第四章-凝固和熔化時(shí)的導(dǎo)熱

高等傳熱學(xué)內(nèi)容第一章導(dǎo)熱理論和導(dǎo)熱微分方程第二章穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱 第三章非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

第四章凝固和熔化時(shí)的導(dǎo)熱

第五章導(dǎo)熱問題的數(shù)值解第六章對(duì)流換熱基本方程第七章層流邊界層的流動(dòng)與換熱第八章槽道內(nèi)層流流動(dòng)與換熱第九章湍流流動(dòng)與換熱第十章自然對(duì)流

第十一章熱輻射基礎(chǔ)第十二章輻射換熱計(jì)算第十三章復(fù)合換熱

第四章凝固和熔化時(shí)的導(dǎo)熱

發(fā)生熔化或凝固時(shí)的瞬態(tài)傳熱問題，通常屬于“相變”或“移動(dòng)邊界”問題。這些問題在許多工業(yè)領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用，如冰的制造、土壤的凍融、金屬鑄件的凝固等。近年來，蓄冷空調(diào)技術(shù)由于其在調(diào)節(jié)電力負(fù)荷中的重要作用已受到廣泛重視，合理控制冰或其他相變介質(zhì)的凍融已成為提高設(shè)備性能的重要因數(shù)。在利用相變蓄熱的太陽能系統(tǒng)中，存在著同樣的相變傳熱問題。在純物質(zhì)的凝固過程中，相變發(fā)生在一個(gè)確定的溫度下，而且液相和固相被一個(gè)明確的移動(dòng)界面隔開。但對(duì)另一些情況，如混合物、合金及非純材料的凝固過程，凝固現(xiàn)象發(fā)生在一個(gè)相當(dāng)寬的溫度范圍內(nèi)，此時(shí)液相和固相被一個(gè)移動(dòng)的兩相區(qū)域所分離。

第四章凝固和熔化時(shí)的導(dǎo)熱

本書僅介紹純物質(zhì)的相變，而且只限于一維問題。這樣的系統(tǒng)的特點(diǎn)是有著一個(gè)分界面以分隔熱物理特性不同的兩個(gè)區(qū)域，這個(gè)分界面是作為時(shí)間的函數(shù)而移動(dòng)的。此外，熱量在分界面上被吸收或放出。因?yàn)樵趥鳠徇^程中，固-液界面是移動(dòng)的，因而確定其位置是求解此類問題的一個(gè)主要的目標(biāo)。除了少數(shù)簡(jiǎn)單的情況能得到精確的分析解之外，這類問題一般需要采用數(shù)值求解。以下主要介紹幾個(gè)經(jīng)典的分析解。雖然它們的適用條件比較苛刻，但通過對(duì)分析解的討論，可以了解凝固(或熔化)導(dǎo)熱過程的物理模型，以及影響這一過程的主要因素。

4-1半無限大區(qū)域中的相變問題

首先考慮一維半無限大區(qū)域中液體凝固問題。參見圖4-1，x=0處是固相的一個(gè)邊界，在τ時(shí)刻兩相的分界面在X(τ)處，遠(yuǎn)離分界面的液體的整體溫度為t∞。熱量自液相經(jīng)固相傳到固相的外邊界，同時(shí)在分界面上系統(tǒng)釋放出相變潛熱。假定液相區(qū)的熱量傳遞也是單純的導(dǎo)熱方式，并且液、固兩個(gè)區(qū)域的溫度和物性分別用下標(biāo)l和s表示，則兩個(gè)區(qū)域的溫度分布應(yīng)分別滿足以下導(dǎo)熱微分方程：

(4-l-la)(4-l-lb)4-1半無限大區(qū)域中的相變問題

圖4-1半無限大區(qū)域中液體凝固和固體熔化時(shí)的導(dǎo)熱在移動(dòng)界面上溫度是相變溫度tm。另一個(gè)邊界條件可由界面上的熱量平衡導(dǎo)得(參見圖4-1)：

(4-1-2)其中：qs和ql分別表示固相和液相中朝x正方向的熱流密度，負(fù)號(hào)表示熱流指向x

的負(fù)方向；等式的最后一項(xiàng)表示由于界面的移動(dòng)而在單位時(shí)間里釋放的潛熱；L

是介質(zhì)的熔化(凝固)潛熱(單位為J/kg)?？紤]固相與液相的密度不同時(shí)，凝固過程中的質(zhì)量平衡會(huì)引起液相在x

方向的整體推移，但這一過程并不影響導(dǎo)熱，而單位分界面面積上在dτ時(shí)間內(nèi)凝固的質(zhì)量總是為ρs

dX

。根據(jù)傅里葉定律，上式可改寫為

(4-l-3)4-1半無限大區(qū)域中的相變問題

4-1-1半無限大空間內(nèi)的凝固過程一種液體具有高于凝固溫度tm

的均勻溫度t∞，它被限制在x＞0的半無限大空間內(nèi)。在τ=0時(shí)，x=0的邊界面溫度突然降到t0<tm，并一直保持這一溫度不變。由此固-液兩相的分界面開始向x正方向移動(dòng)。需要確定兩相中的溫度分布和分界面的位置。這一問題的完整的數(shù)學(xué)描述為在固相區(qū)內(nèi)

(4-1-4a)(4-1-4b)4-1半無限大區(qū)域中的相變問題

在液相區(qū)內(nèi)

(4-l-4c)(4-l-4d)(4-l-4e)分界面x=X(τ)處的藕合條件為

(4-1-4f)(4-1-4g)4-1半無限大區(qū)域中的相變問題

諾伊曼(F.Neumann)首先給出了這一問題的精確解形式：設(shè)解ts具有以下的形式：

(4-l-5)它滿足固相的導(dǎo)熱微分方程(4-1-4a)及邊界條件式(4-1-4b)。設(shè)解tl具有以下的形式：

(4-l-6)它滿足液相的導(dǎo)熱微分方程(4-1-4c)、邊界條件式(4-1-4b)和初始條件式(4-1-4e)。A、B待定。將式(4-l-5)、(4-1-6)代入界面條件式(4-1-4f)，可得

(4-1-7)式中，是一個(gè)待定的常數(shù)。若求得η，則有

(4-l-8)上式表明凝固層的厚度與成正比。4-1半無限大區(qū)域中的相變問題

由式(4-l-7)，系數(shù)A、B可表示為把系數(shù)A、B代入式(4-l-5)、(4-l-6)，可得固相和液相區(qū)域的溫度分布

(4-1-9a)(4-1-9b)把式(4-1-8)、(4-l-9a)、(4-l-9b)代入界面熱平衡方程(4-l4g)，可得到計(jì)算參數(shù)η的關(guān)系式：

(4-1-10)4-1半無限大區(qū)域中的相變問題

其中c0是固相的比熱容。這是一個(gè)關(guān)于參數(shù)η的超越方程。根據(jù)給定的物性參數(shù)和溫度條件，解出參數(shù)η，即得到確定的溫度分布和分界面的位置。η是凝固(熔化)問題中一個(gè)重要的無量綱變量。從和可以看出，它決定了到某一時(shí)刻相變界面的位置(因面相變的總量)以及相變的速率。把方程(4-1-10)表示成無量綱的形式，有其中：是無量綱溫差，表征了相變問題的溫度邊界條件；和分別是固相和液相的物性比；稱為斯蒂芬數(shù)，表征顯熱與相變潛熱之比。4-1半無限大區(qū)域中的相變問題

半無限大固體的熔化問題，見圖4-lb中的配置。固體的初始溫度t∞<tm，液相的邊界溫度t0>tm且保持不變。這一問題的數(shù)學(xué)描述與液體凝固問題完全相同，只是固、液兩相交換了位置，熱流也改變了方向。因此解的形式也相同，只是式中各物性參數(shù)的下標(biāo)s和l

互換。現(xiàn)在來討論以上問題的一個(gè)特例：液相區(qū)域的初始溫度等于相變溫度，即t∞=tm，而固相的邊界溫度t0<tm。此時(shí)的溫度分布如圖4-2a所示。由于液相區(qū)不存在溫差，因此不再需要求解液相區(qū)的微分方程，這樣的相變問題變?yōu)閱螀^(qū)域問題。此時(shí)式(4-1-10)簡(jiǎn)化為

(4-1-10)或

4-1半無限大區(qū)域中的相變問題

4-1半無限大區(qū)域中的相變問題

圖4-2單區(qū)域相變導(dǎo)熱4-1半無限大區(qū)域中的相變問題

上式表明，在單區(qū)域相變問題中相變速率僅取決于斯蒂芬數(shù)。由式(4-1-11)確定的函數(shù)關(guān)系標(biāo)繪在圖4-3中。對(duì)于半無限大固體熔化的問題，如果固體的初始溫度等于相變溫度，問題同樣簡(jiǎn)化為單區(qū)域問題。圖4-3邊界溫度恒定的半無限大固體的單區(qū)域熔化導(dǎo)熱4-1-2單區(qū)域問題的積分方程解第三章中討論的積分方程解的近似方法同樣可應(yīng)用于解決移動(dòng)邊界的相變導(dǎo)熱問題。積分方程(3-3-12)是普遍成立的。這里的相變界面與3-3節(jié)中定義的“熱滲透層”的邊界相類似，亦即這里的X(τ)相當(dāng)于熱滲透層的δ(τ)。以單區(qū)域的凝固問題為例來介紹積分方程近似解。由于是單區(qū)域問題，以下略去下標(biāo)s。定義過余溫度θ

＝t-tm。問題的邊界條件為：在固相的外邊界溫度保持不變，即θ＝θ0＝t-tm

，x=0,τ>0(4-l-12)在相變界面上溫度保持為凝固溫度并遵循熱流平衡，即θ＝0,x＝X(τ),τ>0(4-l-13a)(4-1-13b)4-1半無限大區(qū)域中的相變問題

4-1半無限大區(qū)域中的相變問題

此時(shí)，對(duì)固相區(qū)寫出積分方程為

(4-1-14)或把式(4-l-13b)代入式(4-1-14)，得另一個(gè)形式的方程：

(4-1-15)用二次多項(xiàng)式來近似固相區(qū)中的溫度分布，設(shè)

(4-1-16)該溫度分布函數(shù)已滿足x=X

處的溫度邊界條件式(4-1-13a)，還需要兩個(gè)條件來確定系數(shù)A

和B。由條件式(4-1-12)可得

(4-1-17)4-1半無限大區(qū)域中的相變問題另一個(gè)邊界條件式(4-1-13b)不便直接應(yīng)用于式(4-1-16)，為此需要作一些變換。對(duì)式(4-l-13a)微分可得把式(4-l-l)和式(4-1-13b)代入上式，整理可得

(4-1-18)把式(4-1-16)代入上式，整理得

(4-l-19)聯(lián)立式(4-1-17)、(4-1-19)求解，得，(4-l-20)4-1半無限大區(qū)域中的相變問題其中。由于應(yīng)該大于零，因此以上關(guān)于A的二次方程的兩個(gè)根中取正根。由A、B就確定了溫度分布。把溫度分布代入積分方程，可以確定相變界面的位置X。如果采用積分方程(4-1-15)，則得解以上常微分方程，并由條件τ＝0，X＝0可得

(4-l-21)4-1半無限大區(qū)域中的相變問題即

(4-1-22)還可以找到其他的條件，如把式(4-1-16)直接代入相變界面的熱平衡條件式(4-1-13b)，可得則得

(4-1-23)以上單區(qū)域問題的兩個(gè)近似解與精確解式(4-1-11)的圖線分別表示在圖4-3中?？梢钥吹剑上嘧兘缑娴臒崞胶鈼l件得到的式(4-1-23)較接近精確解。4-2柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的相變導(dǎo)熱

在線性坐標(biāo)系中相變問題存在解析解的必要條件是導(dǎo)熱方程存在相似性解，即導(dǎo)熱方程的解可以表示為的函數(shù)。由此可以推斷，如果柱坐標(biāo)系或球坐標(biāo)系中導(dǎo)熱方程的解也可以表示為的函數(shù)，則可能找到相應(yīng)相變問題的解析解。容易證明分別滿足柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的導(dǎo)熱微分方程。這些解可以用來得到特定條件下柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中相變問題的解析解。盡管柱坐標(biāo)系中的相變問題在工程上有相當(dāng)?shù)闹匾裕挥袩o限大區(qū)域中的恒熱流線熱源問題可以得到解析解。對(duì)球坐標(biāo)系中相變問題的解析解有興趣的讀者可參閱文獻(xiàn)[1]。4-2柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的相變導(dǎo)熱

下面介紹柱坐標(biāo)系中相變導(dǎo)熱的精確解。一條強(qiáng)度恒定為Q(單位為W/m)的線熱匯置于均勻溫度為t∞>tm的液體中。從τ＝0的時(shí)刻開始熱匯不斷地吸收熱量，引起液體的凝固。這是一個(gè)軸對(duì)稱問題。選擇熱匯的坐標(biāo)為r=0，固、液兩相的界面向r的正方向移動(dòng)。坐標(biāo)與固、液兩個(gè)區(qū)域的溫度分布示于圖4-4中。固相區(qū)的導(dǎo)熱微分方程為

(4-2-la)4-2柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的相變導(dǎo)熱

圖4-4無限大物體中由熱線匯引起的凝固過程4-2柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的相變導(dǎo)熱

液相區(qū)內(nèi)導(dǎo)熱的數(shù)學(xué)描述為

(4-2-1b)(4-2-1c)(4-2-1d)兩相界面上的藕合條件為

(4-2-1e)(4-2-1f)4-2柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的相變導(dǎo)熱

取固相區(qū)與液相區(qū)的溫度分布為如下的形式：

(4-2-2a)(4-2-2b)其中,是指數(shù)積分函數(shù)，已在3-4節(jié)關(guān)于線熱源的討論中涉及。因此可知這一形式的溫度分布函數(shù)已自動(dòng)滿足柱坐標(biāo)系中的導(dǎo)熱微分方程(4-2-la)、(4-2-1b)，以及無窮遠(yuǎn)處的邊界條件式(4-2-1c)和初始條件式(4-2-ld)。系數(shù)A、B、C由其余的條件確定。4-2柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中的相變導(dǎo)熱

對(duì)溫度分布式(4-2-2a)、(4-2-2b)求導(dǎo)得