第3章力系平衡方程及應(yīng)用

第3章力系平衡方程及其應(yīng)用

yyyy年M月d日主講人:3.1

平面力系平衡方程3.2

平面物體系平衡問題3.3

靜定和超靜定概念3.4空間力系平衡方程

小結(jié)第3章力系平衡方程及其應(yīng)用由第2章力系簡化結(jié)果可知：任意力系平衡的充要條件是該力系的主矢和主矩皆為零，即引言得投影式

此即空間任意力系的平衡方程。式(c)是式(a)的充要條件。必有

(a)

(b)

(c)

3.1

平面力系平衡方程3.1.1

平面任意力系平衡方程的基本形式3.1.2

平面任意力系平衡方程的其他形式3.1.3

平面平行力系平衡方程3.1.4

平面匯交力系平衡方程3.1.5

平面力偶系平衡方程3.1平面力系平衡方程

當(dāng)力系中的所有力的作用線位于同一平面時，該力系稱為平面任意力系。若Oxy平面為力系作用面，則顯然有式中,

x

和y

是直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸，而點

O

是力系作用平面內(nèi)的任意一點。因此,平面任意力系的平衡方程為平面任意力系平衡方程的基本式3.1.1

平面力系平衡方程的基本形式這是

注：式中，

投影軸x

和y

可不正交，但不得平行。n3.1平面力系平衡方程【例3-1】

已知

q（單位長度載荷)，a

，

，，，3.1平面力系平衡方程簡支梁的載荷和尺寸如圖。求：A，B處約束力?！纠?-1】解以梁為研究對象，畫出受力圖：

F1，F(xiàn)2構(gòu)成一個力偶，對任意點的力矩等于力偶矩，對任意軸的投影為零。

F1=qa

，M=qa2分布力(均布載荷)合力作用線位于AB中點。3.1平面力系平衡方程【例3-1】解3.1平面力系平衡方程已知【例3-2】圖示直角彎桿，A端固定，載荷如圖。3.1平面力系平衡方程已知:

q，F(xiàn)，M，a，b，q

；求：支座A處的約束力。【例3-2】解以直角彎桿為研究對象，畫出受力圖：3.1平面力系平衡方程【例3-2】解列平衡方程(坐標(biāo)系如圖)3.1平面力系平衡方程3.1平面力系平衡方程

3.1.2平面任意力系平衡方程的其他形式（兩矩式）（三矩式）A，B

連線不垂直于軸xA，B，C三點不在同一條直線上3.1.3

平面平行力系平衡方程若作用在平面Oxy內(nèi)的所有力均平行于軸y，顯然有3.1平面力系平衡方程平面任意力系的平衡方程：則平面平行力系的平衡方程為圖示為行動式起重機，已知b=3m，W1=500kN，e=1.5m，起重機的最大載荷W=250kN

，l=10m。欲使起重機滿載和空載時不傾倒，

求:

平衡重W2，設(shè)a=6m。【例3-3】3.1平面力系平衡方程【例3-3】解以起重機為研究對象，畫出受力圖

(注：對于單體研究對象，在不引起混淆的情況下允許在題圖上畫受力圖，此時應(yīng)理解為約束已解除，從而畫出其相應(yīng)的約束力。)（1）滿載保證機身不向右傾倒，臨界情況:3.1平面力系平衡方程【例3-3】解（2）空載時W=0，保證機身不向左傾倒，臨界情況:因此，平衡重W2之值應(yīng)滿足以下關(guān)系：

361kN

≤W2≤375kN

注：平衡穩(wěn)定問題除滿足平衡條件外，還要滿足限制條件。所得關(guān)系式中等號是臨界狀態(tài)。工程上為了安全起見，一般取上、下臨界值的中值，本例可取:

3.1平面力系平衡方程3.1.4平面匯交力系平衡方程3.1平面力系平衡方程設(shè)作用在平面Oxy內(nèi)的平面匯交力系之匯交點為O，則因此，平面匯交力系平衡方程為此方程常用于第4章平面桁架的節(jié)點法?！纠?-4】求圖示粱的A，B處的約束力。3.1平面力系平衡方程【例3-4】解

本題可用三力平衡匯交定理確定約束力的作用線(如圖a)也可采用平面任意力系的受力圖(如圖b)建議讀者分別用圖a，圖b進行計算后比較。3.1平面力系平衡方程3.1.5平面力偶系平衡方程對平面力偶系，其投影方程恒有3.1平面力系平衡方程因此，平面力偶系平衡方程為【例3-5】圓弧桿AB與折桿BDC在B處鉸接，A，C處均為固定鉸支座，結(jié)構(gòu)受力偶M如圖所示，其中r，M已知，l=2r

，

求:

A，C處約束力。3.1平面力系平衡方程【例3-5】解圓弧桿AB為二力構(gòu)件(關(guān)鍵一步判斷)。整體受力圖：

C

處有一個方向待定的約束力，為保持系統(tǒng)平衡，約束力FC和FA必組成一個力偶，與主動力偶平衡。3.1平面力系平衡方程【例3-5】解負號表示實際方向與圖示假設(shè)方向相反。3.1平面力系平衡方程討論：C處也可用兩個正交力表示，用平面一般力系平衡方程求解。由兩個或兩個以上的物體組成的系統(tǒng)，稱為物體系。3.2

平面物體系平衡方程物體系平衡：求全部外部約束力或構(gòu)件之間的相互作用力。特點：取整體為研究對象分析，無法求得全部約束力；

必須從中間鉸處拆開，分別取研究對象分析。難點：如何拆，即如何取研究對象？方法：一般先取未知力最少（最好是1個）的構(gòu)件入手；即從求出的部分待求量或?qū)罄m(xù)求解有用的研究對象開始?！纠?-6】圖示結(jié)構(gòu)由T字梁與直梁在B處鉸接而成。3.2

平面物體系平衡問題已知:

F=2kN，q=0.5kN/m，M=5kN·m，l=

2m求:

支座C及固定端A

處約束力?！纠?-6】解

分別取整體和桿CB為研究對象畫出受力圖

【整體】

4個未知量，3個獨立方程

【桿CB】

3個未知量，3個獨立方程【基本思路】

桿CB受力圖計算FC整體受力圖計算A處的約束力(偶)3.2平面物體系平衡問題[分析]…【例3-6】解

【桿CB】

3.2平面物體系平衡問題【例3-6】解

【整體】

3.2平面物體系平衡問題【例3-7】圖示平面拱架，A為固定端，B為固定鉸鏈，D，C為中間鉸鏈。作用力F1=3kN，F(xiàn)2=6kN；尺寸a=R=2m。

求:

A，B處的約束力。3.2平面物體系平衡問題（習(xí)題課）分析：從二力構(gòu)件CD出發(fā)，只有1個未知力。【例3-7】解

A處未知力：FAx，F(xiàn)Ay，MA，B處有未知力：FBx，F(xiàn)By，5個未知量，3個獨立方程，不可完全確定。

【整體】

【CD】圖a

二力構(gòu)件

【CGB】圖b

3個未知量3個獨立方程

【AED】圖c

4個未知量3個獨立方程3.2平面物體系平衡問題（習(xí)題課）【例3-7】解

【CD】圖a

二力構(gòu)件

【CGB】圖b

3個未知量3個獨立方程

【AED】圖c

4個未知量3個獨立方程【基本思路】

桿CGB受力圖計算FC；AED受力圖計算A處的約束力(偶)；CGB受力圖計算B處的約束力。3.2平面物體系平衡問題（習(xí)題課）【例3-7】解

【CGB】圖b

3.2平面物體系平衡問題（習(xí)題課）【例3-7】解

【桿AED】圖c

3.2平面物體系平衡問題（習(xí)題課）【例3-8】圖示平面構(gòu)架，A，C，D，E處為鉸鏈連接，桿BD上的銷釘B置于桿AC的光滑槽內(nèi)，F(xiàn)=200N，力偶矩M=100N·m

求:

A，B，C處受力。3.2平面物體系平衡問題（習(xí)題課）【例3-8】分析

【整體】

4個未知量3個獨立方程但若對點E取矩方程可解出FAy

【桿ABC】

5個未知量3個獨立方程

【桿BD】

3個未知量3個獨立方程【基本思路】

[桿BD]FB

[整體]FAy

[桿ABC]FAx3.2平面物體系平衡問題（習(xí)題課）【例3-8】解

【整體】

3.2平面物體系平衡問題（習(xí)題課）【例3-8】解

【BD】

3.2平面物體系平衡問題（習(xí)題課）【例3-8】解

【ABC】

3.2平面物體系平衡問題（習(xí)題課）【例3-9】圖示結(jié)構(gòu)尺寸l=3

m，分布載荷的最大值q=8

kN/m

，中間鉸B上作用集中力F=12

kN，

求:

固定鉸A，C處約束力及中間鉸B受力。3.2平面物體系平衡問題（習(xí)題課）【例3-9】解

【整體】

3個獨立方程，4個未知量?？蓪cC取矩方程求出FAy，再取y方向的力投影方程求出Fcy。3.2平面物體系平衡問題（習(xí)題課）【例3-9】解(1)3.2平面物體系平衡問題（習(xí)題課）【例3-9】解

【半拱AB】(不含載荷F)代入式(1)

3.2平面物體系平衡問題（習(xí)題課）【例3-9】解

【鉸B】3.2平面物體系平衡問題（習(xí)題課）

注意：對力F的處理是難點。靜定問題：能由平衡方程確定全部未知力的問題。相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為靜定結(jié)構(gòu)。超靜定問題：僅由靜力學(xué)平衡方程無法求得全部未知力，需要補充變形條件才能求解的問題。相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為超靜定結(jié)構(gòu)。超靜定次數(shù)：未知量的個數(shù)與獨立的平衡方程數(shù)目之差。多余約束：與超靜定次數(shù)對應(yīng)的約束，對于結(jié)構(gòu)保持靜定是多余的，但工程實際中，有些多余約束是必要的。3.3靜定和超靜定概念3.3靜定和超靜定概念判斷方法：把結(jié)構(gòu)全部拆成單個構(gòu)件，比較未知量的總數(shù)與獨立平衡方程的總數(shù)注意：作用力與反作用力大小相等，因此只計為一個未知量；不同力系有不同的獨立方程數(shù)。超靜定問題的基本解法將在材料力學(xué)課程中介紹。

3.4空間力系平衡方程3.4.1

空間匯交力系平衡方程3.4.2

空間力偶系平衡方程3.4.3

空間平行力系平衡方程3.4.4

空間任意力系平衡方程應(yīng)用舉例3.4空間力系平衡方程由第2章力系簡化結(jié)果可知：任意力系平衡的必要和充分條件是該力系的主矢和主矩皆為零，即必有

此即空間任意力系的平衡方程。式(c)是式(a)的充要條件。必有

(a)

(b)

(c)

3.4空間力系平衡方程空間力系中所有力作用線匯交于一點的力系稱為空間匯交力系，其獨立的平衡方程為3.4.1

空間匯交力系平衡方程【例3-10】圖示起重三腳架各桿均長l=2.5m，兩端為鉸接。鉸D上掛有重量為W=20kN的重物，且知q1=120o，q2=90o，q3=150o，OA=OB=OC=r=1.5m。

求:

各桿受力。3.4空間力系平衡方程【例3-10】解因各桿均為二力桿，可畫出鉸D受力圖由已知條件，可知FAD

，F(xiàn)BD

，F(xiàn)CD與坐標(biāo)平面Oxyz的夾角均為j3.4空間力系平衡方程【例3-10】解以鉸D為研究對象，設(shè)各桿均受拉聯(lián)列計算以上三式，得結(jié)果中負號表示三桿均受壓。3.4空間力系平衡方程3.4空間力系平衡方程全部由空間力偶組成的力系稱為空間力偶系，其平衡方程為3.4.2

空間力偶系平衡方程*【例3-11】圖示蝸輪箱在A，B兩處各用一個螺栓安裝在基礎(chǔ)上，鉛直方向的蝸桿力偶矩M1=100N·m

，水平方向的蝸輪力偶矩M2=400N·m

。

3.4空間力系平衡方程不考慮箱底和基礎(chǔ)間的摩擦影響，求:

兩螺栓處沿軸x，z方向的約束力。3.4空間力系平衡方程*【例3-11】解建立圖示坐標(biāo)系，軸x和軸z分別平行于蝸輪軸和蝸桿軸。主動力為兩個力偶M1和M2，力偶矩矢方向分別沿軸z和軸x，螺栓A，B處的兩對約束力分別組成兩個力偶與之平衡。3.4空間力系平衡方程空間力系中各力作用線相互平行（設(shè)與軸z平行）的力系稱為空間平行力系，其獨立的平衡方程為3.4.3

空間平行力系平衡方程【例3-12】圖示圓桌的三條腿成等邊三角形ABC。

3.4.2空間力系平衡方程圓桌半徑r=500mm，重W=600N。在三角形中線CD上點M處作用鉛垂力F=1500N，OM=a

。

求：使圓桌不致翻倒的最大距離a?！纠?-12】解桌腿與地面的接觸面摩擦不計，可視為光滑面。取圓桌為研究對象，畫受力圖。3.