最小二乘法及matlab程序

最小二乘法及matlab程序最小二乘法簡介：最小二乘法(又稱最小平方法)是一種數(shù)學優(yōu)化技術。它通過最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。利用最小二乘法可以簡便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。最小二乘法還可用于曲線擬合。其他一些優(yōu)化問題也可通過最小化能量或最大化熵用最小二乘法來表達。最小二乘法的矩陣形式：Axb若未知量的個數(shù)大于方程的個數(shù)，則方程無解，但在數(shù)值計算領域，我們通常是計算min||Axb||,解出其中的x。比較直觀的做法是求解AAxAtQ但通常比較低效。其中一種常見的解法是對A進行QR分解(A=QR，其中Q是nk正交矩陣(OrthonormalMatrix)，R是nk上三角矩陣(UpperTriangularMatrix)，貝Q有：minAxb|min|QRxbminRxQ1b。Matlab命令：一次函數(shù)線性擬合使用polyfit(x,y,1)；多項式函數(shù)線性擬合使用polyfit(x,y,n),n為次數(shù)；例如：X=[,,,,,]；y=[,,,,,];p=polyfit(x,y,2)x1=::;y1=polyval(p,x1);plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')計算結果為：

即所得多項式為y=A2++然后可以使用polyval在t處預測：y_hat=polyval(p,t)非線性函數(shù)使用：Isqcurvefit、nlinfit格式：格式：lsqcurvefit(f,a,x,y)、nlinfit(x,y,f,a)f：符號函數(shù)句柄，如果是以m文件的形式調用的時候，別忘記加@這里需要注意,f函數(shù)的返回取最小值，具體看下面的例子)。如上面的問題如果我們預估A為1,B我們現(xiàn)在已經(jīng)有多組(x,y)的數(shù)據(jù)，我們值是和取最小值，具體看下面的例子)。如上面的問題如果我們預估A為1,B我們現(xiàn)在已經(jīng)有多組(x,y)的數(shù)據(jù)，我們?yōu)?,則a=[12]x：我們已經(jīng)獲知的x的值y：我們已經(jīng)獲知的X對應的y的值例子1：問題：對于函數(shù)y=a*sin(x)*exp(x)-b/log(x)要求最佳的a,b值%!對上面的問題，我們可以來演示下如何使用這個函數(shù)以及看下其效果x=2:10;y=8*sin(x).*exp(x)-12./log(x);%上面假如是我們事先獲得的值a=[12];f=@(a,x)a(1)*sin(x).*exp(x)-a(2)./log(x);%第一種方法使用Isqcurvefitlsqcurvefit(f,a,x,y)ans=%和我們預期的值8和12結合得非常好%第二種方法使用nlinfitnlinfit(x,y,f,a)ans=Q%**********************************%另一種方法，假如我們寫了一個如下的m文件functionf=test(a,x)f=a(1)*sin(x).*exp(x)-a(2)./log(x);end%則在上面Isqcurvefit函數(shù)調用如下，不要忘記那個@lsqcurvefit(@test,a,x,y)例子2:(多元的情況，注意看格式)問題：我們已知z=a*(exp(y)+1)-sin(x)*b且有多組(x,y,z)的值，現(xiàn)在求最佳系數(shù)a,bx=2:10;y=10*sin(x)./log(x);z=*(exp(y)+1)-sin(x)*;f=@(a,x)a(1)*(exp(x(2,:))+1)-sin(x(1,:))*a(2);%第一種方法使用Isqcurvefitlsqcurvefit(f,[12],[x;y],z)%注意這里面的[x;y],這里