量子力學(xué) 第一章 緒論12

§1.2光的波粒二象性一、光的波動(dòng)性典型實(shí)驗(yàn)—雙狹縫衍射

A是垂直于紙面的屏，屏上有兩條相互平行的很窄的狹縫和

，兩狹縫間距為d，B是與A平行的另一個(gè)屏，B與A的距離為

。同一光源發(fā)出的光線穿過雙狹縫打在屏B上產(chǎn)生衍射圖樣。以和分別表示穿過縫和到達(dá)P的光波振動(dòng)，則：其中為衍射角，

為位相差。解釋：和的光程差是，因?yàn)楣獬滩顬橐徊ㄩL時(shí)，位相差恰好是

，所以和

的位相差為

。于是P點(diǎn)處的光波振動(dòng)是：則光在P點(diǎn)的強(qiáng)度為

，其中是穿過一個(gè)狹縫到P點(diǎn)的光強(qiáng)。討論：a.若P點(diǎn)位置滿足關(guān)系式，n=0,1,2,…時(shí)，則，即該點(diǎn)光的強(qiáng)度為最大；

b.若P點(diǎn)的位置滿足關(guān)系式

,n=0,1,2,…

時(shí)，則，即該點(diǎn)的光強(qiáng)為零。所以能夠形成衍射圖樣，光具有波動(dòng)性得到有力的證實(shí)。二、普朗克（Planck）公式（MaxPlanck1858－1947），德國人，1900年以前Planck一直在努力探索黑體輻射的規(guī)律，他先找到了一個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式，后又從理論上推出，這個(gè)公式與實(shí)驗(yàn)很符合，長波方向與Rayleigh-Jeans公式一致，短波方向與Wien公式相符合。他的推導(dǎo)于1900年12月17日在柏林德國物理學(xué)會(huì)會(huì)議上公布，其題目為《關(guān)于正常光譜的能量分布定理的理論》（在此文中他提出了“能量子”的概念），此文標(biāo)志著量子理論的誕生，成為經(jīng)典物理學(xué)與現(xiàn)代物理學(xué)的分界線。獲1918年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。1.Planck的假設(shè)2.Planck公式的推導(dǎo)①空腔壁與輻射的能量交換是不連續(xù)的，只能以最小單位一份份地進(jìn)行；

②輻射的每一振動(dòng)方式相當(dāng)于一振子，它只能取能量值（n=0,1,2,…）,且取的幾率與成比例。

若間的振子總數(shù)為N，則能量取值的振子個(gè)數(shù)應(yīng)為：而（可見：)則每個(gè)振子的平均能量為計(jì)算分母：

，令，即：計(jì)算分子：

，令則有每個(gè)振子的平均能量為：將這個(gè)平均能量乘上空腔單位體積內(nèi)頻率到間的振子數(shù)目（振動(dòng)方式數(shù)），得黑體輻射公式：將此式與熱力學(xué)導(dǎo)出的普遍公式

能量子

—plank常數(shù)Planck公式：能量密度黑體輻射能量分布曲線3.討論：a.當(dāng)輻射頻率高時(shí)，即當(dāng)時(shí)，分母中的1可忽略掉得：Wien公式：b.當(dāng)輻射頻率很低時(shí)，使得時(shí)，分母中的指數(shù)可按展開：忽略高次項(xiàng)，只取前兩項(xiàng)得：—說明：Planck成功的關(guān)鍵在于提出了能量子的假設(shè)，輻射能量是不連續(xù)改變的，從而導(dǎo)致了不同于經(jīng)典的單個(gè)振子的能量。這里第一次出現(xiàn)了經(jīng)典物理中沒有的常數(shù)，這些都跳出了經(jīng)典物理的框架，成為量子物理的開端。Planck導(dǎo)出公式后，曾努力把它納入經(jīng)典物理范疇，但未成功。4.固體比熱的解釋（用Planck假設(shè)解釋）

如果把固體中的原子看作是三維諧振子，則原子平均能量為：

因而有：

可見：a.在高溫時(shí)(),平均每個(gè)原子對熱容量的貢獻(xiàn)為3k，1mol原子即為3R；

b.在低溫時(shí)（），

與實(shí)驗(yàn)相符合。5.光具有粒子性

Planck理論說明物體以為能量單位發(fā)射或吸收能量，能量不是連續(xù)進(jìn)行的，而是以能量為的顆粒形式出現(xiàn)，能量小于的發(fā)射或吸收過程是沒有的。能量單位稱為能量子，它打開了人們對光的微粒性的認(rèn)識(shí)途徑。

三、光電效應(yīng)的解釋

愛因斯坦（1879～1955）EinsteinAlbert：德裔美國科學(xué)家。愛因斯坦在量子論、分子運(yùn)動(dòng)論、相對論等物理學(xué)的三個(gè)不同領(lǐng)域取得了歷史性成就，特別是狹義相對論的建立和光量子論的提出，推動(dòng)了物理學(xué)理論的革命，他對社會(huì)進(jìn)步事業(yè)也有重要貢獻(xiàn)。為此獲得1921年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。

第一個(gè)完全肯定光除了波動(dòng)性之外還具有微粒性的是愛因斯坦（Einstein）。1905年在法國雜志《物理學(xué)觀點(diǎn)》上他發(fā)表了《關(guān)于光的產(chǎn)生和轉(zhuǎn)化的一個(gè)啟示性的觀點(diǎn)》。他認(rèn)為電磁輻射不僅在被發(fā)射和吸收時(shí)以能量為的微粒形式出現(xiàn)，而且以這種形式以速度在空間中運(yùn)動(dòng)。這種粒子叫做光量子或光子（光子是后來由萊維斯命名）。他用這個(gè)觀點(diǎn)成功的解釋了光電效應(yīng)。

Dirac評價(jià)Einstein時(shí)說他有三大革新，即狹義相對論、波與粒子的關(guān)系和廣義相對論。

1.光電效應(yīng)的解釋當(dāng)光照射到金屬表面時(shí)，能量為的光子被電子所吸收。電子把能量的一部分用來克服金屬表面對它的束縛，另一部分就是電子離開金屬表面后的動(dòng)能。能量關(guān)系為：

(電子光電子)為電子的脫出功，為電子質(zhì)量，為電子脫出后的速度。由此可圓滿地解釋光電效應(yīng)。(2)光的頻率決定了光電子的能量，光的強(qiáng)度只決定光子的數(shù)目，光子的數(shù)目越多，產(chǎn)生的光電子就越多，與實(shí)驗(yàn)相一致；(1)若電子吸收的光子能量小于，則電子不能脫出金屬表面，無論光強(qiáng)多大，也不會(huì)有光電子產(chǎn)生；由上式明顯看出，能打出電子的光子的最小能量是光電子時(shí)由該式所決定的能量，即，臨界頻率為。

(3)根據(jù)光子理論，電子的能量是直接由光子供給的，只要光一照到金屬表面，電子就吸收光子而立即逸出，所以光電子的發(fā)射幾乎不需要延遲時(shí)間。

這樣經(jīng)典理論不能說明的問題得到了解釋。2.光的波粒二象性光子不但具有確定的能量，且具有動(dòng)量，由相對論知，以速度運(yùn)動(dòng)的粒子能量是：

由此式得光子的靜止質(zhì)量。由相對論的能量—?jiǎng)恿筷P(guān)系式：。

得到光子能量E和動(dòng)量p的關(guān)系為：。即：其中為波長。所以光子的能量和動(dòng)量分別為：

(*)

，其中為量子力學(xué)常用符號；表示角頻率，與頻率的關(guān)系為；

為光子運(yùn)動(dòng)方向的位矢，為波矢。

可見：關(guān)系式（*）把光的二重性—波動(dòng)性和粒子性聯(lián)系起來。等式左邊的動(dòng)量和能量是描寫粒子的，而等式右邊的頻率和波長則是波的特性。雖然愛因斯坦對光電效應(yīng)的解釋是對Planck量子概念的極大支持，但是Planck不同意愛因斯坦的光子假設(shè)，這一點(diǎn)流露在Planck推薦愛因斯坦為普魯士科學(xué)院院士的推薦信中：

“總而言之，我們可以說，在近代物理學(xué)結(jié)出碩果的那些重大問題中，很難找到一個(gè)問題是愛因斯坦沒有做過重要貢獻(xiàn)的，在他的各種推測中，他有時(shí)可能也曾經(jīng)沒有射中標(biāo)的，例如，他的光量子假設(shè)就是如此，但是這確實(shí)并不能成為過分責(zé)怪他的理由，因?yàn)榧词乖谧罹艿目茖W(xué)中，也不可能不偶爾冒點(diǎn)風(fēng)險(xiǎn)去引進(jìn)一個(gè)基本上全新的概念”小結(jié)：①Planck-Einstein理論揭示了光的微粒性，但這并不否定光的波動(dòng)性，因?yàn)楣獾牟▌?dòng)理論早被光的干涉、衍射等現(xiàn)象所完全證實(shí)。這樣，光具有微粒和波動(dòng)的雙重性，這種性質(zhì)稱之為光的波粒二象性。②由Planck-Einstein方程可以看出Planck常數(shù)在微觀現(xiàn)象中占有重要地位。凡是的相對值在其中起重要作用的現(xiàn)象都可以稱為量子現(xiàn)象?？灯疹D(ArthurHollyCompton)美國著名的物理學(xué)家、“康普頓效應(yīng)”的發(fā)現(xiàn)者。1892年9月10日出生于俄亥俄州的伍斯特，1962年3月15日于加利福尼亞州的伯克利逝世，終年70歲?？灯疹D的科學(xué)家生涯是從研究X射線開始的。康普頓是世界最偉大的科學(xué)家之一。他所發(fā)現(xiàn)的“康普頓效應(yīng)”是發(fā)展量子物理學(xué)的核心。他的這一發(fā)現(xiàn)為自己在偉大科學(xué)家的行列中取得了無可爭辯的地位。四、康普頓效應(yīng)

1920年Compton把來自鉬靶的X射線投到石墨上，以觀測被散射后的X射線，發(fā)現(xiàn)散射后的X射線包含兩種不同頻率的成分，一種是頻率（或波長）與原入射的X射線相同；另一成分比原來入射的X射線頻率?。úㄩL大），且這種頻率與散射角有一定關(guān)系。第一種成分的解釋可根據(jù)通常的波動(dòng)理論，散射不會(huì)改變?nèi)肷涞腦射線頻率，第二種成分令人費(fèi)解（用經(jīng)典理論無法解釋）。1923年他提出的解釋是：后一種成分是由于光子與電子碰撞引起的，光子把一部分能量給了電子而損失，減小了原來的。

實(shí)驗(yàn)證明高頻率的X射線被輕元素中的電子散射后，波長隨散射角的增大而增大，但是根據(jù)經(jīng)典電動(dòng)力學(xué)，電磁波被散射后波長不應(yīng)改變。如果把X射線被電子散射的過程看作是光子與電子碰撞的過程，則Compton效應(yīng)可以得到很好的解釋。

而：

(3)而電子在相對論中能—?jiǎng)雨P(guān)系為:

則：

(2)

(1)

由能量守恒和動(dòng)量守恒得：把上式代入(3)式得：這個(gè)公式由Co