北工大-電磁場與電磁波重要例題

例2.7.1

z<0的區(qū)域的媒質(zhì)參數(shù)為,z

>0區(qū)域的媒質(zhì)參數(shù)為。若媒質(zhì)1中的電場強度為媒質(zhì)2中的電場強度為（1）試確定常數(shù)A的值;（2）求磁場強度和；（3）驗證和滿足邊界條件。

解:（1）這是兩種電介質(zhì)的分界面，在分界面z=0處，有1利用兩種電介質(zhì)分界面上電場強度的切向分量連續(xù)的邊界條件得到將上式對時間t積分，得（2）由，有2可見，在z=0處，磁場強度的切向分量是連續(xù)的，因為在分界面上（z=0）不存在面電流。（3）z=0時同樣，由，得3試問關于1區(qū)中的和能求得出嗎？

解根據(jù)邊界條件，只能求得邊界面z＝0處的和。由，有則得1區(qū)2區(qū)xyz電介質(zhì)與自由空間的分界面O

例2.7.2

如圖所示，1區(qū)的媒質(zhì)參數(shù)為、、2區(qū)的媒質(zhì)參數(shù)為。若已知自由空間的電場強度為4又由，有則得最后得到5解

（1）由,有試求:（1）磁場強度；（2）導體表面的電流密度。

例2.7.3

在兩導體平板（z=0和z=d）之間的空氣中，已知電場強度6將上式對時間t

積分，得（2）z=0處導體表面的電流密度為z=d處導體表面的電流密度為78

例3.1.1

求電偶極子的電位.

解

在球坐標系中用二項式展開，由于，得代入上式，得

表示電偶極矩，方向由負電荷指向正電荷。+q電偶極子zod－q9將和代入上式，解得E線方程為

由球坐標系中的梯度公式，可得到電偶極子的遠區(qū)電場強度等位線電場線電偶極子的場圖

電場線微分方程：

等位線方程：10

解選定均勻電場空間中的一點O為坐標原點，而任意點P

的位置矢量為r，則若選擇點O為電位參考點，即，則

在球坐標系中，取極軸與的方向一致，即，則有

在圓柱坐標系中，取與x軸方向一致，即，而，故

例3.1.2

求均勻電場的電位分布。11xyzL-L

解

采用圓柱坐標系，令線電荷與z

軸相重合，中點位于坐標原點。由于軸對稱性，電位與無關。在帶電線上位于處的線元，它到點的距離，則

例3.1.3

求長度為2L、電荷線密度為的均勻帶電線的電位。12

在上式中若令，則可得到無限長直線電荷的電位。當時，上式可寫為當時，上式變?yōu)闊o窮大，這是因為電荷不是分布在有限區(qū)域內(nèi)，而將電位參考點選在無窮遠點之故。這時可在上式中加上一個任意常數(shù)，則有并選擇有限遠處為電位參考點。例如，選擇ρ=a

的點為電位參考點，則有13

解：則由高斯定理可求得內(nèi)外導體間的電場同心導體間的電壓球形電容器的電容當時，

例3.1.4

同心球形電容器的內(nèi)導體半徑為a、外導體半徑為b，其間填充介電常數(shù)為ε的均勻介質(zhì)。設內(nèi)導體的電荷為q

，求此球形電容器的電容。孤立導體球的電容14

例3.1.5

如圖所示的平行雙線傳輸線，導線半徑為a，兩導線的軸線距離為D，且D>>a，求傳輸線單位長度的電容。

解

設兩導線單位長度帶電量分別為和。由于，故可近似地認為電荷分別均勻分布在兩導線的表面上。應用高斯定理和疊加原理，可得到兩導線之間的平面上任一點P的電場強度為兩導線間的電位差故單位長度的電容為15

例3.1.6

同軸線內(nèi)導體半徑為a，外導體半徑為b，內(nèi)外導體間填充的介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)，求同軸線單位長度的電容。內(nèi)外導體間的電位差

解

設同軸線的內(nèi)、外導體單位長度帶電量分別為和，應用高斯定理可得到內(nèi)外導體間任一點的電場強度為故得同軸線單位長度的電容為同軸線16

例3.1.7

半徑為a的球形空間內(nèi)均勻分布有電荷體密度為ρ的電荷，試求靜電場能量。

解：方法一，利用計算

根據(jù)高斯定理求得電場強度故17

方法二：利用計算

先求出電位分布

故18

例3.2.1一個有兩層介質(zhì)的平行板電容器，其參數(shù)分別為1、1和2、2，外加電壓U。求介質(zhì)面上的自由電荷密度。

解：極板是理想導體，為等位面，電流沿z方向。19

例3.2.2

填充有兩層介質(zhì)的同軸電纜，內(nèi)導體半徑為a，外導體半徑為c，介質(zhì)的分界面半徑為b。兩層介質(zhì)的介電常數(shù)為1和2

、電導率為

1和2

。設內(nèi)導體的電壓為U0

，外導體接地。求：（1）兩導體之間的電流密度和電場強度分布；（2）介質(zhì)分界面上的自由電荷面密度。外導體內(nèi)導體介質(zhì)2介質(zhì)120

（1）設同軸電纜中單位長度的徑向電流為I,則由可得電流密度介質(zhì)中的電場

解電流由內(nèi)導體流向外導體，在分界面上只有法向分量，所以電流密度成軸對稱分布。可先假設電流為I，由求出電流密度的表達式，然后求出和，再由確定出電流I。21故兩種介質(zhì)中的電流密度和電場強度分別為由于于是得到22

（2）由可得，介質(zhì)1內(nèi)表面的電荷面密度為介質(zhì)2外表面的電荷面密度為兩種介質(zhì)分界面上的電荷面密度為23

例3.2.3

求同軸電纜的絕緣電阻。設內(nèi)外的半徑分別為a、b，長度為l

，其間媒質(zhì)的電導率為σ、介電常數(shù)為ε。解：直接用恒定電場的計算方法電導絕緣電阻則設由內(nèi)導體流向外導體的電流為I

。24方程通解為

例3.2.4

在一塊厚度為h

的導電板上，由兩個半徑為r1和r2的圓弧和夾角為

0的兩半徑割出的一段環(huán)形導電媒質(zhì)，如圖所示。計算沿方向的兩電極之間的電阻。設導電媒質(zhì)的電導率為σ。

解：設在沿方向的兩電極之間外加電壓U0，則電流沿

方向流動，而且電流密度是隨

變化的。但容易判定電位只是變量的函數(shù)，因此電位函數(shù)滿足一維拉普拉斯方程代入邊界條件可以得到環(huán)形導電媒質(zhì)塊r1hr20σ25電流密度兩電極之間的電流故沿方向的兩電極之間的電阻為所以26

例

3.3.1

求小圓環(huán)電流回路的遠區(qū)矢量磁位與磁場。小圓形回路的半徑為a

，回路中的電流為I

。

解如圖所示，由于具有軸對稱性，矢量磁位和磁場均與無關，計算xOz平面上的矢量磁位與磁場將不失一般性。小圓環(huán)電流aIxzyrRθIPO27對于遠區(qū)，有r>>a

，所以由于在=0面上，所以上式可寫成于是得到28式中S=πa

2是小圓環(huán)的面積。

載流小圓環(huán)可看作磁偶極子，為磁偶極子的磁矩（或磁偶極矩），則或29

解：先求長度為2L的直線電流的磁矢位。電流元到點的距離。則

例3.3.2

求無限長線電流I

的磁矢位，設電流沿+z方向流動。與計算無限長線電荷的電位一樣，令可得到無限長線電流的磁矢位xyzL-L30

解：先求內(nèi)導體的內(nèi)自感。設同軸線中的電流為I，由安培環(huán)路定理穿過沿軸線單位長度的矩形面積元dS=d的磁通為

例3.3.4

求同軸線單位長度的自感。設內(nèi)導體半徑為a，外導體厚度可忽略不計，其半徑為b，空氣填充。得與dΦi交鏈的電流為則與dΦi相應的磁鏈為31因此內(nèi)導體中總的內(nèi)磁鏈為故單位長度的內(nèi)自感為再求內(nèi)、外導體間的外自感。則故單位長度的外自感為單位長度的總自感為32

例3.3.5

計算平行雙線傳輸線單位長度的自感。設導線的半徑為a，兩導線的間距為D，且D>>a。導線及周圍媒質(zhì)的磁導率為μ0

。穿過兩導線之間沿軸線方向為單位長度的面積的外磁鏈為

解

設兩導線流過的電流為I

。由于D>>a

，故可近似地認為導線中的電流是均勻分布的。應用安培環(huán)路定理和疊加原理，可得到兩導線之間的平面上任一點P

的磁感應強度為PII33于是得到平行雙線傳輸線單位長度的外自感兩根導線單位長度的內(nèi)自感為故得到平行雙線傳輸線單位長度的自感為34由圖中可知長直導線與三角形回路穿過三角形回路面積的磁通為

解

設長直導線中的電流為I，根據(jù)安培環(huán)路定理，得到

例3.3.6

如圖所示，長直導線與三角形導體回路共面，求它們之間的互感。35因此故長直導線與三角形導體回路的互感為36

例3.3.7

如圖所示，兩個互相平行且共軸的圓形線圈C1和C2，半徑分別為a1和a2，中心相距為d

。求它們之間的互感。于是有

解利用紐曼公式來計算，則有兩個平行且共軸的線圈式中θ=2－1為與之間的夾角，dl1=a1d1、dl2=a1d2，且37

若d>>a1，則于是

一般情況下，上述積分只能用橢圓積分來表示。但是若d>>a1或d>>a2時，可進行近似計算。38

例3.3.8

同軸電纜的內(nèi)導體半徑為a，外導體的內(nèi)、外半徑分別為

b和c，如圖所示。導體中通有電流I

，試求同軸電纜中單位長度儲存的磁場能量與自感。

解：由安培環(huán)路定理，得39三個區(qū)域單位長度內(nèi)的磁場能量分別為240單位長度內(nèi)總的磁場能量為單位長度的總自感內(nèi)導體的內(nèi)自感內(nèi)外導體間的外自感外導體的內(nèi)自感41

例3.3.9

如圖所示的一個電磁鐵，由鐵軛（繞有N匝線圈的鐵芯）和銜鐵構成。鐵軛和銜鐵的橫截面積均為S，平均長度分別為l1和l2。鐵軛與銜鐵之間有一很小的空氣隙，其長度為x。設線圈中的電流為I，鐵軛和銜鐵的磁導率為。若忽略漏磁和邊緣效應，求鐵軛對銜鐵的吸引力。

解在忽略漏磁和邊緣效應的情況下，若保持磁通Ψ不變，則B和H不變，儲存在鐵軛和銜鐵中的磁場能量也不變，而空氣隙中的磁場能量則要變化。于是作用在銜鐵上的磁場力為電磁鐵空氣隙中的磁場強度42

例3.5.1

一個點電荷q與無限大導體平面距離為d，如果把它移至無窮遠處，需要做多少功？

解：移動電荷q時，外力需要克服電場力做功，而電荷q受的電場力來源于導體板上的感應電荷?？梢韵惹箅姾蓂移至無窮遠時電場力所做的功。q'qx=∞0d-d由鏡像法，感應電荷可以用像電荷

替代。當電荷q移至x時，像電荷

應位于－x，則像電荷產(chǎn)生的電場強度43

例4.3.1

同軸線的內(nèi)導體半徑為a、外導體的內(nèi)半徑為b，其間填充均勻的理想介質(zhì)。設內(nèi)外導體間的電壓為U，導體中流過的電流為I。（1）在導體為理想導體的情況下，計算同軸線中傳輸?shù)墓β?；?）當導體的電導率σ為有限值時，計算通過內(nèi)導體表面進入每單位長度內(nèi)導體的功率。同軸線44

解：（1）在內(nèi)外導體為理想導體的情況下，電場和磁場只存在于內(nèi)外導體之間的理想介質(zhì)中，內(nèi)外導體表面的電場無切向分量，只有電場的徑向分量。利用高斯定理和安培環(huán)路定理，容易求得內(nèi)外導體之間的電場和磁場分別為內(nèi)外導體之間任意橫截面上的坡印廷矢量45電磁能量在內(nèi)外導體之間的介質(zhì)中沿軸方向流動，即由電源流向負載，如圖所示。穿過任意橫截面的功率為同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（理想導體情況）46

（2）當導體的電導率σ為有限值時，導體內(nèi)部存在沿電流方向的電場內(nèi)根據(jù)邊界條件，在內(nèi)導體表面上電場的切向分量連續(xù)，即因此，在內(nèi)導體表面外側的電場為內(nèi)磁場則仍為內(nèi)導體表面外側的坡印廷矢量為同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（非理想導體情況）47式中是單位長度內(nèi)導體的電阻。由此可見，進入內(nèi)導體中功率等于這段導體的焦耳損耗功率。由此可見，內(nèi)導體表面外側的坡印廷矢量既有軸向分量，也有徑向分量，如圖所示。進入每單位長度內(nèi)導體的功率為

以上分析表明電磁能量是由電磁場傳輸?shù)?，導體僅起著定向引導電磁能流的作用。當導體的電導率為有限值時，進入導體中的功率全部被導體所吸收，成為導體中的焦耳熱損耗功率。同軸線中的電場、磁場和坡印廷矢量（非理想導體情況）48

例4.5.1

將下列場矢量的瞬時值形式寫為復數(shù)形式（2）解：（1）由于（1）所以49（2）因為故所以50

例4.5.2

已知電場強度復矢量解其中kz和Exm為實常數(shù)。寫出電場強度的瞬時矢量51

例題：已知正弦電磁場的電場瞬時值為式中

解：（1）因為故電場的復矢量為試求：（1）電場的復矢量;（2）磁場的復矢量和瞬時值。52（2）由復數(shù)形式的麥克斯韋方程，得到磁場的復矢量磁場強度瞬時值53

解：（1）由得（2）電場和磁場的瞬時值為

例4.5.4

已知無源的自由空間中，電磁場的電場強度復矢量為，其中k和E0為常數(shù)。求：（1）磁場強度復矢量

；（2）瞬時坡印廷矢量

；（3）平均坡印廷矢量

。54

（3）平均坡印廷矢量為或直接積分，得瞬時坡印廷矢量為55

例5.1.1

頻率為9.4GHz的均勻平面波在聚乙烯中傳播，設其為無耗材料，相對介電常數(shù)為εr=2.26。若磁場的振幅為7mA/m，求相速、波長、波阻抗和電場強度的幅值。

解：由題意因此

56

解：以余弦為基準，直接寫出

例5.1.2

均勻平面波的磁場強度的振幅為A/m，以相位常數(shù)為30rad/m在空氣中沿方向傳播。當t=0和z=0時，若取最大值取向為，試寫出和的表示式，并求出頻率和波長。因，故則57

例5.1.3

頻率為100Mz的均勻電磁波，在一無耗媒質(zhì)中沿+z方向傳播，其電場。已知該媒質(zhì)的相對介電常數(shù)εr=4、相對磁導率μr=1，且當t=0、z=1/8m時，電場達到幅值為10－4V/m。試求電場強度和磁場強度的瞬時表示式。

解：設電場強度的瞬時表示式為對于余弦函數(shù)，當相角為零時達振幅值?？紤]條件t=0、z=1/8m

時，電場達到幅值，得式中58

所以磁場強度的瞬時表示式為式中因此59

解：電場