抽樣與參數(shù)估計(jì)

第9講

抽樣與參數(shù)估計(jì)一﹑抽樣方法抽樣概率抽樣非概率抽樣簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣分層抽樣等距抽樣整群抽樣方便抽樣判斷抽樣定額抽樣滾雪球抽樣1.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣(SimpleRandomSampling)

一般地，設(shè)一個(gè)總體含有N個(gè)個(gè)體，從中逐個(gè)不放回地抽取n個(gè)個(gè)體作為樣本(n≤N),如果每次抽取時(shí)總體內(nèi)的各個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都相等，就把這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。假設(shè)要對(duì)某食品店內(nèi)的一批小包裝餅干進(jìn)行衛(wèi)生達(dá)標(biāo)檢驗(yàn)，我們只能從中抽取一定數(shù)量的餅干作為檢驗(yàn)的樣本。得到樣本餅干的一個(gè)方法是，將這批小包裝餅干放入一個(gè)不透明的袋子中，攪拌均勻，然后不放回地摸取(這樣可以保證每一袋餅干被抽中的機(jī)會(huì)相等)，這樣我們就可以得到一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本。抽簽法(抓鬮法):例如，高一（2）班有45名學(xué)生，現(xiàn)要從中抽出8名學(xué)生去參加一個(gè)座談會(huì)，每名學(xué)生的機(jī)會(huì)相等。我們可以把45名學(xué)生的學(xué)號(hào)寫在小紙片上，揉成小球，放到一個(gè)不透明袋子中，充分?jǐn)嚢韬?，再?gòu)闹兄饌€(gè)抽出8個(gè)號(hào)簽，從而抽出8名參加座談會(huì)的學(xué)生。2.分層抽樣法(類型抽樣：StratifiedSampling)

一般地，在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨(dú)立地抽取一定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是一種分層抽樣法．假設(shè)某地區(qū)有高中生2400人，初中生10900人，小學(xué)生11000人．此地區(qū)教育部門為了了解本地區(qū)中小學(xué)生的近視情況及形成原因，要從本地區(qū)中小學(xué)生中抽?。保サ膶W(xué)生進(jìn)行調(diào)查．由于樣本容量與總體的個(gè)體數(shù)的比是1:100,因此,樣本中包含的各部分的個(gè)體數(shù)應(yīng)該是

2400/10010900/10011000/100即抽取24名高中生，109名初中生和110名小學(xué)生作為樣本．3.等距抽樣(系統(tǒng)抽樣:SystematicSampling)

等距抽樣是在總體中每隔一定距離選取一個(gè)樣本，即從數(shù)量為Ｎ的總體中每隔k個(gè)單位就選取一個(gè)樣本，若需選擇n個(gè)樣本，則取k=N/n,k的值需取整．(如遇到N/n不是整數(shù)的情況，可以先從總體中隨機(jī)地剔除幾個(gè)個(gè)體，使得總體中剩余的個(gè)體數(shù)能被樣本容量整除)某學(xué)校為了了解高一年級(jí)學(xué)生對(duì)教師教學(xué)的意見(jiàn)，打算從高一年級(jí)500名學(xué)生中抽取50名進(jìn)行調(diào)查．首先將這500名學(xué)生從1開(kāi)始進(jìn)行編號(hào)，然后按號(hào)碼順序以一定的間隔進(jìn)行抽取．由于500/50=10,這個(gè)間隔可以定為10,即從號(hào)碼為1～10的第一間隔中隨機(jī)地抽取一個(gè)號(hào)碼，假如抽到6號(hào)，然后從第6號(hào)開(kāi)始，每隔10個(gè)號(hào)碼抽取一個(gè)，得到

6,16,26,36,···,496這樣我們就得到一個(gè)容量為50的樣本．4.整群抽樣(ClusterSampling)

整群抽樣就是從總體中成群成組地抽取調(diào)查單位，而不是一個(gè)一個(gè)地抽取調(diào)查單位。整群抽樣與分層抽樣有相似之處，即它們的第一步都是根據(jù)某種標(biāo)準(zhǔn)將總體劃分為一些子群。分層抽樣是在所有子群中均要抽取樣本，作為總體樣本的一部分。而整群抽樣則不然，它是抽取若干子群并將抽出的子群中全部個(gè)體作為樣本，因此總體樣本只分布在幾個(gè)群中。某大學(xué)共有100個(gè)班級(jí)，每班30人，共3000人?，F(xiàn)要抽300人作為樣本，就可以采取隨機(jī)的辦法抽10個(gè)班。整群抽樣的優(yōu)點(diǎn)是可以簡(jiǎn)化抽樣的過(guò)程；降低收集資料的費(fèi)用；擴(kuò)大抽樣的應(yīng)用。其缺點(diǎn)是樣本分布不均勻，樣本的代表性較差。5.方便抽樣(ConvenienceSampling)

方便抽樣又稱為就近抽樣、偶遇抽樣和自然抽樣，它是一種非概率抽樣方法。

方便抽樣是指調(diào)查者根據(jù)現(xiàn)實(shí)情況，以自己方便的形式抽取偶然遇到的人作為調(diào)查對(duì)象，或者僅僅選擇那些離得最近的、最容易找到的人作為調(diào)查對(duì)象。為了調(diào)查某市的交通情況，研究者到離他最近的公共汽車站，把當(dāng)時(shí)正在那里等車的人選作調(diào)查對(duì)象。

在圖書館閱覽室對(duì)當(dāng)時(shí)正在閱讀的讀者進(jìn)行調(diào)查。6.判斷抽樣(JudgmentSampling)

判斷抽樣又稱為主觀抽樣和立意抽樣，它是一種非概率抽樣方法。

判斷抽樣是根據(jù)合理的判斷而得到具有代表性的樣本的一種抽樣方法。如果判斷正確，使用判斷抽樣既節(jié)約時(shí)間又節(jié)省成本，但通常就一個(gè)判斷而言，有時(shí)出現(xiàn)判斷錯(cuò)誤是不可避免的。某記者可以抽取他認(rèn)為能夠代表所有參議員觀點(diǎn)的兩名或三名參議員進(jìn)行調(diào)查。7.定額抽樣(配額抽樣：QuotaSampling)

定額抽樣是一種非概率抽樣方法。

定額抽樣與分層抽樣相似，也是按調(diào)查對(duì)象的某種屬性或特征將總體中所有個(gè)體分成若干類或?qū)?，然后在各層中抽樣，樣本中各層（類）所占比例與他們?cè)诳傮w中所占比例一樣。定額抽樣的目的在于要抽選出一個(gè)總體的“模擬物”。

某高校有2000名學(xué)生，其中男生占60％，女生占40％；文科學(xué)生和理科學(xué)生各占50％；一年級(jí)學(xué)生占40％，二年級(jí)、三年級(jí)、四年級(jí)學(xué)生分別占30％、20％和10％?，F(xiàn)要用定額抽樣方法依上述三個(gè)變量抽取一個(gè)規(guī)模為100人的樣本?？傻枚~表如下：

男生（60）女生（40）文科（30）理科（30）文科（20）理科（20）年級(jí)一二三四一二三四一二三四一二三四人數(shù)1296312963864286428.滾雪球抽樣(SnowballSampling)滾雪球抽樣是一種非概率抽樣方法。

在無(wú)法了解總體情況時(shí)，可以從總體中的少數(shù)成員入手，對(duì)他們進(jìn)行調(diào)查，向他們?cè)儐?wèn)還知道哪些符合條件的人；再去找那些人并詢問(wèn)他們知道的人。如同滾雪球一樣，我們可以找到越來(lái)越多具有相同性質(zhì)的群體成員。這樣的抽樣方法就是滾雪球抽樣方法。要研究退休老人的生活，可以清晨到公園去結(jié)識(shí)幾位散步老人，再通過(guò)他們結(jié)識(shí)其朋友，不用很久，你就可以交上一大批老年朋友。二﹑抽樣分布與參數(shù)估計(jì)1.正態(tài)分布與總體均值的區(qū)間估計(jì)

(1)正態(tài)分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量Ｘ的概率密度為其中μ,σ>0為常數(shù)，則稱Ｘ服從參數(shù)為μ,σ的正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布，記為Ｘ~Ｎ(μ,σ2).當(dāng)μ=0,σ=1時(shí)，為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作Ｎ(0,1).

從經(jīng)驗(yàn)和理論的研究告訴我們，在實(shí)踐中遇到的隨機(jī)變量，有許多是服從或近似地服從正態(tài)分布律．

,f(X)=√2πσ1e-(x-μ)22σ2﹣∞<x<+∞正態(tài)分布的密度函數(shù)f(x)的曲線簡(jiǎn)稱為正態(tài)曲線．下圖給出３條正態(tài)曲線，它們的μ都等于零，但卻具有不同的σ值．從圖可以看出，正態(tài)曲線具有下述性質(zhì):1)

曲線是位于橫軸的上方，以直線x=μ為對(duì)稱軸，它向左右對(duì)稱地?zé)o窮伸延，并且以橫軸為漸進(jìn)線．當(dāng)x=μ時(shí)曲線處于最高點(diǎn)，當(dāng)x向左右遠(yuǎn)離μ時(shí)，曲線逐漸降低，整條曲線呈現(xiàn)“中間高，兩邊低”的形狀．參數(shù)σ決定了正態(tài)曲線的形狀特點(diǎn)

(2)中心極限定理

設(shè)從均值為μ，方差為σ2的一個(gè)服從任意分布的總體中，抽取容量為n的樣本，當(dāng)n充分大時(shí)，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為μ，方差為σ2/n的正態(tài)分布．中心極限定理告訴我們，當(dāng)樣本總體不是正態(tài)分布或者總體的分布未知時(shí)，只要樣本容量n充分大，樣本均值就服從正態(tài)分布．那么n多大才叫充分大呢?當(dāng)總體的分布未知時(shí)，通常要求n≥30.

(3).σ2已知時(shí)，總體均值μ的區(qū)間估計(jì)

設(shè)(X1,X2,···,Xn)是來(lái)自正態(tài)總體Ｎ(μ,σ)的一個(gè)樣本，其中總體方差σ２已知，則統(tǒng)計(jì)量

~N(0,1).對(duì)于給定的顯著性水平α(0<α<1),總體均值μ在置信水平1-α下的置信區(qū)間為:

本例中，雖然總體分布未知，但由于n=36,是大樣本情況，根據(jù)中心極限定理，樣本均值服從正態(tài)分布．已知:n=36,σ=1.2，1-α=0.98則α=0.02,差表得Z=2.33樣本均值Ｘ=[(3×14)+(4×8)+(2×6)+(5×5)+(1×2)+(6×1)]/36=3.31根據(jù)前面的公式，總體均值在置信水平98%下的置信區(qū)間為:=(3.31-2.33,3.31+2.33)=(2.84,3.78)也就是說(shuō)，有98%的把握相信，顧客平均入住天數(shù)大約在2.8天與3.8天之間．2α(X-Z2σnX+Z)σ√nα2α√,1.2√361.2√36案例:

某飯店隨機(jī)抽取了36名顧客，對(duì)其入住天數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)調(diào)查，其中入?。程斓挠?4人，入?。刺斓挠校溉耍胱。蔡斓挠校度?，入住５天的有５人，入?。碧斓挠校踩耍胱。短斓挠校比?，假設(shè)其總體標(biāo)準(zhǔn)差為1.2，試構(gòu)建98%的置信區(qū)間，估計(jì)顧客的平均入住天數(shù)．n2.t分布與總體均值的區(qū)間估計(jì)

(1)t分布設(shè)(X1,X2,···,Xn)是來(lái)自正態(tài)總體N(μ,σ2)的一個(gè)樣本,而總體方差σ２未知，樣本均值,樣本方差為S２,

X=n1ΣXii=1nS2=n-11Σ(Xi-X)i=1n2t=X-μS/√nt=X-μS/√n~t(n-1).從圖可以看出t分布是對(duì)稱分布，當(dāng)n很大時(shí)(例如當(dāng)n>30時(shí))t分布和正態(tài)分布很接近．t分布通常是在小樣本情況下，總體方差未知時(shí)，對(duì)總體均值μ的估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)中使用．則選取統(tǒng)計(jì)量其中

(2)σ2未知時(shí)，總體均值μ的區(qū)間估計(jì)

設(shè)(X1,X2,···,Xn)是來(lái)自正態(tài)總體Ｎ(μ,σ)的一個(gè)樣本，但總體方差σ２未知，這時(shí)要選取統(tǒng)計(jì)量,

則

對(duì)于給定的顯著性水平α(0<α<1),總體均值μ在置信水平1-α下的置信區(qū)間為:

t=X-μS/√nt=X-μS/√n~t(n-1).

案例:研究者從人群中隨機(jī)抽取16人，調(diào)查他們的年出游天數(shù)，得到他們的年出游天數(shù)分別為13天﹑9天﹑

7天﹑

15天﹑

17天﹑

20天﹑

12天﹑

6天﹑

12天﹑

12天﹑

10天﹑9天﹑16天﹑

7天﹑

8天﹑

11天，假設(shè)其總體服從正態(tài)分布，試在α=0.1下建立年人均出游天數(shù)的置信區(qū)間.已知n=16,α=0.1

計(jì)算得:查表得:t=1.753

根據(jù)公式，總體均值μ在置信水平90%下的置信區(qū)間為:也就是說(shuō)，有90%的把握相信，年人均出游天數(shù)大約在9.8天到13.2天之間．ΣXi=11.5X=n1i=1ni=1n(Xi-X)2√1n-1Σ

=3.96S=2α(X–t(n-1),α2S√nX+t(n-1))α2S√n11.5+1.7533.9616)=(11.5-1.7533.9616,=(9.77,13.24)

3.總體比例的區(qū)間估計(jì)

(1)樣本比例的分布樣本比例p是樣本中具有某種特征的單位數(shù)量Ｘ除以樣本中的單位總數(shù)n得到的.

總體中具有某種特征的單位占全部單位的比例稱為總體比例，記作p.

在大樣本情況下，樣本比例分布近似于正態(tài)分布．若從總體中抽取n個(gè)樣本，則樣本比例p的均值為p,p的方差為

p=nXn1p(1-p),即p~N(p,p(1-p))n1Z=√p-pp(1-p)n則統(tǒng)計(jì)量~N(0,1).

(2)總體比例的區(qū)間估計(jì)在

中，要確定p的區(qū)間估計(jì)，用p代替分母中的p,得到在1-α的置信水平下，總體比例p值的置信區(qū)間為:

在上式中，是點(diǎn)估計(jì)，

P(1-P)nZ=√p-p

是估計(jì)誤差．案例:航空公司的飛行時(shí)間和價(jià)格是商務(wù)旅行者選擇航班的重要因素，調(diào)查結(jié)果表明，商務(wù)旅行者一般將航空公司許諾的?？驼劭劭闯墒亲钪匾囊蛩兀谝粋€(gè)由1993名商務(wù)旅行者組成的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本中，有618人認(rèn)為折扣是他們最看好的東西．試在0.95的置信水平下，估計(jì)認(rèn)為折扣最有吸引力的人數(shù)所占的比例．=(0.29,0.33)p(1-p)n(p–Z

α2√,p(1-p)np+Z

α2√

已知,n=1993,p=618/1993=0.31,1-α=0.95查表得:Z2α=Z0.025=1.96由得知,認(rèn)為折扣最有吸引力的人數(shù)所占的比例為29%~33%之間.pp))

4.樣本容量的確定

(1)估計(jì)總體均值時(shí)，樣本容量的確定

在大樣本情況下，不論是正態(tài)總體還是非正態(tài)總體，在估計(jì)總體均值μ時(shí)，我們都選取統(tǒng)計(jì)量其中，Ｘ-μ就是估計(jì)誤差，記估計(jì)誤差為△，

△=X-μ,則得到估計(jì)總體均值μ時(shí)的樣本容量為:

X-μZ=σ/√n,

Z=σ/√n△2Zn=α2σ2△2

案例:某飯店為了合理配置前臺(tái)接待人員，飯店管理部門需要了解接待一名顧客所花費(fèi)的時(shí)間，要求估計(jì)誤差不超過(guò)2分鐘，假定一名服務(wù)員接待一名顧客花費(fèi)時(shí)間的標(biāo)準(zhǔn)差為4分鐘，問(wèn)在99%的置信水平下，需要觀察多少名顧客?2Zα=Z0.005=2.58

查表得:n=α2σ2△2Z2=(2.58)2(4)222=26.6于是，已知估計(jì)誤差△=2,標(biāo)準(zhǔn)差σ=4,1-α=0.99,α=0.01即需要觀察27名顧客。(2)估計(jì)總體比例時(shí),樣本容量的確定估計(jì)樣本比例時(shí),選取統(tǒng)計(jì)量,估計(jì)誤差為△,△=p–p=Z2α√p(1-p)nP(1-P)nZ=√p-p在