復(fù)變函數(shù) 洛朗展式

第四章級(jí)數(shù)§4.3洛朗級(jí)數(shù)學(xué)習(xí)要點(diǎn)熟練掌握函數(shù)的Laurent級(jí)數(shù)展開(kāi)式掌握Laurent級(jí)數(shù)展開(kāi)定理

本節(jié)將討論在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)的級(jí)數(shù)表示法。它是后面將要研究的解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的性質(zhì)以及定義留數(shù)數(shù)和計(jì)算留數(shù)的基礎(chǔ)。一、引入回顧：思考：例：的級(jí)數(shù)稱為洛朗級(jí)數(shù)負(fù)冪項(xiàng)部分正冪項(xiàng)(包括常數(shù)項(xiàng))部分二、洛朗(Laurent)級(jí)數(shù)（含有負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)）定義收斂域：z0R1R2z0R2R1注：(2)在圓環(huán)域的邊界z-

z0=R1,

z-

z0=R2上,三、洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)定理定理證明zz0R1DC2C1I1I2證明:由復(fù)連通域上的Cauchy積分公式：R2zz0C2C1zz0C2C1一個(gè)在某一圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展開(kāi)為含有正、負(fù)冪項(xiàng)的級(jí)數(shù)是唯一的，這個(gè)級(jí)數(shù)就是f(z)的洛朗級(jí)數(shù)。

Dz0R1R2c展開(kāi)式的唯一性分析：Dz0R1R2c注：(2)遇到f(z)在奇點(diǎn)z0的鄰域內(nèi)解析，需要把f(z)展成級(jí)數(shù)，那么就展開(kāi)成Laurent

級(jí)數(shù)。四、函數(shù)的Laurent級(jí)數(shù)展開(kāi)式由唯一性，將函數(shù)展開(kāi)成Laurent級(jí)數(shù)，主要用間接法。例1解答例1解xyo12xyo12xyo12例2解答無(wú)奇點(diǎn)解:注意首項(xiàng)例3解xo12Laurent級(jí)數(shù)先求f(z)的奇點(diǎn)，然后以z0為中心奇點(diǎn)為分隔點(diǎn)，找出z0到無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的所有使f(z)解析的環(huán)域，在環(huán)域上展成級(jí)數(shù)。小結(jié)1.Laurent級(jí)數(shù)與Taylor

級(jí)數(shù)的不同點(diǎn)：Taylor級(jí)數(shù)先展開(kāi)求收斂半徑R,

找出唯一的收斂圓域，展開(kāi)成級(jí)數(shù)。練習(xí)：練習(xí)：解答2解：----z=0及z=1/n

(n=1,2,…)

都是它的奇點(diǎn)五、孤立奇點(diǎn)例如----z=0為孤立奇點(diǎn)----z=1為孤立奇點(diǎn)xyo這說(shuō)明奇點(diǎn)未必是孤立的。以下將f(z)在孤立奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)展成洛朗級(jí)數(shù)，根據(jù)展開(kāi)式的不同情況，將孤立點(diǎn)進(jìn)行分類。1、孤立奇點(diǎn)的分類與性質(zhì)z0是f(z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，在z0的去心鄰域內(nèi)，若f(z)的洛朗級(jí)數(shù)例例“”

若z0為f(z)的m階極點(diǎn)證明證明：由題意知，例1例2例3例4解答例1例2解

函數(shù)1/sinz的奇點(diǎn)顯然是使sinz=0的點(diǎn).這些奇點(diǎn)是z=kp

(k=0,1,2,…).由于(sinz)'|z=kp=cosz|z=kp=(-1)k0,所以z=kp

是sinz的一階零點(diǎn),也就是1/sinz的一階極點(diǎn).解顯然，z=i是(1+z2)的一階零點(diǎn)例3例4解答：在這個(gè)區(qū)域內(nèi)，f(z)有洛朗級(jí)數(shù)展式：令，按照R>0或R=0，我們得到在2.解析函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性質(zhì)定理9.1設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域內(nèi)解析，那么是f(z)的可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)的必要與充分條件是：存在著極限、無(wú)窮極限或不存在有限或無(wú)窮的極限。系9.1設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域內(nèi)解析，那么是f(z)的可去奇點(diǎn)的必要與充分條件是存在著某一個(gè)正數(shù)，使得f(z)在內(nèi)有界。

整函數(shù)：如果f(z)在有限復(fù)平面C上解析，那么它就稱為一個(gè)整函數(shù)。2)當(dāng)f(z)是n(>0)次多項(xiàng)式時(shí)，無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)是它

的n階極點(diǎn)；六、整函數(shù)與亞純函數(shù)的概念顯然無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)是整函數(shù)的孤立奇點(diǎn)。當(dāng)f(z)恒等于一個(gè)常數(shù)時(shí)，無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)是它

的可去奇點(diǎn)；3)在其它情況下，無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)是f(z)的本性奇點(diǎn)，

這時(shí)稱f(z)為一個(gè)超越整函數(shù)。代數(shù)基本定理：證明：設(shè)我們要證明整函數(shù)P(z)至少有一個(gè)零點(diǎn)。反證之，假定P(z)沒(méi)有零點(diǎn)，那么也是一個(gè)整函數(shù)，又因?yàn)樗晕覀冇卸ɡ碓O(shè)f(z)是一個(gè)整函數(shù)證明：從而f(z)有界，由劉維爾定理，f(z)恒等于一個(gè)常數(shù)。如果函數(shù)f(z)在有限平面上除去有限極點(diǎn)外，到處解析，那么它就稱為一個(gè)亞純函數(shù)。亞純函數(shù)是整函數(shù)的推廣，它可