FEM-01 緒論及彈性力學基礎

有限元方法與應用

授課教師：蔡志勤鄭勇剛

于申

彭海軍葉宏飛張有為參考書目張昭，蔡志勤.《有限元方法與應用》，大連理工大學出版社，2011考核方式大作業(yè)（3000-5000字），滿分：100分。

以小論文的格式，交電子版作業(yè)。 葉宏飛聯(lián)系方式：yehf@聯(lián)系地址：綜合實驗1號樓506作業(yè)提交Email：youxianyuan304@163.com2課堂紀律論文考核基本要求文件命名規(guī)則：學號+姓名+院(系)格式：pdf論文內容包含：

①題目；

②作者姓名+學號+手機號碼+郵箱；

③摘要；

④正文；

⑤結論；

⑥參考文獻（不少于6篇）；論文要求：

①獨立完成、杜絕抄襲；

②3000-5000字；

③截取計算結果圖片時需保留計算時間等信息；

④所取圖片未帶有時間、或者時間標識不準確、或者不清晰(有從網(wǎng)絡上拷貝嫌疑)的論文成績?yōu)镕；

⑤提交論文后留意信箱和手機。3有限元方法的發(fā)展背景

每一種自然現(xiàn)象的背后都有相應的物理規(guī)律，對物理規(guī)律的描述可以借助相關的定理或定律表達為各種形式的方程（代數(shù)、微分、或積分）。這些方程通常稱為控制方程。第一章緒論針對實際的工程問題推導這些方程并不十分困難。然而，要獲得問題的解析的數(shù)學解卻很困難。人們多采用數(shù)值方法給出近似的滿足工程精度要求的解答。有限元方法就是一種應用十分廣泛的數(shù)值分析方法。

4工程和科學中典型問題

在工程技術領域內，經(jīng)常會遇到兩類典型的問題。第一類問題，可以歸結為有限個已知單元體的組合。例如，材料力學中的連續(xù)梁、建筑結構框架和桁架結構。把這類問題稱為離散系統(tǒng)。離散系統(tǒng)：由有限個已經(jīng)完全確定的元件組成的系統(tǒng)，如電阻及電阻網(wǎng)絡，桿件及其組成的桁架，水管及其組成的水管網(wǎng)絡。5

如左圖所示平面桁架結構，是由6個承受軸向力的“桿單元”組成，可以解析獲得內力。盡管簡單離散系統(tǒng)是可解的，但是求解右圖這類復雜的離散系統(tǒng)，要依靠計算機技術。桿系結構6工程和科學中典型問題

第二類問題，通?？梢越⑺鼈儜裱幕痉匠?，即微分方程和相應的邊界條件。例如彈性力學問題，熱傳導問題，電磁場問題等。由于建立基本方程所研究的對象通常是無限小的單元，這類問題稱為連續(xù)系統(tǒng)，或場問題。連續(xù)系統(tǒng)：可以被無限分割，其中的問題只有利用無窮小的數(shù)學觀念才能定義，意味著由無限個單元組成。如一塊受力平板，一個活塞，一根軸等。7工程和科學中典型問題

盡管已經(jīng)建立了連續(xù)系統(tǒng)的基本方程，由于邊界條件的限制，通常只能得到少數(shù)簡單問題的精確解答。對于許多實際的工程問題，還無法給出精確的解答，例如圖示V6引擎在工作中的溫度分布。為解決這個困難，工程師們和數(shù)學家們提出了許多近似方法。8工程和科學中典型問題

工程問題的求解思路連續(xù)問題的一般描述—微分方程+邊界條件9工程和科學中典型問題

數(shù)值計算方法分類

方法特點優(yōu)缺點有限差分法離散求解域；差分代替微分；解代數(shù)方程組要求規(guī)則邊界，幾何形狀復雜時精度低等效積分法（加權余量法或泛函變分法）整體場函數(shù)用近似函數(shù)代替；微分方程及定解條件的等效積分轉化為某個泛函的變分，——求極值問題適合簡單問題，復雜問題很難解決有限元法離散求解域；分片連續(xù)函數(shù)近似整體未知場函數(shù)；解線性方程組節(jié)點可任意配置，邊界適應性好；適應任意支撐條件和載荷；計算精度與網(wǎng)格疏密和單元形態(tài)有關，精度可控10有限單元法有限差分法11數(shù)值計算方法比較

有限元方法（TheFiniteElementMethod,FEM）是處理連續(xù)介質問題的一種普遍方法，是計算機問世以后迅速發(fā)展起來的一種分析方法。離散化是有限元方法的基礎。然而，這種思想自古有之。古代人們在計算圓的周長或面積時就采用了離散化的逼近方法：即采用內接多邊形和外切多邊形從兩個不同的方向近似描述圓的周長或面積，當多邊形的邊數(shù)逐步增加時近似值將從這兩個方向逼近真解。魏晉時期的數(shù)學家劉徽：割圓術12有限元法的基本思想和關鍵概念

有限元方法(FiniteElementMethod)：假想把連續(xù)系統(tǒng)分割成數(shù)目有限的單元，單元之間只有在數(shù)目有限的指定點（稱為節(jié)點）處相互連接構成一個單元集合體來代替原來的連續(xù)系統(tǒng)。有限元法的基本思想和關鍵概念

離散化幾何實體模型有限元模型13單元與節(jié)點:單元：即原始結構離散后，滿足一定幾何特性和物理特性的

最小結構域。節(jié)點：單元與單元間的連接點。注意： 節(jié)點是有限元法的重要概念，有限元模型中，相鄰單元的作用通過節(jié)點傳遞，而單元邊界不傳遞力，這是離散結構與實際結構的重大差別。14有限元法的基本思想和關鍵概念

物理上的理解

如果合理地求出各小單元的力學特性，就可以求出單元組合體（離散結構）的力學特性，從而在給定的載荷和約束條件下求出各節(jié)點的位移，求出各單元的應力。由于單元可以有不同的大小、形狀和類型，因此可以求解復雜的工程和科學問題。將連續(xù)體分割（離散）為有限個、且按一定方式相互聯(lián)結在一起的小單元的組合體（單元之間在節(jié)點處鉸接）。用該離散結構（單元組合體）近似代替原來的連續(xù)體。15有限元法的基本思想和關鍵概念

典型單元類型

單元類型單元圖形節(jié)點數(shù)節(jié)點自由度桿單元22梁單元23平面三角形32平面四邊形42軸對稱問題32板殼單元43四面體單元43Turner&CloughArgyrisMeloshJones

Pian

馮康

BesselingZienkiewiczCheungBatheCook錢令希SAPANSYSALGORNASTRANADINA

MARC廣義協(xié)調元無單元法自然單元法樣條有限元有限元并行計算小波有限元自適應有限元

拓展了有限元方法

單元求解區(qū)域上插值

工程應用

工程實踐中高性能計算60年代70~80年代90年代至今體系形成

方法拓展

商用軟件

學科交叉

17有限元法的形成與發(fā)展

1943年在Courant的論文中首次嘗試使用定義三角形域上的分片連續(xù)函數(shù)和最小位能原理相結合求解S.Venant扭轉問題。其本人并沒有發(fā)展這個方法。當時其數(shù)學基礎尚未完全建立起來。1956年M.J.Turner,R.W.Clough,H.C.Martin,L.J.Topp在紐約舉行的航空學會年會上介紹了一種新的計算方法，將矩陣位移法推廣到求解平面應力問題。他們把結構劃分成一個個三角形和矩形的“單元”，利用單元中近似位移函數(shù)，求得單元節(jié)點力與節(jié)點位移關系的單元剛度矩陣。一般認為這是工程學界上有限元法的開端。1960年，Clough在他的名為“Thefiniteelementinplanestressanalysis”的論文中首次提出了有限元(finiteelement)這一術語。約開始于1968年，這一次屬于數(shù)值分析家。數(shù)學家終于認識了有限元的基本原理，事實上它是逼近論、偏微分方程及其變分形式和泛函分析的巧妙結合。18有限元法的形成與發(fā)展

此后，一些應用/計算數(shù)學家、物理學家和工程師從2條分支研究FEM，形成了成熟的理論體系。即：1.FEM離散格式、誤差估計理論、解的收斂性等研究(應用/計算數(shù)學)

研究的目的是建立完整的FEM理論體系，為工程應用奠定必備的理論基礎。2.工程具體問題計算領域(計算物理/計算力學/工程學)

研究的目的是面向具體工程應用問題，主要是離散格式研究，通過考題(Benchmark)分析而不是理論分析驗證解的收斂性，估計誤差，為工程設計優(yōu)化提供指導。InstituteofMechanicalEngineeringandAutomation國內長期從事FEM研究的有錢令希、唐立民、鐘萬勰、石鐘慈、程耿東、龍馭球等。主要從事FEM方法改進、應用和完善研究。19有限元法的形成與發(fā)展

星箭耦合模型火箭模型某型號動車車頭和車身的有限元分析大型集裝箱型船的裝載分析汽車安全性設計中的應用

20有限元法的工程應用21有限元法的工程應用22有限元法的工程應用/disneysnow/StomakhinA,SchroederC,ChaiL,etal.Amaterialpointmethodforsnowsimulation.ACMTransactionsonGraphics,2013,32(4):102.

物質點法（MPM）為陳震教授及其合作者于1992年所提出，該方法可以更好地模擬在沖擊、貫入和金屬加工等問題中的局部化大變形以及沖擊和接觸現(xiàn)象。最近更是被進一步應用于電影特效動畫的制作中，其中基于此方法完成的動畫片《FROZEN》獲得了2013年最佳動畫片的“奧斯卡”獎。70年代初MARC公司推出了第一個商業(yè)非線性有限元程序MARC。1978年HKS公司，推出了Abaqus軟件。1975年非線性求解器ADINA(AutomaticDynamicIncrementalNonlinearAnalysis)1977年MechanicalDynamicsInc.(MDI)公司發(fā)展機械系統(tǒng)仿真軟件ADAMS，應用于機械系統(tǒng)運動學、動力學仿真分析。1988年，LSTC公司，發(fā)行和擴展DYNA程序商業(yè)化版本LS-DYNA。1996年，ANSYS與LSTC公司合作推出了ANSYS/LS-DYNA21世紀后ANSYS公司把其產(chǎn)品擴展為ANSYSMechanical系列，ANSYSCFD（FLUENT/CFX）系列，ANSYSANSOFT系列以及ANSYSWorkbench和EKM等。有限元軟件的發(fā)展23編號軟件名稱開發(fā)單位編程語言(程序規(guī)模)1ANSYSSwansonAnalysisSystem(美國)FORTRAN77(150000行)2ADINAADINA工程公司(美國)FORTRAN(150000行)3MARCMARC公司(美國)FORTRAN4FOR66FOR77(100000行)4NASTRANNASA(美)主持，MSC公司(美)開發(fā)FORTRAN4Assembler(600000行)5ABAQUSHilbitt,Karlson,andSorensen公司(美)FORTRAN77(140000行)6FENRISNTH,SINTEF(挪威)FORTRAN77(160000行)7PAFECPAFEC公司(美)FORTRAN(400000行)8ASKA斯圖加特大學靜動力學研究所(西德)FORTRAN4(600000行)9EALEISE公司(美)ANSIFOR66Assembler(150000行)10SAMCEFL.T.A.S(比利時)FORTRAN4(300000行)11LARSTRAN80斯圖加特大學靜動力學研究所(西德)FORTRAN4FORTRAN77(200000行)12HAJIF系列航空部(中國)FORTRAN4(280000行)常用有限元軟件24SoftwareIntegrationPlatformforEngineeringandScientificComputation//2526SiPESC軟件簡介SiPESC軟件研發(fā)基金（運載學部網(wǎng)站主頁）ANSYS的發(fā)展歷史起步：1970年,在美國賓夕法尼亞洲的匹茲堡建立ANSYS公司；發(fā)展：最近版ANSYS5.7、6.1、7.0、8.0、8.2、9.0、10.0…….15.0、16.0；

ANSYS軟件必須通過7000道標準考題測試才發(fā)行，ANSYS公司于1995年在設計分析類軟件中第一個通過了ISO9001的質量體系認證。

ANSYS公司1996年在北京開設了第一個駐華辦事機構，目前在上海、成都、廣州也有辦事處

典型用戶：航空航天工業(yè)；鐵路行業(yè)；汽車行業(yè)；船舶工業(yè)；建筑行業(yè)；電子工業(yè)；……27ANSYS軟件介紹28ANSYS軟件介紹…...ANSYS軟件主要包括3個部分：前處理模塊、分析計算模塊和后處理模塊。前處理模塊它為用戶提供了一個強大的實體建模及網(wǎng)格劃分工具，用戶可以方便地構造有限元模型，軟件提供了100種以上的單元類型，用來模擬工程中的各種結構和材料。29ANSYS軟件的組成及特點

a).實體建模

參數(shù)化建模；

體素庫及布爾運算；

拖拉、旋轉、拷貝、蒙皮、導角等。

b).多種自動網(wǎng)格劃分工具

自由/映射網(wǎng)格劃分工具、智能網(wǎng)格劃分、自適用網(wǎng)格劃分；

復雜幾何體Sweep映射網(wǎng)格生成；

邊界層網(wǎng)格劃分。

c).在幾何模型或FE模型上加載

點載荷

分布載荷

體載荷

函數(shù)載荷

d).可擴展的標準梁截面形狀庫(2)分析計算模塊

包括結構分析（可進行線性分析、非線性分析、高度非線性分析）、流體動力學分析、電磁場分析、聲場分析、壓電分析以及多物理場耦合分析，可模擬多種物理介質的相互作用，具有靈敏度分析及優(yōu)化分析的能力。(3)后處理模塊

可將計算結果以彩色等值線顯示、梯度顯示、矢量顯示、粒子流跡顯示、立體切片顯示、透明及半透明顯示（可看到結構內部）等圖形方式顯示出來，也可將計算結果以圖表、曲線形式顯示或輸出。ANSYS操作界面介紹狀態(tài)欄ANSYS主菜單ANSYS工具欄標準工具欄ANSYS實用菜單ANSYS命令輸入窗口ANSYS圖標按鈕30

大部分的通用有限元軟件都包括：前處理、求解器、后處理三個有邏輯順序的模塊。在進行實際工程分析時，也該按照以上三個模塊來進行。進入求解器進行求解（設定分析步驟，輸出變量）前處理（建模、材料特性、單元選擇及網(wǎng)格劃分）進入后處理（變形圖、等值線圖，列表顯示等后處理）31一般商業(yè)軟件的操作流程本課程的主要內容

基礎知識（彈性力學基礎、變分原理等）

一維結構靜力分析（桿梁單元及應用）

平面結構靜力分析（常用平面單元、等參元）

空間結構靜力分析（四面體、六面體）

結構動力學分析非線性有限元分析溫度場有限元分析32有限元方法與應用

彈性力學基礎材料力學回顧（桿系結構）應力狀態(tài)分析強度理論組合變形壓桿穩(wěn)定能量法動載荷問題疲勞第2章有限元基礎理論——材料力學基本內容

簡單變形

軸向拉壓剪切扭轉彎曲內力應力變形靜不定結構靜定結構34Shear

彈性力學與材料力學的聯(lián)系

——為何要有彈性力學？ 1、研究內容 2、研究對象 3、研究方法彈性力學概念

彈性力學亦稱為彈性理論。主要研究彈性體在外力作用或溫度變化等外界因素下所產(chǎn)生的應力、應變和位移，從而為工程結構或者構件的強度、剛度設計提供理論依據(jù)和計算方法。35研究內容的聯(lián)系：材料力學：彈性變形體在外力作用下的平衡、運動等問題，及相應變形和應力彈性力學：彈性變形體在外力作用下的平衡、運動等問題，及相應變形和應力彈性力學與材料力學的聯(lián)系基本沒有區(qū)別36研究對象的聯(lián)系：材料力學(研究變形體的第一門力學)：

僅為桿、梁、柱、軸等桿狀變形構件彈性力學：

任意形狀變形體彈性力學與材料力學的聯(lián)系彈性力學研究對象更普遍37研究方法的聯(lián)系：材料力學：

要作出一些關于構件變形狀態(tài)或應力分布的假設，例如拉壓、扭轉、彎曲平面假設，數(shù)學推演簡單,但解是近似的彈性力學：

研究是基于無限小單元體展開的，數(shù)學推演復雜，但分析方法嚴密，結論比較精確彈性力學與材料力學的聯(lián)系彈性力學研究方法更嚴密，但也更復雜38工程問題的復雜性是諸多方面因素組成的。如果不分主次考慮所有因素，則問題的復雜，數(shù)學推導的困難，將使得問題無法求解。根據(jù)問題性質，忽略部分暫時不必考慮的因素，提出一些基本假設。使問題的研究限