第三講 插值與擬合

第三講插值與擬合插值與擬合在工程實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，常常需要從一組實(shí)驗(yàn)觀測(cè)數(shù)據(jù)

i=0,1,2,…,n,揭示自變量x與因變量y之間的關(guān)系，一般可用一個(gè)近似的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(x)來(lái)表示，函數(shù)f(x)產(chǎn)生的辦法通常有兩種方法：曲線擬合和插值，擬合主要是考慮到觀測(cè)數(shù)據(jù)受隨機(jī)誤差的影響，尋求整體誤差最小，較好反映觀測(cè)數(shù)據(jù)的近似函數(shù)，并不保證所得到的函數(shù)一定滿足插值則要求函數(shù)在每個(gè)觀測(cè)點(diǎn)處一定要滿足一、插值1、引例上大二的小華正在做概率作業(yè)，要計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)在0.514處的數(shù)值，他拿出一本概率論的教材，找到了這樣的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的表格：

x

0

1

2

3

……

0.50.69150.69500.69850.7019…

0.60.72570.72910.73240.7357……小華從表上查到怎樣從這些結(jié)果計(jì)算呢？小華認(rèn)為在0.51到0.52這樣小的區(qū)間內(nèi)，可將函數(shù)近似看作線性的，得到小華用的就是一種插值方法——分段線性插值，插值可簡(jiǎn)單地理解為：要根據(jù)一個(gè)用表格表示的函數(shù)，計(jì)算表中沒(méi)有的函數(shù)值。表中有的點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)，要計(jì)算的點(diǎn)稱為插值點(diǎn)。2、一維插值調(diào)用格式：y=interp1(x0,y0,x,’method’)

其中向量x0，y0為插值點(diǎn)，y為在被插值點(diǎn)x處的插值結(jié)果；‘method’表示插值的方法。MATLAB的插值方法：‘nearest’最鄰近插值；‘linear’線性插值；‘spline’三次樣條插值；‘cubic’立方插值；缺省時(shí)表示線性插值。注：所有的插值方法都要求x是單調(diào)的，并且xi不能超過(guò)x的范圍。例1：對(duì)用g(x)產(chǎn)生11個(gè)節(jié)點(diǎn)作四種插值計(jì)算，并作圖。例2：在一天24小時(shí)內(nèi)，從零點(diǎn)開(kāi)始每間隔2小時(shí)測(cè)得環(huán)境溫度數(shù)據(jù)分別為()12,9,9,10,18,24,28,27,25,20,18,15,13.

推測(cè)中午13點(diǎn)的溫度，并作出一天的溫度曲線。二、擬合1、引例：幾天后，小華在物理實(shí)驗(yàn)中又碰到一個(gè)看起來(lái)非常類似的問(wèn)題：有一只對(duì)溫度敏感的電阻，已經(jīng)測(cè)得一組溫度t和電阻R數(shù)據(jù)：

20.532.751.073.095.7

7658268739421032現(xiàn)在想知道時(shí)的電阻多大。老師給他兩點(diǎn)提示：1、在直角坐標(biāo)系中把5個(gè)點(diǎn)畫(huà)一下，看看電阻R和溫度t之間的關(guān)系；2、測(cè)量數(shù)據(jù)總有誤差，這與用函數(shù)表作插值計(jì)算有不同之處。R與t大致呈直線關(guān)系，即根據(jù)一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上的若干點(diǎn)，確定一個(gè)一元函數(shù)，即曲線，使這些點(diǎn)與曲線總體來(lái)說(shuō)盡量接近，這就是曲線擬合。2、多項(xiàng)式函數(shù)擬合:p=polyfit(x,y,m)

其中x，y為要擬合的數(shù)據(jù)，是長(zhǎng)度自定義的數(shù)組，m為擬合多項(xiàng)式的次數(shù)。輸出參數(shù)p為擬合多項(xiàng)式的系數(shù)。3、對(duì)超定方程組用可得最小二乘意義下的解。4、多項(xiàng)式在x處的值y可用下面程序計(jì)算：

y=polyval(p,x)。注：也可使用MATLAB曲線擬合工具箱。

Start-Toolboxes-CurveFitting例1：擬合引例中電阻R與溫度t之間的關(guān)系R=at+b。例2：x為0到1之間的數(shù)，間隔0.1，y為-0.447，1.978，3.28，6.16，7.08，7.34，7.66，9.56，9.48，9.30，11.2，分別用二次、五次和十次擬合曲線來(lái)擬合這組數(shù)據(jù)，并進(jìn)行比較。從圖形上看，次數(shù)越高擬合程度越好。例3已知在某實(shí)驗(yàn)中測(cè)的某質(zhì)點(diǎn)的位移和速度隨時(shí)間的變化如下，求質(zhì)點(diǎn)的速度與位移隨時(shí)間的變化曲線以及位移隨速度的變化曲線。

t00.51.01.52.02.53.0v00.47940.84150.99750.90930.59850.1411s11.522.533.54練習(xí)：舊車價(jià)格預(yù)測(cè)某年美國(guó)舊車價(jià)格的調(diào)查資料如下表，其中xi表示轎車的使用年數(shù)，yi表示相應(yīng)的平