第3章 多跨靜定梁和靜定平面剛架

第三章靜定結(jié)構(gòu)——多跨梁和平面剛架

多跨靜定梁的組成形式及分層關(guān)系多跨靜定梁的受力分析及內(nèi)力圖的繪制剛架的概念及靜定平面剛架的分類(lèi)靜定平面剛架的內(nèi)力分析及其內(nèi)力圖的繪制主要任務(wù)：要求靈活運(yùn)用隔離體的平衡條件，熟練掌握靜定梁內(nèi)力圖的作法。分析方法：按構(gòu)造特點(diǎn)將結(jié)構(gòu)拆成桿單元，把結(jié)構(gòu)的受力分析問(wèn)題轉(zhuǎn)化為桿件的受力分析問(wèn)題。（一）單跨靜定梁的內(nèi)力分析一、截面上內(nèi)力符號(hào)的規(guī)定：

軸力—截面上應(yīng)力沿桿軸切線(xiàn)方向的合力，使桿產(chǎn)生伸長(zhǎng)變形為正，畫(huà)軸力圖要注明正負(fù)號(hào)；

剪力—截面上應(yīng)力沿桿軸法線(xiàn)方向的合力,使桿微段有順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的為正，畫(huà)剪力圖要注明正負(fù)號(hào)；

彎矩—截面上應(yīng)力對(duì)截面形心的力矩之和,不規(guī)定正負(fù)號(hào)。彎矩圖畫(huà)在桿件受拉一側(cè)，不注符號(hào)。NNQQMM二、用截面法求指定截面內(nèi)力先計(jì)算左截面的內(nèi)力，可取截面1以左隔離體進(jìn)行分析。PPPP1.5aMZ1NZ1QZ1MU1NU1QU12Pa計(jì)算右截面的內(nèi)力,也可取截面1以左隔離體進(jìn)行分析。在這個(gè)隔離體上有集中力矩2Pa，三個(gè)未知力為：P2Pa1a1.5a1.5aP計(jì)算如圖所示結(jié)構(gòu)截面1的內(nèi)力PP1.5a根據(jù)靜力平衡條件求截面未知力：aM2N

2Q2aP1.5a1.5a2PaPPP123(a)PP1.5a(d)1.5a22PaPN

2M2Q2N

3PaPQ3M3現(xiàn)取截面2左邊的隔離體進(jìn)行分析，根據(jù)三個(gè)平衡條件就可得出截面2上的三個(gè)未知力：此時(shí)應(yīng)取截面3以上的隔離體進(jìn)行分析比較簡(jiǎn)單。計(jì)算截面2的內(nèi)力也可取截面2右邊隔離體計(jì)算計(jì)算截面3的內(nèi)力三、荷載、內(nèi)力之間的關(guān)系（平衡條件的幾種表達(dá)方式）q(x)d

xQ

Q+d

Q

MM+d

M（1）微分關(guān)系q

d

x（2）增量關(guān)系Q

Q+

Q

MM+

M

d

xPm（3）積分關(guān)系q(x)QA

QB

MAMB由dQ=–q·d

x由dM=Q·d

x1.在無(wú)荷載的梁段上，剪力為常量，Q圖是一水平直線(xiàn)，M圖為一傾斜直線(xiàn)。2.在均布荷載的梁段上，Q圖是一傾斜直線(xiàn)，彎矩圖為二次拋物線(xiàn)形，曲線(xiàn)的凸向與荷載指向相同。3.在集中荷載作用處，Q圖有突變呈階形變化，突變數(shù)值等于集中力的大小，而M圖有一轉(zhuǎn)折點(diǎn)，其尖頂?shù)耐怀龇较蚺c荷載的指向相同。4.在集中力偶作用處，Q圖無(wú)變化，而M圖有階形突變，突變數(shù)值等于集中力偶的大小，集中力偶兩側(cè)M圖的切線(xiàn)相互平行。彎矩和剪力的圖形特征：幾種典型彎矩圖和剪力圖l/2l/2ml/2l/2Plq

1、集中荷載作用點(diǎn)M圖有一夾角，荷載向下夾角亦向下；Q圖有一突變，荷載向下突變亦向下。

2、集中力矩作用點(diǎn)M圖有一突變，力矩為順時(shí)針向下突變；Q圖沒(méi)有變化。

3、均布荷載作用段M圖為拋物線(xiàn)，荷載向下曲線(xiàn)亦向下凸；Q圖為斜直線(xiàn)，荷載向下直線(xiàn)由左向右下斜分段疊加法作彎矩圖MAMBqM+qPABqMBNAYAYBNBMAMAMBqMBMAMMMBMAMAMBMMM分段疊加法的理論依據(jù)：假定：在外荷載作用下，結(jié)構(gòu)構(gòu)件材料均處于線(xiàn)彈性階段。ABO圖中：OA段即為線(xiàn)彈性階段

AB段為非線(xiàn)性彈性階段單跨靜定梁組成的多跨靜定梁形式：

（二）多跨靜定梁的組成形式及分層關(guān)系圖（三）多跨靜定梁的受力分析及內(nèi)力圖的繪制多跨靜定梁的受力分析要利用分層關(guān)系圖。從力的傳遞來(lái)看：荷載作用在基本部分時(shí)，附屬部分不受影響；荷載作用在附屬部分時(shí)，則基本部分產(chǎn)生內(nèi)力。多跨靜定梁的計(jì)算是先計(jì)算附屬部分，后計(jì)算基本部分。將附屬部分的支座反力反向，就得附屬部分作用于基本部分的載荷。先利用分層關(guān)系拆成單跨梁，從附屬程度最高跨開(kāi)始，向下逐跨計(jì)算。2m2m2m1m2m2m1m4m2m80k

N·mAB40k

NCDE20k

N/mFGH80k

N·m2020404040k

NC202552050201020405585255040k

NCABFGH20k

N/m80k

N·m構(gòu)造關(guān)系圖20504040102040502020k

N/mFGH50205040402010402m2m2m1m2m2m1m4m2m80k

N·mAB40k

NCDE20k

N/mFGH2555585M圖（kN·m）2540k

N5558520k

N/m251520354540Q

圖（kN）2.以圖所示體系為例說(shuō)明多跨靜定梁的計(jì)算步驟2.計(jì)算反力從整體平衡條件校核支座反力的計(jì)算結(jié)果。1.作分層關(guān)系圖3.作彎矩圖：彎矩圖畫(huà)桿件受拉邊，不注正負(fù)號(hào)。4.作剪力圖：剪力圖注明正負(fù)號(hào)。正剪力畫(huà)在桿件上側(cè)，負(fù)剪力畫(huà)在桿件下側(cè)。5.內(nèi)力圖的校核：兩方面進(jìn)行：①根據(jù)荷載情況檢查內(nèi)力圖形狀是否與圖形特征相符；②從某局部檢查是否滿(mǎn)足平衡條件。（三）剛架的概念及靜定平面剛架的分類(lèi)1.剛架的概念

剛架(亦稱(chēng)框架)是由梁和柱共同組成的一個(gè)整體承重結(jié)構(gòu)。剛架的特點(diǎn)是具有剛節(jié)點(diǎn)，即梁與柱的連接是剛性的連接，使梁與柱共同組成一個(gè)幾何不變的整體。由于剛節(jié)點(diǎn)的存在，剛架結(jié)構(gòu)不必依靠斜撐來(lái)維持體系的幾何不變性，所以剛架的桿數(shù)較少，內(nèi)部空間較大，便于使用。剛架中的剛節(jié)點(diǎn)，就是在任何荷載作用下，剛架產(chǎn)生變形，剛節(jié)點(diǎn)有線(xiàn)位移和轉(zhuǎn)動(dòng)，但原來(lái)節(jié)點(diǎn)處梁與柱軸線(xiàn)的夾角為90，變形后梁、柱的端截面轉(zhuǎn)動(dòng)相同角度，它們的夾角仍然是90，保持不變。剛架有靜定剛架和超靜定剛架。2.靜定平面剛架的分類(lèi)靜定平面剛架按支座形式劃分，有三種類(lèi)型：

(1)懸臂式

(2)簡(jiǎn)支式

(3)三鉸式（四）靜定平面剛架內(nèi)力分析及內(nèi)力圖繪制1.剛架的內(nèi)力情況與計(jì)算法則

用截面法取分離體，利用∑X=0；∑Y=0；∑

M0=0求解截面內(nèi)力。剛架受荷載作用產(chǎn)生三種內(nèi)力——彎矩、剪力和軸力。

①分段：根據(jù)荷載不連續(xù)點(diǎn)、結(jié)點(diǎn)分段。②定形：根據(jù)每段內(nèi)的荷載情況，定出內(nèi)力圖的形狀。③求值：由截面法或內(nèi)力算式，求出各控制截面的內(nèi)力值。④畫(huà)圖：畫(huà)M圖時(shí)，將兩端彎矩豎標(biāo)畫(huà)在受拉側(cè)，連以直線(xiàn)，再疊加上橫向荷載產(chǎn)生的簡(jiǎn)支梁的彎矩圖。Q，N圖要標(biāo)＋，－號(hào)；豎標(biāo)大致成比例。剛架內(nèi)力圖的繪制步驟：剛架的彎矩和剪力計(jì)算的一般法則如下：1）任一截面的彎矩?cái)?shù)值等于該截面任一側(cè)所有外力(包括反力)對(duì)該截面形心的力矩的代數(shù)和。2）任一截面的剪力數(shù)值等于該截面任一側(cè)所有外力(包括反力)沿該截面平面投影的代數(shù)和。3）任一截面的軸力數(shù)值等于該截面任一側(cè)所有外力(包括反力)在該截面法線(xiàn)方向投影的代數(shù)和。2.靜定剛架M，Q，N圖的繪制

以圖所示的懸臂剛架為例說(shuō)明內(nèi)力圖的繪制方法

懸臂剛架可從懸臂端開(kāi)始計(jì)算，不用先求支座反力。(1)計(jì)算彎矩，彎矩圖應(yīng)繪在受拉力的一邊，正負(fù)號(hào)不注出。先計(jì)算梁BC，再計(jì)算柱AB。彎矩圖應(yīng)繪在受拉力的一邊。(2)計(jì)算剪力，剪力繞截面內(nèi)側(cè)一點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)者為正。先計(jì)算梁BC，一般正剪力畫(huà)在上邊，在剪力圖上注明正負(fù)號(hào)。(3)計(jì)算軸力，軸力符號(hào)規(guī)定以拉力為正，壓力為負(fù)。(4)校核

作出的M，Q，N內(nèi)力圖是否正確，可用平衡條件來(lái)校核。方法：從剛架中取任一部分為分離體，在分離體上畫(huà)出荷載及截面的內(nèi)力M，Q，N，然后看它們是否滿(mǎn)足平衡條件。取節(jié)點(diǎn)B為分離體作用在節(jié)點(diǎn)上的力為MBA，MBC，QBA，QBC，NBA和NBC。它們按M，Q，N圖正確方向畫(huà)出，不用再注明正負(fù)符號(hào)了。不難看出，它們符合∑X＝0，∑Y＝0，及∑MB＝0。例

試作圖所示的簡(jiǎn)支剛架的內(nèi)力圖。解(1)計(jì)算支座反力先假設(shè)反力方向如圖a所示，利用平衡條件求出它們的數(shù)值?！芚＝0，得HD∑MD＝0，得VA∑Y＝0，得VD注意：VA求得為負(fù)值，表示指向應(yīng)向下。重新將反力方向正確地畫(huà)出，如圖b所示。(2)作彎矩圖柱AB上受均布荷載作用，所以這段彎矩圖是二次拋物線(xiàn)。整個(gè)桿件左邊纖維受拉。柱DC上無(wú)荷載，彎矩圖應(yīng)為直線(xiàn)。整個(gè)桿件右邊纖維受拉。橫梁BC上無(wú)荷載，彎矩圖為直線(xiàn)。整個(gè)桿件上部纖維受拉。(3)作剪力圖在柱AB上，均布荷載作用，剪力圖呈斜直線(xiàn)變化。在梁BC上，剪力為常數(shù)。在柱DC中，剪力為常數(shù)。(4)作軸力圖各桿軸力均為常數(shù)。(5)校核取出節(jié)點(diǎn)B的分離體，按內(nèi)力的真實(shí)方向繪在上面，它們符合∑X＝0，∑Y＝0，及∑MB＝0?？梢?jiàn)計(jì)算結(jié)果無(wú)誤。例計(jì)算圖示剛架：例

試作圖所示三鉸剛架的內(nèi)力圖。整體平衡列出∑MB＝0，列出HA、VA關(guān)系式(a)；

再取ADC分離體，C是一個(gè)鉸，利用∑MC＝0，列出HA、VA關(guān)系式(b)；

解聯(lián)立方程(a)和(b)，得HA=25、VA=55

再由整體平衡：∑X=0，得HB=25

；∑Y=0，得VB=45

；

所得反力均為正值，即它們的指向與圖中假設(shè)相同。解(1)計(jì)算支座反力(2)作彎矩圖

柱AD上無(wú)荷載，彎矩圖為直線(xiàn)。整個(gè)桿件左邊纖維受拉。

MAD=0，MDA=HA×6=150

柱BE彎矩圖為一直線(xiàn)。柱右邊纖維受拉。

MBE=0，MEB=HB×4=100

橫梁DE上有均布荷載，彎矩圖是二次拋物線(xiàn)。從節(jié)點(diǎn)D和E的平衡，可求得MDE=150，MED=100再知鉸C處MC=0。

列出橫梁DE段的彎矩方程，才能畫(huà)出準(zhǔn)確的彎矩圖。Mx=VA·x–HA·6–10·x2/2=55x–150–5x2令dM/dx=0，

得x=5.5距離D點(diǎn)5.5m處的截面產(chǎn)生最大正彎距，Mmax=1.25(kN·m)，在這個(gè)截面上是下部纖維受拉。(3)作剪力圖在柱AD中，剪力為一常數(shù)。Q=–HA=–25。

在柱BE中，剪力為一常數(shù)。Q=HB=25。