函數(shù)定義域的類型和求法

函數(shù)定義域的類型和求法1.當(dāng)函數(shù)是整式時(shí)例如那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R。2.如果函數(shù)中含有分式,那么函數(shù)的分母必須不為零。3.如果函數(shù)中含有偶次根式,那么根號(hào)內(nèi)的式子必須不小于零。4.零的零次冪沒(méi)有意義,即f(x)=x0，x≠0。5.對(duì)數(shù)的真數(shù)必須大于零。6.對(duì)數(shù)的底數(shù)滿足大于零且不等于1。求函數(shù)定義域注意以下幾點(diǎn)：一、常規(guī)型即給出函數(shù)的解析式的定義域求法,其解法是由解析式有意義列出關(guān)于自變量的不等式或不等式組,解此不等式(或組)即得原函數(shù)的定義域。例1求函數(shù)的定義域。解:要使函數(shù)有意義,則必須滿足由①解得x≤-3或x≥5 ③由②解得x≠5或x≠-11④由③和④求交集得x≤-3且x≠-11或x>5故所求函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≤-3且x≠-11}∪{x|x>5}。例2求函數(shù)的定義域。解：要使函數(shù)有意義，則必須滿足由①解得2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z ③

由②解得-4<x<4 ④由③和④求公共部分，得-4<x≤-π或0<x≤π故函數(shù)的定義域?yàn)?-4,-π]∪(0,π]③和④怎樣求公共部分？你會(huì)嗎？(-2,-1]∪[1,2)(2≤x<4且x≠3（1/2,1]X≥1/10,且x≠1）二、抽象函數(shù)型抽象函數(shù)是指沒(méi)有給出解析式的函數(shù)，不能常規(guī)方法求解，一般表示為已知一個(gè)抽象函數(shù)的定義域求另一個(gè)抽象函數(shù)的解析式，一般有兩種情況。(1)已知f(x)的定義域,求f[g(x)]的定義域。其解法是:已知f(x)的定義域是[a,b]求f[g(x)]的定義域是解a≤g(x)≤b,即為所求的定義域。例1已知f(x)的定義域?yàn)閇－2,2],求f(x2-1)的定義域。解：令-2≤x2-1≤2，得-1≤x2≤3，即0≤x2≤3，因此，從而故函數(shù)的定義域是（2）已知f[g(x)]的定義域，求f(x)的定義域。其解法是：已知f[g(x)]的定義域是［a，b］，求f(x)定義域的方法是：由a≤x≤b，求g(x)的值域，即所求f(x)的定義域。例2已知f(2x+1)的定義域?yàn)椋?,2］,求f(x)的定義域。解：因?yàn)?≤x≤2,2≤2x≤4,3≤2x+1≤5.即函數(shù)f(x)的定義域是{x|3≤x≤5}。(3)已知f(2x-1)的定義域是[0,1],求f(3x)的定義域。解:因?yàn)?≤x≤1,0≤2x≤2,-1≤2x-1≤1.所以函數(shù)f(3x)的定義域是-1≤3x≤1即

{x|-1/3≤x≤1/3}。例4若f(x)的定義域?yàn)閇－3，5],求g(x)＝f(－x)＋f(x2)的定義域．解：由f(x)的定義域?yàn)閇－3,5]，則g(x)必有,即解得-≤x≤所以函數(shù)g(x)的定義域?yàn)閇－,]例5已知函數(shù)

的定義域?yàn)镽求實(shí)數(shù)m的取值范圍。分析：函數(shù)的定義域?yàn)镽，表明mx2-6mx+8+m≥0，使一切x∈R都成立，由x2項(xiàng)的系數(shù)是m，所以應(yīng)分m=0或m≠0進(jìn)行討論。解：當(dāng)m=0時(shí)，函數(shù)的定義域?yàn)镽；當(dāng)m≠0時(shí)，mx2-6mx+8+m≥0是二次不等式,其對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立的充要條件是綜上可知0≤m≤1。注:不少同學(xué)容易忽略m=0的情況,希望通過(guò)此例解決問(wèn)題。例6已知函數(shù)

的定義域是R，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。解:要使函數(shù)有意義,則必須kx2+4kx+3≠0恒成立,因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)镽,即kx2+4kx+3=0無(wú)實(shí)數(shù)根①當(dāng)k≠0時(shí)，△=16k2-4×3k<0恒成立，解得②當(dāng)k=0時(shí)，方程左邊=3≠0恒成立。綜上k的取值范圍是四.實(shí)際問(wèn)題型:函數(shù)的定義域除滿足解析式外,要注意問(wèn)題的實(shí)際意義對(duì)自變量的限制,須要加倍注意,并形成意識(shí)。例7將長(zhǎng)為a的鐵絲折成矩形，求矩形面積y關(guān)于一邊長(zhǎng)x的函數(shù)的解析式，并求函數(shù)的定義域。解:設(shè)矩形一邊為x,則另一邊長(zhǎng)為于是可得矩形面積由問(wèn)題的實(shí)際意義，知函數(shù)的定義域應(yīng)滿足故所求函數(shù)的解析式為,定義域?yàn)?0,)五、參數(shù)型對(duì)于含參數(shù)的函數(shù),求定義域時(shí),必須對(duì)字母分類討論。例9已知f(x)的定義域?yàn)閇0,1],求函數(shù)F(x)=f(x+a)+f(x-a)的定義域。解：因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)椋?,1］，即0≤x≤1。故函數(shù)F(x)的定義域?yàn)橄铝胁坏仁浇M的解集：，即即兩個(gè)區(qū)間［－a,1－a］與［a,1+a］的交集，比較兩個(gè)區(qū)間左、右端點(diǎn)，知(1)當(dāng)時(shí)，F(xiàn)(x)的定義域?yàn)閧x|-a≤x≤1+a}；(2)當(dāng)時(shí)，F(xiàn)(x)的定義域?yàn)閧x|a≤x≤1-a}；(3)當(dāng)或

時(shí),上述兩區(qū)間的交集為空集,此時(shí)F(x)不能構(gòu)成函數(shù)。在區(qū)間(-1,1]上是增函數(shù)，在區(qū)間[1,3)上是減函數(shù)。對(duì)稱軸x=1,由二次函數(shù)的單調(diào)性,可知t在區(qū)間(-∞,1]上是增函數(shù);在區(qū)間[1,+∞)上是減函數(shù),而六、隱含型有些問(wèn)題從表面上看并不求定義域，但是不注意定義域，往往導(dǎo)致錯(cuò)解，事實(shí)上定義域隱含在問(wèn)題中，例如函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集。因此，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須先求定義域。例10求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。解：由-x2+2x+3>0,即x2-2x-3<0，解得-1<x<3。即函數(shù)y的定義域?yàn)椋ǎ?，3）。函數(shù)是由函數(shù)復(fù)合而成的。在其定義域上單調(diào)增；(-1,3)∩(-∞,1]=(-1,1],(-1,3)∩[1,+∞)=[1,3),，所以函數(shù)令g(x)=(1-a^2)x^2+3(1-a)x+6(1)由題意可知g(x)>=0恒成立所以判別式<0且(1-a^2)>0即g(x)開(kāi)口向上且與