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文檔簡(jiǎn)介
1期末復(fù)習(xí)總結(jié)2第一章數(shù)值計(jì)算的誤差3絕對(duì)誤差:絕對(duì)誤差x—精確值
x*—近似值則稱(chēng)*為絕對(duì)誤差限/誤差限
若存在一個(gè)正數(shù)*,使得工程上通常記為:x=x*
*|e*|=|x*-
x|*
絕對(duì)誤差可能取正,也可能取負(fù)
絕對(duì)誤差
越小越具有參考價(jià)值但絕對(duì)誤差
卻不能很好地表示近似值的精確程度4相對(duì)誤差相對(duì)誤差:
x*-
x
er*=
x
若存在正數(shù)r*,使得
|er*|r*,
則稱(chēng)r*為相對(duì)誤差限由于真值難以求出,通常也使用下面的定義作為相對(duì)誤差
x*-
x
er*=
x*
近似值的精確程度取決于相對(duì)誤差的大小實(shí)際計(jì)算中我們所能得到的是誤差限或相對(duì)誤差限5有效數(shù)字有效數(shù)字:若近似值x*的誤差限是某一位的半個(gè)單位(即截取按四舍五入規(guī)則)
,且該位到x*的第一位非零數(shù)字共有n
位,則稱(chēng)x*有n
位有效數(shù)字x*
=
a1.a2···an10m
(a10)且有|x
-
x*|0.510m-n+1則x*有n
位有效數(shù)字設(shè)x*為x
的近似值,若
x*
可表示為等價(jià)描述6有效數(shù)字例:=3.14159265···
,近似值
x1=3.1415,x2=3.1416問(wèn):x1,x2
分別有幾位有效數(shù)字?例:寫(xiě)出下列各數(shù)的具有5位有效數(shù)字的近似值
187.9325,0.03785551,2.7182828
,8.000033187.93,0.037856,2.7183,8.0000注:0.2300有4位有效數(shù)字,而0.23只有2位有效數(shù)字12300如果寫(xiě)成0.123105,則表示只有3位有效數(shù)字。
數(shù)字末尾的0不可以隨意添加或省略!7有效數(shù)字定理:設(shè)近似值x*可表示為
x*
=
a1.a2···al10m(a10),若x*具有n
位有效數(shù)字,則其相對(duì)誤差限滿(mǎn)足1r*
2a1
10-(n-1)反之,若x*的相對(duì)誤差限滿(mǎn)足
則x*至少有n
位有效數(shù)字。1r*
2(a1+1)10-(n-1)有效位數(shù)越多,相對(duì)誤差限越小8第二章
插值法9插值基本概念已知函數(shù)y=f(x)
在[a,b]
上有定義,且已經(jīng)測(cè)得在點(diǎn)
a
x0
<x1
<···
<xn
b處的函數(shù)值為
y0
=f(x0),…,yn
=f(xn)什么是插值如果存在一個(gè)簡(jiǎn)單易算的函數(shù)P(x),使得
P(xi)=f(xi),i=1,2,...,n則稱(chēng)P(x)為f(x)的插值函數(shù)插值區(qū)間插值節(jié)點(diǎn)求插值函數(shù)P(x)
的方法就稱(chēng)為插值法插值節(jié)點(diǎn)無(wú)需遞增排列,但必須確?;ゲ幌嗤?!插值條件10基函數(shù)插值法基函數(shù)法通過(guò)基函數(shù)來(lái)構(gòu)造插值多項(xiàng)式的方法就稱(chēng)為基函數(shù)插值法Zn(x)
={次數(shù)不超過(guò)n
的多項(xiàng)式的全體}記n+1維線性空間設(shè)z0(x),z1(x),...,zn(x)
構(gòu)成Zn(x)的一組基,則插值多項(xiàng)式P(x)=a0z0(x)+a1z1(x)
+···+anzn(x)尋找合適的基函數(shù)確定插值多項(xiàng)式在這組基下的表示系數(shù)基函數(shù)法基本步驟11Lagrange插值Lagrange插值基函數(shù)設(shè)lk(x)是n次多項(xiàng)式,在插值節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn上滿(mǎn)足則稱(chēng)lk(x)
為節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn
上的拉格朗日插值基函數(shù)單項(xiàng)式基函數(shù)利用線性無(wú)關(guān)的單項(xiàng)式族:構(gòu)造n
次多項(xiàng)式:12線性與拋物線插值兩種特殊情形n=1線性插值多項(xiàng)式(一次插值多項(xiàng)式)n=2拋物線插值多項(xiàng)式(二次插值多項(xiàng)式)13插值舉例例:已知函數(shù)y=lnx
的函數(shù)值如下解:x0.40.50.60.70.8lnx-0.9163-0.6931-0.5108-0.3567-0.2231試分別用線性插值和拋物線插值計(jì)算
ln0.54的近似值線性插值:取x0=0.5,x1=0.6得將x=0.54
代入可得:ln0.54L1(0.54)=-0.6202為了減小截?cái)嗾`差,通常選取插值點(diǎn)x
鄰接的插值節(jié)點(diǎn)14插值舉例拋物線插值:取x0=0.4,x1=0.5,x2=0.6,可得ln0.54L2(0.54)=-0.6153在實(shí)際計(jì)算中,不需要給出插值多項(xiàng)式的表達(dá)式ex21.m
ln0.54
的精確值為:-0.616186···可見(jiàn),拋物線插值的精度比線性插值要高Lagrange插值多項(xiàng)式簡(jiǎn)單方便,只要取定節(jié)點(diǎn)就可寫(xiě)出基函數(shù),進(jìn)而得到插值多項(xiàng)式,易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。15Lagrange插值l0(x)
,l1(x)
,…,ln(x)
構(gòu)成Zn(x)的一組基性質(zhì)注意l0(x)
,l1(x)
,…,ln(x)
與插值節(jié)點(diǎn)有關(guān),但與函數(shù)f(x)無(wú)關(guān)lk(x)
的表達(dá)式由構(gòu)造法可得16誤差估計(jì)如何估計(jì)誤差插值余項(xiàng)定理設(shè)f(x)
Cn[a,b](
n
階連續(xù)可微),且f(n+1)(x)在(a,b)
內(nèi)存在,則對(duì)x[a,b],有其中x(a,b)
且與x
有關(guān),證明:(板書(shū))17插值余項(xiàng)余項(xiàng)公式只有當(dāng)f(x)
的高階導(dǎo)數(shù)存在時(shí)才能使用幾點(diǎn)說(shuō)明
計(jì)算插值點(diǎn)x
上的近似值時(shí),應(yīng)選取與x
相近插值節(jié)點(diǎn)如果,則
x
與x
有關(guān),通常無(wú)法確定,實(shí)際使用中通常是估計(jì)其上界18插值誤差舉例例:已知函數(shù)y=lnx
的函數(shù)值如下x0.40.50.60.70.8lnx-0.9163-0.6931-0.5108-0.3567-0.2231試估計(jì)線性插值和拋物線插值計(jì)算
ln0.54的誤差解線性插值
x0=0.5,x1=0.6,(0.5,0.6)19Newton插值為什么Newton插值Lagrange
插值簡(jiǎn)單易用,但若要增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí),全部基函數(shù)lk(x)
都需重新計(jì)算,不太方便。設(shè)計(jì)一個(gè)可以逐次生成插值多項(xiàng)式的算法,即n
次插值多項(xiàng)式可以通過(guò)n-1
次插值多項(xiàng)式生成——Newton插值法解決辦法20新的基函數(shù)
設(shè)插值節(jié)點(diǎn)為
x0,…,xn
,考慮插值基函數(shù)組當(dāng)增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)xn+1時(shí),只需加上基函數(shù)21Newton插值
此時(shí)
f(x)
的n
次插值多項(xiàng)式為問(wèn)題如何從pn-1(x)得到pn(x)?怎樣確定參數(shù)a0,…,an?
需要用到差商(均差)22差商什么是差商設(shè)函數(shù)f(x),節(jié)點(diǎn)x0,…,xn
f(x)
關(guān)于點(diǎn)xi
,xj
的一階差商f(x)
關(guān)于點(diǎn)xi
,xj,xk的二階差商k
階差商差商的一般定義23差商的性質(zhì)
k階差商與k階導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系:若f(x)在[a,b]上
具有k階導(dǎo)數(shù),則至少存在一點(diǎn)(a,b),使得24差商的計(jì)算如何巧妙地計(jì)算差商差商表xi?(xi)一階差商二階差商三階差商…n階差商x0x1x2x3xn?(x0)?(x1)?(x2)?(x3)?(xn)?[x0,x1]?[x1,x2]?[x2,x3]?[xn-1,xn]?[x0,x1,x2]?[x1,x2,x3]?[xn-2,xn-1,xn]?[x0,x1,x2,x3]?[xn-3,xn-2,xn-1,xn]……?[x0,x1,…,xn]25差商舉例例:已知y=(x)
的函數(shù)值表,試計(jì)算其各階差商i0123xi-2-112f(xi)531721解:差商表如下xi?(xi)一階差商二階差商三階差商-2-112531721-2743-1-1ex24.mex23.m26Newton插值公式Newton插值公式由差商的定義可得12……n11+(x
x0)2+……+(x
x0)…(x
xn1)n1Nn(x)Rn(x)27Newton插值公式f
(x)=Nn(x)+Rn(x)
Nn(x)
是n次多項(xiàng)式Nn(xi)=
f
(xi),i=0,1,2,…,n重要性質(zhì)Nn(x)
是f
(x)的n次插值多項(xiàng)式其中28Newton/LagrangeNewton插值多項(xiàng)式與Lagrange
插值多項(xiàng)式f
(x)
在x0,x1,…,xn
上的n次插值多項(xiàng)式是唯一的!Nn(x)Ln(x)余項(xiàng)也相同將x看作節(jié)點(diǎn)29插值舉例例:已知函數(shù)y=lnx
的函數(shù)值如下解:取節(jié)點(diǎn)0.5,0.6,0.4
作差商表試分別用牛頓線性插值和拋物線插值計(jì)算
ln0.54的近似值x0.40.50.60.70.8lnx-0.9163-0.6931-0.5108-0.3567-0.2231xi?(xi)一階差商二階差商0.50.60.4-0.6931-0.5108-0.91631.82302.0275-2.0450N1(x)=-0.6931+1.8230(x-0.5)N1(0.54)=-0.6202N2(x)=-0.6931+1.8230(x-0.5)-
2.0450(x-0.5)(x-0.6)N2(0.54)=-0.6153ex25.m插值節(jié)點(diǎn)無(wú)需遞增排列,但必須確?;ゲ幌嗤?0第三章
函數(shù)逼近31函數(shù)逼近三個(gè)問(wèn)題問(wèn)題一已知一個(gè)函數(shù)的數(shù)值表xx1x2……xnyy1y2……yn能否找到一個(gè)簡(jiǎn)單易算的
p(x),使得
p(xi)=yi。問(wèn)題二
函數(shù)
f(x)的表達(dá)式非常復(fù)雜,能否找到一個(gè)簡(jiǎn)單易算的
p(x),使得p(x)是
f(x)的一個(gè)合理的逼近。問(wèn)題三
問(wèn)題一的表中的數(shù)值帶有誤差,能否找到一個(gè)簡(jiǎn)單易算的
p(x),可以近似地表示這些數(shù)據(jù)。插值數(shù)值逼近32賦范線性空間賦范線性空間C[a,b]線性空間C[a,b]
,f(x)C[a,b]
1-范數(shù):2-范數(shù):-范數(shù):33逼近標(biāo)準(zhǔn)度量p(x)與f(x)的近似程度的常用兩種標(biāo)準(zhǔn)使
盡可能地小。使
盡可能地小。一致逼近平方逼近34函數(shù)逼近記Hn為所有次數(shù)不超過(guò)n
的多項(xiàng)式組成的集合,給定函數(shù)f(x)C[a,b],若P*(x)Hn
使得則稱(chēng)P*(x)為f(x)在C[a,b]上的最佳逼近多項(xiàng)式最佳逼近最佳一致逼近35函數(shù)逼近最小二乘擬合尋找P*(x)
,使得下面的離散2-范數(shù)最小給定
f(x)C[a,b]的數(shù)據(jù)表xx0x1…xnyy0y1…yn最佳平方逼近36正交多項(xiàng)式定義設(shè)n(x)
是首項(xiàng)系數(shù)不為0的n次多項(xiàng)式,若則稱(chēng)為[a,b]
上帶權(quán)(x)
正交性質(zhì)1設(shè)是正交多項(xiàng)式族,Hn為所有次數(shù)不超過(guò)n
的多項(xiàng)式組成的線性空間,則構(gòu)成Hn的一組基稱(chēng)n(x)
為n
次正交多項(xiàng)式37Legendre多項(xiàng)式
Pn(x)
的首項(xiàng)xn的系數(shù)為:Legendre多項(xiàng)式在[-1,1]
上帶權(quán)
(x)=1
的正交多項(xiàng)式稱(chēng)為勒讓德多項(xiàng)式x
[-1,1],n=1,2,…記號(hào):P0,P1,P2,...
則
是首項(xiàng)系數(shù)為1
的勒讓德多項(xiàng)式
令38Legendre多項(xiàng)式ex31.m其中P0(x)=1,P1(x)=x,39Chebyshev多項(xiàng)式Chebyshev
多項(xiàng)式在[-1,1]
上帶權(quán)
(x)
的正交多項(xiàng)式稱(chēng)為切比雪夫多項(xiàng)式x
[-1,1],n=0,1,2,…切比雪夫多項(xiàng)式的表達(dá)式
令x
=
cos
,則Tn(x)=cos(n)
,展開(kāi)后即得40Chebyshev多項(xiàng)式ex32.m41Chebyshev零點(diǎn)插值多項(xiàng)式Chebyshev
插值以Chebyshev多項(xiàng)式的零點(diǎn)作為插值節(jié)點(diǎn)進(jìn)行插值好處:誤差最小定理設(shè)f(x)Cn+1[-1,1],插值節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn為T(mén)n+1
(x)的n+1個(gè)零點(diǎn),則且42最佳平方逼近設(shè)
f(x)
C[a,b],0(x),1(x),,n(x)C[a,b]
線性無(wú)關(guān),令求S*(x),使得S*(x)稱(chēng)為
f(x)在中的最佳平方逼近函數(shù)
其中43最佳平方逼近如何求
S*(x)?對(duì)任意S(x)
,可設(shè)
S(x)=a00+a11+
···+
ann(x)則求S*(x)等價(jià)于求下面的多元函數(shù)的最小值點(diǎn)k=0,1,…,n44最佳平方逼近即k=0,1,…,n法方程G45求在[0,1]上的一次最佳平方逼近多項(xiàng)式舉例例:(教材68頁(yè),例6)解:
S*(x)=0.934+0.426x46最佳平方逼近多項(xiàng)式f(x)
C[a,b]在Hn
中的最佳平方逼近,記為n
次最佳平方逼近多項(xiàng)式取Hn
的一組基:1,x,x2,,xn
,則法方程為HHilbert矩陣H
嚴(yán)重病態(tài)
只適合求低次最佳逼近47正交函數(shù)作逼近若0,1,,n正交,則法方程的解為所以k=0,1,…,n誤差Bessel不等式48曲線擬合能否找到一個(gè)簡(jiǎn)單易算的p(x)
,使得f(x)
p(x)已知f(x)
在某些點(diǎn)的函數(shù)值:xx0x1…xm
f(x)y0y1…ym但是
m
通常很大
yi
本身是測(cè)量值,不準(zhǔn)確,即yi
f(xi)
這時(shí)不要求p(xi)=yi,而只要
p(xi)yi總體上盡可能小
49
使最小
使最小曲線擬合
p(xi)yi總體上盡可能小
使最小
常見(jiàn)做法太復(fù)雜不可導(dǎo),求解困難最小二乘法:目前最好的多項(xiàng)式曲線擬合算法50最小二乘曲線擬合的最小二乘問(wèn)題這個(gè)問(wèn)題實(shí)質(zhì)上是最佳平方逼近問(wèn)題的離散形式。
可以將求連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近函數(shù)的方法直接用于求解該問(wèn)題。已知函數(shù)值表(
xi,yi
),在函數(shù)空間
中求S*(x)
,使得其中i
是點(diǎn)xi處的權(quán)。51最小二乘求解對(duì)任意S(x)
=span{0,1,,n},可設(shè)
S(x)=a00+a11+
···+
ann(x)則求S*(x)等價(jià)于求下面的多元函數(shù)的最小值點(diǎn)k=0,1,…,n最小值點(diǎn)52最小二乘求解(k=0,1,…,n)這里的內(nèi)積是離散帶權(quán)內(nèi)積,即,法方程G法方程53最小二乘求解設(shè)法方程的解為:a0*,a1*,,an*,則
S*(x)=a0*
0+a1*
1+
···+
an*
n(x)結(jié)論S*(x)是
f(x)在中的最小二乘解54舉例最小二乘問(wèn)題中,如何選擇數(shù)學(xué)模型很重要,即如何選取函數(shù)空間=span{0,1,,n},通常需要根據(jù)物理意義,或所給數(shù)據(jù)的分布情況來(lái)選取合適的數(shù)學(xué)模型。55多項(xiàng)式擬合=Hn=span{1,x,...,xn},即i=xi,
則相應(yīng)的法方程為此時(shí)
為
f(x)的n
次最小二乘擬合多項(xiàng)式多項(xiàng)式最小二乘曲線擬合56舉例例:求下面數(shù)據(jù)表的二次最小二乘擬合多項(xiàng)式得法方程xi00.250.500.751.00f(xi)1.00001.28401.64872.11702.7183解:設(shè)二次擬合多項(xiàng)式為解得所以此組數(shù)據(jù)的二次最小二乘擬合多項(xiàng)式為(1)
若題目中沒(méi)有給出各點(diǎn)的權(quán)值i,默認(rèn)為i=1
(2)該方法不適合n
較大時(shí)的情形(病態(tài)問(wèn)題)57第四章
數(shù)值積分與數(shù)值微分58數(shù)值積分微積分基本公式:(3)
f(x)
表達(dá)式未知,只有通過(guò)測(cè)量或?qū)嶒?yàn)得來(lái)的數(shù)據(jù)表但是在許多實(shí)際計(jì)算問(wèn)題中(2)
F(x)
難求!甚至有時(shí)不能用初等函數(shù)表示。如(1)
F(x)
表達(dá)式較復(fù)雜時(shí),計(jì)算較困難。如59幾個(gè)簡(jiǎn)單公式矩形公式梯形公式拋物線公式基本思想:60一般形式數(shù)值積分公式的一般形式求積節(jié)點(diǎn)求積系數(shù)機(jī)械求積方法將定積分計(jì)算轉(zhuǎn)化成被積函數(shù)的函數(shù)值的計(jì)算無(wú)需求原函數(shù)易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)一般地,用f(x)在[a,b]上的一些離散點(diǎn)
a
x0
<x1
<···
<xn
b
上的函數(shù)值的加權(quán)平均作為f()的近似值,可得61代數(shù)精度定義:如果對(duì)于所有次數(shù)不超過(guò)m的多項(xiàng)式f(x),公式精確成立,但對(duì)某個(gè)次數(shù)為m+1
的多項(xiàng)式不精確成立,則稱(chēng)該求積公式具有
m次代數(shù)精度將f(x)=1,x,x2,…,xm依次代入,公式精確成立;但對(duì)f(x)=xm+1不精確成立。即:(k=0,1,…,m)代數(shù)精度的驗(yàn)證方法62舉例例:試確定系數(shù)Ai,使得下面的求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度,并求出此求積公式的代數(shù)精度。解:將f(x)=1,x,x2代入求積公式,使其精確成立,可得解得A0=1/3,A1=4/3,A2=1/3。所以求積公式為易驗(yàn)證該公式對(duì)f(x)=x3也精確成立,但對(duì)f(x)=x4不精確成立,所以此求積公式具有3次代數(shù)精度。63插值型求積公式設(shè)求積節(jié)點(diǎn)為:a
x0
<x1
<···
<xn
b
若f(xi)
已知,則可做n
次多項(xiàng)式插值:其中插值型求積公式誤差:其中64Newton-Cotes公式基于等分點(diǎn)的插值型求積公式積分區(qū)間:[a,b]求積節(jié)點(diǎn):
xi=a
+
ih
求積公式:Cotes系數(shù)Newton-Cotes求積公式65Newton-Cotes公式n=1:代數(shù)精度=1梯形公式n=2:代數(shù)精度=3拋物線公式Simpson公式n=4:科特斯(Cotes)公式代數(shù)精度=566N-C公式余項(xiàng)梯形公式(n=1)
的余項(xiàng)
Simpson公式(n=2)
的余項(xiàng)
Cotes公式(n=4)
的余項(xiàng)67復(fù)合求積公式提高積分計(jì)算精度的常用兩種方法用復(fù)合公式
用非等距節(jié)點(diǎn)將積分區(qū)間分割成多個(gè)小區(qū)間在每個(gè)小區(qū)間上使用低次牛頓-科特斯求積公式復(fù)合求積公式68復(fù)合梯形公式將[a,b]分成n等分[xi,xi+1]
,其中(i=0,1,…,n)復(fù)合梯形公式余項(xiàng)69復(fù)合Simpson公式復(fù)合Simpson公式余項(xiàng)性質(zhì):復(fù)合梯形公式和復(fù)合Simpson公式都是收斂的,也都是穩(wěn)定的。70舉例解:例:設(shè),利用下表中的數(shù)據(jù)分別用復(fù)合梯形公式和復(fù)合simpson公式計(jì)算定積分,并估計(jì)誤差。
xi01/82/83/84/85/86/87/81.0f(xi)10.9970.9900.9770.9540.9360.9090.8770.84171舉例誤差估計(jì)72第五章
解線性方程組的直接方法73Gauss消去法例:直接法解線性方程組解:74Gauss消去法高斯消去法的主要思路:將系數(shù)矩陣A化為上三角矩陣,然后回代求解。考慮n階線性方程組:矩陣形式=75計(jì)算LU分解利用矩陣乘法直接計(jì)算LU分解LU=A比較等式兩邊的第一行得:u1j=a1j比較等式兩邊的第一列得:比較等式兩邊的第二行得:比較等式兩邊的第二列得:(j=1,…,n)(i=2,…,n)(j=2,…,n)(i=3,…,n)U
的第一行L
的第一列U
的第二行L
的第二列76計(jì)算LU分解第k
步:此時(shí)U
的前k-1行和
L
的前k-1列已經(jīng)求出比較等式兩邊的第k行得:比較等式兩邊的第k列得:直到第n
步,便可求出矩陣L
和U
的所有元素。(j=k,…,n
)(i=k+1,…,n
)77LU分解算法算法:(LU分解
)fork=1tonendj=k,…,ni=k+1,…,nMatlab程序參見(jiàn):ex51.m運(yùn)算量:(n3-n)/3為了節(jié)省存儲(chǔ)空間,通常用A
的絕對(duì)下三角部分來(lái)存放L(對(duì)角線元素?zé)o需存儲(chǔ)),用
A
的上三角部分來(lái)存放U
78例求下列矩陣的LU分解解:設(shè)LU分解算法79LU分解算法80LU分解算法81Ax=b(i=n,…,1
)(i=1,…,n)兩次回代過(guò)程求出方程組的解:運(yùn)算量:
n2加LU分解總運(yùn)算量:
LU分解求解線性方程組82對(duì)稱(chēng)正定矩陣的三角分解--Cholesky
分解定理:設(shè)A
是對(duì)稱(chēng)矩陣,若A
的所有順序主子式都不為0,則A
可唯一分解為其中L
為單位下三角陣,D
為對(duì)角矩陣A=LDLT定理:(Cholesky分解)若A
對(duì)稱(chēng)正定,則A
可唯一分解為其中L
為下三角實(shí)矩陣,且對(duì)角元素都大于0A=LLT對(duì)稱(chēng)正定矩陣的Cholesky分解83計(jì)算Cholesky分解
Cholesky
分解的計(jì)算直接比較等式兩邊的元素
計(jì)算公式84Cholesky分解算法for
j=1tonendi=j+1,…,n算法:(Cholesky分解
)運(yùn)算量:n3/6
+n2/2+n/3
85Cholesky分解算法例對(duì)矩陣作Cholesky分解解86Cholesky分解算法87向量范數(shù)常見(jiàn)的向量范數(shù)③無(wú)窮范數(shù)(最大范數(shù))②2-范數(shù)①1-范數(shù)88范數(shù)性質(zhì)范數(shù)的性質(zhì)(1)連續(xù)性設(shè)f是Rn上的任意一個(gè)范數(shù),則f關(guān)于x
的每個(gè)分量是連續(xù)的(2)等價(jià)性設(shè)||·||s
和||·||t
是Rn上的任意兩個(gè)范數(shù),則存在常數(shù)c1和
c2,使得對(duì)任意的xRn有證明:板書(shū)89范數(shù)性質(zhì)(3)Cauchy-Schwarz不等式(4)向量序列的收斂性矩陣的譜:(A)={
A
的所有特征值
}矩陣的譜半徑:90矩陣范數(shù)常見(jiàn)的矩陣范數(shù)(1)F-范數(shù)(Frobenious范數(shù))(2)算子范數(shù)(從屬范數(shù)、誘導(dǎo)范數(shù))其中||·||是Rn上的任意一個(gè)范數(shù)91算子范數(shù)常見(jiàn)的算子范數(shù)③無(wú)窮范數(shù)(行范數(shù))②2-范數(shù)(譜范數(shù))①1-范數(shù)(列范數(shù))證明:③②板書(shū),①為練習(xí)例:設(shè)計(jì)算92矩陣范數(shù)性質(zhì)矩陣范數(shù)的性質(zhì)(1)連續(xù)性:設(shè)f是Rnn上的任一矩陣范數(shù),則f關(guān)于A
的每個(gè)分量是連續(xù)的(2)等價(jià)性:設(shè)||·||s
和||·||t
是Rnn上的任意兩個(gè)矩陣范數(shù),則存在常數(shù)c1和
c2,使得對(duì)任意的ARnn有(3)若A
是對(duì)稱(chēng)矩陣,則93定理:設(shè)||·||
是Rn上的任一向量范數(shù),其對(duì)應(yīng)的算子范數(shù)也記為||·||
,則有算子范數(shù)性質(zhì)算子范數(shù)的性質(zhì)定理:設(shè)||·||
是任一算子范數(shù),則定理:對(duì)任意>0,總存在一算子范數(shù)||·||
,使得
||·||(A)+94穩(wěn)定性理論分析
理論分析:設(shè)又(1)由于右端項(xiàng)的擾動(dòng)而引起的解的變化(2)由于系數(shù)矩陣的擾動(dòng)而引起的解的變化設(shè)Ax=b
的條件數(shù)矩陣A
的條件數(shù)95穩(wěn)定性理論分析定理:考慮線性方程組Ax=b,設(shè)b
是精確的,A
有微小的變化A,此時(shí)的解為x+
x
,則證明:當(dāng)A充分小時(shí),不等式右端約為設(shè)結(jié)論96矩陣條件數(shù)條件數(shù)與范數(shù)有關(guān),常用的有無(wú)窮范數(shù)和2-范數(shù)
Cond(A)2
稱(chēng)為譜條件數(shù),當(dāng)A
對(duì)稱(chēng)時(shí)有97舉例例:
計(jì)算Cond(A)和Cond(A)2解:Cond(A)=||A-1||||A||4104Cond(A)2=max/min
4104A
對(duì)稱(chēng),且98第六章
線性方程組的迭代解法99矩陣分裂迭代法矩陣分裂迭代法基本思想Ax=bk=0,1,2,…給定一個(gè)初始向量x(0),可得迭代格式其中
B=M-1N
稱(chēng)為迭代矩陣
A=M-NMx=Nx
+
bM非奇異A
的一個(gè)矩陣分裂100收斂性分析定理:對(duì)任意初始向量x(0),上述迭代格式收斂的充要條件是證明:板書(shū)定理:若存在算子范數(shù)||·
||,使得||B||<1,對(duì)任意的初始向量x(0),上述迭代格式收斂。例:考慮迭代法x(k+1)=Bx(k)+f
的收斂性,其中基本收斂定理充分條件101Jacobi迭代考慮線性方程組Ax=b其中A=(aij)nn
非奇異,且對(duì)角線元素全不為0。將A
分裂成A=D-L-
U,
其中102Jacobi迭代k=0,1,2,…令M=D,N
=L
+U,可得雅可比(Jacobi)迭代方法Jacobi迭代迭代矩陣記為:分量形式:i=1,2,…,
n,k=0,1,2,…103Gauss-Seidel迭代在計(jì)算時(shí),如果用代替,則可能會(huì)得到更好的收斂效果。104Gauss-Seidel迭代寫(xiě)成矩陣形式:此迭代方法稱(chēng)為高斯-塞德?tīng)?Gauss-Seidel)迭代法k=0,1,2,…可得迭代矩陣記為:105SOR迭代為了得到更好的收斂效果,可在修正項(xiàng)前乘以一個(gè)松弛因子,于是可得迭代格式在G-S迭代中106SOR迭代寫(xiě)成矩陣形式:可得——SOR(SuccessiveOver-Relaxation)迭代方法迭代矩陣記為:
SOR的優(yōu)點(diǎn):通過(guò)選取合適的,可獲得更快的收斂速度
SOR的缺點(diǎn):最優(yōu)參數(shù)的選取比較困難107Jacobi迭代收斂的充要條件(J)<1
G-S迭代收斂的充要條件(G)<1
SOR迭代收斂的充要條件(L)<1收斂性收斂性定理Jacobi迭代收斂的充分條件||J||<1
G-S迭代收斂的充分條件||G||<1
SOR迭代收斂的充分條件||L||<1108Jacobi、G-S收斂性定理:若A嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)或不可約弱對(duì)角占優(yōu),則A非奇異定理:若A嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)或不可約弱對(duì)角占優(yōu),則Jacobi迭代和G-S迭代均收斂定理:若A對(duì)稱(chēng),且對(duì)角線元素均大于0,則Jacobi迭代收斂的充要條件是A與2D-A均正定;G-S迭代收斂的充要條件是A正定。109SOR收斂性定理:若SOR迭代收斂,則0<<2。SOR收斂的必要條件定理:若A
對(duì)稱(chēng)正定,且0<<2,則SOR迭代收斂。SOR收斂的充分條件定理:若A
嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)或不可弱約對(duì)角占優(yōu),且0<1,則SOR迭代收斂。110舉例例:設(shè),給出Jacobi和G-S收斂的充要條件解:A對(duì)稱(chēng),且對(duì)角線元素均大于0,故(1)Jacobi收斂的充要條件是A和2D-A均正定(2)G-S收斂的充要條件是A正定A
正定2D-A
正定Jacobi收斂的充要條件是:-0.5<a<0.5G-S收斂的充要條件是:-0.5<a<1111舉例解法二:Jacobi的迭代矩陣為設(shè)是J
的特征值,則由det(I-
J)=0可得(-
a)2(
+2a)=0Jacobi收斂的充要條件是(J)<1||<1,即
-0.5<a<0.5112收斂速度定義:迭代格式x(k+1)=Bx(k)+f
的平均收斂速度為漸進(jìn)收斂速度為
(B)
越小,收斂越快113第七章
非線性方程(組)的數(shù)值解法114不動(dòng)點(diǎn)迭代基本思想構(gòu)造
f(x)=0
的一個(gè)等價(jià)方程:
(x)
的不動(dòng)點(diǎn)f(x)=0x=(x)等價(jià)變換f(x)
的零點(diǎn)115不動(dòng)點(diǎn)迭代具體過(guò)程任取一個(gè)迭代初始值x0,計(jì)算得到一個(gè)迭代序列:x0,x1,x2,...,xn,...
k=0,1,2,......幾何含義:求曲線y=(x)與直線y=x
的交點(diǎn)116連續(xù)性分析設(shè)(x)
連續(xù),若收斂,即,則即收斂性分析性質(zhì):若,則不動(dòng)點(diǎn)迭代收斂,且x*是f(x)=0的解;否則迭代法發(fā)散。117解的存在唯一性定理:設(shè)(x)C[a,b]且滿(mǎn)足證明:板書(shū)對(duì)任意的x[a,b]有(x)[a,b]存在常數(shù)0<L<1,使得任意的x,y[a,b]有則(x)
在[a,b]上存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)
x*解的存在唯一性118收斂性分析定理:設(shè)(x)C[a,b]且滿(mǎn)足證明:板書(shū)對(duì)任意的x[a,b]有(x)[a,b]存在常數(shù)0<L<1,使得任意的x,y[a,b]有則對(duì)任意初始值x0[a,b],不動(dòng)點(diǎn)迭代xk+1=(xk)收斂,且不動(dòng)點(diǎn)迭代的收斂性119收斂性分析不動(dòng)點(diǎn)迭代的收斂性若(x)C1[a,b]且對(duì)任意x[a,b]有
|’(x)|L<1則上述定理中的結(jié)論成立。收斂性結(jié)論表明:收斂性與初始值的選取無(wú)關(guān)全局收斂120舉例例:求f(x)=x3–x–1=0
在區(qū)間[1,2]
中的根(1)(2)ex71.m121局部收斂定義:設(shè)x*是(x)的不動(dòng)點(diǎn),若存在x*的某個(gè)-鄰域U(x*)
=[x*-,x*+],對(duì)任意
x0
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