第5篇ch12代數(shù)系統(tǒng)ch13群ch14環(huán)與域

第五篇代數(shù)系統(tǒng)第12章代數(shù)系統(tǒng)(結(jié)構(gòu))

1521代數(shù)系統(tǒng)的引入定義12-1.1如果

為An到B的一個(gè)函數(shù)，則稱(chēng)

為集合A上的n元運(yùn)算（operater）。如果BA，則稱(chēng)該n元運(yùn)算在A上封閉。定義12-1.2一個(gè)非空集合A到連同若干個(gè)定義在該集合上的運(yùn)算

f1,f2,…,fk

所組成的系統(tǒng)稱(chēng)為一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)（代數(shù)結(jié)構(gòu)），記為<A,f1,f2,…,fk>

。定義12-1.2‘代數(shù)結(jié)構(gòu)是由以下三個(gè)部分組成的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)：（1）非空集合S，稱(chēng)為代數(shù)結(jié)構(gòu)的載體。（2）載體S上的若干運(yùn)算。（3）一組刻劃載體上各運(yùn)算所滿(mǎn)足性質(zhì)的公理。代數(shù)結(jié)構(gòu)常用一個(gè)多元序組<S，，，…>來(lái)表示,其中S是載體,,，…為各種運(yùn)算。有時(shí)為了強(qiáng)調(diào)S有某些元素地位特殊,也可將它們列入這種多元序組的末尾。12-2運(yùn)算及其性質(zhì)定義12-2.1~6

設(shè)和為集合A上的二元運(yùn)算:

若xy(x,yA→xyA),則稱(chēng)在A上封閉。若xy(x,yA→xy=yx),則稱(chēng)滿(mǎn)足交換律。若xyz(x,y,zA→x(yz)=(xy)z),則稱(chēng)滿(mǎn)足結(jié)合律。若xyz(x,y,zA→x(yz)=(xy)(xz))

，則稱(chēng)對(duì)滿(mǎn)足分配律。若xy(x,yA→x(xy)=x,x(xy)=x)

，則稱(chēng)和滿(mǎn)足吸收律。若x

(xA→xx=x)

，則稱(chēng)滿(mǎn)足等冪律。

定義12-2.7

設(shè)為集合A上的二元運(yùn)算:

若elx(el,xA→elx=x),則稱(chēng)el為A中的左幺元。若erx(er,xA→xer=x),則稱(chēng)er為A中的右幺元。若ex(e,xA→ex=xe=x),則稱(chēng)e為A中的幺元。

定理12-2.1

代數(shù)結(jié)構(gòu)<A，>有關(guān)于運(yùn)算的幺元e，當(dāng)且僅當(dāng)它同時(shí)有關(guān)于運(yùn)算的左幺元el和右幺元er

。并且其所含幺元是唯一的,即el=er=e

。

證明：先證左幺元el=右幺元er=e

el=eler

=er=e

再證幺元e是唯一的設(shè)還有一個(gè)幺元e’A,則

e’=

e’

e=

e

定義12-2.8如果

lA，滿(mǎn)足:對(duì)一切xA，都有

lx=l則稱(chēng)元素l

為左零元。如果rA，滿(mǎn)足:對(duì)一切xA，都有

xr＝r則稱(chēng)元素r

為右零元。如果A且對(duì)任意xA，都有

x＝x＝則稱(chēng)元素為代數(shù)結(jié)構(gòu)<A，>(關(guān)于運(yùn)算)的零元(zero)。

定理12-2.2

代數(shù)結(jié)構(gòu)<A，>有關(guān)于運(yùn)算的零元

，當(dāng)且僅當(dāng)它同時(shí)有關(guān)于

運(yùn)算的左零元l和右零元r

。并且其所含零元是唯一的,即l=r=

。定理12-2.3

如果代數(shù)結(jié)構(gòu)<A，>有關(guān)于運(yùn)算的零元

和幺元e

，且集合A中元素個(gè)數(shù)大于2，則≠e

。

證明：用反證法：

反設(shè)幺元e

=零元

，則對(duì)于任意xA

，必有

x

=

e

x=

x

==

e

于是，推出A中所有元素都是相同的，矛盾。

證明：先證左零元l=右零元r=

l=l

r=r=

再證零元是唯一的設(shè)還有一個(gè)幺元

’A,則

’=’

=

定義12-2.9設(shè)代數(shù)結(jié)構(gòu)<A，，e>中

為二元運(yùn)算，e為么元，a,b

為A中元素,若ba＝e，那么稱(chēng)b為a的左逆元，a為b的右逆元。若ab＝ba＝e，那么稱(chēng)a(b)為b(a)的逆元（inverseelements）。

x的逆元通常記為x-1;但當(dāng)運(yùn)算被稱(chēng)為“加法運(yùn)算”（記為+）時(shí)，x的逆元可記為-x

。

一般地，一個(gè)元素的左逆元不一定等于它的右逆元。一個(gè)元素可以有左逆元不一定有右逆元。甚至一個(gè)元素的左（右）逆元不一定是唯一的。

定理12-2.4

設(shè)<A,>有么元e，且運(yùn)算滿(mǎn)足結(jié)合律,那么當(dāng)A中元素x有左逆元l及右逆元r時(shí),l=r,它們就是x的逆元。并且每個(gè)元素的逆元都是唯一的。

證明：先證左逆元=右逆元

設(shè)a,b,c，且b是a的左逆元，c是b的左逆元。因?yàn)椋海╞a）b

=eb=b所以：

e=cb=

c(（ba）b

)

=

(c（ba）

)

b=

(（cb）a

)

b=

(（e）a

)

b=ab(b也是a的右逆元)

再證逆元是唯一的

設(shè)a有兩個(gè)逆元b1和b2，則有

b1=b1

e=

b1

（a

b2

）

=

（

b1

a）

b2=

e

b2=b2

P183~184頁(yè)例題10、11、12

二元運(yùn)算的性質(zhì)可以根據(jù)運(yùn)算表表現(xiàn)出來(lái)：

1）運(yùn)算具有封閉性，當(dāng)且僅當(dāng)運(yùn)算表中的每個(gè)元素都屬于A。

2）運(yùn)算具有可交換性，當(dāng)且僅當(dāng)運(yùn)算表關(guān)于主對(duì)角線(xiàn)是對(duì)稱(chēng)的。

3）運(yùn)算具有等冪性，當(dāng)且僅當(dāng)運(yùn)算表的主對(duì)角線(xiàn)上的每一元素與它所在行（列）的表頭元素相同。

4）A中關(guān)于運(yùn)算具有零元，當(dāng)且僅當(dāng)該元素所對(duì)應(yīng)的行和列中的元素都與該元素相同。

5）A中關(guān)于運(yùn)算具有幺元，當(dāng)且僅當(dāng)該元素所對(duì)應(yīng)的行和列依次與運(yùn)算表的行和列相一致。

6）設(shè)A中關(guān)于運(yùn)算具有幺元，a和b互逆，當(dāng)且僅當(dāng)位于a所在行和b所在列的元素及b所在行和a所在列的元素都是幺元。

第13章群論13-1半群與幺半群定義13-1.1如果集合S上的二元運(yùn)算

是封閉的，則稱(chēng)代數(shù)結(jié)構(gòu)<S，>為廣群。定義13-1.2如果集合S上的二元運(yùn)算

是封閉的并且滿(mǎn)足結(jié)合律，則稱(chēng)代數(shù)結(jié)構(gòu)<S，>為半群（semigroups）。

定理13-1.1

設(shè)<S,>為一半群,BS且在B上封閉，那么<B,>也是一個(gè)半群，稱(chēng)為<S,>的子半群。

證明思路：結(jié)合律在B上仍成立。

例題3：乘法運(yùn)算在某些集合上構(gòu)成<R,×>的子半群。定理13-1.2設(shè)代數(shù)結(jié)構(gòu)<S，>為一個(gè)半群，如果S是一個(gè)有限集合，則必有aS

，使得aa=a。

證明思路:因<S,>是半群,對(duì)于任意bS，由于的封閉性可知

b

bS記b2=b

bb2

b=b

b2S記b3=b2

b=b

b2………

b,b2,b3,…,bi,…,bq,…,bj(最多有|S|個(gè)不同元素)

因S是一個(gè)有限集合，所以必存在j>i，使得

bi

=

bj

令

p=j-i

即

j=p+i

代入上式：bi

=

bp

bi

所以，bq

=

bp

bq

i≤q

因?yàn)閜≥1所以總可以找到k≥1，使得kp≥i,

對(duì)于bkp

S，就有

bkp

=

bp

bkp

=

bp

(bp

bkp

)

=

b2p

bkp

=

b2p(bp

bkp

)

=...=

bkp

bkp

p=j-i

定理13-1.3設(shè)<S,,e>是一個(gè)獨(dú)異點(diǎn),則在關(guān)于運(yùn)算的運(yùn)算表中任何兩行或兩列都是不相同的。定義13-1.3設(shè)代數(shù)結(jié)構(gòu)<S,>為半群，若<S,>含有關(guān)于

運(yùn)算的么元,則稱(chēng)它為獨(dú)異點(diǎn)(monoid)，或含么半群。

證明:因S

中關(guān)于運(yùn)算的幺元是e，因?yàn)閷?duì)于任意的元素a,bS，且a≠b時(shí)，總有

ea=a≠b=eb

和

a

e

=a≠b=b

e

所以，在的運(yùn)算表中不可能有兩行或兩列是相同的。

例題4:因設(shè)I是整數(shù)集合，m是任意正整數(shù)，Zm是由模m的同余類(lèi)組成的同余類(lèi)集，在上定義兩個(gè)二元運(yùn)算+m和×m分別如下：對(duì)于任意的[i]，[j]Zm

[i]+m[j]=[(i+j)(modm)][i]×m[j]=[(i×j)(modm)]

試證明在這兩個(gè)二元運(yùn)算的運(yùn)算表中任何兩行或兩列都是不相同的。證明：考察代數(shù)結(jié)構(gòu)<Zm

,+m>和<Zm

,×m>

，先分三步證明<Zm

,+m>是獨(dú)異點(diǎn)，再利用定理5-3.3的結(jié)論：

1）根據(jù)運(yùn)算定義，證明兩個(gè)運(yùn)算在Zm上封閉；

2）根據(jù)運(yùn)算定義，證明兩個(gè)運(yùn)算滿(mǎn)足結(jié)合律；

3）根據(jù)運(yùn)算定義，證明[0]是<Zm

,+m>的幺元，[1]是<Zm

,×m>的幺元。

本例題的實(shí)例見(jiàn)表16-1.2和表16-1.3

定理13-1.4設(shè)<S,,e>是一個(gè)獨(dú)異點(diǎn),如果對(duì)于任意a,bS

，且a,b均有逆元，則

a)

(a-1)-1=a

b)

(ab)-1有逆元，且(ab)-1

=b-1

a-1

。

證明:

a)

因a-1和a為互為逆元，直接得到結(jié)論。

b)

必須證明兩種情況：

(ab)[b-1

a-1

]=e

和[b-1

a-1

]

(ab)=e利用結(jié)合律容易得出。13-2.2群與子群定義13-2.1

稱(chēng)代數(shù)結(jié)構(gòu)<G,>為群(groups),如果（1）<G，>中運(yùn)算是封閉的。（2）<G，>中運(yùn)算是可結(jié)合的。（3）<G，>中有么元e.

（4）<G，>中每一元素x都有逆元x-1。例題1R={0°,60°,120°,180°,240°,300°},是R上的二元運(yùn)算，a

b表示先旋轉(zhuǎn)a再旋轉(zhuǎn)b的角度，如表5-4.1所示。驗(yàn)證代數(shù)結(jié)構(gòu)<R,>為群。

解題思路：驗(yàn)證<R,>

（1）運(yùn)算封閉；（2）運(yùn)算是可結(jié)合的；（3）有么元0°;（4）每一元素x都有逆元x-1。定義13-2.2

設(shè)<G,>為一群。若

G為有限集，則稱(chēng)<G,>為有限群（finitegroup）,此時(shí)G的元素個(gè)數(shù)也稱(chēng)G的階(order),記為|G|；否則，稱(chēng)<G,>為無(wú)限群（infinitegroup）。定理13-2.1

設(shè)<G，>為群，那麼當(dāng)G

{e}時(shí),G無(wú)零元。

證明:因當(dāng)群的階為1時(shí)，它的唯一元素是視作幺元e

。設(shè)|G|>1

且群有零元。那么群中任何元素xG，都有

x

=

x

=≠

e，所以，零元就不存在，與<G，>是群的假設(shè)矛盾。

代數(shù)結(jié)構(gòu)小結(jié)封閉

<G,>廣群半群獨(dú)異點(diǎn)群結(jié)合含幺可逆<G,>廣群半群獨(dú)異點(diǎn)群定理13-2.2

設(shè)<G，>為群，對(duì)于a,bG，必存在xG

，使得關(guān)于x的方程ax＝b，xa＝b都有唯一解．

證明:1）先證解存在性

設(shè)a的逆元a-1，令

x=

a-1

b

（構(gòu)造一個(gè)解）

ax＝a

（a-1

b

）＝（aa-1

）

b

＝e

b＝

b2）再證解唯一性若另有解x1滿(mǎn)足ax1

＝b，則

a-1

（ax1）＝a-1

b

x1＝a-1

b

驗(yàn)證確實(shí)是解定理13-2.3

設(shè)<G，>為群，那麼，對(duì)任意a,x,yS

ax=ay蘊(yùn)涵x=y

xa=ya蘊(yùn)涵x=y

G的所有元素都是可約的．因此，群中消去律成立。

證明:設(shè)ax＝ac,且a的逆元a-1，則有

a-1（a

b

）＝a-1（a

c

）

e

b＝

e

c

b＝

c

同理可證第二式。

定義13-2.3

設(shè)S是一個(gè)非空集合，從集合S到S的一個(gè)雙射稱(chēng)為S的一個(gè)置換。設(shè)S={a,b,c,d}f:SSf(a)=b;f(b)=d;f(c)=a;f(d)=c表示成如下形式：abcdbdac源象定理13-2.4

設(shè)<G，>為群，那麼，運(yùn)算表中的每一行或每一列都是群G的元素的置換。

證明:先證G中每一個(gè)元素只出現(xiàn)一次

用反證法：設(shè)a對(duì)應(yīng)行有兩個(gè)元素b1、b2對(duì)應(yīng)的都是c,即

a

b1＝ab2＝

c,且b1≠

b2

由可約性得b1＝

b2

與假設(shè)矛盾。

再證G中每一個(gè)元素必出現(xiàn)一次對(duì)于元素aG的那一行，設(shè)b是G中的任意一個(gè)元素，由于b=

a（a-1

b）

，所以b必定出現(xiàn)在對(duì)應(yīng)于a的那一行。

再由運(yùn)算表中任何兩行或兩列都是不相同的。得出要證的結(jié)論。對(duì)列的證明過(guò)程類(lèi)似。

定理13-2.5在群<G，>中，除幺元e之外，不可能有任何別的等冪元。定義13-2.4設(shè)<G，>為群，如果存在aG，有aa=a

，則稱(chēng)

a為等冪元。

證明:因?yàn)閑e=e

，所以e是等冪元?，F(xiàn)設(shè)aG，a≠e且aa=a

則有

a=ea=(a-1a)a=a-1(aa)=a-1a=e

與假設(shè)a≠e且矛盾。定義13-2.5

設(shè)<G，>為群。如果<S，>為G的子代數(shù)，且<S，>為一群，則稱(chēng)<S，>為G的子群(subgroups)。定理13-2.6

設(shè)<G,>為群，<S,>為G的子群，那么，<G,>中的幺元e必定也是<S,>中的幺元。證明:設(shè)<G,>中的幺元為e1

，對(duì)于任意一個(gè)元素

xSG,必有

e1

x=x=ex

則有e1=e

定義13-2.6

設(shè)<G,>為群，<S,>為G的子群，如果，S

={e}或S

={G}，那么稱(chēng)<S,>為<G,>的平凡子群。例題3<I,+>是一個(gè)群，設(shè)IR={x|x=2n,nI}，證明<IR,+>是<I,+>的一個(gè)子群。證明:(1)對(duì)于任意兩個(gè)元素

x，yIR

I,證+運(yùn)算在IR上封閉。

(2)證+運(yùn)算在IR上滿(mǎn)足結(jié)合律。

(3)<IR,+>在IR上有幺元0。

(4)對(duì)于任意一個(gè)元素

xIR上必有逆元-x

。定理13-2.7

設(shè)<G,>為群，B為G的非空子集，如果B是一個(gè)有限集,那么,只要運(yùn)算在B上封閉,<B,>必定是<G,>的子群。證明:設(shè)任意元素bB，若在B上封閉，則元素

b2=bb,b3=b2b,b4=b3b,...,都在B中。由于是有限集，所以必存在正整數(shù)i和j(i<j)，使得

bi=bj

必有bi=bi

bj-i

即bj-i

是<G,>中的幺元。且該幺元也在子集B中。如果j-i>1，則由bj-i

=bbj-I-1可知bj-I-1是b的逆元，且bj-I-1B

；如果j-I=1，則由bi=bib可知b是幺元，而幺元是以自身為逆元的。因此，<B,>必定是<G,>的子群。定理13-2.8

設(shè)<G,△>為群,S為G的非空子集,如果對(duì)于任意元素a,bS有a△b-1S,那么,<S,△>必定是<G,△>的子群。分四步證明:1）先證G中的幺元e也是S中的幺元對(duì)任意元素aSG,

e=a△

a-1S

且a△e=e△a=a，即e也是S中的幺元。

2）再證S中的每一個(gè)元素都有逆元對(duì)任意元素aS中，因?yàn)閑S，

所以e△a-1S，即a-1S。

3）最后證明△在S中是封閉的對(duì)任意元素a,bS,b-1S,而b=(b-1)-1

所以a△b=a△=(b-1)-1S。

4）結(jié)合律是保持的定義13-3.1

設(shè)<G,>為一群,若

運(yùn)算滿(mǎn)足交換律,則稱(chēng)G為交換群或阿貝爾群(Abelgroup)。阿貝爾群又稱(chēng)加群，常表示為<G，+>

（這里的+

不是數(shù)加，而泛指可交換二元運(yùn)算）。加群的幺元常用0來(lái)表示，元素x的逆元常用-x來(lái)表示。13-3阿貝爾群和循環(huán)群定理13-3.1

設(shè)<G,>為一群,<G,>是阿貝爾群的充要條件是對(duì)任意的a,bG，有

（ab）（ab）=（aa）（bb）

證明:1）先證充分性從條件“（ab）（ab）=（aa）（bb）”出發(fā)，推出“<G,>是阿貝爾群”的結(jié)論：對(duì)于元素a,bG，有(ab)(ab)=(aa)(bb)

因?yàn)?/p>

右端=a(ab)b=(aa)(bb)=(ab)(ab)

=a(ba)b

即

a(ab)b=a(ba)b

由可約性得，用a-1左上式，再用b-1右上式，

(ab)=(ba)

2）再證必要性從“<G,>是阿貝爾群”的結(jié)論出發(fā)

，推出

“(ab)(ab)=(aa)(bb)”條件：略

定義13-3.2

設(shè)<G,>為群，如果在G中存在元素a,使G以{a}為生成集，G的任何元素都可表示為a

的冪（約定e=a0）,稱(chēng)<G,>為循環(huán)群(cyclicgroup)，這時(shí)a稱(chēng)為循環(huán)群G的生成元（generater）。定理13-3.2

設(shè)任何一個(gè)循環(huán)群必定是阿貝爾群。

證明思路:循環(huán)群是阿貝爾群設(shè)<G,>是一個(gè)循環(huán)群，a是該群的生成元，則對(duì)于任意的x,yG

，必有r,sI，使得

x=ar

和y=as

而且xy=aras=ar+s=as+r=aras=yx因此，運(yùn)算可交換，是阿貝爾群。

定義13-3.3設(shè)<G,>為群，aG，如果an=

e,

且n為滿(mǎn)足此式的最小正整數(shù),則稱(chēng)a的階(order)為n，如果上述n不存在時(shí),則稱(chēng)a有無(wú)限階.定理13-3.3設(shè)<G,>為循環(huán)群，aG是該群的生成元，如果G的階數(shù)是n

，即|G|=n

，則an=e,且

G={a,a2,a3,...,an-2,an-1,an=e}其中，e是群<G,>的幺元。n是使的最小正整數(shù)。

證明思路:先證a的階為n

設(shè)對(duì)于某個(gè)正整數(shù)m,m<n,有am=e。那么，由于

<G,>是一個(gè)循環(huán)群，所以對(duì)于G中任意的元素都能寫(xiě)為ak(kI),而且mq+r,其中q是某個(gè)整數(shù),0≤r<m,則有

ak=amq+r

=(am)qar

=(e)qar

=ar因此，G中每一元素都可寫(xiě)成ar，G中最多有m個(gè)元素。與|G|=n矛盾。所以am=e是不可能的。再用反證法證明a

，a2

，...

，an互不相同。設(shè)ai=aj，其中1≤i<j≤n

，就有aj-i

=e

，而且1≤j-i<n

，這已經(jīng)有上面證明是不可能的。

13-4陪集和拉格朗日定理

定義13-4.2

設(shè)<H，>為<G，>的子群，那么對(duì)任一aG，稱(chēng){a}H為H的左陪集(leftcoset),記為aH;稱(chēng)H{a}為H的右陪集(rightcoset),Ha

。

定義13-4.1

設(shè)<G,>為群,A,BP(G),且A≠0，記

AB={ab

aA,bB}和A-1={a-1aA}

分別稱(chēng)為A，B的積和逆。

定理13-4.1(拉格朗日定理)

設(shè)<H，>為<G，>的子群，a,bG，那么（a)R={<a,b>|aG,bG且a-1bH}是G中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系。對(duì)于aG

，若記[a]R={x|xG且<a,x>R}，則[a]R=aH(b)設(shè)<H，>為有限群<G，>的子群，|G|=n,|H|=m,那么H階的整除G的階m|n

。

證明思路:先證（a）

對(duì)于任意aG，必有a-1G，使得aa-1=eH，所以<a,a-1>R。關(guān)系R是自反的。若<a,b>R。則ab-1H，因?yàn)镠是G的子群，故(a-1b)-1=b-1aH

所以，<b,a>R。關(guān)系R是對(duì)稱(chēng)的。若<a,b>R,<b,c>R。則a-1bH,b-1cH，所以a-1bb-1c=a-1cH，<a,c>R,關(guān)系R是傳遞的。證明了關(guān)系R是對(duì)稱(chēng)的。是等價(jià)關(guān)系。對(duì)于aG,有b[a]R當(dāng)且僅當(dāng)<a,b>R,即當(dāng)且僅當(dāng)a-1bH,而a-1bH就是baH。因此[a]R=aH。

再證(b)

由于R是G中的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，所以必定將G劃分成不同的等價(jià)類(lèi)[a1]R，[a2]R，...，[ak]R，使得

kkG=

∪[ai]R

=

∪aiH

i=1i=1

又因?yàn)镠中任意兩個(gè)不同的元素h1,h2,aG，必有ah1≠ah2，所以|aiH|=m,i=1,2,…,k。因此

kkn=|G|=|∪aiH|

=∑|aiH|=

mk

i=1i=1

所以H階的整除G的階m|n

。

推論1

任何指數(shù)階的群不可能有非平凡子群。

推論2

設(shè)<G,>為n階有限群，那么對(duì)于對(duì)于任意aG,a的階必是n的因子且必有an=e,這里e是群<G,>的幺元。如果n為質(zhì)數(shù)，則<G,>必是循環(huán)群。

13-5同態(tài)與同構(gòu)定義13-5.1

設(shè)<A,★>和<B,>是兩個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，★和分別是A和B上的二元運(yùn)算，f是從A到B的一個(gè)映射，使得對(duì)任意a1,a2A，有

f(a1★a2)=f(a1)f(a2)（先算后映=先映后算）

則稱(chēng)f為由代數(shù)結(jié)構(gòu)<A,★>到<B,>的同態(tài)映射（homomorphism），稱(chēng)代數(shù)結(jié)構(gòu)<A,★>同態(tài)于<B,>，記為A~B

。<f(A),>稱(chēng)為<A,★>的一個(gè)同態(tài)象（imageunderhomomorphism）。其中

f(A)={x|x=f(a),aA}B圖16-5.1同態(tài)映射示意圖

a★cb★cacb<A,★><B,>，

f(a)=f(b)

f(c)f(A)<B,>f(a)f(c)=f(b)f(c)先算后映=先映后算定義13-5.2、3

設(shè)f是由<A,★>到<B,>的一個(gè)同態(tài)，當(dāng)同態(tài)f為單射時(shí)，又稱(chēng)f為單一同態(tài)；當(dāng)f為滿(mǎn)射時(shí)，又稱(chēng)f為滿(mǎn)同態(tài)；當(dāng)f為雙射時(shí)，又稱(chēng)f為同構(gòu)映射，或同構(gòu)（isomorphism）。當(dāng)兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)間存在同構(gòu)映射時(shí)，也稱(chēng)這兩個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)同構(gòu)。當(dāng)f為<A,★>到<A,>的同態(tài)（同構(gòu)）時(shí),稱(chēng)f為A的自同態(tài)（自同構(gòu)）。

定理13-5.2設(shè)f是由<A,★>到<B,>的一個(gè)同態(tài)。（a）如果<A,★>是半群，那么在f作用下，同態(tài)象<f(A),>也是半群。（b）如果<A,★>是獨(dú)異點(diǎn)，那么在f作用下，同態(tài)象<f(A),>也是獨(dú)異點(diǎn)。（c）如果<A,★>是群，那么在f作用下，同態(tài)象<f(A),>也是群。

證明思路:先證（a）：<f(A),>是半群

.證運(yùn)算在f(A)上封閉

設(shè)<A,★>是半群，<B,>是一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu)，如果f是由<A,★>到<B,>的一個(gè)同態(tài)。則f(A)

B。對(duì)于任意的a，bf(A)

，必有x,yA

，使得

f(x)=a,f(y)=b在A中必有z=x★y,所以

ab=f(x)f(y)=f(x★y)=f(z)f(A).證在f(A)上滿(mǎn)足結(jié)合律對(duì)于任意的a,b,cf(A),必有x,y,zA,使得

f(x)=a,f(y)=b,f(z)=c

因?yàn)樵贏上是可結(jié)合的，所以

a(bc)=f(x)(f(y)f(z))=f(x)f(y★z)=f(x★(y★z))=f((x★y)★z)

=f(x★y)

f(z)

=(f(x)f(y))f(z)=(ab)c

證明了<f(A),>

是半群。

再證（b）：<f(A),>是獨(dú)異點(diǎn)設(shè)<A,★>是獨(dú)異點(diǎn),e是A中的幺元,那么f(e)是f(A)中的幺元。因?qū)τ谌我獾腶f(A),必有xA,使得

f(x)=a

所以af(e)=f(x)f(e)=f(x★e)=f(x)=a=f(e★x)=f(e)f(x)=f(e)a

因此f(e)是<f(A),>中的幺元，<f(A),>是獨(dú)異點(diǎn)。

最后證（c）：<f(A),>是群設(shè)<A,★>是群,對(duì)于任意的af(A),必有xA,使得

f(x)=a

因?yàn)?lt;A,★>是群,所以對(duì)于任意的xA,都有逆元x-1A，且f(x-1)f(A),而

f(x)f(x-1)=f(x★x-1)=f(e)=f(x-1★x)=f(x-1)f(x)

所以，f(x-1)是f(x)的逆元。即

f(x-1)=[f(x)]-1

因此<f(A),>中的任意元素都有逆元,<f(A),>是群。

綜合上述(a)、(b)、(c)三步，定理證畢定義13-5.4

如果f為代數(shù)結(jié)構(gòu)<G,★>到<G’,>的一個(gè)同態(tài)映射，G’中有么元e’，那么稱(chēng)下列集合為f的同態(tài)核（kernelofhomomorphism），記為K(f)。

K(f)={xxG∧f(x)＝e’}定理13-5.3

設(shè)f為群<G,★>到群<G’,>的同態(tài)映射，那么f的同態(tài)核K是G的子群。證明思路:先證★運(yùn)算在K上封閉

e’=f(e),設(shè)k1,k2K,則

f(k1★k2)=f(k1)f(k2)=e’e’=e’

故k1★k2K，★運(yùn)算在K上封閉。再證K中的元素有逆元而對(duì)任意的kK,f(k-1)=[f(k)]-1=e’-1=e’

定義13-5.5設(shè)R為代數(shù)結(jié)構(gòu)<A,★>的載體A上的等價(jià)關(guān)系，如果對(duì)S中任何元素a1,a2

，b1,b2

<a1,a2>R,<b1,b2>R蘊(yùn)涵<a1★b1,a2★b2>R則稱(chēng)R為A上關(guān)于二元運(yùn)算★的同余關(guān)系(congruencerelations)。由這個(gè)將集合劃分成的等價(jià)類(lèi)就稱(chēng)為同余類(lèi)。

定理13-5.4設(shè)R為代數(shù)結(jié)構(gòu)<A,★>的載體A上的等價(jià)關(guān)系，B={A1，A2，...，Ar}是由R誘導(dǎo)的A上的一個(gè)劃分，那么，必定存在新的代數(shù)結(jié)構(gòu)<B,>，它是<A,★>的同態(tài)象。證明思路:在B上定義二元運(yùn)算為：對(duì)于任意的Ai,Aj

B，任取a1Ai,a2Aj,如果a1★a2Ak,則AiAj

=Ak

。由于R是A上的同余關(guān)系,所以,以上定義的AiAj

=Ak是唯一的。

故k-1K。結(jié)論得證。作映射f(a)=Aia

Ai顯然，f是從A到B的滿(mǎn)設(shè)。對(duì)于任意的x,y

A

，x,y必屬于B中的某兩個(gè)同余類(lèi)，不防設(shè)xAi,yAj

，1≤i,j≤r，同時(shí)，x★y必屬于B中某個(gè)同余類(lèi)，不防設(shè)x★yAk

，于是就有

f(x★y)=Ak

=

AiAj=f(x)f(y)因此是由到的滿(mǎn)同態(tài)，即<B,>是<A,★>的同態(tài)象。

定理13-5.5設(shè)f是由<A,★>到<B,>的一個(gè)同態(tài)映射,如果在A上定義二元關(guān)系R為<a,b>R,當(dāng)且僅當(dāng)

f(a)=f(b)那么，R是A上的一個(gè)同余關(guān)系。證明思路:因?yàn)閒(a)=f(a)

，所以<a,a>R

。若<a,b>R

,則f(a)=f(b)

即f(b)=f(a),所以<b,a>R

。若<a,b>R,<b,c>R則f(a)=f(b)=f(c),所以<a,c>R

。第14章環(huán)與域

定義14-1設(shè)<A,★,>是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，如果滿(mǎn)足（1）<A,★>是阿貝爾群（或加群）．（2）<A,>是半群．（3）乘運(yùn)算對(duì)加運(yùn)算★可分配，即對(duì)任意元素a,b,cA

，

a(b★c)=(ab)★(ac)(b★c)a=(ba)★(ca)稱(chēng)代數(shù)結(jié)構(gòu)<A,★,>為環(huán)（ring）。一般將★稱(chēng)為加運(yùn)算，記為“+”，將稱(chēng)為乘運(yùn)算，記為“”。最后，又因?yàn)槿?lt;a,b>R

，<c,d>R

，則有

f(a★c)=f(a)f(c)=f(b)f(d)=

f(b★d)所以，<ac,bd>R

。

因此，R是A上的同余關(guān)系。

定理14.1

設(shè)<A,+,>為環(huán)，那么對(duì)任意a,b,cR

（1）a=a=(加法么元必為乘法零元)

（2）a(-b)=(-a)b=-(ab)

（3）(-a)(-b)=ab

（4）a(b-c)=(ab)-(ac)

（5）

(b-c)

a=(ba)-(ca)其中是加法幺元,-a表示a的加法逆元,并將a+(-b)記為a-b。

證明思路：（1）先證=a

因?yàn)閍=(+)a=a+a

根據(jù)消去律=a

再證=a（略）

（2）先證a(-b)=-(ab)

因?yàn)閍b+

a(-b)=a[b+(-b)]=a=

所以a(-b)是ab的加法逆元,

即a(-b)=-(ab)

再證(-a)b=-(ab)

（略）（3）因?yàn)?/p>

a(-b)+(-a)(-b)=[a+(-a)](-b)=(-b)=和

a(-b)+(ab)=a[(-b)+b]=a=所以(-a)(-b)=(ab)

（4）a(b-c)=a[b+(-c)]=ab+a(-c)=ab+(-ac)=ab-ac

（5）

(b-c)a=[b+(-c)]a=ba+(-c)a=ba+(-ca)=ba-ca

定義14.2

當(dāng)環(huán)<A,+,>中運(yùn)算滿(mǎn)足交換律時(shí),稱(chēng)<A,+,>為交換環(huán)(commutativerings),當(dāng)運(yùn)算有么元時(shí),稱(chēng)A為含么環(huán)(ringwithunity)。

例3

設(shè)S是一個(gè)集合，(S)是它的冪集。若定義(S)上的+運(yùn)算和運(yùn)算如下：對(duì)于任意A，B∈(S)，

A+B={x|(x∈S)∧(x∈A∨x∈B)∧(xA∩B)}AB=A∩B則<(S),+,>為環(huán)，稱(chēng)為S的子集環(huán)。

定義14.3

設(shè)<A,+,>是一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu),如果滿(mǎn)足：

1.<A,+>是阿貝爾群

2.<A,>

是可交換獨(dú)異點(diǎn)，且無(wú)零因子，即對(duì)任意的a,b∈A

，a≠

，b≠必有ab≠

。

3.運(yùn)算

對(duì)于運(yùn)算+

是可分配的。則稱(chēng)<A,+,>為整環(huán)（Integralomain）。

定理14.2

在整環(huán)<A,+,>為中的無(wú)零因子條件等價(jià)于消去律(即對(duì)于c≠和c

a=cb,必有a=b)。

證明思路:整環(huán)<A,+,>中無(wú)零因子消去律

先證整環(huán)<A,+,>中無(wú)零因子消去律若<A,+,>中無(wú)零因子并設(shè)c≠和c

a=cb,

則有：

c

a-cb=c(

a-b)=,

所以，必有a=b

。

再證：消去律<A,+,>中無(wú)零因子若消去律成立，設(shè)

a≠，ab=

則

ab=a，消去a即得b=

。

定義14.4

設(shè)<A,+,>是一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu),如果滿(mǎn)足：

1.<A,+>是阿貝爾群。

2.<A-{},>是阿貝爾群。

3.運(yùn)算對(duì)于運(yùn)算+

是可分配的。則稱(chēng)<A,+,>為域（fields）。

定理14.3域一定是整環(huán)。

證明思路:設(shè)<A,