第三講 定點、定值、最值問題

第三講定點、定值、最值問題【主干知識】1.幾個重要問題(1)定點問題:在解析幾何中,有些含有參數(shù)的直線或曲線,不論參數(shù)如何變化,其都過某定點,這類問題稱為定點問題.(2)定值問題:在解析幾何中,有些幾何量,如斜率、距離、面積、比值等基本量和動點坐標或動線中的參變量無關(guān),這類問題統(tǒng)稱為定值問題.(3)最值問題的兩大求解策略:解決圓錐曲線中的最值問題,一般有兩種方法:一是幾何法:用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值;二是代數(shù)法:將圓錐曲線中的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題(即根據(jù)條件列出所求的目標函數(shù)),然后根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征直接或換元后選用基本不等式法、導數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等求最值.2.重要結(jié)論(1)直線與圓錐曲線相交的問題,牢記“聯(lián)立方程,把要求的量轉(zhuǎn)化為根與系數(shù)的關(guān)系”.(2)有關(guān)弦長問題,牢記弦長公式|AB|=|x1-x2|=|y1-y2|及根與系數(shù)的關(guān)系,“設(shè)而不求”;有關(guān)焦點弦長問題,要牢記圓錐曲線定義的運用,以簡化運算.(3)涉及弦中點的問題,牢記“點差法”是聯(lián)系中點坐標和弦所在直線的斜率的好方法.(4)求參數(shù)范圍的問題,牢記“先找不等式,有時需要找出兩個量之間的關(guān)系,然后消去另一個量,保留要求的量”.不等式的來源可以是Δ>0或圓錐曲線的有界性或是題目條件中的某個量的范圍等.(5)牢記曲線f1(x,y)+λf2(x,y)=0(λ為參數(shù))過曲線f1(x,y)=0與f2(x,y)=0的交點.3.易錯提醒(1)忽略判別式致誤:在解決直線和曲線的相交問題時,要考慮Δ≥0,否則易出現(xiàn)錯誤.(2)不能正確區(qū)分變量:在處理定點、定值問題時,要分清變量與常量,選擇正確的消元方向.【考題回顧】1.(2013·重慶高考)設(shè)雙曲線C的中心為點O,若有且只有一對相交于點O、所成的角為60°的直線A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分別是這對直線與雙曲線C的交點,則該雙曲線的離心率的取值范圍是(

)【解析】選A.由題意知,直線A1B1和A2B2關(guān)于x軸對稱,又所成的角為60°,所以直線方程為y=±x或y=±x.又因為有且只有一對相交于點O、所成的角為60°的直線A1B1和A2B2，使|A1B1|=|A2B2|，所以漸近線斜率滿足,解得<e≤2.故選A.2.(2014·潮州模擬)已知P(x,y)為橢圓C：上一點，F(xiàn)為橢圓C的右焦點，若點M滿足=1且=0，則的最小值為（）【解析】選A.由橢圓上一點P（x,y）滿足=0知PF2=PM2+FM2，要求的最小值，又|FM|=1，即需求PF的最小值，由題意可知橢圓上的點到焦點的最短距離為a-c，即為2.所以的最小值為.故選A.3.(2014·茂名模擬)動圓的圓心在拋物線y2=8x上,且動圓恒與直線x+2=0相切,則動圓必過點

.【解析】拋物線y2=8x的焦點F(2,0),準線方程為x+2=0,故圓心到直線x+2=0的距離即半徑等于圓心到焦點F的距離,所以F在圓上,所以動圓必過點(2,0).答案:(2,0)4.(2014·安徽高考)如圖,已知兩條拋物線E1:y2=2p1x(p1>0)和E2:y2=2p2x(p2>0),過原點O的兩條直線l1和l2,l1與E1,E2分別交于A1,A2兩點,l2與E1,E2分別交于B1,B2兩點.(1)證明:A1B1∥A2B2.(2)過原點O作直線l(異于l1,l2)與E1,E2分別交于C1,C2兩點.記△A1B1C1與△A2B2C2的面積分別為S1與S2,求的值.【解析】(1)由題意設(shè)直線l1,l2的方程分別為y=k1x,y=k2x（k1,k2≠0），則由由同理可得所以(2)由(1)知A1B1∥A2B2，同理可得B1C1∥B2C2，A1C1∥A2C2，所以△A1B1C1相似于△A2B2C2，因此,又由(1)中的知故熱點考向一定點的探究與證明問題【考情快報】難度:中、高檔命題指數(shù):★★☆題型:以解答題為主考查方式:常以直線、圓錐曲線為載體,結(jié)合其他條件,探究直線或曲線過定點,試題的設(shè)計一般含有一個或兩個參數(shù),考查轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用【典題1】(1)(2014·中山模擬)已知點A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2≠0)是拋物線y2=4x上的兩個動點,O是坐標原點,=0,則直線AB過定點

.(2)已知橢圓C的焦點為且橢圓C的下頂點到直線x+y-2=0的距離為①求橢圓C的方程;②若一直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A，B(A，B不是橢圓C的頂點)兩點,以AB為直徑的圓過橢圓C的上頂點,求證:直線l過定點,并求出該定點的坐標.【信息聯(lián)想】(1)看到=0及A（x1,y1）,B（x2,y2）,想到__________.(2)看到下頂點到直線x+y-2=0的距離為，想到____________________.x1x2+y1y2=0點到直線的距離公式【規(guī)范解答】(1)因為=0,所以x1x2+y1y2=0，y1y2=-16，當x1≠x2時，kAB=AB方程為當x1=x2時，x1=x2=4,即直線AB方程為x=4，過點（4，0）.答案：（4，0）(2)①因為橢圓C的焦點為故設(shè)橢圓C的方程為由題意得,解得b=1.所以a=,所以橢圓C的方程為②設(shè)橢圓C的上頂點為Q（0,1）,由消去y得即因為直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點,所以即3k2-m2+1＞0.設(shè)A,B兩點的坐標分別為（x1,y1）,（x2,y2）,則所以因為以AB為直徑的圓過橢圓C的上頂點Q（0,1）,所以AQ⊥BQ,所以x1x2+（y1-1）（y2-1）=0,即x1x2+y1y2-（y1+y2）+1=0,所以化簡得2m2-m-1=0,所以m=1或m=-.當m=1時,直線l:y=kx+1過定點Q（0,1）,與已知矛盾;當m=-時,滿足3k2-m2+1＞0,此時直線l:y=kx-過定點（0,-）,所以直線l過定點（0,-）.【互動探究】若本例(1)中拋物線方程為y2=2px（p>0），且弦AB的中點到直線x-2y=0的距離的最小值為且=0，求拋物線的方程.【解析】設(shè)AB中點C（x,y）,則若中點C到直線x-2y=0的距離為d,則所以當y1+y2=2p時，d有最小值,由題設(shè)得所以p=2,此時拋物線方程為y2=4x.【規(guī)律方法】動線過定點問題的兩大類型及解法(1)動直線l過定點問題,解法:設(shè)動直線方程(斜率存在)為y=kx+t,由題設(shè)條件將t用k表示為t=mk,得y=k(x+m),故動直線過定點(-m,0).(2)動曲線C過定點問題,解法:引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程,再根據(jù)其對參變量恒成立,令其系數(shù)等于零,得出定點.【變式訓練】(2014·威海模擬)已知雙曲線C：=1(a＞0，b＞0)的焦距為2，其一條漸近線的傾斜角為θ，且tanθ=．以雙曲線C的實軸為長軸，虛軸為短軸的橢圓記為E．(1)求橢圓E的方程.(2)設(shè)點A是橢圓E的左頂點，P,Q為橢圓E上異于點A的兩動點，若直線AP,AQ的斜率之積為-，問直線PQ是否恒過定點?若恒過定點，求出該點坐標；若不恒過定點，說明理由．【解析】(1)由雙曲線C：=1(a＞0，b＞0)的焦距為，可得：c=，由tanθ=可得：，結(jié)合a2+b2=c2，解得：a2=4，b2=3，所以橢圓E的標準方程為(2)在(1)的條件下，當直線PQ的斜率存在時，設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m，由消去y得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=，又A（-2,0），由題意知則（x1+2）（x2+2）+4y1y2=0，且x1，x2≠-2.則x1x2+2(x1+x2)+4+4(kx1+m)(kx2+m)=(1+4k2)x1x2+(2+4km)(x1+x2)+4m2+4則m2-km-2k2=0,所以(m-2k)(m+k)=0,所以m=2k或m=-k.當m=2k時,直線PQ的方程為y=kx+2k,即y=k(x+2).此時直線PQ過定點(-2,0),顯然不適合題意.當m=-k時，直線PQ的方程為y=kx-k,即y=k(x-1),此時直線PQ過定點(1，0).當直線PQ的斜率不存在時，若直線PQ過定點(1，0)，P，Q點的坐標分別為，滿足綜上，直線PQ過定點(1，0).【加固訓練】已知橢圓C:=1(a＞b＞0)的離心率為,其左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2,點P是橢圓上一點,且=0,|OP|=1(O為坐標原點).(1)求橢圓C的方程.(2)過點S(0,-)且斜率為k的動直線l交橢圓于A，B兩點,在y軸上是否存在定點M,使以AB為直徑的圓恒過這個點?若存在,求出M的坐標,若不存在,說明理由.【解析】(1)因為,所以,即a=c.因為=0,所以PF1⊥PF2,所以|OP|=|F1F2|=c；又因為|OP|=1,所以c=1,所以a=,b=1.因此所求橢圓的方程為(2)動直線l的方程為y=kx-,由得設(shè)A（x1,y1）,B（x2,y2）,則假設(shè)在y軸上存在定點M（0,m）滿足題設(shè),則由假設(shè)得對于任意的k∈R,=0恒成立,即解得m=1.因此,在y軸上存在定點M,使得以AB為直徑的圓恒過這個點,點M的坐標為（0,1）.熱點考向二定值的探究與證明問題【考情快報】難度:中、高檔題命題指數(shù):★☆☆題型:以解答題為主考查方式:主要考查圓錐曲線的定義及幾何性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,常與一元二次方程、函數(shù)等知識形成交匯問題.考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想.【典題2】(2014·江西高考)如圖，已知雙曲線C:=1(a＞0)的右焦點F,點A,B分別在C的兩條漸近線上，AF⊥x軸，AB⊥OB,BF∥OA(O為坐標原點).(1)求雙曲線C的方程.(2)過C上一點P(x0,y0)(y0≠0)的直線l:=1與直線AF相交于點M，與直線x=相交于點N，證明點P在C上移動時，恒為定值，并求此定值.【信息聯(lián)想】(1)看到雙曲線=1(a>0),想到_____________________.(2)看到AB⊥OB，想到_______________________________________________________________________.(3)看到BF∥OA，想到_________________________________________.雙曲線的焦點在x軸上直線AB，OB的斜率互為負倒數(shù)或一條直線的斜率為0，另一條直線的斜率不存在直線BF，OA的斜率相等且在y軸上的截距不等【規(guī)范解答】(1)設(shè)F（c,0），因為b=1，所以c=，直線OB的方程為y=-，直線BF的方程為解得又直線OA的方程為y=x，則又因為AB⊥OB,所以解得a2=3,故雙曲線C的方程為(2)由(1)知a=,則直線l的方程為即因為直線AF的方程為x=2，所以直線l與AF的交點直線l與直線的交點為則因為P(x0,y0)是C上一點，則代入上式得則所求定值為【規(guī)律方法】求解定值問題的兩大途徑(2)先將式子用動點坐標或動線中的參數(shù)表示,再利用其滿足的約束條件使其絕對值相等的正負項抵消或分子、分母約分得定值.【變式訓練】(2014·深圳模擬)已知橢圓C:=1(a＞b＞0)的離心率為，以原點O為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+=0相切.(1)求橢圓C的標準方程.(2)若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A,B兩點，且kOAkOB=-試判斷△AOB的面積是否為定值？若為定值，求出定值；若不為定值，說明理由．【解析】(1)由題意得：，所以即，又因為所以a2=4，b2=3，故橢圓的方程為(2)設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由得：（3+4k2）x2+8mkx+4（m2-3）=0，Δ=（8mk）2-16（3+4k2）（m2-3）＞0，即3+4k2-m2＞0.【加固訓練】(2014·武威模擬)已知圓心為F1的圓的方程為(x+2)2+y2=32,F2(2,0),C是圓F1上的動點,F2C的垂直平分線交F1C于M.(1)求動點M的軌跡方程.(2)設(shè)N(0,2),過點P(-1,-2)作直線l,交M的軌跡于不同于N的A,B兩點,直線NA,NB的斜率分別為k1,k2,證明:k1+k2為定值.【解析】(1)由線段垂直平分線的性質(zhì)得：|MF2|=|MC|.由，所以，所以.所以點M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點，以為長軸長的橢圓.由c=2，a=，得b=2.故動點M的軌跡方程為(2)當直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為y+2=k（x+1），由得：（1+2k2）x2+4k（k-2）x+2k2-8k=0.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），當直線l的斜率不存在時，得此時k1+k2=4.綜上可知：k1+k2=4.熱點考向三與圓錐曲線有關(guān)的范圍與最值問題【考情快報】高頻考向多維探究難度:中、高檔題命題指數(shù):★★★題型:以解答題為主考查方式:主要考查圓錐曲線的標準方程、幾何性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用,常常與函數(shù)、導數(shù)、不等式交匯命題.命題角度一

與圓錐曲線有關(guān)的范圍問題【典題3】(2014·肇慶模擬)已知橢圓C的一個焦點在拋物線y2=4x的準線上,F1,F2是橢圓C的左、右焦點,P是橢圓C上任意一點,且|PF1|·|PF2|的最大值為2.(1)求橢圓C的標準方程.(2)設(shè)過點M(2，0)的直線與橢圓C相交于兩點A,B，滿足

(O為坐標原點)，當時，求實數(shù)t的取值范圍．【現(xiàn)場答案】【糾錯析因】找出以上現(xiàn)場答案的錯誤之處,分析錯因,并給出正確答案.提示:以上解題過程中出錯之處是第(1)問沒有指出等號成立的條件;第(2)問中忽略了判別式大于零這一條件導致結(jié)果出錯.【規(guī)范解答】(1)由拋物線y2=4x的準線是x=-1,得橢圓C的一個焦點是F1(-1,0),即c=1.由橢圓的定義知:|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF1|·|PF2|≤=a2,當且僅當|PF1|=|PF2|=a時取等號.所以a2=2,b2=a2-c2=1,因此橢圓的標準方程為+y2=1.(2)由題意知：直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的斜率為k，則其方程為y=k（x-2）.由消去y得Δ=64k4-4（1+2k2）（8k2-2）＞0,解得：k2＜.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x,y），則因為，所以（x1+x2，y1+y2）=t（x,y）.所以因為點P在橢圓上，所以整理得：16k2=t2（1+2k2）,又因為所以所以所以化簡得：56k4+38k2-13＞0，即（4k2-1）（14k2+13）＞0，所以，又因為16k2=t2（1+2k2）,所以因為

，所以故所求實數(shù)t的取值范圍是或命題角度二

與圓錐曲線有關(guān)的最值問題【典題4】(2014·汕頭模擬)已知橢圓C的方程為

=1(m>0),如圖,在平面直角坐標系xOy中,△ABC的三個頂點的坐標分別為A(2,0),B(0,1),C(2,1).(1)求橢圓C的離心率.(2)若橢圓C與△ABC無公共點,求m的取值范圍.(3)若橢圓C與△ABC交于不同兩點,分別為M,N,求△OMN面積S的最大值.【信息聯(lián)想】(1)看到離心率,想到___________.(2)看到橢圓C與△ABC無公共點,想到______________________________________.(3)看到橢圓C與△ABC交于不同兩點,想到_________________________________________________________.離心率公式橢圓C在直線AB的左下方或△ABC在橢圓內(nèi)可能橢圓恰好過A,B,或M,N在線段AB上或M,N分別在線段BC,AC上【規(guī)范解答】(1)由已知可得，a2=4m2,b2=m2，所以即橢圓C的離心率為

.(2)由圖可知當橢圓C在直線AB的左下方或△ABC在橢圓內(nèi)時，兩者便無公共點.①當橢圓C在直線AB的左下方時，將AB：x+2y-2=0即x=2-2y代入方程整理得8y2-8y+4-4m2=0,由Δ<0即64-32（4-4m2）<0解得0<m<,所以由橢圓的幾何性質(zhì)可知當0<m<時，橢圓C在直線AB的左下方.②當△ABC在橢圓內(nèi)時，當且僅當點C（2，1）在橢圓內(nèi),所以可得<1,又因為m>0，所以m>,綜上所述，當0<m<或m>時，橢圓C與△ABC無公共點.(3)由(2)知當時，橢圓C與△ABC交于不同的兩點M,N,又因為當m=1時，橢圓C的方程為=1，此時橢圓恰好過點A，B.所以①當<m≤1時，M,N在線段AB上，顯然，此時S≤S△OAB=1,當且僅當M,N分別與A,B重合時等號成立.②當1<m<時，點M，N分別在線段BC，AC上，易得所以S=S矩形OACB-S△OBM-S△OAN-S△MNC令t=,則0<t<1,所以S=-t2+1<1，綜上可得面積S的最大值為1.【規(guī)律方法】1.與圓錐曲線有關(guān)的最值問題的兩種解法(1)數(shù)形結(jié)合法:根據(jù)待求值的幾何意義,充分利用平面圖形的幾何性質(zhì)求解.(2)構(gòu)建函數(shù)法:先引入變量,構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù),再求其最值,常用基本不等式或?qū)?shù)法求最值(注意:有時需先換元再求最值).2.與圓錐曲線有關(guān)的取值范圍問題的三種解法(1)數(shù)形結(jié)合法:利用待求量的幾何意義,確定出極端位置后數(shù)形結(jié)合求解.(2)構(gòu)建不等式法:利用已知或隱含的不等關(guān)系,構(gòu)建以待求量為元的不等式求解.(3)構(gòu)建函數(shù)法:先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù),再求其值域.【變式訓練】(2014·廣州模擬)已知橢圓C：

(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其左右焦點，離心率為，且經(jīng)過點(3，1).(1)求橢圓C的標準方程.(2)若A1,A2分別是橢圓長軸的左右端點，Q為橢圓上動點，設(shè)直線A1Q斜率為k，且k∈，求直線A2Q斜率的取值范圍.(3)若Q為橢圓上動點，求cos∠F1QF2的最小值.【解析】(1)故橢圓C的方程為(2)設(shè)A2Q的斜率為k′,設(shè)點Q（x0,y0）,則所以及則所以<k′<1，故A2Q斜率的取值范圍為(3)設(shè)橢圓的半長軸長、半短軸長、半焦距分別為a,b,c,則有由橢圓定義，有|QF1|+|QF2|=2a=4,所以cos∠F1QF2的最小值為-.(當且僅當|QF1|=|QF2|時，即Q取橢圓上下頂點時，cos∠F1QF2取得最小值)【加固訓練】(2014·福州模擬)已知焦點在y軸,頂點在原點的拋物線C1經(jīng)過點P(2,2),以C1上一點C2為圓心的圓過定點A(0,1),記M,N為圓C2與x軸的兩個交點.(1)求拋物線C1的方程.(2)當圓心C2在拋物線上運動時,試判斷|MN|是否為一定值?請證明你的結(jié)論.(3)當圓心C2在拋物線上運動時,記|AM|=m,|AN|=n,求

的最大值.【解析】(1)由已知，設(shè)拋物線方程為x2=2py,由拋物線C1經(jīng)過點P（2，2）得22=2p×2,解得p=1.所求拋物線C1的方程為x2=2y.(2)方法一：設(shè)圓心圓C2的半徑圓C2的方程為令y=0,得x2-2ax+a2-1=0,得x1=a-1,x2=a+1.|MN|=|x1-x2|=2（定值）.方法二：設(shè)圓心C2（a,b），因為圓過A（0，1），所以半徑因為圓心C2在拋物線上，a2=2b,且圓被x軸截得的弦長(3)由(2)知，不妨設(shè)M（a-1,0）,N（a+1,0）,當且僅當a=±時等號成立，故的最大值為.