數(shù)學建模案例分析

數(shù)學建模之——

數(shù)學建模案例分析重慶郵電大學楊春德教授案例一：離散概率模型

問題：

一個電子器件工廠生產(chǎn)一種二極管。質(zhì)量控制工程師負責保證在產(chǎn)品出廠前檢測出次品的二極管。估計這個廠生產(chǎn)的二極管有0.3％是次品?？梢詫γ總€二極管逐個進行檢驗，也可以把若干二極管串聯(lián)起來成組進行檢驗。如果檢驗通不過，也就是說其中有一個或幾個二極管是次品。已知檢驗一個單個的二極管的花費是5分錢，檢驗一組n>1個二極管的花費是4+n分錢。如果成組檢驗沒有通過，則這一組的每一個二極管必須逐個重新檢驗以便于找出這些次品。要求尋求檢測次品二極管的質(zhì)量控制的步驟使得用于檢驗的花費最少。

變量n是決策變量，同時隨便選取n＝1,2,3,…，變量C是我們所選擇的質(zhì)量控制步驟的隨機的結(jié)果。C是一個隨機變量。然而量A不是隨機的。它表示隨機變量C／n的平均或期望值。顯然如果n＝1，則A=5分，否則(n>1)，當分組檢驗結(jié)果全部二極管都是好的，則C=4+n，當檢驗結(jié)果有次晶，則C＝(4+n)+5n，A＝(C的平均值)／n。其目標就是求n的數(shù)值，使A最小。1、符號假設2、問題的分析

n：每個檢驗組內(nèi)二極管的數(shù)目；C：一組元件的檢驗費用(分)；A：平均檢驗費用(分／二極管)。

考慮隨機一個變量X，它可以取一個離散數(shù)值集合中的任何一個數(shù)值

對于我們的問題，任何的n>1，隨機變量C

取兩個可能數(shù)值中的一個：如果所有的二極管都是好的，則C＝4+n否則C＝(4+n)+5n3、建模

因為我們必須重新檢驗每一個二極管。用p表示所有的二極管都是正品的概率，剩下的可能性(有一個或更多的次品二極管)一定有概率1-p。則C的平均或期望值是于是模型為：隨機變量C的期望值是

4、模型求解

由強大數(shù)定律可知，如果一直使用每組有n個二極管的分組檢驗的方法，這個公式提供了平均的檢驗費用，這時我們需要作為n的函數(shù)來極小化A。每一個二極管的平均檢驗費用為令

則5、結(jié)果分析對于檢驗次品二極管的質(zhì)量控制步驟可以使用分組檢驗的方法做得非常經(jīng)濟．逐個檢驗的花費是5分/個。次品的二極管出現(xiàn)得很少，每一千中只有三個。使用每一組17個二極管串聯(lián)起來分組化驗，在不影響質(zhì)量的前提下可以將檢驗的費用降低到三分之一(1.5分/二極管)。質(zhì)量控制步驟的實行將依賴于若干模型范圍之外的因素。也許由于我們操作的特殊性對于10個或20個一批的二極管或者n是4或5的倍數(shù)時檢驗起來更容易。好在對于我們的問題來說，在n=10和n=35之間時檢驗的平均花費A沒有明顯的變化。在操作過程中的次品率q＝o.003同樣也是必須考慮的。例如，這個數(shù)值可能會隨著工廠內(nèi)的環(huán)境條件而發(fā)生變化。將我們上面的模型推廣，我們有

在n＝17時我們有靈敏度：于是，q的微小的改變很可能不會導致檢驗費用大的變化。更一般的穩(wěn)健性分析要考慮獨立性的假設。我們這里必需要假設在操作過程中接連出現(xiàn)次品的次數(shù)之間是無關(guān)的。事實上，有可能由于生產(chǎn)環(huán)境中的一些異常的原因，如工作臺的顫動或電壓變化的沖擊，使得次品的二極管趨向于出現(xiàn)在一些批次中。這時，獨立隨機變量模型的數(shù)學分析就不能完全處理這個問題。問題

案例二：連續(xù)概率模型

1、符號說明

3.

建模2.

問題的分析其密度函數(shù)是

指數(shù)分布的一個非常重要的性質(zhì)是“無記憶性”。對于任何的t>０和ｓ>0，我們有換句話說，對于下一次到達現(xiàn)象發(fā)生這件事情來說，我們已經(jīng)等待的s單位的時間并不影響直到下一次到達現(xiàn)象發(fā)生的時間的(條件)分布。指數(shù)分布會“忘記”我們已經(jīng)等待了多長的時間。我們假設放射性衰變以一個未知的速率久。令

4.模型求解

以概率1成立

數(shù)學模型的建立與建模目的密切相關(guān)幾類常見建模目的:

1.

描述或解釋現(xiàn)實世界的各類現(xiàn)象(常采用機理分析的方法,探索研究對象的內(nèi)在規(guī)律性)；（二）、建立數(shù)學模型

2.

預測感興趣的事件是否會發(fā)生,或者事物的發(fā)展趨勢(常采用數(shù)理統(tǒng)計或模擬的方法)；3.

優(yōu)化管理、決策或者控制(事物需合理地定義可量化的評價指標及評價方法)

5、結(jié)果分析

案例三：公共地的悲劇

問題：

有一個關(guān)于牧民與草地的故事，說的是當村莊的草地向村民完全開放時，每一個村民都想多養(yǎng)一頭牛，因為多養(yǎng)一頭牛增加的收益大于其購養(yǎng)成本，是有利潤的。盡管因為平均草量下降，增加一頭?？赡苁拐麄€草地的牛的單位收益下降。試問村民應該如何養(yǎng)羊才能使收益最大呢？1、假設與符號說明2、問題分析村民可以從增加的羊只上獲得所有的利益負面：草地的承載力因為額外增加的羊只有所耗損。然而，關(guān)鍵性在于這兩者的代價并非平等：村民獲得所有的利益，但是資源的虧損卻是轉(zhuǎn)嫁到所有村民的身上。因此，就理性觀點考量，每一位村民勢必會衡量如此的效用，進而增加一頭頭的羊只。但是當所有的村民皆做出如此的結(jié)論，并且無限制的放牧時，草地負載力的耗損將是必然的后果。于是每一個個體依照理性反應所做出的決定將會相同，畢竟獲得的利益將永遠大于利益的耗損。盡管因為平均草量下降，增加一頭?？赡苁拐麄€草地的牛的單位收益下降。但對于單個村民來說，他增加一頭牛是有利的。可是如果所有的村民都看到這一點，都增加一頭牛，那么草地將被過度放牧，從而不能滿足牛的需要，導致所有牧民的牛都餓死。這個故事就是公共資源的悲劇。3、建模與求解也就是再把上式全部相加，并除以n，可得從全村放養(yǎng)總量G的最優(yōu)選擇考慮，則應最大化全村養(yǎng)羊的總收益，即它的一價微分條件為4、結(jié)果分析和全村最優(yōu)條件相比，納什均衡時放養(yǎng)的羊的總量太多了，全村的草地被過度使用，這就是公共地的悲劇?，F(xiàn)在，對一些沒有排他性使用權(quán)的資源和環(huán)境，群體（某些個人。某些地區(qū)、某些國家）對資源和環(huán)境使用的均衡結(jié)果遠遠超過全社會總體的最優(yōu)使用的結(jié)果，從而導致的“公共地的悲劇”形象的發(fā)生。

案例四：最后要價仲裁問題1、假設與符號說明2、問題分析3、建模與求解由此，就可以用期望工資水平

的解。由上述方程組可得

上式表明，雙方要價的平均值一定等于仲裁人偏好方案的中值。將上式代入式前方程組中任何一個方程，可得

上式表示雙方要價之差等于仲裁人偏好方案中值點概率密度的倒數(shù)。設若仲裁人的偏好方案服從均值為m，方差為б2的正