誤差理論與數(shù)據(jù)處理

第二章誤差理論與數(shù)據(jù)處理一、測(cè)量誤差的基本理論1、測(cè)量誤差的定義：測(cè)量誤差=測(cè)得值-真值客觀真實(shí)值（未知）1m=1650763.73實(shí)驗(yàn)結(jié)果---實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)---與其理論期望值不完全相同

①約定真值：世界各國公認(rèn)的幾何量和物理量的最高基準(zhǔn)的量值③相對(duì)真值：標(biāo)準(zhǔn)儀器的測(cè)得值或用來作為測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)用的標(biāo)準(zhǔn)器的值如：米---公制長度基準(zhǔn)---

氪-86的2p10-5d5能級(jí)間躍遷在真空中的輻射波長測(cè)量所得數(shù)據(jù)與其相應(yīng)的真值之差---1）絕對(duì)誤差x=x–x0②理論真值：設(shè)計(jì)時(shí)給定或用數(shù)學(xué)、物理公式計(jì)算出的給定值光在真空中1s時(shí)間內(nèi)傳播距離的1/2997924852）相對(duì)誤差測(cè)量的絕對(duì)誤差與被測(cè)量的真值之比絕對(duì)誤差很小定義：表示：百分?jǐn)?shù)（%）---分子分母量綱相同相對(duì)誤差=100%絕對(duì)誤差真值

=100%xx0相對(duì)誤差=100%絕對(duì)誤差測(cè)得值

=100%xx例：質(zhì)量G1=50g，誤差1=2g；質(zhì)量G2=2kg，誤差2=50g

1=100%=100%=4%1G1G1的相對(duì)誤差為250

2=100%=100%=2.5%G2G2的相對(duì)誤差為5020002---G2的測(cè)量效果較好確切反映測(cè)量效果：被測(cè)量的大小不同---允許的測(cè)量誤差不同被測(cè)量的量值小---允許的測(cè)量絕對(duì)誤差也越小2、誤差的特點(diǎn)普遍性---所有的測(cè)量數(shù)據(jù)都存在誤差---不可避免的最高基準(zhǔn)的測(cè)量傳遞手段（測(cè)量儀器/測(cè)量方法）---不絕對(duì)準(zhǔn)確①

“米制”建議（18世紀(jì)末法國科學(xué)院）

---

“米”定義（1791年法國國會(huì)）

---通過巴黎的地球子午線長度的四千分之一---鉑桿“檔案尺”（1799年）---兩端之間的距離---第一個(gè)實(shí)物基準(zhǔn)長度：

“檔案尺”變形---較大誤差---廢棄（1872年米制國際會(huì)議）②鉑銥合金的X形尺---米原器（1889年第一次國際計(jì)量大會(huì)）---中性面上兩端的二條刻線在0C時(shí)的長度---（1~2）10-7（復(fù)現(xiàn)精度）③自然基準(zhǔn)（1960年第十一次國際計(jì)量大會(huì)）---廢棄米原器---Kr-86的2p10-5d5能級(jí)間躍遷在真空中的輻射波長的1650763.73倍。---（0.5~1）10-8（復(fù)現(xiàn)精度）④

“米”新定義（1983年第十七屆國際計(jì)量大會(huì)）---光在真空中1s時(shí)間內(nèi)傳播距離的1/299792485---1.310-10（復(fù)現(xiàn)精度）①減小誤差的影響，提高測(cè)量精度測(cè)量精度---測(cè)量技術(shù)水平的主要標(biāo)志之一精度提高受到限制---測(cè)量誤差的影響作出評(píng)定②對(duì)測(cè)量結(jié)果的可靠性給出評(píng)定（精確度的估計(jì)）與檢測(cè)系統(tǒng)的組成和各組成環(huán)節(jié)有關(guān)3、誤差原因性質(zhì)、狀態(tài)、條件以及被測(cè)量的種類、狀態(tài)③檢測(cè)系統(tǒng)各環(huán)節(jié)所使用的材料性能和制造技術(shù)引起的誤差⑤檢測(cè)系統(tǒng)各環(huán)節(jié)動(dòng)力源的變化引起的誤差⑥檢測(cè)系統(tǒng)器件特性變化引起的誤差---偏離設(shè)定值⑦檢測(cè)環(huán)境引起的誤差⑧檢測(cè)方法誤差⑨檢測(cè)人員造成的誤差①由被測(cè)對(duì)象本身引起的誤差②

因檢測(cè)理論的假定產(chǎn)生的誤差實(shí)際情況與假定情況不符④組成檢測(cè)系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的傳遞特性方面產(chǎn)生的誤差人員視覺、讀數(shù)誤差、經(jīng)驗(yàn)、熟練程度、精神方面原因（疲勞）環(huán)境條件（溫度、濕度、氣壓等）差異器件的性能電流、電壓、氣壓、液壓等檢測(cè)方法、采樣方法、測(cè)量重復(fù)次數(shù)、取樣時(shí)間方法誤差4、誤差分類按誤差來源：裝置誤差、環(huán)境誤差、方法誤差、人員誤差①系統(tǒng)誤差（Systemerror）由特定原因引起、具有一定因果關(guān)系并按確定規(guī)律產(chǎn)生按掌握程度：已知誤差、未知誤差按特性規(guī)律：系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差、粗大誤差

---有規(guī)律可循裝置、環(huán)境、動(dòng)力源變化、人為因素再現(xiàn)性---偏差（Deviation）理論分析/實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證---原因和規(guī)律---減少/消除②隨機(jī)誤差（Randomerror）因許多不確定性因素而隨機(jī)發(fā)生偶然性（不明確、無規(guī)律）概率和統(tǒng)計(jì)性處理（無法消除/修正）③粗大誤差（Abnormal

error）檢測(cè)系統(tǒng)各組成環(huán)節(jié)發(fā)生異常和故障等引起異常誤差---混為系統(tǒng)誤差和偶然誤差---測(cè)量結(jié)果失去意義分離---防止按變化速度：靜態(tài)誤差、動(dòng)態(tài)誤差5、檢測(cè)精度---檢測(cè)系統(tǒng)的基本內(nèi)容不同場(chǎng)合---檢測(cè)精度要求不同例：服裝裁剪（身長/胸圍）---半厘米；發(fā)動(dòng)機(jī)活塞直徑---微米級(jí)精度高---系統(tǒng)復(fù)雜---造價(jià)高---系統(tǒng)誤差大小的反映坐標(biāo)原點(diǎn)---真值點(diǎn)的位置按誤差原因：點(diǎn)---多次測(cè)量結(jié)果①正確度：表征測(cè)量結(jié)果接近真值的程度②精密度：反映測(cè)量結(jié)果的分散程度（針對(duì)重復(fù)測(cè)量而言）---表示隨機(jī)誤差的大小③準(zhǔn)確度：表征測(cè)量結(jié)果與真值之間的一致程度---系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的綜合反映例：6、確定測(cè)量誤差的方法1）逐項(xiàng)分析法與被測(cè)對(duì)象有關(guān)的專業(yè)知識(shí)---物理過程、數(shù)學(xué)手段對(duì)測(cè)量中可能產(chǎn)生的誤差進(jìn)行分析、逐項(xiàng)計(jì)算出其值，并對(duì)其中主要項(xiàng)目按照誤差性質(zhì)的不同，用不同的方法綜合成總的測(cè)量誤差極限最嚴(yán)重情況---結(jié)果和實(shí)際差別---誤差極限偏大2）實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)法綜合使用，互相補(bǔ)充、相互驗(yàn)證利用實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)估算---反映各種因素的實(shí)際綜合作用反映出各種誤差成分在總誤差中所占的比重---產(chǎn)生誤差的主要原因---減小誤差應(yīng)主要采取的措施應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法對(duì)在實(shí)際條件下所獲得的測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行分析處理，確定其最可靠的測(cè)量結(jié)果和估算其測(cè)量誤差的極限適用：①一般測(cè)量適用：①擬定測(cè)量方案②研究新的測(cè)量方法、設(shè)計(jì)新的測(cè)量裝置和系統(tǒng)②對(duì)測(cè)量方法和測(cè)量儀器的實(shí)際精度進(jìn)行估算和校驗(yàn)1、系統(tǒng)誤差的消除②測(cè)量方法---避免出現(xiàn)系統(tǒng)誤差

---防止系統(tǒng)誤差出現(xiàn)的最基本辦法數(shù)據(jù)處理---被測(cè)量的估計(jì)值---可信程度（評(píng)定）①找出規(guī)律---修正值2）引入修正值進(jìn)行校正3）檢測(cè)方法上消除或減小---現(xiàn)有儀器設(shè)備取得更好的效果（提高測(cè)量準(zhǔn)確度）1）分析系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因二、數(shù)據(jù)處理的一般方法

---已出現(xiàn)的系統(tǒng)誤差理論分析/專門的實(shí)驗(yàn)研究---系統(tǒng)誤差的具體數(shù)值和變化規(guī)律---確定修正值（溫度、濕度、頻率修正等）測(cè)量前---對(duì)可能產(chǎn)生的誤差因素進(jìn)行分析，采取相應(yīng)措施---修正表格、修正曲線、修正公式---按規(guī)律校正---實(shí)際測(cè)量中，采取有效的測(cè)量方法②抵消法例：等臂天平稱重---左右兩臂長的微小差別---恒值系統(tǒng)誤差引起系統(tǒng)誤差的條件（如被測(cè)量的位置）相互交換---其他條件不變①換位法/替代法---產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的因素對(duì)測(cè)量結(jié)果起相反的作用---抵消a）X與P左右交換---兩次測(cè)量的平均值---消除系統(tǒng)誤差被測(cè)物---X；平衡物---T；砝碼---P改變測(cè)量條件（如方向）---兩次測(cè)量結(jié)果的誤差符號(hào)相反---平均值消除帶有間隙特性的定值系統(tǒng)誤差例：千分尺---空行程（刻度變化，量桿不動(dòng)）---系統(tǒng)誤差---異號(hào)相消法b）T與X平衡測(cè)量結(jié)果P與T平衡已知量替換被測(cè)量正反兩個(gè)方向?qū)?zhǔn)標(biāo)志線順時(shí)針---逆時(shí)針---正確值---換位/替代法不含系統(tǒng)誤差－a，空程引起誤差－③差動(dòng)法被測(cè)量對(duì)傳感器起差動(dòng)作用干擾因素起相同作用---被測(cè)量的作用相加---干擾的作用相減抑制干擾提高靈敏度和線性度作用：④比值補(bǔ)償法利用比值補(bǔ)償原理---影響因素在輸出計(jì)算式的分子、分母上同時(shí)出現(xiàn)---約消例：比色高溫計(jì)---消除輻射率變化的影響⑤半周期偶數(shù)觀測(cè)法

---系統(tǒng)誤差隨某因素成周期性變化綜合：兩次測(cè)量所得的周期系統(tǒng)誤差---數(shù)值相等、正負(fù)相反---取平均值

自動(dòng)檢測(cè)---檢測(cè)的時(shí)間間隔為?周期（克服隨時(shí)間周期變化因素的影響）有影響的因素---定值/較窄范圍---系差穩(wěn)定---修正值測(cè)量---?變化周期傳感器信號(hào)轉(zhuǎn)換---選頻放大器、濾波器、濾色片---截?cái)?刪除無用頻帶（只讓有用信號(hào)頻帶通過）

---減輕校正、補(bǔ)償難度措施---恒溫、穩(wěn)壓或穩(wěn)頻1）判別方法①物理判別法---人為因素（讀錯(cuò)、記錄錯(cuò)、操作錯(cuò)）②統(tǒng)計(jì)判別法---整個(gè)測(cè)量完畢之后2、粗大誤差的減少辦法和剔除準(zhǔn)則

2）剔除準(zhǔn)則

①拉依達(dá)準(zhǔn)則（3

準(zhǔn)則）

②肖維勒準(zhǔn)則③格拉布斯準(zhǔn)則顯然與事實(shí)不符---歪曲測(cè)量結(jié)果---主觀避免---剔除（發(fā)現(xiàn)）---測(cè)量過程中---不符合實(shí)驗(yàn)條件/環(huán)境突變（突然振動(dòng)、電磁干擾等）統(tǒng)計(jì)方法處理數(shù)據(jù)---超過誤差限---判為壞值---剔除隨機(jī)誤差在一定的置信概率下的確定置信限測(cè)量值Xd

的剩余誤差的絕對(duì)值|Pd|>3---壞值---剔除

測(cè)量值Xd

的剩余誤差的絕對(duì)值|Pd|>n---壞值---剔除

n---肖維勒系數(shù)（查表確定）測(cè)量值Xd

的剩余誤差的絕對(duì)值|Pd|>(,n)

---壞值---剔除

(,n)

---查表確定計(jì)算算術(shù)平均值x剩余誤差均方誤差

剔除壞值---隨時(shí)發(fā)現(xiàn)，隨時(shí)剔除---重新測(cè)量

3、隨機(jī)誤差的分析處理

---統(tǒng)計(jì)方法正態(tài)分布（高斯分布）---大多數(shù)；其它---正弦分布、二次分布、卡方分布、指數(shù)分布、分布、

分布等1）分布：均勻分布---量化誤差、舍入誤差；N次測(cè)量結(jié)果---xi(i=1,2,…,N)

概率密度函數(shù)概率分布函數(shù)誤差=x-x0均方根誤差/標(biāo)準(zhǔn)誤差①對(duì)稱性2）特點(diǎn):②

有界性③

抵償性④

單峰性

---可正可負(fù)---絕對(duì)值相等的正負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)相等

P()-曲線對(duì)稱于縱軸

---絕對(duì)值不會(huì)超過一定的范圍（一定的測(cè)量條件下）絕對(duì)值很大的誤差幾乎不出現(xiàn)

---測(cè)量次數(shù)n∞時(shí)（相同條件下）全體隨機(jī)函數(shù)的代數(shù)和

---絕對(duì)值小的誤差出現(xiàn)的機(jī)會(huì)多（概率密度大）

=0處隨機(jī)誤差概率密度有最大值數(shù)學(xué)期望（Expectation）

---真值x0標(biāo)準(zhǔn)偏差（Standarddeviation）

---測(cè)量精密度的標(biāo)志3）特征量：-KKh---

精密度指數(shù)數(shù)學(xué)期望---標(biāo)準(zhǔn)偏差樣本平均---隨機(jī)變量---數(shù)學(xué)期望、標(biāo)準(zhǔn)偏差

---估計(jì)值s樣本平均x的標(biāo)準(zhǔn)偏差

---單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)偏差的真值x0x估計(jì)樣本中各測(cè)量數(shù)據(jù)相對(duì)樣本平均的分散程度---樣本標(biāo)準(zhǔn)偏差s---總體標(biāo)準(zhǔn)偏差的無偏估計(jì)算術(shù)平均（Meanvalue）樣本平均---的無偏估計(jì)總體期望：無限次測(cè)量（不可能實(shí)現(xiàn)）---有限次測(cè)量代替估計(jì)（Estimation)---有限次樣本推測(cè)總體參數(shù)---估計(jì)值（^）同一被測(cè)量n次測(cè)量xi（i=1，2，…，n）---樣本真值x---可靠---多次測(cè)量提高精密度4、誤差綜合1）系統(tǒng)誤差的合成①已定系統(tǒng)誤差---大小和正負(fù)已知2）隨機(jī)誤差的合成②

間接測(cè)量隨機(jī)誤差的合成②未定系統(tǒng)誤差---難以知道或不能確切掌握大小和正負(fù)---極限范圍e---代數(shù)和---校正消除---不確定度代數(shù)相加法、方和根法、廣義方和根法①間接測(cè)量平均值的計(jì)算xi（i=1,2,…,m）---直接測(cè)量量y---間接測(cè)量量y=f（x1，x2，…，xm）---xi的單值函數(shù)y=f（x1，x2，…，xm）---各直接測(cè)量量互不相關(guān)③不等精密度測(cè)量“權(quán)”---比重的大?。ㄐ刨嚩雀?--比重大）加權(quán)算術(shù)平均值加權(quán)算術(shù)平均值的均方根誤差均方根誤差剩余誤差5、測(cè)量結(jié)果的表示方法①多次測(cè)量結(jié)果的表示測(cè)量結(jié)果=樣本平均值不確定度②單次測(cè)量結(jié)果的表示--消除系統(tǒng)誤差、剔除粗大誤差隨機(jī)誤差數(shù)據(jù)處理

---被測(cè)量真值的取值范圍（概率）不確定度（Uncertainty）測(cè)量可以置信的限度---KK---置信系數(shù)（K=1,2,3等）直接測(cè)量概率---置信概率正態(tài)分布68.27%95.45%99.73%事前誤差分析、以往的同等條件、詳盡條件下多次測(cè)量的統(tǒng)計(jì)結(jié)果、檢測(cè)器具說明書中給出的誤差限---標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值-KK6、數(shù)據(jù)的有效數(shù)字及舍入規(guī)則1）數(shù)據(jù)有效數(shù)字---位數(shù)：不確定度---一位到二位2）數(shù)字的舍入規(guī)則

如：測(cè)量結(jié)果l=4.2958mm，極限誤差lim=0.015mm一般數(shù)據(jù)---按有效數(shù)字取舍數(shù)據(jù)的位數(shù)l=4.296mm---“四舍六入五湊雙”加減運(yùn)算---小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的數(shù)據(jù)一般數(shù)據(jù)精度數(shù)據(jù)（標(biāo)準(zhǔn)差、極限誤差）數(shù)據(jù)：最末一位取與不確定度末位同一量級(jí)按書寫數(shù)字---數(shù)據(jù)誤差（半個(gè)單位以內(nèi)）

如：2.38（0.005），0.082（0.0005

）---“只入不舍”如：極限誤差0.220.3（一位有效數(shù)字）3）數(shù)字運(yùn)算規(guī)則乘除運(yùn)算---有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)據(jù)4.286+1.32-0.4563=5.14975.15462.8×0.641.22=242.780332.4×1027、最小二乘原理及其應(yīng)用1）最小二乘法原理2）回歸分析

---數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法---

目標(biāo)變量與自變量

---函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系---不能由自變量的數(shù)值精確的求得目標(biāo)變量數(shù)據(jù)處理數(shù)學(xué)表達(dá)式n次重復(fù)測(cè)量（x1,x2,

…,xn

）最佳估計(jì)殘差平方和最小---殘差平方和最小應(yīng)用：實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理、經(jīng)驗(yàn)公式的求得、因素分析、產(chǎn)品質(zhì)量控制、系統(tǒng)模型建立(x1,y1),(x2,y2),…,(xn

,yn)******數(shù)學(xué)模型：直線、拋物線、雙曲線、冪函數(shù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：y=f(x)最小二乘法最佳函數(shù)關(guān)系式*xy擬和曲線殘差殘差平方和殘差平方和最小或m+1個(gè)方程m+1個(gè)未知數(shù)（a0,a1,…,am）3）回歸方程的方差分析與顯著性檢驗(yàn)y=f(x)一次函數(shù)---線性關(guān)系顯著性檢驗(yàn)---自變量和因變量之間的關(guān)系與實(shí)際是否相符方差分析---求解/預(yù)報(bào)因變量的值的精度如何總的離差平方和①方差分析n個(gè)測(cè)量值（y1,y2,

…,yn

）之間的差異---變差第i個(gè)測(cè)