2022-2023學(xué)年上海市徐匯中學(xué)高三壓軸卷數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù)的最小正周期為,為了得到函數(shù)的圖象,只要將的圖象()A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度2.函數(shù)的部分圖象如圖所示,則()A.6 B.5 C.4 D.33.已知復(fù)數(shù),滿足,則()A.1 B. C. D.54.已知等差數(shù)列中,若,則此數(shù)列中一定為0的是()A. B. C. D.5.設(shè)雙曲線(,)的一條漸近線與拋物線有且只有一個公共點,且橢圓的焦距為2,則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B. C. D.6.從裝有除顏色外完全相同的3個白球和個黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球,有放回的摸取5次,設(shè)摸得白球數(shù)為,已知,則A. B. C. D.7.已知向量,且,則等于()A.4 B.3 C.2 D.18.設(shè)復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位),則()A. B. C. D.9.在中,角、、的對邊分別為、、,若,,,則()A. B. C. D.10.已知是虛數(shù)單位,若,,則實數(shù)()A.或 B.-1或1 C.1 D.11.《易經(jīng)》包含著很多哲理,在信息學(xué)、天文學(xué)中都有廣泛的應(yīng)用,《易經(jīng)》的博大精深,對今天的幾何學(xué)和其它學(xué)科仍有深刻的影響.下圖就是易經(jīng)中記載的幾何圖形——八卦田,圖中正八邊形代表八卦,中間的圓代表陰陽太極圖,八塊面積相等的曲邊梯形代表八卦田.已知正八邊形的邊長為,陰陽太極圖的半徑為,則每塊八卦田的面積約為()A. B.C. D.12.已知a,b是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,且,,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)為等比數(shù)列的前項和,若,且,,成等差數(shù)列,則.14.已知正實數(shù)滿足,則的最小值為.15.已知函數(shù)f(x)=若關(guān)于x的方程f(x)=kx有兩個不同的實根,則實數(shù)k的取值范圍是________.16.已知,記,則的展開式中各項系數(shù)和為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知不等式對于任意的恒成立.(1)求實數(shù)m的取值范圍;(2)若m的最大值為M,且正實數(shù)a,b,c滿足.求證.18.(12分)設(shè)復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的模為______.19.(12分)如圖所示,四棱錐P﹣ABCD中,PC⊥底面ABCD,PC=CD=2,E為AB的中點,底面四邊形ABCD滿足∠ADC=∠DCB=90°,AD=1,BC=1.(Ⅰ)求證:平面PDE⊥平面PAC;(Ⅱ)求直線PC與平面PDE所成角的正弦值;(Ⅲ)求二面角D﹣PE﹣B的余弦值.20.(12分)已知中,角所對邊的長分別為,且(1)求角的大??;(2)求的值.21.(12分)在直角坐標(biāo)系x0y中,把曲線α為參數(shù))上每個點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?,縱坐標(biāo)不變,得到曲線以坐標(biāo)原點為極點,以x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程(1)寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點M在上,點N在上,求|MN|的最小值以及此時M的直角坐標(biāo).22.(10分)已知點為橢圓上任意一點,直線與圓交于,兩點,點為橢圓的左焦點.(1)求證:直線與橢圓相切;(2)判斷是否為定值,并說明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

由的最小正周期是,得,即,因此它的圖象向左平移個單位可得到的圖象.故選A.考點:函數(shù)的圖象與性質(zhì).【名師點睛】三角函數(shù)圖象變換方法:2、A【解析】

根據(jù)正切函數(shù)的圖象求出A、B兩點的坐標(biāo),再求出向量的坐標(biāo),根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算求出結(jié)果.【詳解】由圖象得,令=0,即=kπ,k=0時解得x=2,令=1,即,解得x=3,∴A(2,0),B(3,1),∴,∴.故選:A.【點睛】本題考查正切函數(shù)的圖象,平面向量數(shù)量積的運算,屬于綜合題,但是難度不大,解題關(guān)鍵是利用圖象與正切函數(shù)圖象求出坐標(biāo),再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算可得結(jié)果,屬于簡單題.3、A【解析】

首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算求出,求出的模即可.【詳解】解:,,故選:A【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)求模問題,考查復(fù)數(shù)的除法運算,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

將已知條件轉(zhuǎn)化為的形式,由此確定數(shù)列為的項.【詳解】由于等差數(shù)列中,所以,化簡得,所以為.故選:A【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列的基本量計算,屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

設(shè)雙曲線的漸近線方程為,與拋物線方程聯(lián)立,利用,求出的值,得到的值,求出關(guān)系,進(jìn)而判斷大小,結(jié)合橢圓的焦距為2,即可求出結(jié)論.【詳解】設(shè)雙曲線的漸近線方程為,代入拋物線方程得,依題意,,橢圓的焦距,,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:B.【點睛】本題考查橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、雙曲線的簡單幾何性質(zhì),要注意雙曲線焦點位置,屬于中檔題.6、B【解析】

由題意知,,由,知,由此能求出.【詳解】由題意知,,,解得,,.故選:B.【點睛】本題考查離散型隨機(jī)變量的方差的求法,解題時要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意二項分布的靈活運用.7、D【解析】

由已知結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因為,且,,則.故選:.【點睛】本題主要考查了向量垂直的坐標(biāo)表示,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

易得,分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】由已知,,所以.故選:B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運算,考查學(xué)生的基本計算能力,是一道容易題.9、B【解析】

利用兩角差的正弦公式和邊角互化思想可求得,可得出,然后利用余弦定理求出的值,最后利用正弦定理可求出的值.【詳解】,即,即,,,得,,.由余弦定理得,由正弦定理,因此,.故選:B.【點睛】本題考查三角形中角的正弦值的計算,考查兩角差的正弦公式、邊角互化思想、余弦定理與正弦定理的應(yīng)用,考查運算求解能力,屬于中等題.10、B【解析】

由題意得,,然后求解即可【詳解】∵,∴.又∵,∴,∴.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的運算,屬于基礎(chǔ)題11、B【解析】

由圖利用三角形的面積公式可得正八邊形中每個三角形的面積,再計算出圓面積的,兩面積作差即可求解.【詳解】由圖,正八邊形分割成個等腰三角形,頂角為,設(shè)三角形的腰為,由正弦定理可得,解得,所以三角形的面積為:,所以每塊八卦田的面積約為:.故選:B【點睛】本題考查了正弦定理解三角形、三角形的面積公式,需熟記定理與面積公式,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理和判定定理判斷與的關(guān)系即可得到答案.【詳解】若,根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理,可得;若,根據(jù)線面平行的判定定理,可得.故選:C.【點睛】本題主要考查了線面平行的性質(zhì)定理和判定定理,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、.【解析】試題分析:∵,,成等差數(shù)列,∴,又∵等比數(shù)列,∴.考點:等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì).【名師點睛】本題主要考查等差與等比數(shù)列的性質(zhì),屬于容易題,在解題過程中,需要建立關(guān)于等比數(shù)列基本量的方程即可求解,考查學(xué)生等價轉(zhuǎn)化的思想與方程思想.14、4【解析】

由題意結(jié)合代數(shù)式的特點和均值不等式的結(jié)論整理計算即可求得最終結(jié)果.【詳解】.當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.據(jù)此可知:的最小值為4.【點睛】條件最值的求解通常有兩種方法:一是消元法,即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系,然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解;二是將條件靈活變形,利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子,然后利用基本不等式求解最值.15、【解析】由圖可知,當(dāng)直線y=kx在直線OA與x軸(不含它們)之間時,y=kx與y=f(x)的圖像有兩個不同交點,即方程有兩個不相同的實根.16、【解析】

根據(jù)定積分的計算,得到,令,求得,即可得到答案.【詳解】根據(jù)定積分的計算,可得,令,則,即的展開式中各項系數(shù)和為.【點睛】本題主要考查了定積分的應(yīng)用,以及二項式定理的應(yīng)用,其中解答中根據(jù)定積分的計算和二項式定理求得的表示是解答本題的關(guān)鍵,著重考查了運算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)證明見解析【解析】

(1)法一:,,得,則,由此可得答案;法二:由題意,令,易知是偶函數(shù),且時為增函數(shù),由此可得出答案;(2)由(1)知,,即,結(jié)合“1”的代換,利用基本不等式即可證明結(jié)論.【詳解】解:(1)法一:(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號),又(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號),所以(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號),由題意得,則,解得,故的取值范圍是;法二:因為對于任意恒有成立,即,令,易知是偶函數(shù),且時為增函數(shù),所以,即,則,解得,故的取值范圍是;(2)由(1)知,,即,∴,故不等式成立.【點睛】本題主要考查絕對值不等式的恒成立問題,考查基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.18、1【解析】

整理已知利用復(fù)數(shù)的除法運算方式計算,再由求模公式得答案.【詳解】因為,即所以的模為1故答案為:1【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算與求模,屬于基礎(chǔ)題.19、(Ⅰ)證明見解析(Ⅱ).(Ⅲ)﹣.【解析】

(Ⅰ)由題知,如圖以點為原點,直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,計算,證明,從而平面PAC,即可得證;(Ⅱ)求解平面PDE的一個法向量,計算,即可得直線PC與平面PDE所成角的正弦值;(Ⅲ)求解平面PBE的一個法向量,計算,即可得二面角D﹣PE﹣B的余弦值.【詳解】(Ⅰ)PC⊥底面ABCD,,如圖以點為原點,直線分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,又,平面PAC,平面PDE,平面PDE⊥平面PAC;(Ⅱ)設(shè)為平面PDE的一個法向量,又,則,取,得,直線PC與平面PDE所成角的正弦值;(Ⅲ)設(shè)為平面PBE的一個法向量,又則,取,得,,二面角D﹣PE﹣B的余弦值﹣.【點睛】本題主要考查了平面與平面的垂直,直線與平面所成角的計算,二面角大小的求解,考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用,考查了學(xué)生的空間想象能力與運算求解能力.20、(1);(2).【解析】

(1)正弦定理的邊角轉(zhuǎn)換,以及兩角和的正弦公式展開,特殊角的余弦值即可求出答案;(2)構(gòu)造齊次式,利用正弦定理的邊角轉(zhuǎn)換,得到,結(jié)合余弦定理得到【詳解】解:(1)由已知,得又∵∴∴,因為得∵∴.(2)∵又由余弦定理,得∴【點睛】1.考查學(xué)生對正余弦定理的綜合應(yīng)用;2.能處理基本的邊角轉(zhuǎn)換問題;3.能利用特殊的三角函數(shù)值推特殊角,屬于中檔題21、(1)的普通方程為,的直角坐標(biāo)方程為.(2)最小值為,此時【解析】

(1)由的參數(shù)方程消去求得的普通方程,利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式,求得的直角坐標(biāo)方程.(2)設(shè)出點的坐標(biāo),利用點到直線的距離公式求得最小值的表達(dá)式,結(jié)合三角函數(shù)的指數(shù)求得的最小值以及此時點的坐標(biāo).【詳解】(1)由題意知的參數(shù)方程為(為參數(shù))所以的普通方程為.由得,所以的直角坐標(biāo)方程為.(2)由題意,可設(shè)點的直角坐標(biāo)為,因為是直線,所以的最小值即為到的距離,因為.當(dāng)且僅當(dāng)時,取得最小值為,此時的直角坐標(biāo)為即.【點睛】本小題主要考查參數(shù)方程化為普通方程,考查極坐標(biāo)方程化為直

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