物理-流體第2章

第二章流體靜力學工程流體力學第一節(jié)流體靜壓強及特性當流體處于平衡或相對平衡狀態(tài)時,作用在流體上的應(yīng)力只有法向應(yīng)力而沒有切向應(yīng)力,流體作用面上負的法向應(yīng)力就是靜壓強流體靜壓強的兩個特性：特性一：流體靜壓強的作用方向沿作用面的內(nèi)法線方向流體靜壓強及其特性邊長

δx、δy、δz

靜壓強

Px、Py、Pz和Pn

密度

ρ單位質(zhì)量力的分量fx、fy、fz流體靜壓強及其特性第一節(jié)流體靜壓強及特性

特性二：靜壓強與作用面在空間的方位無關(guān)，只是坐標點的連續(xù)可微函數(shù)力在x方向的平衡方程為

由于

忽略無窮小量流體靜壓強及其特性※證明在靜止流體內(nèi)部,壓強只是點的坐標的連續(xù)函數(shù)靜壓強可表示為：第一節(jié)流體靜壓強及特性

由N-S方程可得歐拉平衡方程常數(shù)時，直接求解，聯(lián)立求解壓強分布體積力壓強梯度00u=v=w=0，

對靜止流體第二節(jié)歐拉平衡微分方程等壓面力函數(shù)1.歐拉平衡微分方程由歐拉平衡方程稱為壓強全微分式，表示體積力在任何方向的投影為該方向的壓強增量。沿等壓面壓強增量為零，即?；蚍Q為等壓面微分方程式，上式表明體積力處處與等壓面垂直。靜止流體中等壓面為水平面;繞垂直軸旋轉(zhuǎn)的流體中，等壓面為旋轉(zhuǎn)拋物面。2.等壓面設(shè)密度分別為ρ1和ρ2

的兩種互不相混的液體放在同一容器中，試證明當它們處于平衡狀態(tài)時其分界面必為等壓面。

[例]

兩種液體的分界面：等壓面

解：在分界面上任取相鄰dr的兩點A和B，dp=pA-pB

。

對液體1dp=ρ1(fxdx+fydy+fzdz)dp=ρ2(fxdx+fydy+fzdz)對液體2兩式分別除以ρ1

和ρ2

，再相減可得

由于ρ1≠ρ2，要使上式成立,只有dp=0，證明分界面必為等壓面。討論：當容器以恒角速度繞中軸旋轉(zhuǎn)，兩種液體均處于相對平衡狀態(tài)時其分界面也是等壓面。

AB即體積力必須有勢：為勢函數(shù)上式成立的充分必要條件是3.1對均質(zhì)流體，ρ

=常數(shù),壓強全微分式化為重力是有勢力因此均質(zhì)流體在重力場中能保持平衡狀態(tài)。3.流體平衡的條件3.2對正壓流體，ρ=ρ(p)

引入一個壓強函數(shù)上式成立的充要條件也是體積力必須有勢。因此正壓流體在重力場中也能保持平衡狀態(tài)。3.3對斜壓流體ρ=ρ(p，T)，可以證明不能在重力場中保持平衡。如赤道和極地的大氣，大范圍的海水等。均質(zhì)流體（如淡水）和正壓流體（如等溫的空氣）在平衡時，等壓面、等勢面、等密度面三者重合：[例]貿(mào)易風：流體平衡條件大氣滿足完全氣體狀態(tài)方程p=RρT

(B1.4.5)

差懸殊，由（B1.4.5）式相應(yīng)的密度不相同，因此大氣密度除了沿高度變化外還隨地球緯度改變而改變，等壓面與等密度面（虛線）不重合(見右圖），造成大氣層的非正壓性，不滿足流體平衡條件。設(shè)在赤道和北極地區(qū)離地面相同高度處壓強相同，但由于太陽光照射強度不同，兩處溫度相形成在赤道處大氣自下向上，然后在高空自赤道流向北極；在北極大氣自上向下，最后沿洋面自北向南吹的大氣環(huán)流。通常將沿洋面自北向南吹的風稱為貿(mào)易風。用于靜止流體上式適用于全流場，表示總勢能守恒。若寫成表示總水頭保持不變。(a),(b)式均稱為流體靜力學基本方程。適用條件：連通的同種均質(zhì)重力流體。將伯努利方程(a)(b)第三節(jié)重力場中流體的平衡◆流體靜力學基本方程流體靜力學基本方程的常用形式為說明兩點的測壓管水頭相等。當保持不變時，改變引起同時改變，這就是帕斯卡原理.均質(zhì)靜止流體ρ=常數(shù)，u＝v＝w＝0在重力場中上式說明：z方向壓強梯度由單位體積流體的重力決定。積分可得1.壓強分布一般表達式由N-S方程可得◆靜止重力流體中的壓強分布2.具有自由液面的重力液體壓強公式為自由面上的壓強，h為淹深(1)在垂直方向壓強與淹深成線性關(guān)系(2)在水平方向壓強保持常數(shù)3.等壓面在連通的同種流體中的等壓強面稱為等壓面。在靜止重力流體中的等壓面為水平面h＝常數(shù)右圖中3－3為等壓面非等壓面1－1為不連通液體2－2為不同液體[例]

靜壓強分布圖1.壓強計示方式習慣上壓強基準真空度完全真空絕對壓強表壓強大氣壓強由壓強公式p0提供壓強基準◆壓強計示方式與單位2.壓強單位標準大氣壓atm(標準國際大氣模型)液柱高：?國際單位制（SI）：帕斯卡Pa毫米汞柱mmHg（血壓計）米水柱mH2O（水頭高）測壓管高度h=pA/ρg[例1]

單管測壓計（2－1）已知：圖示密封容器中液體(ρ),在A點接上單管測壓計求：

與測壓管高度h的關(guān)系解：(表壓強)h為被測點的淹深，稱為測壓管高度.討論：液面在壓強推動下上升至h高度，壓強勢能轉(zhuǎn)化為重力勢能。

壓強勢能重力勢能[例1]

U形管測壓計（2－2）解：沿U形管右支液面取等壓面，列平衡方程已知：圖示封閉容器中為水,U形管水銀測壓計 中Δh

=10cm求：

(,表壓強真空壓強絕對壓強）[例2]

U形管差壓計解：沿U形管左支液面取等壓面1－1已知：圖示盛滿水封閉容器高差, U形管水銀測壓計中液面差Δh

=10cm求：

(,表壓強絕對壓強）當液體以等加速度a作直線運動或以等角速度（向心加速度 )旋轉(zhuǎn)并達到穩(wěn)定時，液體象剛體一樣運動，N-S方程fg

為重力。上式與歐拉平衡方程形式相同，f=fg–a

也是有勢力。符合平衡條件，稱為液體的相對平衡。

設(shè)液體以等加速度a沿水平方向作直線運動

1.體積力分量f

x=-a

,

f

y=0,

fz

=-g

第四節(jié)液體的相對平衡◆等加速度直線運動由壓強全微分式積分得壓強分布式設(shè)坐標原點在液罐底部中點，靜止時的液位為z0

,即x=0，z=z0

，p=p0,，可得C=p

0+ρgz0

壓強分布式為壓強分布由dp=－ρ(adx+gdz)=0

，等壓面方程為C不同時得一簇平行斜平面，自由液面(x=0,z=z0

)上C=gz0

。設(shè)自由液面垂直坐標為zs

，方程為等壓面ax+gz=C

或代入壓強分布式，令h=zs－z

，可得

證明在垂直方向壓強分布規(guī)律與靜止液體一樣。[例]勻加速直線運動液體的相對平衡(2-1)

已知:用汽車搬運一玻璃缸。缸長×寬×高=L×b×h=0.6×0.3×0.5m3，靜止時缸內(nèi)水位高d=0.4m。設(shè)魚缸沿汽車前進方向縱向放置。求:(1)為不讓水溢出，應(yīng)控制的汽車最大加速度am；

解：建立坐標系Oxz如圖示。設(shè)魚缸加速度為a，體積力分量為等壓面微分方程為(2)若魚缸橫向放置時的最大加速度am'。

fx=-a，fz=-g

ax+gz=C

液面中點的坐標為（0,d），C=gd

。液面方程為

ax+gz=gd

[例]勻加速直線運動液體的相對平衡(2-2)

加速度表達式為

(2)當魚缸橫向放置時，與后壁最高液位（－b/2,h）相應(yīng)的加速度為(1)當魚缸縱向放置時，與后壁最高液位（－L/2,h）相應(yīng)的加速度為

可見，魚缸橫向放置水不易溢出。

工程背景：壓力容器，水壩，潛艇，活塞等；結(jié)構(gòu)強度，安全性能，運動規(guī)律等。條件：均質(zhì)液體，體積力為重力。圖示斜平壁和坐標系Oxy

,O點在自由液面上，y軸沿斜平壁向下。在面積A上取面元dA

，縱坐標y

，淹深為第五節(jié)均質(zhì)流體對平壁的總壓力◆平壁總壓力大小作用在dA

和A上的總壓力在幾何上面積A

對x

軸的面積矩

pc為形心壓強。表明作用在面積A上的總壓力大小等于形心壓強乘以面積。yc

為面積A形心的縱坐標,為淹深。設(shè)壓強中心為D，由力矩合成法則1、積分法

總壓力

設(shè)面積慣性矩

可得◆平壁總壓力作用點建立輔助坐標系,由平行移軸定理f稱為壓強中心對形心的橫向偏心距,當圖形對稱時為零。再引入關(guān)于軸的回轉(zhuǎn)半徑x稱為壓強中心對形心的縱向偏心距。同理可得表FD1（查附錄表FD1）[例1]矩形平壁總壓力：積分法(2-1)已知:矩形閘門長×寬=l×b=4×2m2,b邊與自由液面平行,l邊θ=30°。

求:閘門頂邊分別位于(1)水面內(nèi)；(2)水下H=2m深處時的水總壓力F大小和壓強中心D的縱向偏心距e。

解：坐標系Oxz，x軸位于自由面中，y軸沿閘門縱軸向下

(1)閘門頂邊位于水面內(nèi)yc1=l/2=2m，rξ2=l2/12

說明壓強中心位于矩形的下三分點上。hc1=0.5lsin30°=l/4=1m[例1]矩形平壁總壓力：積分法(2-2)(2)

閘門頂邊位于水面下2m深處討論：(1)兩種情況中回轉(zhuǎn)半徑rξ不變，e僅與形心坐標有關(guān)，與閘門寬度無關(guān)；(2)閘門沿斜壁下移一個長度位置，總壓力增加至3倍：F2=3F1；縱向偏心距縮短至原來的1/3：e2=。y

c2=hc2/sinθ=3l/2=6m,不變

hc2

=H+hc1=2+1=3

m

[例2]圓形平壁總壓力(2-1)已知:封閉油柜側(cè)壁上有一圓形封蓋,d

=0.8mh=1.2m

,ρ=800kg/m3.

求:p0分別為(1)

5kPa

;(2)－2kPa時總壓力F和偏心距e。解：(1)

當p01=5kPa時，在封蓋中心的壓強為

pc1=p01+ρgh=5+0.8×9.81×1.2=5+9.42=14.42(kPa)O1

點位于油面上方p01

/ρg處

hc1=0.5lsin30°=l/4=1m[例2]圓形平壁總壓力(2-2)O2

點位于油面下方|p02

|

/ρg處

(2)當p0

2=－2kPa

時

pc2=p02+ρgh=-2+9.42=7.42

(kPa)F2=pc2

A=7.42×0.503=3.73

(kPa)圓板rξ2

=d2

/16=0.82/16=0.04

m2，偏心距為

歸結(jié)為求平面線性平行力系的合力。壓強分布圖2.幾何法

當矩形平壁與液面平行時可用幾何法求解。圖示液面與b邊平行，與l邊夾角為θ。面積分可化為線積分矩形＋三角形＝梯形F矩形平壁總壓力：幾何法用幾何法重新求解例1

解:(1)l=4m,h=0,θ=30°

(2)l=4m,h=2m，θ=30°

例3取決于重心G

與浮心C

相對位置1、潛體的穩(wěn)定性(浮心不變)

潛體：水下艦艇、水雷、氣艇、氣球等。浮體：水面艦船、船塢、浮吊、浮標等。平衡條件：(1)浮力＝重力；(2)浮軸＝重力線(1)G

在C下方：穩(wěn)定平衡(2)G在C上方：不穩(wěn)定平衡(3)G

與C重合：隨遇平衡第六節(jié)液體作用在浮體和潛體上的總壓力GM=CM–CG

(2)G

在C下方：穩(wěn)定平衡(3)G

在C上方：不穩(wěn)定平衡(1)G

與C重合：隨遇平衡2、浮體的穩(wěn)定性(浮心改變)