爾霍夫電壓定律，并由此來建立電氣系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型。預(yù)備知識

電容兩端電壓為：解：設(shè)電路中電流為i(t)整理得:例2.3無源電器網(wǎng)如圖2-3所示，為輸入電壓，為輸出電壓，列寫其關(guān)于輸入輸出微分方程模型。圖2-3uo(t)Ui(t)CLR機(jī)械系統(tǒng)（a）和電系統(tǒng)（b）具有相同的數(shù)學(xué)模型，故這些物理系統(tǒng)為相似系統(tǒng)。（即電系統(tǒng)為機(jī)械系統(tǒng)的等效網(wǎng)絡(luò)）物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)可有相似的數(shù)學(xué)模型，同一數(shù)學(xué)模型可以描述不同的系統(tǒng)。我們可以利用簡單易實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)（如電的系統(tǒng)）去模擬其它難于實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)（機(jī)械系統(tǒng)）......2.1.3非線性數(shù)學(xué)模型線性化嚴(yán)格地講，線性系統(tǒng)并不存在。所謂的線性系統(tǒng)，也只是在一定的范圍內(nèi)保持其線性關(guān)系。目前，非線性系統(tǒng)理論還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不完善，往往在一定條件下，將描述非線性系統(tǒng)的非線性微分方程線性化處理，使其成為線性微分方程來處理。系統(tǒng)x1(t)x2(t)y2(t)y1(t)系統(tǒng)ax1(t)++bx2(t)ay1(t)+by2(t)通?？刂葡到y(tǒng)工作狀態(tài)為穩(wěn)態(tài)，系統(tǒng)受到各種擾動，產(chǎn)生偏差。線性化即在小偏差范圍內(nèi)用直線代替曲線，即在平衡點(diǎn)附近，用一次線性函數(shù)取代高次函數(shù)。※x1x2y系統(tǒng)對于多元函數(shù)，如y=f(x1,x2)，平衡點(diǎn)為(y0,x10,x20)在平衡點(diǎn)鄰域內(nèi)進(jìn)行小偏差線性化：1）只有一個變量的非線性函數(shù)y=f（x）線性化忽略二階以上各項，可寫成

小偏差線性化的數(shù)學(xué)處理:

※2）具有兩個自變量的非線性函數(shù)，設(shè)輸入量為x1(t)和x2(t)，輸出量為y(t)，系統(tǒng)正常工作點(diǎn)為y0＝f(x10,x20)。忽略二階以上各項，可寫成

※.4阻尼：使自由振動衰減的各種摩擦和其他阻礙作用。阻尼器：安置在結(jié)構(gòu)系統(tǒng)上的“特殊”構(gòu)件可以提供運(yùn)動的阻力，耗減運(yùn)動能量的裝置，稱之為阻尼器。工程中常見的阻尼有各種不同的形式，如物體在介質(zhì)（空氣、水、油等）中運(yùn)動時的粘滯阻尼、物體沿接觸面滑動時的干摩擦阻尼等。由實(shí)驗得知：當(dāng)物體以不大的速度在阻尼介質(zhì)中運(yùn)動時，介質(zhì)給與物體的阻尼力近似地與物體速度的一次方成正比，而方向與速度方向相反，即FD=-cvc稱為粘性阻尼系數(shù)單位：N．S/cm§2.3傳遞函數(shù)已知微分方程:定義：當(dāng)零初始狀態(tài)下時，線性定常系統(tǒng)輸出量與輸入量的拉氏變換之比，稱為系統(tǒng)傳遞函數(shù)。G(s)Xi(s)Xo(s)框圖表示系統(tǒng)的變換關(guān)系：2.3.1傳遞函數(shù)的基本概念傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說明：G(s)取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入量的形式（幅度與大小）無關(guān)

；傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運(yùn)動規(guī)律；傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，m≤n，且具有復(fù)變量函數(shù)的所有性質(zhì)；

一個傳遞函數(shù)只能表示一個輸入對一個輸出的關(guān)系，故傳遞函數(shù)只適用于單輸入單輸出系統(tǒng)；傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)，否則拉氏變換無法導(dǎo)出.2.3.2關(guān)于傳遞函數(shù)的幾個術(shù)語令N(S)=0的根稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；令D(S)=0的根稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母多項式稱為特征多項式，D(S)=0稱為特征方程，極點(diǎn)稱為特征根。根據(jù)多項式定理，傳遞函數(shù)的一般形式也可寫成：2.3.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)具有某種確定信息傳遞關(guān)系的元件、元件組或元件的一部分稱為一個環(huán)節(jié)；任何復(fù)雜系統(tǒng)可看做由一些基本的環(huán)節(jié)組成，控制系統(tǒng)中常用的典型環(huán)節(jié)有：比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和延遲環(huán)節(jié)等。tt1xo(t)0xi(t)KXo(s)Xi(s)z1xoz2xi

1、比例環(huán)節(jié)：()()()KsXsXsGio==T()()txKtxio=

()tui()tuo

2R

1R

例1:2、積分環(huán)節(jié)：Xo(s)Xi(s)txo(t)0xi(t)當(dāng)輸入為階躍函數(shù)時：uoR++-CRici1ui例2：圖示放大器積分電路，3、微分環(huán)節(jié)：例3：圖示放大器微分電路。RuoR++-ici1uiCτsXi(s)Xo(s)4、慣性環(huán)節(jié)：Xi(s)Xo(s)RuiCiuo例4：如圖所示電路。當(dāng)輸入為階躍函數(shù)時：txo(t)0xi(t)5、振蕩環(huán)節(jié)：tξ=0.2ξ=0.5ξ=101Xi(s)Xo(s)例5：如圖所示電路。6、一階微分環(huán)節(jié)：TDs+1Xi(s)Xo(s)7、二階微分環(huán)節(jié)：Xi(s)Xo(s)8、延遲環(huán)節(jié)：txo(t)0xi(t)※延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別：慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時刻起就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時間才接近所要求的輸出值；延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在0～τ時間內(nèi),沒有輸出，但t=τ之后，輸出完全等于輸入。

Xi(s)Xo(s)2.3.4傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式：1．首1標(biāo)準(zhǔn)型（零、極點(diǎn)形式）2．尾1標(biāo)準(zhǔn)型（典型環(huán)節(jié)形式）

1．首1標(biāo)準(zhǔn)型（零、極點(diǎn)形式）2．尾1標(biāo)準(zhǔn)型（典型環(huán)節(jié)形式）

2．尾1標(biāo)準(zhǔn)型（典型環(huán)節(jié)形式）

§2.4系統(tǒng)方框圖及其簡化2.4.1系統(tǒng)方框圖1、方框圖的概念

方框圖也是描述系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型，構(gòu)成方框圖的基本符號有四種:X(S)信號線相加點(diǎn)X2(S)X3(S)X1(s)_+環(huán)節(jié)方框G(s)X2(S)Xi(S)分支點(diǎn)X3(S)X2(S)X1(S)G1H1H2YB1B2+E--X例：求圖示系統(tǒng)閉環(huán)傳函。2、方框圖的連接形式G2(s)G1(s)Xo(s)X(s)Xi(s)1）串聯(lián)連接Xi(s)Xo(s)簡化為：2）并聯(lián)連接簡化為：Xi(s)Xo(s)Xo(s)Xi(s)X2(s)X1(s)G1(s)++G2(s)HX2+X1GX2+X1反饋連接：Xi(s)Xo(s)G(s)H(s)3）反饋連接※

注意區(qū)分反饋與并聯(lián)：Xi(s)Xo(s)簡化為：G1G2G1G2G1G2GHG1±

G2總結(jié)3、系統(tǒng)方框圖的建立列寫關(guān)于各元部件的原始微分方程；求取各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)，畫出個體方框圖

從輸入端入手，按信號流向依次連接成整體方框圖，即系統(tǒng)方框圖

繪制方框圖的步驟對微分方程組進(jìn)行拉氏變換，得到相應(yīng)的S空間代數(shù)方程組；①②③④例：如圖所示無源電路網(wǎng)，設(shè)輸入端電壓ui(t)，輸出端電壓為uo(t),畫出相應(yīng)方框圖。解：①列寫各環(huán)節(jié)的微分方程，得i1i2

CR1R2uiuoi(4)(3)(2)(1)②零初始條件下，進(jìn)行拉氏變換，得由(2)式有：對(1)式進(jìn)行等效變換有：③畫出個體方框圖由(3)式有：由(4)式有：1/R1+-(1)(2)R1Cs(3)

R2+(4)④按信號流向依次連接成整體方框圖，即系統(tǒng)方框圖如下：1/R1R1CsR2+-?思考：如何化簡？1/R1R1CsR2+-系統(tǒng)方框圖的化簡：Step1:串聯(lián)環(huán)節(jié)等效變換.1/R1R1CsR2+-Step2:并聯(lián)環(huán)節(jié)等效變換.1/R11+R1CsR2-Step3:串聯(lián)環(huán)節(jié)等效變換.（1+R1Cs）R2/R1-Step4:反饋環(huán)節(jié)等效變換.4、方框圖的化簡對于復(fù)雜控制系統(tǒng)，其方框圖甚為復(fù)雜，為便于分析和計算，需將其化簡。通常化簡方法有：方框圖等效化簡利用梅遜增益法化簡2.4.2方框圖的等效變換思路：通過變換相加點(diǎn)和分支點(diǎn)的位置來實(shí)現(xiàn)的，變換中主要掌握好如下兩點(diǎn)：①前向通道中各傳遞函數(shù)的乘積不變；②反饋回路中傳遞函數(shù)的乘積不變；通過等效變換將方框圖變換成具有串聯(lián)，并聯(lián)和局部反饋連接的結(jié)構(gòu)圖，最終變換為輸入量對輸出量的一個方框?！娇驁D等效變換法則：GGGGG1/GGGGGG1/G（重點(diǎn)掌握）例:簡化如圖所示系統(tǒng)方框圖。+-G1-+XiG2XoG3H2H1①③②ABC-+方法一：將相加點(diǎn)2后移，然后與相加點(diǎn)3交換；+-G1-+XiG2XoG3H2H1①③②ABC+-G1-+XiG2XoG3H2?①③②ABC-+-+方法二：將相加點(diǎn)3前移，然后與相加點(diǎn)2交換；+-G1-+XiG2XoG3H2H1①③②ABC方法三：分支點(diǎn)A后移；+-G1-+XiG2XoG3H2H1①③②ABC方法四：分支點(diǎn)B前移；-+-+方框圖化簡步驟小結(jié)：

確定輸入量和輸出量；若結(jié)構(gòu)圖中有交叉連接，應(yīng)運(yùn)用移動規(guī)則，首先將交叉連接消除，化為無交叉的多回路結(jié)構(gòu)；對多回路結(jié)構(gòu)，可由內(nèi)向外進(jìn)行變換，直至變換為一個等效的方框，即得到所求的傳遞函數(shù)?！⒁馐马棧河行л斎胄盘査鶎?yīng)的相加點(diǎn)盡量不要移動；盡量避免相加點(diǎn)和分支點(diǎn)之間的移動。§2.6信號流圖與梅遜公式信號流圖是另一種表示復(fù)雜系統(tǒng)中變量之間關(guān)系的圖解方法。

2.6.1信號流圖中的術(shù)語

(1)節(jié)點(diǎn)

表示變量或信號的點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)，用“○”表示，在“○”旁邊注上信號的代號。(2)源點(diǎn)

只有輸出的節(jié)點(diǎn)稱為源點(diǎn)或稱為輸入節(jié)點(diǎn)。它一般表示系統(tǒng)的輸入變量。(3)匯點(diǎn)

只有輸入的節(jié)點(diǎn)稱為匯點(diǎn)或稱為輸出節(jié)點(diǎn)。它一般表示系統(tǒng)的輸出變量。(4)混合節(jié)點(diǎn)

既有輸入又有輸出的節(jié)點(diǎn)稱為混合節(jié)點(diǎn)。(5)支路

定向線段稱為支路，其上的箭頭表明信號的流向，各支路上還標(biāo)明了增益，即支路的傳遞函數(shù)。(6)通路

從某一節(jié)點(diǎn)開始，沿支路箭頭方向經(jīng)過各相連支路到另一節(jié)點(diǎn)（或同一節(jié)點(diǎn)）構(gòu)成的路徑，稱為通路。通路中各支路傳輸?shù)某朔e稱為通路傳輸（通路增益）。(7)前向通路

是指從源點(diǎn)開始并終止于匯點(diǎn)且與其他節(jié)點(diǎn)相交不多于一次的通路，該通路的各傳輸乘積稱為前向通路增益。(8)回路

如果通路的終點(diǎn)就是通路的起點(diǎn)，并且與任何其他節(jié)點(diǎn)相交不多于一次的通路稱為回路。(9)回路增益

回環(huán)中各支路傳輸?shù)某朔e稱為回路增益（或傳輸）。(10)不接觸回路

如果一信號流圖有多個回路，各回路之間沒有任何公共節(jié)點(diǎn)，就稱為不接觸回路，反之稱為接觸回路。

(11)自回路

只有一個節(jié)點(diǎn)相交的回路稱為自回路。2.6.2梅遜增益公式

式中：

P——系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)；

Pk——第k

條前向通道的傳遞函數(shù)；

n

——從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的前向通路數(shù)；

——信號流圖的特征式；

特征式的意義為：

——信號流圖中所有不同回路的傳輸之和；

——每兩個互不接觸回路的傳輸乘積之和；——每三個互不接觸回路的傳輸乘積之和；

——稱為第k條通路特征式的余因子，是在中除去與第k條前向通路相接觸的各回路傳輸（即將其置零）。

+-G1-+XiG2XoG3H2H1G4+-+例：利用梅遜公式求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

XiXo1G11G2G311G4-H2-H1解：-1Xi(s)+G1(s)E(s)B(s)H(s)Xo(s)-N(s)+C(s)+G2(s)（圖a）§2.5反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2.5.1系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

若將H（s）的輸出通道斷開，這時前向通道傳遞函數(shù)與反饋通道傳遞函數(shù)的乘積G1(s)G2(s)H(s)稱為該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。Gk(s)稱為閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。設(shè)輸入為Xi（s），視干擾N（s）=0，輸出為Xoi（s）。Xi(s)+G1(s)H(s)Xoi(s)-N(s)+G2(s)+（圖b）2.5.2Xi（t）作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)

注：

開環(huán)傳遞函數(shù)是閉環(huán)控制系統(tǒng)的一個重要概念，它并不是開環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，而是指閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。設(shè)輸入為N（s），視Xi（s）=0，輸出為XOn（s）。N(s)H(s)C(s)B(s)Xon(s)+G2（s）+（圖c）G1(s)-Xi(s)=0+E(s)2.5.3干擾