誤差理論與數據處理

第二章誤差理論與數據處理一、測量誤差的基本理論1、測量誤差的定義：測量誤差=測得值-真值客觀真實值（未知）1m=1650763.73實驗結果---實驗數據---與其理論期望值不完全相同

①約定真值：世界各國公認的幾何量和物理量的最高基準的量值③相對真值：標準儀器的測得值或用來作為測量標準用的標準器的值如：米---公制長度基準---

氪-86的2p10-5d5能級間躍遷在真空中的輻射波長測量所得數據與其相應的真值之差---1）絕對誤差x=x–x0②理論真值：設計時給定或用數學、物理公式計算出的給定值光在真空中1s時間內傳播距離的1/2997924852）相對誤差測量的絕對誤差與被測量的真值之比絕對誤差很小定義：表示：百分數（%）---分子分母量綱相同相對誤差=100%絕對誤差真值

=100%xx0相對誤差=100%絕對誤差測得值

=100%xx例：質量G1=50g，誤差1=2g；質量G2=2kg，誤差2=50g

1=100%=100%=4%1G1G1的相對誤差為250

2=100%=100%=2.5%G2G2的相對誤差為5020002---G2的測量效果較好確切反映測量效果：被測量的大小不同---允許的測量誤差不同被測量的量值小---允許的測量絕對誤差也越小2、誤差的特點普遍性---所有的測量數據都存在誤差---不可避免的最高基準的測量傳遞手段（測量儀器/測量方法）---不絕對準確①

“米制”建議（18世紀末法國科學院）

---

“米”定義（1791年法國國會）

---通過巴黎的地球子午線長度的四千分之一---鉑桿“檔案尺”（1799年）---兩端之間的距離---第一個實物基準長度：

“檔案尺”變形---較大誤差---廢棄（1872年米制國際會議）②鉑銥合金的X形尺---米原器（1889年第一次國際計量大會）---中性面上兩端的二條刻線在0C時的長度---（1~2）10-7（復現精度）③自然基準（1960年第十一次國際計量大會）---廢棄米原器---Kr-86的2p10-5d5能級間躍遷在真空中的輻射波長的1650763.73倍。---（0.5~1）10-8（復現精度）④

“米”新定義（1983年第十七屆國際計量大會）---光在真空中1s時間內傳播距離的1/299792485---1.310-10（復現精度）①減小誤差的影響，提高測量精度測量精度---測量技術水平的主要標志之一精度提高受到限制---測量誤差的影響作出評定②對測量結果的可靠性給出評定（精確度的估計）與檢測系統的組成和各組成環(huán)節(jié)有關3、誤差原因性質、狀態(tài)、條件以及被測量的種類、狀態(tài)③檢測系統各環(huán)節(jié)所使用的材料性能和制造技術引起的誤差⑤檢測系統各環(huán)節(jié)動力源的變化引起的誤差⑥檢測系統器件特性變化引起的誤差---偏離設定值⑦檢測環(huán)境引起的誤差⑧檢測方法誤差⑨檢測人員造成的誤差①由被測對象本身引起的誤差②

因檢測理論的假定產生的誤差實際情況與假定情況不符④組成檢測系統各環(huán)節(jié)的傳遞特性方面產生的誤差人員視覺、讀數誤差、經驗、熟練程度、精神方面原因（疲勞）環(huán)境條件（溫度、濕度、氣壓等）差異器件的性能電流、電壓、氣壓、液壓等檢測方法、采樣方法、測量重復次數、取樣時間方法誤差4、誤差分類按誤差來源：裝置誤差、環(huán)境誤差、方法誤差、人員誤差①系統誤差（Systemerror）由特定原因引起、具有一定因果關系并按確定規(guī)律產生按掌握程度：已知誤差、未知誤差按特性規(guī)律：系統誤差、隨機誤差、粗大誤差

---有規(guī)律可循裝置、環(huán)境、動力源變化、人為因素再現性---偏差（Deviation）理論分析/實驗驗證---原因和規(guī)律---減少/消除②隨機誤差（Randomerror）因許多不確定性因素而隨機發(fā)生偶然性（不明確、無規(guī)律）概率和統計性處理（無法消除/修正）③粗大誤差（Abnormal

error）檢測系統各組成環(huán)節(jié)發(fā)生異常和故障等引起異常誤差---混為系統誤差和偶然誤差---測量結果失去意義分離---防止按變化速度：靜態(tài)誤差、動態(tài)誤差5、檢測精度---檢測系統的基本內容不同場合---檢測精度要求不同例：服裝裁剪（身長/胸圍）---半厘米；發(fā)動機活塞直徑---微米級精度高---系統復雜---造價高---系統誤差大小的反映坐標原點---真值點的位置按誤差原因：點---多次測量結果①正確度：表征測量結果接近真值的程度②精密度：反映測量結果的分散程度（針對重復測量而言）---表示隨機誤差的大小③準確度：表征測量結果與真值之間的一致程度---系統誤差和隨機誤差的綜合反映例：6、確定測量誤差的方法1）逐項分析法與被測對象有關的專業(yè)知識---物理過程、數學手段對測量中可能產生的誤差進行分析、逐項計算出其值，并對其中主要項目按照誤差性質的不同，用不同的方法綜合成總的測量誤差極限最嚴重情況---結果和實際差別---誤差極限偏大2）實驗統計法綜合使用，互相補充、相互驗證利用實際測量數據估算---反映各種因素的實際綜合作用反映出各種誤差成分在總誤差中所占的比重---產生誤差的主要原因---減小誤差應主要采取的措施應用數理統計的方法對在實際條件下所獲得的測量數據進行分析處理，確定其最可靠的測量結果和估算其測量誤差的極限適用：①一般測量適用：①擬定測量方案②研究新的測量方法、設計新的測量裝置和系統②對測量方法和測量儀器的實際精度進行估算和校驗1、系統誤差的消除②測量方法---避免出現系統誤差

---防止系統誤差出現的最基本辦法數據處理---被測量的估計值---可信程度（評定）①找出規(guī)律---修正值2）引入修正值進行校正3）檢測方法上消除或減小---現有儀器設備取得更好的效果（提高測量準確度）1）分析系統誤差產生的原因二、數據處理的一般方法

---已出現的系統誤差理論分析/專門的實驗研究---系統誤差的具體數值和變化規(guī)律---確定修正值（溫度、濕度、頻率修正等）測量前---對可能產生的誤差因素進行分析，采取相應措施---修正表格、修正曲線、修正公式---按規(guī)律校正---實際測量中，采取有效的測量方法②抵消法例：等臂天平稱重---左右兩臂長的微小差別---恒值系統誤差引起系統誤差的條件（如被測量的位置）相互交換---其他條件不變①換位法/替代法---產生系統誤差的因素對測量結果起相反的作用---抵消a）X與P左右交換---兩次測量的平均值---消除系統誤差被測物---X；平衡物---T；砝碼---P改變測量條件（如方向）---兩次測量結果的誤差符號相反---平均值消除帶有間隙特性的定值系統誤差例：千分尺---空行程（刻度變化，量桿不動）---系統誤差---異號相消法b）T與X平衡測量結果P與T平衡已知量替換被測量正反兩個方向對準標志線順時針---逆時針---正確值---換位/替代法不含系統誤差－a，空程引起誤差－③差動法被測量對傳感器起差動作用干擾因素起相同作用---被測量的作用相加---干擾的作用相減抑制干擾提高靈敏度和線性度作用：④比值補償法利用比值補償原理---影響因素在輸出計算式的分子、分母上同時出現---約消例：比色高溫計---消除輻射率變化的影響⑤半周期偶數觀測法

---系統誤差隨某因素成周期性變化綜合：兩次測量所得的周期系統誤差---數值相等、正負相反---取平均值

自動檢測---檢測的時間間隔為?周期（克服隨時間周期變化因素的影響）有影響的因素---定值/較窄范圍---系差穩(wěn)定---修正值測量---?變化周期傳感器信號轉換---選頻放大器、濾波器、濾色片---截斷/刪除無用頻帶（只讓有用信號頻帶通過）

---減輕校正、補償難度措施---恒溫、穩(wěn)壓或穩(wěn)頻1）判別方法①物理判別法---人為因素（讀錯、記錄錯、操作錯）②統計判別法---整個測量完畢之后2、粗大誤差的減少辦法和剔除準則

2）剔除準則

①拉依達準則（3

準則）

②肖維勒準則③格拉布斯準則顯然與事實不符---歪曲測量結果---主觀避免---剔除（發(fā)現）---測量過程中---不符合實驗條件/環(huán)境突變（突然振動、電磁干擾等）統計方法處理數據---超過誤差限---判為壞值---剔除隨機誤差在一定的置信概率下的確定置信限測量值Xd

的剩余誤差的絕對值|Pd|>3---壞值---剔除

測量值Xd

的剩余誤差的絕對值|Pd|>n---壞值---剔除

n---肖維勒系數（查表確定）測量值Xd

的剩余誤差的絕對值|Pd|>(,n)

---壞值---剔除

(,n)

---查表確定計算算術平均值x剩余誤差均方誤差

剔除壞值---隨時發(fā)現，隨時剔除---重新測量

3、隨機誤差的分析處理

---統計方法正態(tài)分布（高斯分布）---大多數；其它---正弦分布、二次分布、卡方分布、指數分布、分布、

分布等1）分布：均勻分布---量化誤差、舍入誤差；N次測量結果---xi(i=1,2,…,N)

概率密度函數概率分布函數誤差=x-x0均方根誤差/標準誤差①對稱性2）特點:②

有界性③

抵償性④

單峰性

---可正可負---絕對值相等的正負誤差出現的機會相等

P()-曲線對稱于縱軸

---絕對值不會超過一定的范圍（一定的測量條件下）絕對值很大的誤差幾乎不出現

---測量次數n∞時（相同條件下）全體隨機函數的代數和

---絕對值小的誤差出現的機會多（概率密度大）

=0處隨機誤差概率密度有最大值數學期望（Expectation）

---真值x0標準偏差（Standarddeviation）

---測量精密度的標志3）特征量：-KKh---

精密度指數數學期望---標準偏差樣本平均---隨機變量---數學期望、標準偏差

---估計值s樣本平均x的標準偏差

---單次測量標準偏差的真值x0x估計樣本中各測量數據相對樣本平均的分散程度---樣本標準偏差s---總體標準偏差的無偏估計算術平均（Meanvalue）樣本平均---的無偏估計總體期望：無限次測量（不可能實現）---有限次測量代替估計（Estimation)---有限次樣本推測總體參數---估計值（^）同一被測量n次測量xi（i=1，2，…，n）---樣本真值x---可靠---多次測量提高精密度4、誤差綜合1）系統誤差的合成①已定系統誤差---大小和正負已知2）隨機誤差的合成②

間接測量隨機誤差的合成②未定系統誤差---難以知道或不能確切掌握大小和正負---極限范圍e---代數和---校正消除---不確定度代數相加法、方和根法、廣義方和根法①間接測量平均值的計算xi（i=1,2,…,m）---直接測量量y---間接測量量y=f（x1，x2，…，xm）---xi的單值函數y=f（x1，x2，…，xm）---各直接測量量互不相關③不等精密度測量“權”---比重的大?。ㄐ刨嚩雀?--比重大）加權算術平均值加權算術平均值的均方根誤差均方根誤差剩余誤差5、測量結果的表示方法①多次測量結果的表示測量結果=樣本平均值不確定度②單次測量結果的表示--消除系統誤差、剔除粗大誤差隨機誤差數據處理

---被測量真值的取值范圍（概率）不確定度（Uncertainty）測量可以置信的限度---KK---置信系數（K=1,2,3等）直接測量概率---置信概率正態(tài)分布68.27%95.45%99.73%事前誤差分析、以往的同等條件、詳盡條件下多次測量的統計結果、檢測器具說明書中給出的誤差限---標準偏差的估計值-KK6、數據的有效數字及舍入規(guī)則1）數據有效數字---位數：不確定度---一位到二位2）數字的舍入規(guī)則

如：測量結果l=4.2958mm，極限誤差lim=0.015mm一般數據---按有效數字取舍數據的位數l=4.296mm---“四舍六入五湊雙”加減運算---小數點后位數最少的數據一般數據精度數據（標準差、極限誤差）數據：最末一位取與不確定度末位同一量級按書寫數字---數據誤差（半個單位以內）

如：2.38（0.005），0.082（0.0005

）---“只入不舍”如：極限誤差0.220.3（一位有效數字）3）數字運算規(guī)則乘除運算---有效數字位數最少的數據4.286+1.32-0.4563=5.14975.15462.8×0.641.22=242.780332.4×1027、最小二乘原理及其應用1）最小二乘法原理2）回歸分析

---數理統計方法---

目標變量與自變量

---函數關系相關關系---不能由自變量的數值精確的求得目標變量數據處理數學表達式n次重復測量（x1,x2,

…,xn

）最佳估計殘差平方和最小---殘差平方和最小應用：實驗數據的處理、經驗公式的求得、因素分析、產品質量控制、系統模型建立(x1,y1),(x2,y2),…,(xn

,yn)******數學模型：直線、拋物線、雙曲線、冪函數實驗數據：y=f(x)最小二乘法最佳函數關系式*xy擬和曲線殘差殘差平方和殘差平方和最小或m+1個方程m+1個未知數（a0,a1,…,am）3）回歸方程的方差分析與顯著性檢驗y=f(x)一次函數---線性關系顯著性檢驗---自變量和因變量之間的關系與實際是否相符方差分析---求解/預報因變量的值的精度如何總的離差平方和①方差分析n個測量值（y1,y2,

…,yn

）之間的差異---變差第i個測